对勾函数最值的十种求法

关于求函数()01>+=x x

x y 最小值的十种解法 一、 均值不等式

0>x ，∴21≥+=x x y ，当且仅当x

x 1=，即1=x 的时候不等式取到“=”。 ∴当1=x 的时候，2min =y

二、∆法

0112=+-⇒+=yx x x

x y 若y 的最小值存在，则042≥-=∆y 必需存在，即2≥y 或2-≤y （舍）

找到使2=y 时，存在相应的x 即可。

通过观察当1=x 的时候，2min =y

三、单调性定义

设210x x <<

()()()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=-+-=-21212121211111x x x x x x x x x f x f ()2121211x x x x x x --= 当对于任意的21,x x ，只有21,x x (]1,0∈时，()()21x f x f -0>，∴此时()x f 单调递增； 当对于任意的21,x x ，只有21,x x ()+∞∈,1时，()()21x f x f -0<，∴此时()x f 单调递减。 ∴当1=x 取到最小值，()21min ==f y

四、复合函数的单调性

2112

+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=+=x x x x y x x t 1

-=在()+∞,0单调递增，22+=t y 在()0,∞-单调递减；在[)+∞,0单调递增 又 ∈x ()1,0()0,∞-∈⇒t ∈x [)+∞,1[)+∞∈⇒,0t

∴原函数在()1,0上单调递减；在[)+∞,1上单调递增

即当1=x 取到最小值，()21min ==f y

五、求一阶导

2'111x

y x x y -=⇒+= 当()1,0∈x 时，0'y ，函数单调递增。

∴当1=x 取到最小值，()21min ==f y

六、三角代换

令αtan =x ，⎪⎭

⎫ ⎝⎛∈2,0πα，则αcot 1=x α

αα2sin 2cot tan 1=+=+=x x y ⎪⎭⎫ ⎝

⎛∈2,0πα()πα,02∈⇒ ∴当4π

α=，即22π

α=时，()12sin max =α，2min =y ，显然此时1=x

七、向量

x x x x y ⋅=⋅+⋅=+=1111， ()1,1,1,=⎪⎭

⎫ ⎝⎛=x x

⋅θ

=θ 根据图象，为起点在原点，终点在x

y 1=()0>x

θ的几何意义为a 在b 上

的投影，显然当=θ取得最小值。

此时，1=x ，222min =⋅=y

八、图象相减

⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=+=x x x x y 11，即y 表示函数x y =和x y 1-=两者之间的距离 求min y ，即为求两曲线竖直距离的最小值

平移直线x y =，显然当x y =与x

y 1-=相切时，两曲线竖直距离最小。

x y 1-=关于直线x y -=轴对称，若x y =与x

y 1-=在1>x 处有一交点，根据对称性，在10<

个交点，即此时x y =与x

y 1-=相交。显然不是距离最小的情况。

所以，切点一定为()1,1-点。

此时，1=x ，2min =y

九、平面几何 依据直角三角形射影定理，设x EB x AE 1,=

=，则x x AD AB 1+== 显然，x

x 1+为菱形的一条边，只用当AD AB ⊥，即AD 为直线AB 和CD 之间的距离时，

x

x 1+

取得最小值。即四边形ABCD 为矩形。 此时，x x 1=，即1=x ，2min =y 十、对应法则

设()[]t x f =min

()=2x f 221x

x + ()+∞∈,0x ，()+∞∈,02x ，对应法则也相同

∴()[]t x f =min 2

()()211222++=⇒+

=x

x x f x x x f 左边的最小值=右边的最小值 ∴122-=⇒+=t t t （舍）或2=t

当2

x P x ==，即1=x 时取到最小值，且2min =y

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