大学物理电磁感应2

( 2) E B d l I d S 0 d 0 0 t
空间总磁场
(1) ( 2 ) BB B
3.位移电流的磁场
( 2) 感生磁场 B
E B d l ( I I ) ( I d S ) 0 c d 0 c 0 t
L


dt
试判断下列结论是包含于或等效于哪一个麦 克斯韦方程式的。将你确定的方程式用代号 添在相应结论后的空白处。 （Ａ）变化的磁场一定伴随有电场 （２） （Ｂ）磁感应线是无头无尾的 （Ｃ）电荷总伴有电场
（３） （１）
习题指导P110 6 。
在没有自由电荷与传导电流的变化的电磁场中，
沿闭合环路l（设环路包围的面积为S） d m B dS E dl S t L dt
静电场的 高斯定理 环路定理 稳恒电流磁场 的高斯定理 稳恒电流磁场的 安培环路定理

（1） E dS
q
0
内

L
(1) E dl 0 (1) B dS 0
有 源 、 无 旋 无 源 、 有 旋

L
(1) B dl 0
I
内
变化的电场可等效为一种电流，
变化的电场和磁场相联系 !
充电过程
定义位移电流
dq d e E Id 0 0 dS dt dt t
位移电流的本质是变 化的电场 Ic S S2
s (t) s (t)
S1
具有电流的量纲
2.全电流
一般情形下，通过空间某截面的电流应 包括传导电流与位移电流，其和称全电流
2
对非完全耦合线圈：
M L1L2
M k L1L2
0 k 1
例.对于单匝线圈取自感系数的定义式为 L=fm/I , 当线圈的几何形状、大小及周围 介质分布不变，且无铁磁性物质时，若线 圈中的电流强度变小，则线圈的自感系数 L （A）变大，与电流成反比关系。 （B）变小。 （C）不变。 （D）变大，但与电流不成反比关系。
l 0 nSN l
L 0n V
2
例. 长直螺线管由两个密绕的线圈C1、C2组成，两线 圈分别绕N1、N2匝。 求: (1)两线圈的互感系数 (2)两线圈的自感系数与互感系数的关系 l (1) M 0 n1n2V S (2) 由
L1 0 n1 V
2
c1
c2
L2 0 n2 V
S V
有磁介质存在时
B 0 r H
d e ( I ) B d l 0 c 0 L dt E 0 I c 0 0 dS S t
D d D I d S H d l I c c L S t dt
D I c dS S t
例．反映电磁场基本性质和规律的积分形式的 麦克斯韦方程组为

S
1 E dS
0
q
内
（１） （２） （３）
d m L E dl dt

S B dS 0 d e （４） 0 (I 0 0 ) B d l
二、麦克斯韦假设 假设1.变化的磁场激发电场

L S
(1) 空间的总电场： E E Ei ( 1) B dS E dl E dl Ei dl t S
d m d B dS Ei dl dt dt S S
L的计算：假设通以电流i和计算磁通链数y来 求自感系数L。 例：求长直螺线管的自感系数L，已知总长度l， 总匝数N，截面面积S,单位长度上的匝数n. 解： 设通以电流i
B 0 ni
B
i
m 0 niS
N m N 0 niS
L N 0 nS i

d e d D LH dl dt dt
例：半径为R的平板电容器 均匀充电
dE c 内部视为真空 dt
求：I d (忽略边缘效应) 解： I d e d EπR 2 d 0 0 dt dt
+ -
R
(
)
dE 0 πR 2 dt
方向
dE 2 Id 0 πR dt

B dS

(1) B dS

( 2) B dS 0
真 空 中 的 麦 克 斯 韦 方 程 组
d m B LE dl dt S t dS B dS 0
S
三、麦克斯韦方程组的积分形式 1 E dS q内
1
12
2
M12 i2 Ψ 12
i2
12 M 12
di2 dt
d12 12 dt
di M dt
可以证明，对两个给定的线圈有： M 21 M 12 M 式中“-”表示方向，电流增大则感应电流（电动势）与 原电流相反；反之电流减小则感应电流（电动势）与 原电流同向。
思考：两螺线管如何放置互感最大？ 如何放置互感最小？
二、自感
实验现象：
当线圈中电流变化时，它所激发的磁 场通过线圈自身的磁通量也在变化， 使线圈自身产生感应电动势，叫自感 现象.该电动势叫自感电动势.
i
dm dt
全磁通与回路的电流成正比：
m
Li
dm di L dt dt
§4 互感和自感
一、互感现象和互感电动势:
当线圈 1中的电流变化时,所激发的磁场会在它邻近的另 一个线圈 2 中产生感应电动势，这种现象称为互感现象。 该电动势叫互感电动势。 1 2
i1
21
21 B1 I1
Ψ 21 M 21 i1
d21 21 dt
di1 21 M 21 dt
起因
dE ? dt
Maxwell 从电流的连续性入手得到了突破
假设2.变化的电场 1.位移电流概念 传导电流不连 续引起矛盾
位移电流
感生磁场
Ic
S1
S S2
B d l I 0 c
L

L
B dl 0 0 0
矛盾
1861年麦克斯韦想把安培环路定理推广到非 恒定电流的情况。他注意到上图电容器在充 放电时，其中的电场是变化的， 他大胆假设：
( 2) 感生电场 Ei ( E )
B dS t

L

L


E dS

S
( 1) E dS

S
Ei dS
q
0
内
电磁学的对称性与完整性：
电场
静电场 静止电荷 稳恒磁场 恒定电流
起因
磁场
感生电场 dB dt 感生磁场？
I
B wm 20
2
B 1 HB 磁能密度： wm 20 2
Wm 磁场能量 ：
2
V

B dV 2 0
2
对任何磁场 普遍有效
积分应遍及磁场存在的全空间。
1B 1 wm HB 2 2
磁场能量密度
2
比较
1 2 1 we E DE 2 2
电场能量密度
§6 麦克斯韦方程组 一、真空中静电场E（1）与稳恒磁场B（1）的基本定理
I 0 0 h b i ln cos t 2 a
习题指导P101 典型例题5
课本20.17（P200）
例题一：计算同轴电缆单位长度的自感 根据对称性和安培环路定理， 在内圆筒和外圆筒外的空间 磁场为零。两圆筒间磁场为


(C)

习题指导P109 1
例.无限长直导线与矩形线圈共面，线圈中通以电流 i I 0 sin t ，求直导线中的感应电动势。 分析： i M
di dt
应先计算M
a
r
假设在直导线中通以电流 I 可计算出通过线圈的磁通量 φ21 由
dr
h
1 b 2
Φ21 MI 得到 M
0 h b M ln 2 a
称 L为线圈的自感系数,简称自感或电感。
m Li
m N m L i i
1）单位：亨利（H）毫亨（mH），微亨（μH） 2）L与线圈中是否通有电流无关，仅与线圈自 身几何结构、及周围介质有关 3）物理意义：一个线圈中通有单位电流时，通 过线圈自身的磁通链数，等于该线圈的自感系 数。
M 就叫做这两个线圈的互感系数，简称为互感。
1）单位：亨利（H），毫亨（mH），微亨（μ H）
2） 互感系数为线圈本身的性质，与两线圈中 是否通有电流无关，仅与两线圈的几何因 素、相对位置和周围介质有关。
12 21 M i1 i2
为算M，给线圈1或2通电均可 到底给谁通电? 当然是选择最方便的。
例：计算同轴螺线管的互感 两个共轴螺线管长为 L，匝数 分别为N1 、N2，截面积相同均 为S,管内真空。 解：给螺线管1通以电流I1 B1 n1 0 I 1
N1
N2
I1
l
线圈1产生的磁场通 21 B1S N2 0 n1I1SN2 过线圈2的磁通链数
21 L 0 n1 SN 2 0 n1 n2V 由互感定义 M I1 L

0

d e 0 ( I c 0 ) B d l L dt E 0 I c 0 0 dS S t
S

有电介质存在时
D E 0 r E
0
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S
1 E dS
q
内
D d S q dV 内
自感电动势
dm di L L dt dt di 大小： L L dt
方向： 阻碍线圈中原有电流的变化
L越大，线圈中电流越不易改变 L越小，改变线圈中电流较容易
i(t)
L
i(t)
L
所以说，任何导体线圈都有维持原电路状态的能力， L就是这种能力大小的量度，它表征导体回路电磁惯 性的大小。
D dS q内 dV
介 质 中 的 麦 克 斯 韦 方 程 组
d m B LE dl dt S t dS B dS 0
S
V

S
d D LH dl I c dt
D (J ) dS S t
dE 0 dt dE <0 dt
R
充电
放电
作业册 44 页 1. 2.
I d 方向与外电路传导电流方向一致 全电流是连续的
如图，平板电容器（忽略边缘效应）充电时 ，沿环路L1、L2磁场强度的环流中，必有：
(A) L1 H dl L2 H dl (B) L1 H dl L2 H dl (C) L1 H dl L2 H dl (D) L1 H dl 0
d e E I Ic Id Ic 0 I c 0 dS dt t
全电流是连续的，
麦克斯韦将安培环路定理推广为 全电流定律
E B d l ( I I ) ( I d S ) 0 c d 0 c 0 t
1 2 Li di LI WL 2
感 磁 能
通电I线圈储能（自感磁能）:
1 W L LI 2 2
二、磁场能量Wm : 对螺线管: L 0 n 2V
1 2 2 Wm 0 n VI 2 2 2 2 1 0n I V 2 0
B V 2 0
2
B 0 nI
[ C ]
§5 磁场的能量
一、 通电线圈储能（自感磁能）:
自感为 L的线圈,通有电流 I时， 在其周围建立了磁场，所储存 的磁能根据功能原理，应该等 于这电流消失时自感电动势所 做的功.
L
L
k
di dA L dq L idt Lidi dt 功能原理 自
A
o
I