人教备战中考数学提高题专题复习旋转练习题含详细答案

一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

（1）请问EG与CG存在怎样的数量关系，并证明你的结论；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（请直接写出结果，不必写出理由）

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）结论仍然成立

【解析】

【分析】

（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．

（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明

△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．

（3）结论依然成立．

【详解】

（1）CG=EG．理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCF=90°．在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG=1

2

FD，

同理．在Rt△DEF中，EG=1

2

FD，∴CG=EG．

（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．

证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．

在△DAG与△DCG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG（SAS），∴AG=CG；

在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG （ASA），∴MG=NG．

∵∠EAM=∠AEN=∠AMN=90°，∴四边形AENM是矩形，在矩形AENM中，AM=EN．在△AMG与△ENG中，∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，∴△AMG≌△ENG（SAS），∴AG=EG，∴EG=CG．

证法二：延长CG至M，使MG=CG，连接MF，ME，EC．在△DCG与△FMG中，

∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG≌△FMG，∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，

∴MF∥CD∥AB，∴EF⊥MF．

在Rt△MFE与Rt△CBE中，∵MF=CB，∠MFE=∠EBC=90°，EF=BE，∴△MFE≌△CBE

∴∠MEF=∠CEB，∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，∴△MEC为直角三角形．

∵MG=CG，∴EG=1

MC，∴EG=CG．

2

（3）（1）中的结论仍然成立．理由如下：

过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N．

由于G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD=FM，又因为BE=EF，易证

∠EFM=∠EBC，则△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC

∵∠FEC+∠BEC=90°，∴∠FEC+∠FEM=90°，即∠MEC=90°，∴△MEC是等腰直角三角形．∵G为CM中点，∴EG=CG，EG⊥CG

【点睛】

本题是四边形的综合题．（1）关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；（2）关键是利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质解答．

2．在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(4，4)，点M，N是射线OC上两动点(OM＜ON)，且运动过程中始终保持∠MAN＝45°，小明用几何画板探究其中的线段关系．

(1)探究发现：当点M，N均在线段OB上时(如图1)，有OM2+BN2＝MN2．

他的证明思路如下：

第一步：将△ANB绕点A顺时针旋转90°得△APO，连结PM，则有BN＝OP．

第二步：证明△APM≌△ANM，得MP＝MM．

第一步：证明∠POM＝90°，得OM2+OP2＝MP2．

最后得到OM2+BN2＝MN2．

请你完成第二步三角形全等的证明．

(2)继续探究：除(1)外的其他情况，OM2+BN2＝MN2的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

(3)新题编制：若点B是MN的中点，请你编制一个计算题(不标注新的字母)，并直接给出答案(根据编出的问题层次，给不同的得分)．

【答案】(1)见解析；(2)结论仍然成立，理由见解析；(3)见解析.

【解析】

【分析】

（1）将△ANB绕点A顺时针旋转90°得△APO，连结PM，则有BN=OP．证明

△APM≌△ANM，再利用勾股定理即可解决问题；

（2）如图2中，当点M，N在OB的延长线上时结论仍然成立．证明方法类似（1）；（3）如图3中，若点B是MN的中点，求MN的长．利用（2）中结论，构建方程即可解决问题．

【详解】

（1）如图1中，将△ANB绕点A顺时针旋转90°得△APO，连结PM，则有BN＝OP．

∵点A(0，4)，B(4，4)，

∴OA＝AB，∠OAB＝90°，

∵∠NAP＝∠OAB＝90°，∠MAN＝45°，

∴∠MAN＝∠MAP，

∵MA＝MA，AN＝AP，

∴△MAN≌△MAP(SAS)．

（2）如图2中，结论仍然成立．

理由：如图2中，将△ANB绕点A顺时针旋转90°得△APO，连结PM，则有BN＝OP．

∵∠NAP ＝∠OAB ＝90°，∠MAN ＝45°，

∴∠MAN ＝∠MAP ，

∵MA ＝MA ，AN ＝AP ，

∴△MAN ≌△MAP(SAS)，

∴MN ＝PM ，

∵∠ABN ＝∠AOP ＝135°，∠AOB ＝45°，

∴∠MOP ＝90°，

∴PM 2＝OM 2+OP 2，

∴OM 2+BN 2＝MN 2；

（3）如图3中，若点B 是MN 的中点，求MN 的长．

设MN ＝2x ，则BM ＝BN ＝x ，

∵OA ＝AB ＝4，∠OAB ＝90°，

∴OB ＝2，

∴OM ＝2﹣x ，

∵OM 2+BN 2＝MN 2．

∴2﹣x)2+x 2＝(2x)2，

解得x ＝﹣26或﹣2﹣6(舍弃)

∴MN ＝﹣26．

【点睛】

本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

3．（探索发现）

如图，ABC ∆是等边三角形，点D 为BC 边上一个动点，将ACD ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到AEF ∆，连接CE .小明在探索这个问题时发现四边形ABCE 是菱形. 小明是这样想的：