根据抛物线的平移规律解题

根据抛物线的平移规律解题

山东 于秀坤

有关抛物线平移的题型一般有两种情况：（1）已知抛物线关系式及要平移的单位和方向，求平移后所得的抛物线关系式；（2）已知原抛物线和经过平移后所得的抛物线，说明平移的方向和单位．解决这两类问题的关键是正确找出抛物线平移的规律．

抛物线平移规律可由其顶点式2()y a x h k =-+中顶点坐标()h k ，来判断．当h 增大时．图象向右平移；当h 减小时，图象向左平移．当k 增大时，图象向上平移；当k 减小时，图象向下平移．反之，也成立．下面举例说明．

一、已知抛物线的关系式求平移后所得抛物线的关系式 例1 将抛物线22y x =先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线的关系式为________．

析解：抛物线22y x =的顶点坐标为(00)，， 向右平移3个单位，再向下平移2个单位所得抛物线的顶点坐标为(32)-，，所以所得抛物线的关系式为22(3)2y x =--． 例2 将抛物线23(1)3y x =---先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线关系式为_______．

析解： 因为抛物线23(1)3y x =---的顶点坐标为(13)-，， 所以向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度后所得抛物线的顶点坐标是(1235)--+，，即(12)-，，所以所得抛物线的关系式为23(1)2y x =-++．

二、已知平移后的抛物线的关系式求原抛物线的关系式

例3 将抛物线2()y a x h k =-+先向左平移5个单位，再向下平移4个单位后得抛物线为21(2)32

y x =-+-，则原抛物线的关系式为_______． 析解：因为原抛物线的顶点坐标为()h k ，， 向左平移5个单位，再向下平移4个单位后所得抛物线的顶点坐标为(23)--，，由5243h k -=--=-，，得31h k ==，，所以

原抛物线的顶点坐标为(31)，．所以原抛物线为21(3)12

y x =--+． 三、已知平移前后抛物线的关系式，求平移的方式 例4 将抛物线2

2(2)5y x =---经过怎样的平移，可得抛物线22(4)3y x =-++？ 析解：因为抛物线22(2)5y x =---的顶点坐标为(25)-，，抛物线2

2(4)3

y x =-++的顶点坐标为(43)-，，又因为426358-=-=-+，，所以将抛物线22(2)5y x =---向左

平移6个单位长度，再向上平移8个单位长度，可得抛物线2

2(4)3y x =-++．

例5 已知抛物线223y x x =+-，如何平移此抛物线使其图象与抛物线247y x x =-+的图象完全重合．

析解：首先通过配方，得2223(1)4y x x x =+-=+-，2247(2)3y x x x =-+=-+．所以平移前抛物线的顶点坐标为(14)--，，平移后抛物线的顶点坐标为(23)，．因为213=-+，347=-+，所以，只要将抛物线2

23y x x =+-向右平移3个单位长度，再向上平移7个单位长度，就可与抛物线247y x x =-+的图象完全重合．

四、已知平移前的抛物线，求如何平移使其符合某些条件

例 6 把抛物线22(1)y x =--向上平移k 个单位使其所得的抛物线经过点(210)--，．求k 的值．

析解：设平移后的抛物线为22(1)y x k =--+，即2

242y x x k =-++-．因为此抛物线经过点(210)--，，所以将210x y =-=-，代入关系式，得2102(2)4(2)2k -=-⨯-+⨯-+-，解得8k =．