对勾函数练习题
高中特殊函数(取整与超越函数、绝对值与对勾、双刀函数、蛙跳函数)
专题1 对勾函数、双刀函数题型1对勾函数(因其图象类似于耐克标志，所以也称耐克函数。
)双刀函数对勾函数：一般式：y = ax + -(x^O)(a% b>0)Q性质：x①定义域：xe R,xW。
②奇偶性：奇函数；③单调区间：单调递增区间,、因+sj ,单调递减区间：双刀函数：一般式：y = ax + -(x^O)(a %〃异号),性质：x①定义域：xeR,xW。
;②奇偶性：奇函数；③单调区间：当〃>0、〃<0时，在(―s,O)(O, + s)单调递增；当〃<0、〃:>0时，在(―s,O)(O,+8)单调递减；1 .函数y = — 的图象大致是 ( )【解析】等价于分段函数：)，= <"r ,选。
jU>l)2 .已知函数/(x)=llgxl,若4 H 〃且/(") = /(〃)，则4+〃的取值范围是 【解析】v f(a) = f(b) ,舍去)或,必=1 , .,.4 + b = 4 + 1 >24.函数/(x)=— 的最大值为 ______________x + \ 【解析】/(X)= ―,分母最小值为2，则最大值为:6+不一5…、厂-4x + 55.已知x 2 —,则 /(x)=——■— ___________2 2x-4【解析】/(x) = -(x-2 + —),由对勾曲线或基本不等式可求得最小值是12 x-249 .(2019年新高考江苏卷)在平面直角坐标系xQv 中，P 是曲线y = x +—(x>0)上的一个动点，则点P 到直 x线X+产0的距离的最小值是 o方法二：y =1 —二=一1 ,得切点卜反3夜)，贝!14面=4 厂 10 .(2020年新课标全国卷U10)设函数/(工)=/一］，则“X)()X人是奇函数，且在(0,+8)单调递增 8.是奇函数，且在(0,+8)单调递减【解析】选A4方法一：设P X,X + — X，则2x + -x>4°C 是偶函数，且在(0,+8)单调递增D 是偶函数，且在(0,+8)单调递减专题2 取整函数与小数函数、绝对值函数、狄克莱克函数、符号函弟题型1取整函数与小数函数。
基本不等式—最值—对勾函数耐克函数(学案 附答案)
基本不等式——形式一：a b +≥(a>0,b>0)____a b +（ ）——形式二：2a b+≥ (a__0,b__0)__(a >0,b >0)2a b + ——形式三：22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（ ）(a>0,b>0)2a b+≤2a b+？ 用分析法证明：要证2a b+ （1） 只要证 a b +≥ （2）要证（2），只要证____0a b +-≥ （3） 要证（3），只 要证2(__________)0-≥ （4）显然（4）是成立的. 当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立.探究3：使用基本不等式的三个条件：一正二定三相等思考：（1）已知y=x+x1 ( x>0 ) ，求y 的范围.（2）已知y=x+x1( x≠0 ) ，求y 的范围.例题拓展【例1 】已知0x >，则xx 432++的最小值是________。
【 例2 】下列不等式一定成立的是 （ ）A ．xy y x 2≥+B ．21≥+xx C ．xy y x 222≥+ D ．xyxy y x 12≥+【 例3 】下列结论中，错用基本不等式做依据的是（ ）基础回顾1、对于____ _ ,a b ,有22____2a b ab +,当且仅当____ _ 时，等号成立.2、基本不等式：对于____ _,a b ,则2a b+___ _时，不等式取等号.注意：使用基本不等式时，应具备三个条件：____ _ ____ _【例1 】（1）已知x >0，且y = x ＋81x，x =_________时，y 取最小值 （2）已知0x >，则xx 432++的最小值是________。
（3）y x x=++23122的最小值是（4）a+b=2，则3a +3b 的最小值是______________（5）a+2b=4，则3a +9b 的最小值是______________【 例2】设x ，y 为正数， 求14()()x y x y++的最小值【例4 】若0,0,x y >>且211x y+=，则2x y +的最小值为________练兵场：1、函数y =31-x + x (x>3) 的最小值是_________。
应用题专题训练函数（对勾函数）
应用题专题训练函数（对勾函数）应用题综合复习----对勾函数1、甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元。
①把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出函数的定义域；②为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？2、某森林出现火灾，火势正以每分钟2m100的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火2m50，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元．（1）设派x名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，试建立t 与x的函数关系式；（2）问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？123、某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场。
如图，运动场是由一个矩形ABCD 和分别以AD 、BC 为直径的两个半圆组成。
跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮。
已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元(1) 设半圆的半径OA=r (米),试建立塑胶跑道面积S 与r 的函数关系S(r )(2) 由于条件限制[]30,40r ∈,问当r 取何值时,运动场造价最低?（精确到元）4、已知某种稀有矿石的价值y （单位：元）与其重量ω（单位：克）的平方成正比，且3克该种矿石的价值为54000元。
⑴写出y （单位：元）关于ω（单位：克）的函数关系式；⑵若把一块该种矿石切割成重量比为1:3的两块矿石，求价值损失的百分率；⑶把一块该种矿石切割成两块矿石时，切割的重量比为多少时，价值损失的百分率最大。
（注：价值损失的百分率100%-=?原有价值现有价值原有价值；在切割过程中的重量损耗忽略不计）5、国家加大水利工程建设，某地区要修建一条灌溉水渠，其横断面为等腰梯形（如图），底角A为060，考虑到坚固性及用料原因，要求其横断面的面积为63平方米，记水渠深为x米，用料部分的周长（即渠底BC及两腰长的和）为y米，⑴．求y关于x的函数关系式，并指出其定义域；⑵．当水渠的腰长x为多少米时，水泥用料最省（即断面的用料部分的周长最小）？求此时用料周长的值⑶.如果水渠的深限制在3,3范围内时，横断面用料部分周长的最小值是多少米？6、因客流量临时增大, 某鞋店拟用一个高为50㎝（即EF=50㎝）的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜. 根据经验,一般顾客AB的眼睛B到地面的距离(cm) x在区间[140,180]内. 设支架FG高为(090)h h<<㎝, 100AG=㎝, 顾客可视的镜像范围为CD(如图所示), 记CD的长度为y （y GD GC=-）.(1) 当40h=㎝时, 试求y关于x的函数关系式和y的最大值；(2) 当顾客的鞋A在镜中的像1A满足不等关系1GC GA GD<≤（不计鞋长）时, 称顾客可在镜中看到自己的鞋. 若使一般顾客都能在镜中看到自己的鞋, 试求h的取值范围.第6题ABC DEFG A1·347、某城市坐落在一个三角形海域的顶点O 处（如图），一条海岸线AO 在城市O 的正东方向，另一条海岸线OB 在城市O 北偏东)3 1(tan =θθ方向，位于城市O 北偏东3(cos )25παα-=方向15km 的P 处有一个美丽的小岛. 旅游公司拟开发如下一条旅游观光线路：从城市O 出发沿海岸线OA 到达C 处，再从海面直线航行，途经小岛P 到达海岸线OB 的D 处，然后返回城市O. 为了节省开发成本，要求这条旅游观光线路所围成的三角形区域面积最小，问C 处应选址何处？并求这个三角形区域的最小面积.8、某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p （万元）和宿舍与工厂的距离()x km 的关系为：(08)35kp x x =≤≤+，若距离为1km 时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设()f x 为建造宿舍与修路费用之和．（I ）求()f x 的表达式；（II ）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用()f x 最小，并求最小值．APB D北（第7题图）59、在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业.其用氧量包含3个方面:①下潜时,平均速度为v (米/单位时间),单位时间内用氧量为2cv (c 为正常数);②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为;③返回水面时,平均速度为2v(米/单位时间), 单位时间用氧量为.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为y . (1)将y 表示为v 的函数;(2)设0<="" p="" ≤5,试确定下潜速度v="">10、某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．（Ⅰ）求该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用y （万元）；（Ⅱ）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？11、某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x (x∈*N)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为310500xa-万元(a＞0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高%．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？12、为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：()()01035C x xx=≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及()f x的表达式；6（Ⅱ）隔热层修建多厚对，总费用()f x达到最小，并求最小值．13、围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)。
对勾函数讲解与例题解析
对勾函数对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+ 错误!未找到引用源。
的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误!未找到引用源。
（接下来写作f(x)=ax+b/x）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ab同号）当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）对勾函数的图像（ab异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，错误!未找到引用源。
当x<0时，错误!未找到引用源。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六)对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、均值不等式(基本不等式） 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
微专题14 幂函数与对勾函数(原卷版)
微专题14幂函数与对勾函数【方法技巧与总结】知识点一、幂函数概念形如y x α=的函数，叫做幂函数，其中α为常数．知识点诠释：幂函数必须是形如y x α=的函数，幂函数底数为单一的自变量x ，系数为1，指数为常数．例如：4223,1,(2)y x y x y x ==+=-等都不是幂函数．知识点二、幂函数的图象及性质1、作出下列函数的图象：（1）y x =；（2）12y x =；（3）2y x =；（4）1y x -=；（5）3y x =．知识点诠释：幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：（1）所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都过点()1,1；（2）0α>时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,)+∞上是增函数．特别地，当1α>时，幂函数的图象下凸；当01α<<时，幂函数的图象上凸；（3）0α<时，幂函数的图象在区间(0,)+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．知识点三、对勾函数的图象及性质（1）定义域：(,0)(0,)-∞⋃+∞；（2）值域：(,)-∞-⋃+∞；（3）奇偶性：奇函数，函数图象整体呈两个“对勾”的形状，且函数图象关于原点呈中心对称，即()()0f x f x +-=；（4）图象在一、三象限，当0x >时，b y ax x =+（当且仅当x =，即()f x 在x =；由奇函数性质知：当0x <时，()f x 在x =时，取最大值-；（5）单调性：增区间为,,⎫⎛+∞-∞⎪ ⎪ ⎭⎝，减区间是,⎛⎛⎫⎪ ⎪⎝⎝⎭．当0,0a b <<时，类同．【题型归纳目录】题型一：幂函数的定义、性质与图像题型二：对勾函数的图象及性质【典型例题】题型一：幂函数的定义、性质与图像例1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数())2()x a f x x x a ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，若函数()f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围为（）A ．(1,0)-B ．(1,0]-C ．[1,0)-D ．[1,0]-例2．（2022·全国·高一课时练习）已知R α∈，则函数2()1x f x x a=+的图像不可能是（）A ．B ．C ．D ．例3．（2022·全国·高一单元测试）已知幂函数()y f x =的图象经过点14,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，则()y f x =的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．例4．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数()y f x =的图象过点24⎛ ⎝⎭，则下列关于()f x 说法正确的是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．在(0,)+∞单调递减D ．定义域为[0,)+∞例5．（多选题）（2022·全国·高一单元测试）已知幂函数()f x 的图象经过点()9,3，则（）A ．函数()f x 为增函数B ．函数()f x 为偶函数C ．当4x ≥时，()2f x ≥D ．当210x x >>时，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭例6．（2022·全国·高一课时练习）幂函数()()226633mm f x m m x-+=-+在()0,∞+上单调递减，则m 的值为______．例7．（2022·全国·高一期中）已知幂函数()223()pp f x x p N --*=∈的图像关于y 轴对称，且在()0+∞，上是减函数，实数a 满足()()233133ppa a -<+，则a 的取值范围是_____．例8．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()2231m m f x m m x+-=--是幂函数，对任意的1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，若a ，R b ∈，且()()0f a f b +<，则a b +______0（填“＞”“＝”或“＜”）．例9．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数()()2253m f x m m x =-+的定义域为全体实数R.(1)求()f x 的解析式；(2)若()31f x x k >+-在[]1,1-上恒成立，求实数k 的取值范围.例10．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数22()()mm f x x m Z --=∈是偶函数，且在()0,∞+上是减函数，求函数()f x 的解析式．例11．（2022·广西河池·高一阶段练习）已知幂函数2242()(1)mm f x m x ++=+在(0,)+∞上单调递增，函数()2x g x k -=+．(1)求实数m 的值；(2)当[1,2)x ∈-时，设(),()f x g x 的值域分别为A ，B ，若A B B =，求实数k 的取值范围．例12．（2022·全国·高一学业考试）已知幂函数()f x x α=的图象经过点(，则α=______，若()()1f a f a ->+，则实数a 的取值范围是______．题型二：对勾函数的图象及性质例13．（2022·重庆复旦中学高一期中）因函数()0ty x t x=+>的图象形状像对勾，我们称形如“()0ty x t x=+>”的函数为“对勾函数”，该函数具有性质：在(上是减函数，在)+∞上是增函数．(1)若函数()4h x x x=+，[]1,2x ∈，求()h x 的最值；(2)已知()42521f x x x =+--，[]1,3x ∈，利用上述性质，求函数()f x 的单调区间和值域；(3)对于（2）中的函数()f x 和函数()24g x x mx =-+，若对任意[]11,3x ∈，总存在[]21,3x ∈，使得()()21g x f x =成立，求实数m 的取值范围．例14．（2022·河南洛阳·高一期中）因函数ty x x=+(t >0)的图象形状象对勾，我们称形如“ty x x=+(t >0)”的函数为“对勾函数”该函数具有性质：在]上是减函数，在,+∞)上是增函数.（1）已知()[]425,1,321f x x x x =+-∈-，利用上述性质，求函数()f x 的单调区间和值域；（2）对于（1）中的函数()f x 和函数()24g x x mx =-+，若对任意1x ∈[1,3]，总存在2x ∈[1,3]，使得()()21g x f x <成立，求实数m 的取值范围.例15．（2022·贵州省思南中学高一阶段练习）已知（双勾函数）()()(0),0af x x a x R x x=+>∈≠，．（1）利用函数的单调性证明()f x 在()0+∞上的单调性；（2）证明f （x ）的奇偶性；（3）画出()()40g x x x x x=+∈≠R ，的简图，并直接写出它单调区间．例16．（2022·山东济南·高一期中）形如()(0)af x x a x=+>的函数，我们称之为“对勾函数”，“对勾函数”具有如下性质：该函数在(上单调递减，在)+∞上单调递增.已知函数()(0)af x x a x=+>在[]2,4上的最大值比最小值大1，则=a ________.例17．（2022·河北易县中学高一期中）已知勾函数2(0)a y x a x=+>在(,)a -∞-和(,)a +∞内均为增函数，在(,0)a -和(0,)a 内均为减函数．若勾函数()(0)tf x x t x=+>在整数集合Z 内为增函数，则实数t 的取值范围为___________．【过关测试】一、单选题1．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数()223*N m m y xm --=∈的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上单调递减，则满足()()33132mma a --+<-的a 的取值范围为（）A ．()0,∞+B ．2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭2．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()2222m f x m m x -=--⋅是幂函数，且在()0,∞+上递增，则实数m =（）A ．－1B ．－1或3C ．3D ．23．（2022·全国·高一）若幂函数()f x的图像经过点(，则下列结论正确的是（）A ．()f x 为奇函数B ．若210x x >>，则()()2211x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()f x 为偶函数D ．若210x x >>，则()()121222f x f x x xf ++⎛⎫> ⎪⎝⎭4．（2022·广东·揭阳华侨高中高一期中）已知函数223()(1)mm f x m m x +-=--是幂函数，且,()0x ∈+∞时，f (x )是增函数，则m 的值为（）A ．-1B ．2C ．-1或2D ．35．（2022·全国·高一专题练习）已知0a ≠，若()2021202120a b a a b ++++=，则ba=（）A ．－2B ．－1C ．12-D ．26．（2022·全国·高一课时练习）幂函数()()22251mm f x m m x +-=--在区间()0,∞+上单调递增，且0a b +>，则()()f a f b +的值（）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断7．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()53352f x x x x =+++，若()()214f a f a +->，则实数a 的取值范围是（）A ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(),3-∞D ．()3,+∞二、多选题8．（2022·广东揭阳·高一期末）已知幂函数()y f x =的图象经过点(9,3)，则下列结论正确的有（）A ．()f x 为偶函数B ．()f x 为增函数C ．若1x >，则()1f x >D ．若210x x >>，则()()121222f x f x x xf ++⎛⎫> ⎪⎝⎭9．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数()()2mf x m x =-，则（）A ．3m =B ．定义域为[)0,∞+C ．(1.5)(1.4)m m-<-D 2=10．（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期末）已知,,a b c ∈R ，且a b >，则下列式子一定成立的是（）．A ．22ac bc >B ．11a b<C ．a c b c->-D 11．（2022·福建福州·高一期中）方程2210x x +-=的解可视为函数2y x =+的图象与函数1y x=的图象交点的横坐标，若方程440x ax +-=的各个实根12,,,(4)k x x x k ≤所对应的点()4,(1,2,,)ii x i k x =均在直线y x =的同侧，则实数a 可能取值是（）.A ．8-B ．6-C ．4D ．12三、填空题12．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数()()213m f x m x -=-在()0,∞+内是单调递减函数，则实数m =______．13．（2022·山东济宁·高一期末）已知()y f x =是奇函数，当0x ≥时，()()23f x x m m =+∈R ，则()8f -=______．14．（2022·全国·高一课时练习）设幂函数()f x 同时具有以下两个性质：①函数()f x 在第二象限内有图象；②对于任意两个不同的正数a ，b ，都有()()0f a f b a b-<-恒成立.请写出符合上述条件的一个幂函数()f x =___________.15．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数()223m m y x m N --*=∈的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上单调递减，则满足()()33132mma a --+<-的a 的取值范围为________.四、解答题16．（2022·安徽·池州市贵池区乌沙中学高一期中）已知幂函数()f x 的图像过点(16,4).(1)求1()(2)2f f +的值；(2)证明：函数1()()()g x f x f x =-是增函数.17．（2022·上海市大同中学高一期末）已知幂函数()21()2m f x m m x +=-为偶函数，()()(0,)kg x f x x k x=+≠∈R ．(1)求()y f x =的解析式；(2)判断函数()y g x =的奇偶性，并说明理由；(3)若函数()y g x =在[1,)+∞上是严格增函数，求k 的取值范围．18．（2022·云南·祥云祥华中学高一期末）已知幂函数()()()22322k kf x m m x k Z -=-+∈是偶函数，且在()0,+∞上单调递增.(1)求函数()f x 的解析式.(2)若()()212f x f x -<-，求x 的取值范围.。
新人教版高中数学必修第一册反比例函数对勾函数ppt课件及课时作业
因为 0<x1<x2≤ a， 所以x1－x2<0,0<x1x2<a， 所以x1ax2>1， 所以 1－x1ax2<0， 所以f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2). 所以 f(x)在(0， a]上单调递减.
任取 x1，x2∈( a，＋∞)，且 x1<x2，
则 f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)1－x1ax2. 因为x1－x2<0，x1x2>a， 所以x1ax2<1，所以 1－x1ax2>0， 所以f(x1)－f(x2)<0，所以f(x1)<f(x2). 所以 f(x)在( a，＋∞)上单调递增. 同理，f(x)在(－∞，－ a)上单调递增，在(－ a，0)上单调递减. 其图象如图所示.
反思感悟
研究反比例函数的几个方面 (1)函数的定义域和值域可以由图象直接得到. (2)由图象或者单调性的定义可以判断函数的单调性，但一定要注 意两个单调递增(减)区间的连接方法. (3)由图象或者奇偶性的定义可以判断函数的奇偶性. (4)函数图象关于(0,0)中心对称.
跟踪训练1 作出y＝2x (－2≤x<1且x≠0)的图象，并指出其值域和单调区间.
当 0<a≤4 时，0< a≤2，函数 f(x)在[2，＋∞)上单调递增， f(x)min＝f(2)＝a2； 当 a>4 时， a>2，函数 f(x)在[2， a)上单调递减， 在( a，＋∞)上单调递增，
f(x)min＝f( a)＝2 a－2. 设f(x)的最小值为g(a)， ∴g(a)＝2a，0<a≤4，
∵f(x)在[1,3]上单调递增，∴f(x)的最小值为f(1)＝2.
12425-915079-8对勾函数模型解题 (2)
712对勾函数模型解题
参考答案与试题解析
一．选择题（共19小题）
1．（2014•重庆）若log4（3a+4b）=log2 ，则a+b的最小值是（ ）
A．6+2 B．7+2 C．6+4 D．7+4
【解答】解：∵3a+4b＞0，ab＞0，
712对勾函数模型解题
一．选择题（共19小题）
1．若log4（3a+4b）=log2 ，则a+b的最小值是（ ）
A．6+2 B．7+2 C．6+4 D．7+4
2．若实数a、b满足a+b=2则2a+2b的最小值是（ ）
A．8B．4C．2 D．2
3．已知x＞0，y＞0，若 恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥4或m≤﹣2B．m≥2或m≤﹣4C．﹣2＜m＜4D．﹣4＜m＜2
4．已知两正数x，y满足x+y=1，则z= 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知二次函数f（x）=ax2+2x+c的值域是[0，+∞），那么 的最小值是（ ）
A．1B．2C． D．3
6．若实数x、y满足4x+4y=2x+1+2y+1，则t=2x+2y的取值范围是（ ）
A．1B． C．2D．2
【解答】解：根据题意，若a，b∈R，且ab＞0，
则 ＞0且 ＞0，
+ ≥2 =2，
即 + 的最小值是2；
故选ห้องสมุดไป่ตู้C．
对勾函数讲解与例题解析
对勾函数对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+错误！未找到引用源。
的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误！未找到引用源。
（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a ≠0，b ≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号）对勾函数的图像（ab 异号）接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，错误！未找到引用源。
当x<0时，错误！未找到引用源。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六) 对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数，二、均值不等式(基本不等式） 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
北师版高考数学一轮总复习课后习题 课时规范练12 幂函数、对勾函数及一次分式函数
课时规范练12 幂函数、对勾函数及一次分式函数基础巩固练1.(河北邯郸模拟)已知幂函数f(x)满足f(6)f(2)=4,则f(13)的值为( )A.2B.14C.-14D.-22.(上海浦东模拟)设m∈R,若幂函数y=x m2-2m+1定义域为R,且其图象关于y轴对称,则m的值可以为( )A.1B.4C.7D.103.(浙江余姚模拟)函数y=cosx+12cosx-1的值域是( )A.(-∞,0]∪[4,+∞)B.(-∞,0]∪[2,+∞)C.[0,4]D.[0,2]4. (山西阳泉模拟)图中C1,C2,C3为三个幂函数y=xα在第一象限内的图象,则解析式中指数α的值依次可以是( )A.0.5,2,-1B.-1,2,0.5C.0.5,-1,2D.-1,0.5,25.(陕西西安检测)已知函数f(x)=x α,g(x)=x β,其中(12,f(12)),N(14,f(14)),P(12,g(12)),Q(14,g(14))满足|MP|=|NQ|,则( )A.4α-4β=2α+βB.4α+4β=2α+βC.2α-2β=2α+βD.2α+2β=2α+β6.(多选题)(江苏盐城模拟)已知函数f(x)=4x+1x -2,则下列结论正确的是( )A.f(x)的值域是{y|y≠4}B.f(x)图象的对称中心为(2,0)C.f(2 026)+f(-2 022)=8D.f(2 023)+f(-2 019)=8 7.(辽宁大连模拟)函数f(x)=2√x 2+5的值域为 .8. (福建厦门模拟)幂函数y=x a ,当a 取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图),设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y=x a ,y==MN=NA,那么ab= .9.(安徽安庆模拟)若函数f(x)=2x+1x -2在区间[a,b]上的最大值和最小值分别为13和-3,则a-b= .综合 提升练10.(多选题)(江苏南京模拟)已知函数f(x)=2|x |1+x 2,下列结论正确的有( )A.f(x)在区间(1,+∞)单调递增B.f(x)图象关于y 轴对称C.f(x)在定义域内只有1个零点D.f(x)的值域为[0,1] 11.(山西太原模拟)函数f(x)=4+3sinx 2-sinx的值域为 .12.(江苏淮安模拟)已知函数f(x)=(1x) 110,若f(a-1)<f(8-2a),则a 的取值范围是 .创新 应用练13.(重庆八中检测)已知x≥3y>0,则x 2+y 2xy -y 2的最小值是( )A.2√2B.2√2+2C.3D.514.(福建泉州模拟)已知函数y=f(x+1)-3为奇函数,g(x)=3x-2,f(x)与g(x)x-1的图象有8个交点,分别为(x1,y1),(x2,y2),…,(x8,y8),则(y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8)-(x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8)= .课时规范练12 幂函数、对勾函数及一次分式函数1.B 解析依题意,设f(x)=x α,则f (6)f (2)=6α2α=3α=4,所以f(13)=(13)α=13α=14,故选B.2.C 解析由题意知m 2-2m+1>0⇒m≠1,因为其图象关于y 轴对称,所以函数为偶函数,则结合选项m 的值可以为7,故选C.3.B 解析令cosx=t,则t ∈[-1,12)∪(12,1],则y=t+12t -1=12(2t -1)+322t -1=12+32·12t -1,可得2t-1∈[-3,0)∪(0,1],12t -1∈(-∞,-13]∪[1,+∞),32·12t -1∈(-∞,-12]∪[32,+∞),所以y ∈(-∞,0]∪[2,+∞),故选B.4. D 解析在坐标系中,作直线x=12,分别交曲线C 3,C 2,C 1于A,B,C 三点,则y A <y B <y C ,又(12)2=14<√22=(12)0.5<2=(12)-1,则点A 在幂函数y=x 2图象上,点B 在幂函数y=x 0.5图象上,点C 在幂函数y=x -1图象上,则曲线C 1,C 2,C 3对应的指数分别为-1,0.5,2,故选D.5.D 解析因为|MP|=|NQ|,且0<α<1,β>1,故12α−12β=14α−14β=(12α−12β)(12α+12β).故12α+12β=1,则2α+2β=2α+β,故选D.6.ACD 解析由f(x)=4(x -2)+9x -2=4+9x -2,则定义域为{x|x≠2},值域为{y|y≠4},所以点(2,4)是f(x)图象的对称中心,因此f(x)+f(4-x)=8,则f()+f(-)=f()+f(-)=8,综上,ACD 正确,B 错误,故选ACD.7.[6√55,+∞)解析由于f(x)=2√x 2+5=2√x 2+5=√x 2+5+√x 2+5,令√x 2+5=t,则t ≥√5且y=t+1t ,由于y=t+1t 在区间[1,+∞)上单调递增,所以y=t+1t 在区间[√5,+∞)上单调递增,故当t=√5时y=t+1t取最小值√5+√5=6√55.所以f(x)的值域为[6√55,+∞). 8.1 解析依题意,BM=MN=NA,所以M,N 是线段AB 的三等分点,而A(1,0),B(0,1),所以M(13,23),N(23,13),所以(13)a =23,(23)b =13,a=lo g 1323,b=lo g 2313,ab=lo g 1323·lo g 2313=1.9.-2 解析由于f(x)=2x+1x -2=2x -4+5x -2=2+5x -2,依题意必有[a,b]⊆(-∞,2),且在区间[a,b]上单调递减,于是{f (a )=2a+1a -2=13,f (b )=2b+1b -2=-3,解得a=-1,b=1,故a-b=-2.10.BCD 解析由于f(2)=45,f(3)=35,所以f(2)>f(3),因此f(x)在区间(1,+∞)内不是单调递增的,故A 错误;易知f(x)定义域为R,且f(-x)=2|-x |1+(-x )2=2|x |1+x 2=f(x),所以f(x)为偶函数,因此图象关于y 轴对称,故B 正确;令f(x)=0即2|x |1+x 2=0,得x=0,因此f(x)在定义域内只有1个零点,故C 正确;当x ∈(0,+∞)时,f(x)=2x 1+x 2=21x+x,由基本不等式可得x+1x≥2,当且仅当x=1时,等号成立,所以0<1x+1x≤12,所以当x ∈(0,+∞)时,0<f(x)≤1,又f(0)=0,函数f(x)为偶函数,所以f(x)的值域为[0,1],故D 正确,故选BCD.11.[13,7] 解析设t=sinx,则-1≤t≤1,且y=4+3t 2-t=-3+82-t,函数y=4+3t 2-t图象的两条渐近线分别为t=2和y=-3,且过点(0,2),所以由图象(图略)可知y=4+3t 2-t在区间[-1,1]上单调递增,故y max =7,y min =13,从而f(x)的值域为[13,7].12.(3,4) 解析由于f(x)=(1x ) 110=x-110,可得函数f(x)的定义域为(0,+∞),且在定义域上单调递减,因为f(a-1)<f(8-2a),可得{a -1>8-2a ,a -1>0,8-2a >0,解得3<a<4,即实数a 的取值范围为(3,4). 13.D 解析x 2+y 2xy -y 2=(x y ) 2+1x y-1,设t=xy ,因为x≥3y>0,所以t≥3,于是x 2+y 2xy -y 2=t 2+1t -1=t 2-1+2t -1=t+1+2t -1=t-1+2t -1+2,令t-1=u,则u≥2,于是y=u+2u+2,由于函数y=x+2x在区间(0,√2)上单调递减,在区间(√2,+∞)上单调递增,所以函数y=u+2u+2在区间[2,+∞)上单调递增,故当u=2时,y=u+2u+2取最小值y=2+22+2=5,即x 2+y 2xy -y 2的最小值为5,故选D.14.16 解析因为y=f(x+1)-3为奇函数,所以其图象关于原点对称,因此f(x)的图象关于点(1,3)对称,又因为g(x)=3x -2x -1=3+1x -1,所以g(x)的图象也关于点(1,3)对称.依题意有x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7+x 8=4×(1×2)=8,y 1+y 2+y 3+y 4+y 5+y 6+y 7+y 8=4×(2×3)=24,故(y 1+y 2+y 3+y 4+y 5+y 6+y 7+y 8)-(x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7+x 8)=24-8=16.。
必修二对数函数对勾函数教案及训练题
专题：对数教学目标理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的相互转化，并能运用指对互化关系研究一些问题.知识梳理1. 定义：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）.记作 log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数2. 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并把常用对数10log N 简记为lg N 在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数log e N 简记作ln N3. 根据对数的定义，得到对数与指数间的互化关系：当0,1a a >≠时，log b a N b a N =⇔=.4. 负数与零没有对数；log 10a =， log 1a a =典例精讲【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）712128-=； （2）327a =； （3）1100.1-=；（4）12log 325=-； （5）lg 0.0013=-； （6）ln100=4.606.解：（1）21log 7128=-； （2）3log 27a =； （3）lg 0.11=-；（4）51()322-=； （5）3100.001-=； （6） 4.606100e =.【例2】计算下列各式的值：（1）lg 0.001； （2）4log 8； （3）ln e .解：（1）设lg 0.001x =，则100.001x =，即31010x -=，解得3x =-. 所以，lg 0.0013=-. （2）设4log 8x =，则48x =，即2322x =，解得32x =. 所以，43log 82=. （3）设ln e x =，则xe e =，即12xe e =，解得12x =. 所以，1ln 2e =.【例3】求证：（1）log n a a n =； （2）log log log a a a M M N N-=.证明：（1）设log n a a x =，则n x a a =，解得x n =. 所以log n a a n =.（2）设log a M p =，log a N q =，则p a M =，q a N =. 因为p p qqM a aN a-==，则log log log aa a M p q M N N=-=-.所以，log log log a a aM M N N-=.点评：对数运算性质是对数运算的灵魂，其推导以对数定义得到的指对互化关系为桥梁，结合指数运算的性质而得到. 我们需熟知各种运算性质的推导.【例4】试推导出换底公式：log log log c a c b b a=（0a >，且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >）.证明：设log c b m =，log c a n =，log a b p =，则m c b =，n c a =，pa b =.从而()n p m c b c ==，即np m =. 由于log log 10c c n a =≠=，则m p n=.所以，log log log c a c b b a=.点评：换底公式是解决对数运算中底数不相同时的核心工具. 其推导也密切联系指数运算性质，牢牢扣住指对互化关系.巩固练习1．log (0,1,0)b N a b b N =>≠>对应的指数式是（ ）. A. b a N = B. a b N = C. N a b = D. N b a = 2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）. A. 01ln10e ==与 B. 1()381118log 223-==-与C. 123log 9293==与 D. 17log 7177==与 3．设lg 525x =，则x 的值等于（ ）.A. 10B. 0.01C. 100D. 1000 4．设13log 82x=，则底数x 的值等于（ ）.A. 2B. 12C. 4D.145．已知432log [log (log )]0x =，那么12x -等于（ ）.A.13B.123C.122D.1336．若21log 3x =，则x = ； 若log 32x =-，则x = .7．计算：3log 81= ； 6lg 0.1= .※能力提高8．求下列各式的值：（1）22log8； （2）9log 3.9．求下列各式中x 的取值范围：（1）1log (3)x x -+； （2）12log (32)x x -+.※探究创新10．（1）设log 2a m =，log 3a n =，求2m n a +的值.（2）设{0,1,2}A =,{log 1,log 2,}a a B a =，且A B =，求a 的值.回顾总结专题:对数函数的性质教学目标通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.掌握对数函数的性质，并能应用对数函数解决实际中的问题. 知道指数函数y =a x 与对数函数y =log a x 互为反函数. （a > 0, a ≠1）知识梳理1. 定义：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数a y=log x 叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是x ； 函数的定义域是（0，+∞）.2. 由2log y x =与12log y x =的图象，可以归纳出对数函数的性质：定义域为(0,)+∞，值域为R ；当1x =时，0y =，即图象过定点(1,0)；当01a <<时，在(0,)+∞上递减，当1a >时，在(0,)+∞上递增.3.当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数（inverse function ）. 互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称.4. 函数(0,1)x y a a a =>≠与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠互为反函数.5. 复合函数(())y f x ϕ=的单调性研究，口诀是“同增异减”，即两个函数同增或同减，复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数. 研究复合函数单调性的具体步骤是：（i ）求定义域；（ii ）拆分函数；（iii ）分别求(),()y f u u x ϕ==的单调性；（iv ）按“同增异减”得出复合函数的单调性.典例精讲【例1】比较大小：（1）0.9log 0.8，0.9log 0.7，0.8log 0.9； （2）3log 2，2log 3，41log 3.解：（1）∵ 0.9log y x =在(0,)+∞上是减函数，且0.90.80.7>>， ∴ 0.90.91log 0.8log 0.7<<. 又 0.80.8log 0.9log 0.81<=， 所以0.80.90.9log 0.9log 0.8log 0.7<<. （2）由 333log 1log 2log 3<<，得30log 21<<. 又22log 3log 21>=，441log log 103<=，所以4321log log 2log 33<<.【例2】求下列函数的定义域：（1）2log (35)y x =-；（2）0.5log (4)3y x =-.解：（1）由22log (35)0log 1x -≥=，得351x -≥，解得2x ≥.所以原函数的定义域为[2,)+∞.（2）由0.5log (4)30x -≥，即30.50.5log (4)3log 0.5x ≥=，所以3040.5x <≤，解得1032x <≤. 所以，原函数的定义域为1(0,]32.【例3】已知函数()log (3)a f x x =+的区间[2,1]--上总有|()|2f x <，求实数a 的取值范围. 解：∵ [2,1]x ∈--， ∴ 132x ≤+≤当1a >时，log 1log (3)log 2a a a x ≤+≤，即0()log 2a f x ≤≤. ∵ |()|2f x <， ∴{1log 22a a ><， 解得2a >.当01a <<时，log 2log (3)log 1a a a x ≤+≤，即log 2()0a f x ≤≤. ∵ |()|2f x <， ∴{01log 22a a <<>-， 解得202a <<.综上可得，实数a 的取值范围是2(0,)(2,)2+∞ .点评：先对底数a 分两种情况讨论，再利用函数的单调性及已知条件，列出关于参数a 的不等式组，解不等式（组）而得到参数的范围. 解决此类问题的关键是合理转化与分类讨论，不等式法求参数范围.【例4】求不等式log (27)log (41)(0,1)a a x x a a +>->≠且中x 的取值范围.解：当1a >时，原不等式化为2704102741x x x x +>⎧⎪->⎨+>-⎪⎩，解得144x <<.当01a <<时，原不等式化为 2704102741x x x x +>⎧⎪->⎨+<-⎪⎩，解得4x >.所以，当1a >时，x 的取值范围为1(,4)4；当01a <<时，x 的取值范围为(4,)+∞.点评：结合单调性，将对数不等式转化为熟悉的不等式组，注意对数式有意义时真数大于0的要求. 当底数a 不确定时，需要对底数a 分两种情况进行讨论【例1】讨论函数0.3log (32)y x =-的单调性.解：先求定义域，由320x ->, 解得32x <. 设332,(,)2t x x =-∈-∞，易知为减函数.又∵ 函数0.3log y t =是减函数，故函数0.3log (32)y x =-在3(,)2-∞上单调递增. 【例2】（05年山东卷.文2）下列大小关系正确的是（ ）. A. 30.440.43log 0.3<< B. 30.440.4log 0.33<< C. 30.44log 0.30.43<< D. 0.434log 0.330.4<<解：在同一坐标系中分别画出40.4,3,log x x y y y x ===的图象，分别作出当自变量x 取3，0.4，0.3时的函数值.观察图象容易得到：30.44log 0.30.43<<. 故选C.【例3】指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象有何关系？ 解：在指数函数x y a =的图象上任取一点00(,)M x y ，则00x y a =. 由指对互化关系，有00log a y x =.所以，点00'(,)M y x 在对数函数log a y x =的图象上. 因为点00(,)M x y 与点00'(,)M y x 关于直线y x =对称，所以指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象关于直线y x =对称.点评：两个函数的对称性，由任意点的对称而推证出来. 这种对称性实质是反函数的图象特征，即函数x y a =与log (0,1)a y x a a =>≠互为反函数，而互为反函数的两个函数图象关于直线y x =对称.巩固练习1．下列各式错误的是（ ）.A. 0.80.733>B. 0.10.10.750.75-<C. 0..50..5log 0.4log 0.6>D. lg1.6lg1.4>.2．当01a <<时,在同一坐标系中,函数log x a y a y x -==与的图象是（ ）.A B C D3．下列函数中哪个与函数y =x 是同一个函数（ ） A.log (0,1)a xy a a a =>≠ B. y =2xxC. log (0,1)x a y a a a =>≠D. y =2x4．函数12log (1)y x =-的定义域是（ ）.A. (1,)+∞B. (,2)-∞C. (2,)+∞D. (1,2]5．若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（ ）.A. 1 m n >>B. 1n m >>C. 01n m <<<D. 01m n <<< 6．函数3log y x =的定义域为 . （用区间表示）7．比较两个对数值的大小：ln 7 ln 12 ； 0.5log0.7 0.5log 0.8.※能力提高8．求下列函数的定义域：（1） ()()34log 11x f x x x -=++-； （2）21log (45)y x =--.9．已知函数2()3log ,[1,4]f x x x =+∈，22()()[()]g x f x f x =-，求： （1）()f x 的值域； （2）()g x 的最大值及相应x 的值.※探究创新10．若,a b 为不等于1的正数，且a b <，试比较log a b 、1log ab、1log bb.1．函数1lg1x y x+=－的图象关于（ ）. A. y 轴对称B. x 轴对称C. 原点对称D. 直线y ＝x 对称2．函数212log (617)y x x =-+的值域是（ ）.A. RB. [8,)+∞C. (,3]-∞-D. [3,)+∞xy1 1oxy o 1 1oy x11 oy x1 13．（07年全国卷.文理8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ）.A.2B. 2C. 22D. 44．图中的曲线是log a y x =的图象，已知a 的值为2，43，310，15，则相应曲线1234,,,C C C C 的a 依次为（ ）.A. 2，43，15，310B.2，43，310，15 C.15，310，43，2 D. 43，2，310，155．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是（ ）. A. 12log (1)y x =+ B. 22log 1y x =- C. 21log y x= D.20.2log (4)y x =-6． 函数2()lg(1)f x x x =+-是 函数. （填“奇”、“偶”或“非奇非偶”） 7．函数x y a =的反函数的图象过点(9,2)，则a 的值为 . ※能力提高 8．已知6()log ,(0,1)af x a a x b=>≠-，讨论()f x 的单调性.※探究创新10． 已知函数()log (1),()log (1)a a f x x g x x =+=-其中(01)a a >≠且．（1）求函数()()f x g x -的定义域； （2）判断()()f x g x -的奇偶性，并说明理由；（3）求使()()0f x g x ->成立的x 的集合.对数与对数运算（2）教学目标通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；理解推导这些运算性质的依据和过程；能较熟练地运用运算性质解决问题知识梳理1. 对数的运算法则：log ()log log a a a M N M N =+ ，log log log aa a M M N N=-，log log na a M n M =，其中0,1a a >≠且，0,0,M N n R >>∈. 三条法则是有力的解题工具，能化简与求值复杂的对数式.2. 对数的换底公式log log log b a b N N a=. 如果令b =N ，则得到了对数的倒数公式1log log a b b a=. 同样，也可以推导出一些对数恒等式，如log log nna a N N =，log log mn a a n N N m=，log log log 1a b c b c a = 等.0 x C 1C 2C 4C 3 1y典例精讲【例1】化简与求值：（1）221(lg 2)lg 2lg 5(lg 2)lg 212++-+ ；（2）2log (4747)++-.解：（1）原式=2211(lg 2)lg 2lg 5(lg21)22++- =211lg 2lg 2lg 5(lg21)42+--=2111lg 2lg 2lg 5lg 21422+-+ =1lg 2(lg 22lg 52)14+-+=1lg 2(lg 1002)10114-+=+=.（2）原式=1222log (4747)⨯++-=221log (4747)2++-=221log (4747247)2++-+-=21log 142.【例2】若2510a b ==，则11a b+= . （教材P 83 B 组2题）解：由2510a b ==，得2log 10a =，5log 10b =. 则251111lg 2g 5lg 101log 10log 10a b +=+=+==.【例3】 （1）方程lg lg(3)1x x ++=的解x =________；（2）设12,x x 是方程2lg lg 0x a x b ++=的两个根，则12x x 的值是 . 解：（1）由lg lg(3)1x x ++=，得lg[(3)]lg10x x +=， 即(3)10x x +=，整理为23100x x +-=.解得x =－5或x =2. ∵ x ＞0， ∴ x =2.（2）设lg x t =，则原方程化为20t at b ++=，其两根为1122lg ,lg t x t x ==. 由121212lg lg lg()lg10b t t x x x x b +=+=== ，得到1210b x x = .点评：同底法是解简单对数方程的法宝，化同底的过程中需要结合对数的运算性质. 第2小题巧妙利用了换元思想和一元二次方程根与系数的关系.【例4】（1）化简：532111log 7log 7log 7++；（2）设23420052006log 3log 4log 5log 2006log 4m ⋅⋅⋅= ，求实数m 的值. 解：（1）原式=77777log 5log 3log 2log (532)log 30++=⨯⨯=. （2）原式左边=2222222222log 4log 5log 2006log log 3log log 3log 4log 2005log 2006mm ⋅⋅⋅=, ∴ 422log 4log 2m ==， 解得16m =.点评：换底时，一般情况下可以换为任意的底数，但习惯于化为常用对数. 换底之后，注意结合对数的运算性质完成后阶段的运算.巩固练习1．1logn n++（1n n ＋－）等于（ ）. A. 1B. －1C. 2D. －2 2．25log()(5)a -（a ≠0）化简得结果是（ ）. A. －aB. a 2C. ｜a ｜D. a3．化简3lg 2lg 5log 1++的结果是（ ）.A.12B. 1C. 2D.104．已知32()log f x x =, 则(8)f 的值等于（ ）. A. 1 B. 2 C. 8 D. 125．化简3458log 4log 5log 8log 9⋅⋅⋅的结果是 （ ）. A .1 B.32C. 2D.36．计算2(lg 5)lg 2lg 50+⋅＝ . 7．若3a ＝2，则log 38－2log 36＝ . ※能力提高 8．（1）已知18log 9a =，185b =，试用a 、b 表示18log 45的值； （2）已知1414log 7log 5a b ==，，用a 、b 表示35log 28.※探究创新10．（1）设,,x y z 均为实数，且34x y =，试比较3x 与4y 的大小.（2）若a 、b 、c 都是正数，且至少有一个不为1，1x y z y z x z x y a b c a b c a b c ===，讨论x 、y 、z 所满足的幂函数¤学习目标：通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x, y=x 2, y=x 3, y =1/x , y=x 1/2 的图像，了解它们的变化情况. 知识要点：1. 幂函数的基本形式是y x α=，其中x 是自变量，α是常数. 要求掌握y x =，2y x=，3y x =，1/2y x=，1y x -=这五个常用幂函数的图象.2. 观察出幂函数的共性，总结如下：（1）当0α>时，图象过定点(0,0),(1,1)；在(0,)+∞上是增函数.（2）当0α<时，图象过定点(1,1)；在(0,)+∞上是减函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数α由小到大. y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α由小到大.¤例题精讲：【例1】已知幂函数()y f x =的图象过点(27,3)，试讨论其单调性.解：设y x α=，代入点(27,3)，得327α=，解得13α=，所以13y x =，在R 上单调递增.【例2】已知幂函数6()m y x m Z -=∈与2()m y x m Z -=∈的图象都与x 、y 轴都没有公共点，且2()m y xm Z -=∈的图象关于y 轴对称，求m 的值．解：∵ 幂函数图象与x 、y 轴都没有公共点，∴{6020m m -<-<，解得26m <<.又 ∵ 2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称， ∴ 2m -为偶数，即得4m =. 【例3】幂函数m y x =与n y x =在第一象限内的图象如图所示，则（ ）. A ．101n m -<<<< B ．1,01n m <-<<C ．10,1n m -<<>D ．1,1n m <->解：由幂函数图象在第一象限内的分布规律，观察第一象限内直线1x =的右侧，图象由下至上，依次是n y x =，1y x -=，0y x =，m y x =，1y x =，所以有101n m <-<<<. 选B.点评：观察第一象限内直线1x =的右侧，结合所记忆的分布规律. 注意比较两个隐含的图象1y x =与0y x =.【例4】本市某区大力开展民心工程，近几年来对全区2a m 的老房子进行平改坡（“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅平屋面改建成坡屋顶，并对外墙面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为），且每年平改坡面积的百分比相等. 若改造到面积的一半时，所用时间需10年. 已知到今年为止，平改坡剩余面积为原来的22.（1）求每年平改坡的百分比；（2）问到今年为止，该平改坡工程已进行了多少年？ （3）若通过技术创新，至少保留24a m 的老房子开辟新的改造途径. 今后最多还需平改坡多少年？解：（1）设每年平改坡的百分比为(01)x x <<，则 101(1)2a x a -=，即11011()2x -=，解得11011()0.0670 6.702x =-≈=%.（2）设到今年为止，该工程已经进行了n 年，则2(1)2na x a -=，即110211()()22n =，解得n =5.所以，到今年为止，该工程已经进行了5年. （3）设今后最多还需平改坡m 年，则 51(1)4m a x a +-=，即521011()()22m +=，解得m =15. 所以，今后最多还需平改坡15年.点评：以房屋改造为背景，从中抽象出函数模型，结合两组改造数据及要求，通过三个等式求得具有实际意义的底数或指数. 体现了代入法、方程思想等数学方法的运用.第18练 §2.3 幂函数※基础达标1．如果幂函数()f x x α=的图象经过点2(2,)2，则(4)f 的值等于（ ）.A. 16B. 2C.116D.122．下列函数在区间(0,3)上是增函数的是（ ）. A. 1y x=B. 12y x = C. 1()3x y = D. 2215y x x =--3．设120.7a =，120.8b =，c 3log 0.7=，则（ ）. A. c <b <a B. c <a <b C. a <b <c D. b <a <c12±四个值，与曲线4．如图的曲线是幂函数ny x =在第一象限内的图象. 已知n 分别取2±，1c 、2c 、3c 、4c 相应的n 依次为（ ）.42510c 4c 3c 2c 1A ．112,,,222-- B. 112,,2,22--C. 11,2,2,22-- D. 112,,,222--5．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是（ ）.A.12y x = B. 4y x = C. 2y x-= D.13y x =6．幂函数()y f x =的图象过点1(4,)2，则(8)f 的值为 .7．比较下列各组数的大小： 32(2)a + 32a ； 223(5)a -+ 235-； 0.50.4 0.40.5.※能力提高8．幂函数273235()(1)t tf x t t x +-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式.一、对勾函数b y ax x=+)0,0(>>b a 的图像与性质性质：1. 定义域：),0()0,(+∞⋃-∞2. 值域：),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(=-+x f x f4. 图像在一、三象限当0x >时，由基本不等式知b y ax x=+≥ab 2（当且仅当b x a=取等号），即)(x f 在x=ab 时，取最小值ab 2由奇函数性质知： 当x<0时，)(x f 在x=ab -时，取最大值ab 2-5. 单调性：增区间为（∞+,a b），（a b-∞-,）减区间是（0，a b ），（a b -,0）。
高考数学黄金100题系列第18题几类特殊函数(对勾函数、绝对值函数等)文(new)
第18题 几类特殊函数（对勾函数、绝对值函数等）I ．理论基础·解题原理 （I ）对勾函数一、对勾函数的定义形如)0,0(>>+=b a xbax y 的函数,叫做对勾函数．二、对勾函数)0,0()(>>+=b a xbax x f 的图象与性质1.定义域 0}{≠∈x R x2.值域当0>x 时，ab xbax x b ax 22=⋅≥+（当且仅当x b ax =，即a b x =时取等号）． 当0<x 时，ab x b ax x b ax x b ax 2))((2)]()[(-=---≤-+--=+（当且仅当x b ax -=-，即abx -=时取等号)．函数)0,0()(>>+=b a xbax x f 的值域为,2[]2,(ab ab ⋃--∞）∞+．3.奇偶性由于双勾函数定义域关于原点对称,)()(xbax x b ax x f +-=--=-)(x f -=,则对勾函数为奇函数． 4.单调性由于2)(x b a x f -='，令0)(>'x f ，解得a b x -<或a b x >，令0)(>'x f ，解得0<<-x ab或abx <<0，所以函数)(x f 在),(a b -∞上为增函数,在)0,(a b -上为减函数，在),0(a b 上为减函数，在),(+∞ab上为增函数． 5.渐近线当0>x 时，0>+x b ax ，当0<x 时，0<+xbax ，说明函数的的图象在第一、第三象限．当0>x 时,xbx b ax x f >+=)(，说明函数在第一象限的图象在直线ax y =的上方，当0<x 时，ax xbax x f <+=)(，说明函数在第三象限的图象在直线ax y =的下方． 双勾函数就是以y 轴和直线x y =为渐近线的双曲线． 特别1,1==b a 时，xx x f 1)(+=，函数图象如下图所示:(II ）绝对值函数一、绝对值函数的定义：形如b ax y +=的函数，叫做绝对值函数．含绝对值的函数本质上是分段函数，往往需要先去绝对值再结合函数图像进行研究,由于去绝对值函数大多要涉及到分类讨论,对能力要求较高,故备受高考命题者青睐,高考常考的主要有以下3类：1．形如()f x 的函数,研究此类函数往往结合()f x 图像，可以看成由()f x 的图像在x 轴上方部分不变,下方部分关于x 轴对称得到；2．形如()f x 的函数，此类函数是偶函数,因此可以先研究0x ≥的情况,0x <的情况可以根据对称性得到；3．函数解析式中部分含有绝对值,如1y x x a =-+,2y x x a =+-等,这种函数是普通的分段函数，一般先去绝对值,再结合图像进行研究．二、绝对值函数b ax x f +=)(的图象与性质1.定义域：R;2.值域：),0[+∞；3.单调性：函数)(x f 在）（a b-∞-,上为减函数，在),(+∞-ab上为增函数． 特别0,1==b a 时，x x f =)(，图象如下图所示（III ）取整函数 取整函数的定义若x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数][)(x x f =叫做取整函数．举例如下：,0]8.0[,0]35.0[,1]2.1[,2]8.2[=-===1]9.1[-=-等．IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上,可以是选择题或填空题，也可以是解答题，难度较大，往往与函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性有联系，主要考查函数的性质的应用等． 【技能方法】解决此类问题一般要把先求函数的定义域，在定义域内研究函数的相关性质．最好先画出函数的图象,利用数形结合思想，解决相应问题． 【易错指导】注意定义域先行原则，必须先求出函数的定义域,在定义域内解决相应问题． V ．举一反三·触类旁通考向1 对勾函数【例1】【2018河北唐山模拟】已知1()1f x x x=+-，()2f a =，则()f a -=（ ）A ．4-B ．2-C ．1-D ．3- 【答案】A【解析】∵1()1f x x x =+-，∴x x x f 11)(+=+，令1)()(+=x f x F ，则)(x F 为奇函数,则)()(x F x F -=-，所以1)(1)(--=+-x f x f ,有4222)()(-=--=--=-a f a f ，故选A ．考点：函数值、函数的奇偶性．【例2】【2018云南省师大附中模拟】若函数32()3f x x tx x =-+在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是（ ） A ．51(,]8-∞ B ．(,3]-∞ C ．51[,)8+∞ D ．[3,)+∞ 【答案】C考点:导数的运算、利用导数判断函数的单调性．【例3】【2017山西四校联考】若函数)()(R b xbx x f ∈+=的导函数在区间（1，2)上有零点，则)(x f 在下列区间上单调递增的是A ．(]1,-∞-B ． ()0,1-C ．()1,0D ．()+∞,2 【解析】01)(2=-='xb x f ，b x =2，显然0>b ，函数)()(R b x b x x f ∈+=的导函数在区间（1,2）上有零点，41<<b ，)(x f 为增函数，只需b x xbx x b x f ≥≥-=-='2222,01)(，故选D ．【名师点睛】1．要结合图象,理解对勾函数的各种性质，单调性，对称性，奇偶性等． 2．通过对勾函数的研究，要明确均值不等式的使用条件．3．对渐近线的认识，应进一步加深，我们可以理解为，函数图象无限靠近直线,且总在直线的一侧．【例4】【2018吉林百校联盟高三九月联考】已知函数()12,1,2{12,1,2xxxxxf xx->=-≤函数()()g x f x m=-，则下列说法错误的是（ )A．若32m≤-,则函数()g x无零点 B．若32m>-，则函数()g x有零点C．若3322m-<≤，则函数()g x有一个零点 D．若32m>，则函数()g x有两个零点【答案】A【解析】作出函数()f x的图象如图所示：观察可知：当32m=-时，函数()g x有一个零点，故A错误．故选A．【跟踪练习】1．若函数()4f x xx=+，则下列结论正确的是（）()()()()4(0,2),(2,)4(0,2),(2.)...,A f xB f xC f xD f x+∞+∞的最小值为在上单调递减在上单调递增的最大值为在函数函数函数函上单调递增在数上单调递减2．关于函数()21lg||fxxx+=有下列命题：（1)其图象关于y 轴对称;(2）函数f （x )在(0,)+∞上单调递增,在(,0)-∞上单调递减； (3）函数f (x ）的最小值为lg 2；（4）函数f (x )在(1,0),(2,)-+∞上单调递增； （5）函数f （x ）无最大值,也无最小值 其中所有正确结论的序号是（ ） 【解析】注意函数的定义域为0x ≠．如图：所以在(0,)+∞上,g （x ）在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增．所以由复合函数单调性可知,f （x ） 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增．由函数对称性,f （x ) 在(1,0)-上递增，在(,1)-∞-上递减,所以（2）不正确，（4）正确．又因为，函数g （x )的最小值为2，所以f (x ）的最小值为lg2，所以（3)正确，（5）不正确． 3．函数224log ([2,4])log y x x x=+∈的最大值为______ 【答案】54．求函数3()f x xx=+在下列条件下的值域:（1)()(,0)0,x∈-∞+∞；（2）(2,3]x∈【解析】（1）当x>0时，由均值不等式，有33223 x xx x+≥⋅=当3xx=时，即3x=时，取到等号；当x〈0时，有33[()]23 x xx x+=--+≤--所以函数的值域为:(23][23,)-∞-⋃+∞，5．已知函数()af x xx=+其中常数a>0．（1）证明：函数f(x）在上是减函数，在)+∞ 上是增函数； (2)利用(1)的结论,求函数20y x x=+（x ∈［4，6］）的值域; （3)借助（1）的结论,试指出函数27()1xg x x x -=++ 的单调区间，不必证明． 【解析】（1）2111x y x x x ==++．15121(1,2](2,][,)1252x x x x x∈∴+∈∴∈+，所以值域为：2[,2)5 （2)解：23223x x y x x x ++==++．2(1,2]x x x∈∴+∈，所以值域为：[3+． (3）55(1)111y x x x x =+=-++--，所以值域为：1,)+∞． 考向2 绝对值函数【例5】【2017云南昆明下学期第二次统测】已知关于x 的方程12a x x =+有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(),0-∞B ．()0,1C ．()1,+∞D ．()0,+∞ 【答案】C【解析】当0a =时，方程无解；当0a <时，2x <-，方程21211,210,0,02ax ax ax x x x a =-++=∆>=<+，即至多一解；当0a >时，2x >-,当0x ≥时方程21211,210,0,02ax ax ax x x x a =+-=∆>=-<+，即必有一解；当20x -<<时方程21211,210,0,012ax ax ax x x a x a =-++=∆>=>⇒>+，因此1a >有三个不同的实数解，选C ． 【例6】已知函数21,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1x ,2x ,3x ，4x ,且1234x x x x <<<，则3122341()x x x x x ++的取值范围是（ ） A ．(1,)-+∞ B ．(]1,1- C ．(,1)-∞ D ．[)1,1- 【答案】B【例7】【2018上海交通大学附中高三上学期开学摸底考试】已知函数()2,1 {2,1x xf xx xx+<=+≥,设a R∈，若关于x的不等式()2xf x a≥+在R上恒成立，则a的取值范围是__________．【答案】[]2,2-【例8】【2015高考湖北卷】a 为实数，函数2()||f x x ax =-在区间[01]，上的最大值记为()g a ．当a = 时,()g a 的值最小． 【答案】322-【解析】()()2f x x ax x x a =-=-．①当0a <时，函数()f x 的图像如图所示．函数()f x 在区间[]0,1上单调递增，()()()max 11f x g a f a ===-．aO yx②当0a =时，2()f x x =，()f x 在区间[]0,1上的最大值为()()11f g a a ==-． ③当0a >时,函数()f x 的图像如图所示．xyO a【例9】函数x x g 2log )(= )21(>x ，关于x 的方程2()()230g x m g x m +++=恰有三个不同实数解,则实数m 的取值范围为 ． 【答案】3423m -<≤-【例10】【2018广东广州模拟】已知函数()()11f x x x x R =-++∈ （1)证明：函数()f x 是偶函数;(2）利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数的形式,然后画出函数图像（草图），并写出函数的值域;(3）在同一坐标系中画出直线2y x =+,观察图像写出不等式()2f x x >+的解集． 【答案】（1)见解析；(2）见解析；(3）{|02}x x x 或．【解析】试题分析: 判断函数的奇偶性，首先要考查函数的定义域，函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提,当函数的定义域关于原点对称式， 根据f(—x)与f （x ）的关系,判断函数f （x)为奇偶性；再利用零点分区间讨论法分段去掉绝对值符号，化为分段函数，画出函数图象；根据图象解不等式，这是一种数形结合思想． 试题解析：（1）依题可得： ()f x 的定义域为R()()1111f x x x x x f x -=--+-+=++-= ∴ ()f x 是偶函数（2)()()2(1){2112(1)xx f x x x x -<-=-≤≤> 由函数图象知，函数的值域为[)2,+∞ （3)由函数图象知，不等式的解集为{|02}x x x 或 【跟踪练习】1．【2018浙江台州模拟】函数{}()min 2,2f x xx =-，其中{},min ,,a a ba b b a b≤⎧=⎨>⎩，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别123,,x x x ，则123x x x ⋅⋅的最大值为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】D由m x x =-=-2222,得m x -=22，02>-m 由m x x =-=-2233,得23+=m x ，02>+m()()()12441441224222222321=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≤-=+⋅-⋅=⋅⋅∴m m m m m m m x x x ，当且仅当224m m -=，即2=m 时取到等号，故答案为D ．考点:1、函数图象的应用;2、基本不等式的应用． 2．【2018北京西城区模拟】设函数3||, 1,()log , 1.x a x f x x x -⎧=⎨>⎩≤（1）如果(1)3f =，那么实数a =___；（2)如果函数()2y f x =-有且仅有两个零点,那么实数a 的取值范围是___． 【答案】2-或4；(1,3]-【解析】由题意()113,f a =-= ，解得2a =-或4a =； 第二问如图：考点：1．分段函数值；2．函数的零点． 3．设函数a R x a x x x f ,(2)(2∈-+=为常数） （1）a =2时，讨论函数)(x f 的单调性;（2)若a 〉-2，函数)(x f 的最小值为2，求a 的值．【解析】(1）2=a 时，11222222)(222<≥⎩⎨⎧+--+=-+=x x x x x x x x x f ，结合图像知，函数)(x f y =的单调增区间为),1[+∞，减区间为]1,(-∞；（2）2222)(22ax ax a x x a x x x f <≥⎩⎨⎧+--+=，12,2->∴->a a ，结合图像可得 当2≥a 时函数)(x f y =的最小值为1)1(-=a f =2,解得a =3符合题意；当22<<-a 时函数)(x f y =的最小值为24)2(2==a a f ，无解； 综上,a =3．考向3 取整函数与程序框图【例11】【2018山西四校联考】执行图中的程序框图（其中[]x表示不超过x的最大整数）,则输出的S值为A．5 B．7 C．9 D．12考向4 取整函数与函数的周期性【例12】【2018陕西西北工业大学附中模拟】x为实数，[]x表示不超过x的最大整数，则函数()[]=-在R上为 ( )f x x xA．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．周期函数【答案】D考点：函数的周期性．【例13】【2017重庆一中高三上学期一诊模拟考试】高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子"之称，以他的名字“高斯"命名的成果达110个,设,用表示不超过的最大整数,并用表示的非负纯小数，则称为高斯函数,已知数列满足：，则__________．【答案】考点:归纳推理、数列的递推公式及新定义问题．【跟踪练习】1．【2018重庆铜梁一中高三上学期第一次月考】阅读下列一段材料，然后解答问题：对于任意实数,符号表示“不超过的最大整数”，在数轴上,当是整数，就是，当不是整数时，是点左侧的第一个整数点，这个函数叫做“取整函数”,也叫高斯（Gauss）函数．如．求的值为（）A．0 B．—2 C．—1 D．1【答案】C【解析】=−2,−2〈〈−1,=−1，=0，=1,1<〈2，=2，由“取整函数”的定义可得，=−2−2−1+0+1+1+2=−1．故选:C．点睛：正确理解高斯（Gauss)函数的概念是解题的关键，表示“不超过的最大整数”,首先小于等于此实数，并且其为最大的整数,条件想全面．2．【2018江苏南京模拟】函数[]y xx x是不=称为高斯函数，又称取整函数，对任意实数,[]超过x的最大整数，则函数[]1(0.5 2.5)=+-<<的值域为．y x x【答案】}{0,1,2,33．【2018福建三明模拟】对于任意x ∈R ，令[]x 为不大于x 的最大整数，则函数()[]f x x =称为高斯函数或取整函数．若数列{}n a 满足()4n n a f =()n +∈N ，且数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4n S 等于 ． 【答案】22n n - 【解析】由定义知41235678940,1,2,n a a a a a a a a a a n==========，244(12...1)2n S n n n n∴=+++-+=-．考向5 取整函数与函数的零点【例14】【2018天津南开中学第三次月考】已知,x R ∈符号[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数()[]()0x f x a x x=->有且仅有3个零点，则a 的取值范围是 ．【答案】34,45⎛⎤⎥⎝⎦【解析】由f （x)=0得a xx =][，令g （x ）=x x ][（x>0），作出g （x ）的图象，利用数形结合即可得到a 的取值范围．由f(x ）=0得a xx =][；令g （x ）=x x ][，（x 〉0），则当0＜x ＜1，［x]=0，此时g(x ）=0，当1≤x ＜2，［x ］=1,此时g （x ）=x 1,此时1)(21≤<x g ；当2≤x＜3,［x]=2，此时g(x ）=x 2,此时1)(32≤<x g ;当3≤x＜4，[x]=3，此时g （x)=x 3，此时1)(43≤<x g ；当4≤x＜5，[x]=4，此时g （x ）=x 4,此时1)(54≤<x g ；作出g(x ）的函数的图象，要使函数()[]()0x f x ax x=->有且仅有3个零点，即函数g （x ）的图象与直线y=a 有且只有三个零点，由图象可知：5443≤<a ．故答案为：5443≤<a ． 考点:函数的零点与方程根的关系．【例15】【2018杭州重点中学联考】已知x R ∈，符号[]x 表示不超过x 的最大整数,若函数[]()(0)x f x a x x=-≠有且仅有3个零点，则a 的取值范围是3443.,,4532A ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 3443.,,4532B ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ 1253.,,2342C ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ 1253.,,2342D ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【答案】B若x ＞0，此时[x]≥0；若［x ］=0，则[]0x x=,若［x]≥1，因为［x ］≤x＜［x]+1，故[][][]1a 1[]11[]1x x x x x x ＜，＜，且[][]1x x 随着［x]的增大而增大．若x ＜0，此时［x]＜0；若﹣1≤x＜0，则[]1x x≥，若x ＜-1,因为［x ］≤x＜-1；［x ］≤x＜[x ］+1，故[x][x][x]11a x [x]1[x]1＜，＜,且[][]1x x 随着[x]的增大而增大．又因为[x]一定是不同的x 对应不同的a 值．所以为使函数[x]f x a x （）有且仅有3个零点，只能使［x]=1，2，3；或[x ］=-1，—2，—3．若[x]=1，有121≤<a 若[x ］=2，有132≤<a 若［x ］=3，有143≤<a 若［x ］=4,有154≤<a 若［x]=—1，有a ＞1；若［x ］=-2，有1≤a ＜2；若[x]=-3，有231<≤a 若［x]=—4，有341<≤a ，综上所述，5443<<a 或2334<<a ．故选:B ．考点：函数零点的判定定理． 【跟踪练习】1．【2018福建省莆田模拟】在计算机的算法语言中有一种函数[]x 叫做取整函数（也称高斯函数），[]x 表示不超过x 的最大整数．例如:[2]2,[3.1]3,[ 2.6]3==-=-．设函数21()122x x f x =-+，则函数[()][()]y f x f x =+-的值域为 （ ）A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}1,0,1-D ．{}2,0- 【答案】B2．某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（其中[]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为（ ） A ．510x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ B ．410x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ C ．310x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦D ．10x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 【答案】C【解析】根据题意，当16x =时1y =,所以选项,A B 不正确,当17x =时2y =，所以D不正确，故选C ．3．【2018浙江浙大附中模拟】对于实数x ，][x 称为取整函数或高斯函数，亦即][x 是不超过x 的最大整数．例如：2]3.2[=．直角坐标平面内，若),(y x 满足4]1[]1[22=-+-y x ，则 22y x +的取值范围是 ．【答案】(1,5)[10,20)【解析】解：由［x —1]2+［y-1]2=4，得 [x-1］=±2, ［y —1]=0 或 [x —1]=0， ［y-1］=±2 然后得到可行域x 2+y 2看作可行域内点到坐标原点距离的平方．AO 2=1，BO 2=5此时x 2+y 2∈[1，5)．CO 2=10，DO 2=20，此时x 2+y 2∈［10，20）．所以x 2+y 2∈［1，5）∪［10,20）．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
对勾函数讲解与例题解析
对勾函数对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ab同号）当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。
对勾函数的图像（ab异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二)对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式能够得到：当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六)对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数，二、关于求函数()01>+=x xx y 最小值的解法1. 均值不等式 0>x ，∴21≥+=xx y ，当且仅当x x 1=，即1=x 的时候不等式取到“=”。
∴当1=x 的时候，2min =y 2. ∆法 0112=+-⇒+=yx x xx y 若y 的最小值存有，则042≥-=∆y 必需存有，即2≥y 或2-≤y （舍）找到使2=y 时，存有相对应的x 即可。
2019届人教B版(理科数学) 对勾函数模型 单元测试
1第十周 对勾函数模型重点知识梳理1．对勾函数定义对勾函数是指形如 y ＝ax ＋b x(ab >0)的一类函数，因其图象形态极像对勾，因此被称为“对勾函数”，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“耐克函数”或“耐克曲线”．2．对勾函数y ＝ax ＋b x(a >0，b >0)的性质(1)定义域 (－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)值域 (－∞，－2ab ]∪[2ab ，＋∞)．(3)奇偶性 在定义域内为奇函数．(4)单调性 (－∞，－b a )，(b a，＋∞)上是增函数；(－b a ，0)，(0，b a )上是减函数． 3．y ＝ax ＋b x(a >0，b >0)的单调区间的分界点 ±b a . 求分界点方法 令ax ＝b x ⇒x ＝±b a. 特殊的，a >0时，y ＝x ＋a x的单调区间的分界点 ±a . 4．对勾函数应用时主要是利用对勾函数单调性求其最值，解题时要先找出对应的单调区间，然后求解．25．利用对勾函数求最值，常常用到如下的重要不等式若a >0，b >0，则x >0时，ax ＋b x ≥2ab . 当且仅当ax ＝b x ，x ＝b a时取等号． 在应用这个不等式时，要注意使用的前提条件是“一正、二定、三相等”，即加号两边的项ax 和b x 都是正项，且二者乘积为定值，同时ax ＝b x中等号可取到．若等号取不到，则应根据对勾函数单调性求解．典型例题剖析例1 已知f (x )＝x ＋5x，求f (x )在下列区间的最小值． (1)[1,2]; (2)[3,4]; (3)[－3，－1]．【解析】如图，f (x )在 (－∞，－5)，(5，＋∞)上是增函数，在(－5，0)，(0，5)上是减函数．(1)由对勾函数性质可知f (x )在[1,2]上单调递减，∴f (x )min ＝f (2)＝412. (2)因为f (x )在[3,4]上单调递增，所以f (x )min ＝f (3)＝423.3(3)因为f (x )在[－3，－ 5 ]上单调递增，在(－5，－1]上单调递减，且f (－3)＝－423， f (－1)＝－6，所以f (x )min ＝－6.变式训练 已知函数f (x )＝x 2＋5x 2＋4，求f (x )的最小值，并求此时x 的值．【解析】f (x )＝x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4令t ＝x 2＋4，则t ≥2，y ＝t ＋1t. ∵y ＝t ＋1t在[2，＋∞)单调递增， ∴当t ＝2时，y min ＝2＋12＝52， 此时，x 2＋4＝2，x ＝0.综上，f (x )的最小值为52，此时x 的值为0. 例2 求函数f (x )＝x 2－2x －1x ＋2(0≤x ≤3)的值域． 【解析】令t ＝x ＋2，则x ＝t －2, 2≤t ≤5，y ＝(t －2)2－2(t －2)－1t＝t 2－6t ＋7t ＝t ＋7t－6,2≤t ≤5. ∵y ＝t ＋7t－6在[2，7 ]上单调递减，在[7， 5]上单调递增， ∴当t ＝7时，y min ＝27－6，且当t ＝2时，y ＝2＋72－6＝－12，4当t ＝5时，y ＝5＋75－6＝25，∴y max ＝25. 综上，f (x )的值域为[27－6，25]． 变式训练 求函数f (x )＝x 2－4x ＋12x －1，x ∈[]2，5的值域． 【解析】f (x )＝x 2－4x ＋12x －1＝(x －1)2－2(x －1)＋9x －1＝x －1＋9x －1－2， 令t ＝x －1，则f (t )＝t ＋9t－2，t ∈[1,4]． 结合y ＝t ＋9t的图象与性质， 可知当t ∈[1,3]时，函数单调递减，当t ∈[3,4]时，函数单调递增，又f (1)＝8，f (3)＝4，f (4)＝174， 所以f (x )∈[4,8]．例3 某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元( 技成本)，并计划以后每年比上一年多投入100万元( 技成本)，预计产量年递增10万只，第n 次投入后，每只产品的固定成本为g (n )＝k n ＋1( >0， 为常数，n ∈ 且n ≥0)，若产品销售价保持不变，第n 次投入后的年利润为f (n )万元．(1)求 的值，并求出f (n )的表达式；(2)问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？【解析】(1)由g (n )＝k n ＋1，当n ＝0时，由题意， 可得 ＝8，5所以f (n )＝(100＋10n )(10－8n ＋1)－100n (n ∈ 且n ≥0)． (2)由f (n )＝(100＋10n )(10－8n ＋1)－100n ＝1 000－80(n ＋1＋9n ＋1) ≤1 000－80×29＝520，当且仅当n ＋1＝9n ＋1，即n ＝8时取等号， 所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元．变式训练 建筑一个容积为800米3，深8米的长方体水池(无盖)．池壁，池底造价分别为a 元/米2和2a 元/ 米2.底面一边长为x 米，总造价为y .写出y 与x 的函数式，问底面边长x 为何值时总造价y 最低，是多少？【解析】长方体底面积S ＝8008＝100米2，地面一边长为x 米， 因此另一边长为100x米， 池壁总面积为8·(2x ＋200x)米2， ∴ 总造价y ＝100×2a ＋(2x ＋200x )·8·a ＝200a ＋16a (x ＋100x)(x >0)． ∵函数y ＝200a ＋16a (x ＋100x)在(0,10]上是减函数，在(10，＋∞)上是增函数， ∴ 当x ＝10时，总造价最低，且y min ＝520a (元)．跟踪训练1．下列函数中最小值是4的是( )6A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝x ＋2xC ．y ＝21＋x ＋21－x D ．y ＝x 2＋1x 2＋1＋3，(x ≠0) 2．函数y ＝x ＋4x，x ∈(1,3]的值域为( ) A ．[133，5) B ．[4,5) C ．[133，4) D ．(4,5)3．函数y ＝－x ＋41－x＋3，x ∈[)－1，0的值域为____________． 4．y ＝2x 2＋31＋x 2的最小值是________． 5．已知x >0，则2＋x ＋4x的最小值是________． 6．函数y ＝x ＋3x在区间[1,2]上的最小值为____________． 7．若函数y ＝x ＋a x(a ＞0)在区间(5，＋∞)上单调递增，则a ∈________________. 8．建造一个容积为8m 3，深为2 m 的无盖水池，如果池底与池壁的造价每平方米分别是120元和80元，则水池的最低造价为____________元．9．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形休闲区A 1B 1C 1D 1和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000 m 2，人行道的宽分别为4 m 和10 m(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比A 1B 1B 1C 1＝x ，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数解析式；(2)要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽应如何设计？10．如图，某单位准备修建一个面积为600平方米的矩形场地(图中ABCD)的围墙，且要求中间用围墙EF隔开，使得ABEF为矩形，EFDC为正方形，设AB＝x米，已知围墙(包括EF)的修建费用均为800元每米，设围墙(包括EF)的修建总费用为y元．(1)求出y关于x的函数解析式；(2)当x为何值时，设围墙(包括EF)的的修建总费用y最小？并求出y的最小值．7811．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋3x(x ∈[2，＋∞))． (1)求f (x )的最小值；(2)若f (x )>a 恒成立，求a 的取值范围．12．已知函数f (x )＝x ＋a x，x ∈[1，＋∞)，a >0. (1) 当a ＝12时，求函数f (x )的最小值； (2) 若函数f (x )的最小值为4，求实数a .13．为了降低能损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层．体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能消耗费用C(单位万元)与隔热层厚度x (单位cm)满足关系C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10，为常数)，若不建隔热层，每年能消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能消耗费用之和．(1)求的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求出最小值．910参考答案1．C A 选项，由于x 可取负值，显然最小值不是4，排除A ； B 选项，由于x 可取负值，显然最小值也不是4，排除B ；C 选项，由于y ＝2·2x ＋22x ＝2(2x ＋12x )， 换元，令t ＝2x ，t >0，则y ＝2(t ＋1t)≥4，11当且仅当t ＝1即x ＝0时，函数有最小值4，D 选项，由于y ＝x 2＋1x 2＋1＋3＝x 2＋1＋1x 2＋1＋2，换元，令t ＝x 2＋1，t >1， 则y ＝t ＋1t＋2，函数在(1，＋∞)上单调递增，因此y >4，排除D 选项． 综上，答案为C.2．B 由对勾函数性质可知，当x ＝4x，即x ＝2时，表达式有最小值4，又函数在(1,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增， f (1)＝5，f (3)＝3＋43＝133，所以值域为[4,5)，答案为B. 3．[6,7)解析 y ＝－x ＋41－x ＋3＝1－x ＋41－x＋2， 换元，令t ＝1－x ，则x ∈[)－1，0时t ∈(1,2]，y ＝t ＋4t＋2，函数在(1,2]上单调递减， 若t ＝1，则y ＝1＋41＋2＝7， 若t ＝2，则y ＝2＋42＋2＝6， 故函数值域为[6,7)．4．26－2解析 换元，令t ＝1＋x 2，则t ≥1，x 2＝t －1，y ＝2(t －1)＋3t ＝2t ＋3t－2， 函数在[1，32]上单调递减，在[32，＋∞)上单调递增， 所以当t ＝32时，函数有最小值26－2.125．6解析 由对勾函数性质可知，当x ＝4x，即x ＝2时，表达式有最小值6. 6．2 3解析 因为y ＝x ＋3x在区间[1, 3 ]上单调递减，在[3，2]上单调递增，所以当x ＝3时函数有最小值2 3.7．(0,5]8．1 760解析 池底面积为82＝4 cm 2，设池底宽为x cm ，则长为4x cm ，则水池的造价为4×120＋2(4x×2＋x ×2)×80＝480＋1 280x ＋320x ≥480＋2 1 280x×320x ＝1 760. 9．解析 (1)设休闲区的宽为a 米，则其长为ax 米．由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x， 则S ＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x ＋160 ＝8010(2x ＋5x)＋4 160， 即S ＝8010(2x ＋5x )＋4 160. (2)S ＝8010(2x ＋5x )＋4 160≥16010·10＋4 160＝5 760， 当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时取等号，此时a ＝40， ax ＝100.13所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100米，宽40米．10．解析 (1)设AD ＝t 米，则由题意得xt ＝600，且t >x ，故t ＝600x>x ，可得0<x <106， 则y ＝800(3x ＋2t )＝800(3x ＋2×600x) ＝2 400(x ＋400x)， 所以y 关于x 的函数解析式为y ＝2 400(x ＋400x)(0<x <106)． (2)y ＝2400(x ＋400x )≥2 400×2x ·400x＝96 000， 当且仅当x ＝400x，即x ＝20时等号成立． 故当x 为20米时，y 最小．y 的最小值为96 000元．11．解析 (1)任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2，f (x )＝x ＋3x＋2. 则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2) (1－3x 1x 2)， ∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，又∵x 1≥2，x 2>2，∴x 1x 2>4,1－3x 1x 2>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．故f (x )在[2，＋∞)上是增函数，∴当x ＝2时，f (x )有最小值f (2)＝112.14(2)∵f (x )>a 恒成立，∴只需f (x )min >a .又∵f (x )min ＝112，∴a <112. 12．解析 (1) a ＝12时， f (x )＝x ＋12x， ∈[1，＋∞)． 令x ＝12x (x >0)，得x ＝22∉[1，＋∞)， ∴不能用不等式求最值．设1≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋(12x 1－12x 2) ＝(x 1－x 2)(1－12x 1x 2)<0， ∴函数 f (x ) 在[1，＋∞)上是单调递增函数，∴f min (x )＝f (1)＝32. (2)当0<a <1时，令x ＝a x，得x ＝a <1, ∵a ∉[1，＋∞) ，∴类似于(1)可知函数f (x )在[1，＋∞)上是单调递增函数， ∴f min (x )＝f (1)＝1＋a ＝4，得a ＝3，与0<a <1不符(舍)；当a ≥1时，a ≥1，∴由不等式知x ＋a x≥2a ， 当x ＝a x，即x ＝a 时， f min (x )＝2a ＝4， 解得a ＝4.15综上所述，函数f (x )的最小值为4时，a ＝4.13．解析 (1)依题意，当x ＝0 时，C ＝8，∴ ＝40 ，∴C (x )＝403x ＋5， ∴f (x )＝6x ＋20×403x ＋5＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10)． (2)f (x )＝2(3x ＋5)＋8003x ＋5－10， 设3x ＋5＝t ，t ∈[5,35]，∴y ＝2t ＋800t －10≥22t ·800t－10＝70， 当且仅当2t ＝800t，即t ＝20时等号成立． 这时x ＝5 ，因此f (x )的最小值为70.即隔热层修建5 cm 厚时，总费用f (x )达到最小，最小值为70万元．。
对勾函数题目
对勾函数题目
摘要：
1.对勾函数的定义和性质
2.对勾函数的图像和应用
3.对勾函数的解题技巧和方法
正文：
对勾函数题目是一种常见的数学题目，主要涉及到对勾函数的定义、性质、图像、应用以及解题技巧和方法。
对勾函数的定义和性质是对勾函数题目的基础。
对勾函数，也称反比例函数，是指函数值和自变量呈反比例关系的函数。
它的一般形式是y=k/x，其中k 为常数。
对勾函数的性质包括：当x 增大时，y 值减小；当x 减小时，y 值增大；当x=0 时，函数无定义；函数图像关于原点对称等。
对勾函数的图像和应用是对勾函数题目的重点。
对勾函数的图像是一条平滑的曲线，它分为两个部分：第一象限和第三象限。
在第一象限，函数值和自变量都是正数；在第三象限，函数值和自变量都是负数。
对勾函数在实际生活中的应用非常广泛，例如在物理学、经济学、生物学等领域都有应用。
对勾函数的解题技巧和方法是对勾函数题目的难点。
解题时，需要熟练掌握对勾函数的性质和图像，并能够灵活运用。
常见的解题方法包括：画图法、代数法、几何法等。
综上所述，对勾函数题目主要考察对对勾函数的定义、性质、图像、应用以及解题技巧和方法的理解和应用。
对勾函数讲解与例题解析
对勾函数讲解与例题解析对勾函数对勾函数:数学中⼀种常见⽽⼜特殊的函数。
如图⼀、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质对勾函数是数学中⼀种常见⽽⼜特殊的函数。
它在⾼中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(⼀) 对勾函数的图像对勾函数是⼀种类似于反⽐例函数的⼀般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正⽐例函数f(x)=ax 与反⽐例函数f(x)= b/x “叠加”⽽成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，⾮常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所⽰：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发⽣了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”⽽成。
（请⾃⼰在图上完成：他是如何叠加⽽成的。
）⼀般地，我们认为对勾函数是反⽐例函数的⼀个延伸，即对勾函数也是双曲线的⼀种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号）对勾函数的图像（ab 异号）接下来，为了研究⽅便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(⼆) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利⽤均值不等式可以得到：当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（⼆）得到了对勾函数的顶点坐标，从⽽我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线由图像我们不难得到： (六)对勾函数的奇偶性：对勾函数在定义域内是奇函数，⼆、均值不等式(基本不等式）对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
一道运用对勾函数求最值问题的研究性学习
• 18 •中学数学研究2020年第6期2sinBcosA - sinC = 2sinBcosA - sin (A + B) =sinBcosA - sinAcosB = sin(B - A).以下同解法 1.学生4：直接利用余弦定理的另外一种形式，解 法2和解法3都可以进行简化.解法4：由余弦定理戻=a +c - 2accosB ,代入(4)式整理得 ac = c 2 - 2accosB ,即 a = c -2acosB(5).由正弦定理上式为sinA = sinC -2sirk4cos_B = sin (A + B) - 2sinAcosB = sinBcosA -cosBsinA = sin(B - A).以下同解法 1.解法5：由余弦定理戸=a +c -2accosB,代入(4)式得 ac = 2bcosA - / ,即 a = 2bcosA - c(6).以下同解法3.教师：(5)式和(6)式可以联想到锐角三角形中的什么定理？学生5：由(5)式和(6)式可以联想到锐角三角形中的射影定理.解法6：由锐角三角形中的射影定理得c =acosB + bcosA.结合由(5)式或(6)式，化简即a =bcosA - acosB.由正弦定理可化为 sinA = sinBcosA-sinAcosB = sin(B - A).以下同解法 1.感悟:数学教师在实施课堂教学的过程中，要让学生能够把自己所学的所积累的解题经验总结并加工，并让它保存在自己的记忆当中，当遇到一个新的 问题时，能够辨识它是属于哪一类基本问题,联想到 这个已经解决的问题，以此为索引，在脑子里提取出解决这个问题的方法，为学生构建一条“从具体到 抽象,从个别到一般，由此及彼”的思维通道，这一 策略体现了“转化与化归”的重要的数学思想方法.一道运用对勾函数求最值问题的研究性学习”陕西师范大学附属中学(710061) 曹 艳陕西师范大学附属中学分校(710061) 董 强试题 已知正数a 和6满足a + b = 1,求(a +丄)(6 +g)的最小值.a b这是学完基本不等式后留给同学们的一道练习题，学生的解答情况不尽一致，出现了不同解法的同 时也呈现了一些典型的错误，笔者将其整理希望对同学们的日后学习有所帮助.典型错误1：因为a >0,6 >0,所以(a+-)(6a4- £)=必+4+色 + ¥工2+2 = 4,所以(a +b ab a b丄)3+*)的最小值为4.*项目来源:本文系陕西师范大学教师教育研究专项资助成果《基于核心素养视域下的初中数学单元教学设计研究》(项 目编号:JCJY019)阶段性研究成果之一.a b典型错误2：因为a > Q,b > Q,a +b = 1,所以(a + —) (b+£) =aZ»+-y+ — + -7- = aZ»+-y + a b ab a b ab(a + 0)： -2ab =〃+W_2m 2Q-2,所以(a +ab ab—)(6 + 的最小值为2^2 - 2.a b错误评析：以上两类错误均来源于对基本不等 式等号成立条件的不重视所致，看到两个正数而且 有了定值，马上就去使用基本不等式，而不去检验等 号是否成立，这往往是学习基本不等式过程中出现错误频率最高的一个方面.实际上，上述问题中，因 为 a > Q,b > 0,a +b = 1,所以 ab W ”_ J_,当且仅当a = b = *时取等号，即必e (0,*],错误1中等号如要成立须有a = b = 1，这不可能，错误2中等号如要成立须有必=也不可能.事实上，上述两种解法均未能求出相应的最小值.解法1：因为a >0,6 >0,a+b = 1,所以必W2020年第6期中学数学研究• 19・(中 )2 =*，当且仅当a = b=+时取等号，即必e (0,*],由对勾函数的性质可知当且仅当a = b=寺时,(a+丄)3+壬)=必+三-2有最小值2a b ab为孚解法 2： (a + 丄)(b + +)= (a+° + l)(b +a b a-y- + 1) 二 ab + —— + —— + -y- + —— + 3 M cib + 2 Jab b baba + 2+3 = (/^ + l 「+4,因为 M e (0,y],所以(烦+ if +4 M 孚，当且仅当烦二!，即a=b 二+时，(。
对勾函数讲解与例题解析
对勾函数对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+错误！未找到引用源。
的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误！未找到引用源。
（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号）对勾函数的图像（ab 异号）接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，错误！未找到引用源。
当x<0时，错误！未找到引用源。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六)对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、均值不等式(基本不等式） 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。