零输入响应

电路分析基础——第二部分：7-3
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S1
a
bc
Is = I0
S2 LR
+
uL(t) iL(t) –
+
uR(t) –
图7-6 已充磁的电感与电阻连接
图7-7 RL电路，iL(0) = I0
电感 L 此时与电阻连接，由于电感电流 不能突变，因此 t = 0 时，L 仍具有初始电流 I0 ，以后随 t 增加而逐渐衰减为零。 电感储能转化为电阻热能消耗掉。波形如图7-8所示。
iC 在开关接通的瞬间电流突变达到U0 /R，以后随时间变化 的曲线，即 iC 的波形如图7-5所示(注意电流方向)。
另一种典型的一阶电路是 RL 电路。我们来研究它的零输 入响应。设在在 t<0 时开关S1与 a 端相连，因而电感被充磁到 电流 I0。在t=0时刻开关S1换为 c 点而同时开关S2闭合。
i(t) + uR
– uC(0) = U0 –
下面进行数学分析。我们研究的是 t≥0 时电路的情况，
因此应按图7-3所示电路来列方程，可得
RoC
duC dt
+ uC = 0
t≥0
（7-20）
根据电容电压参考方向和 U0 的实际方向，初始电压记为
uC(0) = U0
（7-21）
解得
uC(t) = U0e – t / RC = U0e – t / t≥0
iL
uL
I0
O
t
0.368I0 O =L/R
t －RI0
图7-8 图7-7所示RL电路 iL 及 uL 随时间变化曲线
由(7-27)和(7-28)两式可知，时间常数 越小，电流、电压衰减 越快；反之则越慢。这个结论与以上RC电路相同。
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具体对 RL 电路，时间常数 =L/R，它越小，表示 L 越小， R 越大则电流、电压衰减越快。
时间常数与特征根的关系：时间常数 是特征根的倒数的相反 数。特征根具有时间的倒数或频率的量纲，故称为固有频率。
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例7-2 电路如图7-9所示，在t=0时刻开关由 a 投向 b，在此以
前电容电压为U。试求t≥0时的电容电压和电流。
a
+
b
R1
+
–U
R2
U– C
×i(t)
R1 R2
+ uC(t) – uC(0) = U
×
图7-9 例7-2
图7-10 例7-2， t≥0时的电路图
解：由于电容电压不能突变，在开关投向 b 的瞬间，其电压仍
为 U，即 uC(0)=U。作出t≥0时电路图如图7-10所示。
应注意：自电容两端看向左看，等效电阻为R1+R2，故时间常 数为 = (R1+R2)C。因此
电路分析基础——第二部分：第七章 目录
第七章 一 阶 电 路
1 分解方法在动态电 路分析中的应用
2 一阶微分方程求解
3 零输入响应
4 零状态响应
5 线性动态电路的叠加定理
6 三要素法 7 阶跃函数和阶跃响应 8 一阶电路的子区间分析
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7-3 零输入响应
零输入响应：电路在没有外加输入时所产生的响应称为零输入 响应(zero input response)。
R5
uC(t) = 10e – t / 12 V
用电压源置换电容后，得的电阻 R1=9, R2=4, R3=8, R4 =3, R5=1
电路如图7-12所示，算得
–t
i(t) =
10e 12
12
=
图7-12
5
e–
t 12
A
6
用电压源置换电容后所 得的电阻电路，t≥0
i1(t) =
5 6
e–
t 12
4 12+4
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例如：设电路如图7-2所示。在 t<0 时开关S1闭合，因而电容被 充电到电压U0。在t=0时刻开关S1断开而同时开关S2闭合。这种 开关的动作称为换路(switching)。
S1
+
+
U0
C
– Us = U0 –
S2 i(t)
R
+ uC(t) – uC(0) = U0
uC(V)
U0 0.368U0
uC(t) = U0e – t / 0.135U0
= RC 0.0498U0 0.0184U0
O
2
3
4
t(s)
图7-4 RC电路电容放电时 uC 随时间变化曲线
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iC(A)
U0 R
O
2
3
4
t(s)
图7-5 RC电路电容放电时电流随时间变化曲线
显然，电阻电路是没有这种响应的，因为输入为零，输出 为零；动态电路也只有在初始非零状态引起的响应，即由初始 时刻电容电场储能或电感磁场储能引起的响应。
动态电路若没有初始储能，没有电源作用 时的响应也为零！
动态电路有初始储能，表明在初始时刻以前，一定得到了 电源的作用。
研究动态电路的零输入响应，一定是针对具体的某个初始 时刻以后的响应，典型的是以 t=0作为起点。
（7-22）
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式中 s = – 1/RC = – 1/ 为特征方程 RCs + 1 = 0
（7-23）
的根。（7.2 节微分方程求解中定义了特征方程和特征根）
指数函数：解答式（7-22）是随时间衰减的指数函数。uC 随 时间变化的曲线，即 uC 的波形如图7-4所示。
解得
L
diL dt
+ RiL = 0
iL(0) = I0
iL(t) = I0e – t /
t≥0 t≥0
（7-25） （7-21） （7-22）
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式中
=L/R 为该电路的时间常数。电感的电压
uL = L
diL dt
= －RI0e t /
t≥0
uL 则为
（7-28）
i(t) +
uR(t) –
图7-2 已充电的电容与电阻连接
图7-3 t≥0时的电路，uC(0) = U0
经过换路，我们就得到图7-3所示的电路：一个电阻和一个 充过电的电容。在 t≥0 时电路虽无电源，但在电容储能的作用 下，仍可以有电流、电压存在，构成零输入响应。
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=
5 24
e–
t
12 A
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i2(t) =
5 6
e–
tBiblioteka Baidu12
12 12+4
=
15 24
e–
t
12 A
uab(t) = －4i1(t) + 3i2(t) =
25 24
e–
t 12
V
t≥0
c
R1
+
R2
R4
ab
– 10e–t/12 V
R3
R5
R1=9, R2=4, R3=8, R4 =3, R5=1 图7-12 用电压源置换电容后所 得的电阻电路，t≥0
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uC(t) = Ue – t /
t≥0, ＝ (R1+R2)C
i(t) = －C
duC dt
=
U e–t/ R1+R2
t≥0
例7-3 电路如图7-11所示， 已知R1=9, R2=4, R3=8, R4
c R1
=3, R5=1。t=0时开关断开，
求uab(t)，t≥0。
解：在t=0– 时，在开关断开前 的瞬间， uC(0–)=10V， iC(0–)= 0 (电容隔直流)；在t=0+ 时，在
+
R2
+
– 10V uC – 1F
R3
ab
R4 R5
开关断开后的瞬间，由于电容
电压不能突变，故uC(0+)= uC(0– )= 10V，而iC(0+)≠iC(0–)=0。
d 图7-11 例7-3
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根据7-1节所述的方法，应先
求出uC(t)，t≥0。为此，需求出 cd 端右边网络的等效电阻，得
Rcd = 9 +
(4+8)×(3+1) (4+8)+(3+1)
= 12
= RcdC = 12×1 = 12s
c
R1
+
R2
R4
ab
– 10e–t/12 V
R3
从物理概念上讲， L 越小意味着储能越少，可供电阻消耗 的时间越短。R 越大则电阻的耗能功率越大，因而储能也更快 地被电阻消耗掉。
由以上分析可知：零输入响应在输入为零时，由非零初始状态 产生的，它取决于电路的初始状态和电路的特性。
不论是 RL 电路，还是 RC 电路，零输入响应都是按指数 规律衰减到零的。 RC 电路的 uC(t) 总是从 uC(0) 开始衰减； RL 电路的 iL(t) 总是从 iL(0) 开始衰减； 对一阶电路来说电路特性是通过时间常数 来体现的。对 RC 电路 =RC，对 RL 电路 =L/R。
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在t=0的瞬间，电容脱离电源，连接电阻，此刻电容电压为
多少呢？根据电容电压不能突变这个基本准则，显然，这一瞬
间的电容电压仍然为 U0 。
在此瞬间，电流将从 0 一跃而变为
U0/R ！此后通过电阻放电，电压和电流都 逐渐减少，最后变为零。所储存的电能被
电阻消耗并转化为热能散发掉。
+ uC(t)