高中数学第二章数列2.3等差数列的前n项和二学案新人教A版必修

2.3 等差数列的前n 项和（二）

[学习目标]1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质.2.掌握等差数列前n 项和的最值问题.3.理解a n 与S n 的关系，能根据S n 求a n .

知识点一等差数列前n 项和及其最值 1．前n 项和公式：S n ＝na 1＋

n （n －1）2

d ＝d 2

n 2＋(a 1－d

2

)n ．

2．等差数列前n 项和的最值

(1)在等差数列{a n }中，当a 1＞0，d ＜0时，S n 有最大值，使S n 取到最值的n 可由不等式组

⎩

⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0确定； 当a 1＜0，d ＞0时，S n 有最小值，使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩

⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0确定．

(2)因为S n ＝d

2n 2

＋⎝

⎛

⎭⎪⎫

a 1－d 2n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有最小值；当

d ＜0时，S n 有最大值；且n 取最接近对称轴的自然数时，S n 取到最值．

知识点二数列中a n 与S n 的关系

对任意数列{a n }，S n 与a n 的关系可以表示为

a n ＝⎩

⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1

S n －S n －1 （n ≥2）.

思考若S n ＝n 2

＋n ，则a n ＝________． 答案2n

解析n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2

＋n －[(n －1)2

＋(n －1)]＝2n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝12

＋1＝2＝2×1， ∴a n ＝2n .

知识点三裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而实现求和． 常见的拆项方法： (1)

1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，1n （n ＋2）＝12⎝ ⎛⎭

⎪⎫1

n －1n ＋2；

1n （n ＋k ）＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1

n －1n ＋k ；

(2)

1

n ＋1＋n

＝n ＋1－n ，

1

n ＋2＋n ＝12(n ＋2－n )，1n ＋k ＋n ＝1k (n ＋k －n )；

(3)1（2n －1）（2n ＋1）＝12(12n －1－12n ＋1

)．

题型一已知S n 求a n

例1已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n 2

＋3n ，试判断数列{a n }是不是等差数列． 解∵S n ＝2n 2

＋3n ，∴当n ≥2时，

a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋3n －2(n －1)2－3(n －1)＝4n ＋1.

当n ＝1时，a 1＝S 1＝5＝4×1＋1. ∴n ＝1时，适合a n ＝4n ＋1.

∴数列的通项公式是a n ＝4n ＋1.故数列{a n }是等差数列．

反思与感悟(1)a n 与S n 的关系：a n ＝⎩

⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，

S n －S n －1，n ≥2.

当n ＝1适合于a n 时，则a 1可以统一到a n (n ≥2，n ∈N *

)的形式中．若n ＝1不适合a n ，则通项公式应写成分段函数形式．

(2)等差数列{a n }中，若d ≠0，则S n 可写成关于n 的二次函数形式，反之，若S n ＝An 2

＋Bn ，那么数列{a n }一定是等差数列．

跟踪训练1本例中，若S n ＝2n 2

＋3n ＋1，试判断该数列是不是等差数列． 解∵S n ＝2n 2

＋3n ＋1.∴n ≥2时，

a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋3n ＋1－2(n －1)2－3(n －1)－1＝4n ＋1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝6≠4×1＋1.

∴a n ＝⎩

⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，

4n ＋1n ≥2，故数列{a n }不是等差数列．

题型二等差数列前n 项和的最值问题

例2在等差数列{a n }中，若a 1＝25，且S 9＝S 17，求S n 的最大值． 解方法一∵S 9＝S 17，a 1＝25，

∴9×25＋9（9－1）2d ＝17×25＋17（17－1）2d ，

解得d ＝－2. ∴S n ＝25n ＋

n （n －1）

2

×(－2)＝－n 2

＋26n

＝－(n －13)2

＋169.

∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 方法二同法一，求出公差d ＝－2.

∴a n ＝25＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋27. ∵a 1＝25>0，

由⎩

⎪⎨⎪⎧a n ＝－2n ＋27≥0，

a n ＋1

＝－2（n ＋1）＋27≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤1312，n ≥1212

又∵n ∈N *

，∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 方法三∵S 9＝S 17， ∴a 10＋a 11＋…＋a 17＝0.

由等差数列的性质得a 13＋a 14＝0. ∵a 1>0，∴d <0.∴a 13>0，a 14<0. ∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 方法四设S n ＝An 2

＋Bn . ∵S 9＝S 17，

∴二次函数对称轴为x ＝9＋17

2＝13，且开口方向向下，

∴当n ＝13时，S n 取得最大值169.

反思与感悟(1)等差数列前n 项和S n 最大(小)值的情形： ①若a 1>0，d <0，则S n 存在最大值，即所有非负项之和． ②若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值，即所有非正项之和． (2)求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法：

①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用

⎩

⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0来寻找． ②运用二次函数求最值的方法，注意解自然数． 跟踪训练2已知等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值？ 解(1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0，

得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝11－2n . (2)方法一a 1＝9，d ＝－2，

S n ＝9n ＋n （n －1）2

·(－2)＝－n 2＋10n ＝－(n －5)2＋25，

∴当n ＝5时，S n 取得最大值．