等腰三角形

等腰三角形

语录天下：I know someone in the world is waiting for me, although I've no idea of who he is. But I feel happy every day for this.

我知道这世上有人在等我，尽管我不知道谁在等我。但是因为这样，我每天都非常快乐。

知识点一：等腰三角形、腰、底边

有两边相等的三角形叫等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角

如图所示，在△ABC中，AB=AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

1．如图1，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，请你设计三种不同的分法，把△ABC分割成两个三角形，且要求其中有一个是等腰三角形。（在等腰三角形的两个底角处标明度数）

知识点二：等腰三角形的性质

1、性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．

知识点三：等腰三角形的判定定理

1、定理内容及证明

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”），

2．如图，在△ABC中，D在BC上，且

AB=AC=BD，∠1=30°，求∠2的度数。

举一反三：

【变式1】如图3，D是△ABC中BC边上的一点，E是AD上的一点，EB=EC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC。

【变式2】如图，D、E在△ABC的边BC上，且BE=BA，CD=CA，若∠BAC=122°，求∠DAE的度数。

【变式3】在△ABC中，AB=AC，D在BC上，E在AC上，且AD=AE，

∠BAD=30°，求∠EDC的度数。

3．当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论

（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，求周长。

（2）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，求周长。

举一反三：

【变式1】当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论

等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个内角的度数

【变式2】当高的位置关系不确定时，必须分类讨论

等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数。

【变式3】由腰的垂直平分线所引起的分类讨论

在三角形ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，求底角B的度数。

【变式4】由腰上的中线引起的分类讨论

等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，求腰长。

知识点四：等边三角形

1、等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形

2、注意：①由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．

②等边三角形具有等腰三角形的一切性质．

知识点五：等边三角形的性质

1、等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°

注意：这条性质只有等边三角形具有．

知识点六：等边三角形的判定

1、等边三角形的判定：

（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

知识点七：直角三角形性质定理

1、定理内容：在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半

4．已知：如图，∠ABC，∠ACB的平分线交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E。

求证：BD＋EC＝DE。

举一反三：

【变式1】如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE是等边三角形，AE交CD 于M，BD交CE于N，交AE于O。

求证：（1）∠AOB＝120°；

（2）CM＝CN；

（3）MN∥AB。

【变式2】已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB，CD⊥AB（如图所示）。

求证：（1）AB＝2BC；

（2）CE＝AE＝EB。

【变式3】已知△ABC为等边三角形，在图4中，点M是线段BC上任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点。

（1）请猜一猜：图4中∠BQM等于多少度？

（2）若M、N两点分别在线段BC、CA的延长线上，其它条件下不变，如图5所示，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由。

课后作业：

1．在△ABC 中，AB=AC ，∠1=12∠ABC ，∠2=12

∠ACB ，BD 与CE 相交于点O ，如图，∠BOC 的大小与∠A 的大小有什么

关系？

若∠1=

13∠ABC ，∠2=13∠ACB ，则∠BOC 与∠A 大小关系如何？ 若∠1=1n ∠ABC ，∠2=1n

∠ACB ，则∠BOC 与∠A 大小关系如何？

2．如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD•将这个

等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底

边长．

3．（2011年常德市）如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA 、PB 、PC ，•以BP 为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP ，连结CQ ．

（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．

（2）若PA ：PB ：PC=3：4：5，连结PQ ，试判断△PQC 的

形状，并说明理由．（利用勾股定理）