不等式的实际应用

解：如图，设矩形的长与宽分别为x，y,圆柱的侧面积为S
则2x+2y=36，即x+y=18
因
S
2xy
2
x
2
y
2
162
当且仅当x=y且x+y=18，即x=y=9时取等号
y x
答：当矩形的长与宽均为9时，圆柱的侧面积最大
(6)课本P：101 B组 Ex1 设矩形ABCD(AB＞CD)的周长为24，把 ⊿ABC沿AC向⊿ADC折叠，AB折叠后交DC于点P，设AB=x 求⊿ADP的 最大面积及相应x的值
三、不等式的实际应用
1.线性规划
2.其他不等式
一、解决实际问题的两大步骤
建模
实际问题 ﹤
还原
二、常见的数学模型
概率与统计
排列组合
解三角形
线性规划
1.按模型分 函数
方程
不等式
数列
······
2.按条件分
模型已知 模型未知
﹥ 数学问题
一次 二次 三次 对号 分段 绝对值 幂函数型 指数函数型 对数型 三角函数 ···
同底法 取对数法 其他法
单调性法
注：对数不等式要注意Domain
解三角不等式
（一）基础型——背诵法
1.若 sin x 0 ,则 x 2.若 cos x 0 ,则 x 3.若 tan x 0 ,则 x 4.若 sin x cos x ,则 x 5.若 sin x tan x ,则 x
（二）其他型——图象法
未知
需知1
需知2
……
已知
综合法： 由因导果顺推法
已知
可知1
可知2
……
未知
反证法： 假设归谬三存真 正难则反及显然
至多至少存在性 肯定否定唯一性
放缩法:
欲证A＞B, 若能证A＞□,□＞B同时成立 ,则有A＞B
辅助函数法:
构造辅助函数，利用其单调性或最值证明不等式
含参不等式四种成立
一、描述方式繁多：
二、解法多样且灵活：
③直线旋移型：z x y (λ,μ为参量,截距……)
④点线距离型：z | ax by c | (a,b,c为常数,距离…)
2.曲线型：
⑤圆伸缩型：z (x x0 )2 ( y y0 )2 (x0 ,y0为常数,半径…) 3.其他型：
⑥向量型：……
已知两正数□,○，若
1 □
+
1 ○
，□ + ○，□2+○2，□○
一正二方三穿线 奇穿偶切右上方 上大下小中为等 函数简图是本质
解一元二次不等式
1.图象(标根)法：
2.公式(口诀)法：
口诀1：大于号要两头 口诀2：一正二方三大头
解分式不等式
1.“左右”去分母法
小于号要中间 无根大全小为空
2.“上下”去分母法
解不等式组
数形结合“或”字型 书写格式整体观
解连不等式
通法:“截”成不等式组 特法:左右是常数时，可变形成高次不等式
影响，影响15小时
(4)课本P：100 A组 Ex2 一段长为30m的篱笆围成一个 一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，问这个矩形的长、宽 各为多少时，菜园的面积最大，最大面积时多少？
解：设菜园的长和宽分别为x，y ,则 x+2y=30
菜园的面积为
18
S xy 1 (x 2y) 1 ( x 2y )2 225
⑦同向可加：
⑧正值同向可乘： ⑨同号可倒：
注1.若2个不等式需进行减(除)运算，一般是转换成加(乘)
注2.若变量间具有约束关系时，等号没有可加(乘)性
3.重要的(经典)不等式
⑩ □2+○2≥±2□○ 当且仅当○=□时等号成立
11 均值不等式： 若□,○∈R+,则
2
1 □
+
1 ○
□○
≤
□
+
2
○
□2+○2 2
若x为锐角，则
sin x＜x＜tanx
sin x＜tanx sin x＞tanx
线性规划简述
1.含义：简言之，图象法解二元不等式 2.步骤：一面二线三找点 来先去后为最值
解析几何的基础
形
数
点
坐标
线
方程
面
不等式
二元不等式与平面域
1.直线对坐标平面的划分 (二元一次不等式表示平面域)
直线 Ax By C 0 ,将坐标平面划分成两个半平面 Ax By C 0和 Ax By C 0 ,位于同一半平面内的点 其坐标必适合同一个不等式 （同侧同号，异侧异号）
数形结合周期性 上大下小中方程
（一）基础型——背诵法
sin x cos x
1.若 sin x 2.若 cos x
3.若 tan x
4.若 sin x 5.若 sin x
0 ,则 x
sin x＞cosx
0 ,则 x
0 ,则 x
sin x＜cosx
cos x ,则 x
tan x ,则 x
sin x＞tanx sin x＜tanx
6002 400t 2 2 20t 600 2 4502 2
整理得 4t2 120 2t 1575 0
B
解得 30 2 15 t 30 2 15
A
2
2
而
30
2 15 13.7(h) 2
30
，
2 15 30 2
2 15 15(h) 2
答: 从现在起13.7小时后，该码头将受到热带风暴中心的
1.基本性质 2.运算性质 3.重要的不等式
1.基本性质
①大小的定义
②对称性
③传递性
2.运算性质
⑴对一个不等式的运算(变形)
④加(减): 如果a>b，那么a+c>b+c
⑤乘(除)： 如果a>b,且c>0,那么ac>bc
⑥方：
如果a>b,且c<0,那么ac<bc 正值可方奇无限
⑵对多个不等式的运算(变形)
练习2.其他不等式的实际应用
(2)课本P：81 A组 Ex6 某文具店购进一批新型台灯 若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价 每提高1元,日销售量将减少2盏.为了使这批台灯每天获得 400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？
析：设每盏台灯售价x元，则
x 15
x 30
注：直线划分坐标面 先画直线定边线 有等为实反为虚 特点验证确定面 左小右大 A要正 上大下小 B要正
2.类似直线,圆锥曲线也将坐标平面划分成两个区域
常见的几类目标函数 1.直线型：
①直线平移型：z ax by (a,b为常数,截距……)
②直线旋转型：z y y0 x x0
(x0 ,y0为常数,斜率……)
解:设每月生产甲,乙产品分别为x和y件,每月收入为Z千元
则目标函数为Z＝3x＋2y，满足的条件是
x＋2y ≤400 2x＋y ≤500 x ≥ 0 y ≥ 0
x＋2y ≤400 2x＋y ≤500 x ≥ 0 y ≥ 0
Z＝3x＋2y
Y 500
200 O
M(200,100) X
250 400
由图可知目标函数线经过点M(200，100)时，Z最大 即 Zmax ＝3x＋2y＝800（千元） 故生产甲产品200件,乙产品100件,收入最大,为80万元
不同种类的思想方法； (2)作用：
化复杂为简单，化陌生为熟练，化大为小； (3)原则：
①分类标准要统一； ②分类讨论时，要不重不漏； ③分类讨论要逐级进行，建议尽量书写序号 ④先分后合，能合必合 ⑤能避免分类标准，尽量避免之
2.含参不等式恰成立
小作：一般的，不等式解集的端点值是方程的根
大作：回归到含参不等式常成立
2
22
2
当且仅当 x=2y且x+2y=30
y x
即 x 15, y 15 时取等号
(0＜x＜18, 0＜y＜15)
2
答：矩形的长、宽分别为 15m, 15 m时
2
菜园的面积最大，最大面积为 225 m2 2
(5)课本P：101 A组 Ex3 已知矩形的周长为36,矩形绕 它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形的长，宽各为多少时 旋转形成的圆柱侧面积最大?最大侧面积是多少？
解绝对值不等式
1.单绝对值号+右端常数型：大于号要中间,小于号要两头 2.单绝对值号+右端变量型：数法形法要灵活 3.双绝对值号型：
①零点分段法 ②函数图象法 ③绝对值几何意义法
解根式不等式
1.数法：陷阱有三：①正值可方②Domain③“=”的取舍
2.形法：
解指对不等式
形法 数法
巧构函数是关键 上大下小中方程
2(
x
15)
400
即 [15，20）
(3)课本P：81 B组 Ex4 据气象部门预报，在距离某码头 南偏东45°方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度 向正北方向移动， 距风暴中心450km以内的地区都将受到 影响，从现在起，多长时间之后，该码头将受到热带风暴 的影响，影响时间大约多长 法1：建立如图所示的坐标系，记风暴
3.含参不等式恒成立：
形法 (1)
数法
通法 (2)
特法
4.含参不等式能成立：
最值法 子集法
分离参量法 变换主元法 先猜后证法
用最值法，求与含参不等式恒成立“相反”的最值即可
§163 不等式的实际应用
一、解决实际问题的两大步骤
实际问题 ﹤
建模 还原
﹥ 数学问题
二、常见的数学模型
1.按模型分