浅谈初中生分类讨论思想的培养

浅谈初中生分类讨论思想的培养
永州市第十六中学屈宗清
数学思想方法是新知识拓广的指导思想，是数学概念、定理、公式的认识论基础，是解题策略的源泉。

分类讨论思想是中学数学中的一种极其重要的数学思想方法，它是依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解。

如果能让学生理解并掌握分类讨论的思想方法，抓住问题的本质，在解题中进行正确、合理、严谨的分类，这既有利于把复杂的问题转化为几个较为简单的问题来处理，同时也可以培养学生的综合分析能力和发展他们思维的条理性、严谨性和完整性。

分类讨论思想是在数学知识的发生和应用的过程中形成和发展的，在知识发展的各个阶段所反映出不同的层次性。

在数学教学中，我们既要重视数学知识应用阶段的教学，更要重视形成阶段的教学，把数学思想方法的训练贯穿于教学始终，充分揭示数学思维过程，将“发现过程中的数学”返璞归真地教给学生，帮助他们了解问题的本来面目，回复问题的本源。

我想，这才是数学教学追寻的最终目的。

（一）在概念教学中渗透分类讨论意识和原则
分类讨论是重要的数学思想方法，但初中学生常常分类讨论的意识不强，不知道哪些问题需要分类及如何合理的分类。

这就需要教师在教学中结合教材，创设情景，予于强化，需要区分种种情况进行讨论的问题，启发诱导，揭示分类讨论思想的本质，从而培养学生自觉应用分类讨论的意识。

由于数学中的许多概念的定义是分类给出的或是不少概念都有一定的限制，如实数的分类，一元二次方程的概念中对二次项系数的
限定，平方根中对于被开方数的限定等，完全平方式的意义，绝对值中a的三种情况的分类给出等。

涉及到这些概念是就必须按照给出的概念的分类形式进行讨论。

在概念教学中，我总能注重揭示概念的产生的过程，帮助学生明确概念存在的前提，清楚地理解概念中的关键字，词，尤其对容易出现偏差的、相似的、相近的概念进行比较教学，对含有补充和规定的概念注意强调，必要时，借助于形与数，进行直观、准确地概念理解。

如对于一元二次方程一般式中涉及a≠0的规定，教学时，我让学生理解当a=0与a≠0时，方程会有怎样的变化，在此基础上，让学生说明关于x的一元二次方程mx2-(m-1)x-2(3m-1)=0中m的限制条件，随后进行了概念的变式，将“一元二次”四字隐去，提出这是个怎样的方程，并如何求解。

学生经历了对概念中关键字词及补充条件的理解后，很清晰地就a=0与a≠0两种情况作分类讨论。

在日常教学中的这种有序的、有目的渗透，使学生在学习的过程中逐步领悟和接受解决问题中的分类讨论的思想，在学习知识的过程中体会到为什么要分类及分类的基本原则（分类标准要统一，不重复不遗漏），明确分类讨论的思想是解决某些数学问题的一种重要的、有用的思想方法，从而在体会分类的完整性和严谨性中训练了学生思维的条理性和目的性。

（二）在法则、定理、公式导出过程中体现分类讨论思想有些数学性质、公式或定理在不同条件下有不同的结论，或是结论在一定限制条件下才成立，这就要在教学的过程中逐步体现分类讨
论思想。

例如对于正比例函数图像的递减（增）性要取决于k 小于0还是大于0，不等式的运算性质，要按不等式的两边同乘以或同除以同一个正、负数不同而决定不等号方向是否改变等来进行分类讨论。

又如初中九
年级课本证明圆
周角定理：一条
弧所对的圆周角
等于它所对的圆
心角的一半。

为什么要根据圆心相对于圆周角的位置分成三种情况（如上图）去证，这就需要学生在自主画图测量、分析讨论方可以回答的问题，否则就失去了从一般到特殊，从特殊到一般的思维过程，就无法体会分类证明的目的和优点。

于是学生在我的引导下，兴趣盎然地进行探索活动，逐步体会到恰当的分类可增强题设的条件，即把分类的依据做为附加条件，先证明特殊情况，再由特殊情况推广到一般情况的解决问题的思路，揭示分类讨论的本质为化繁为简，由特殊到一般，分而治之。

之后，在学习弦切角定理的证明时，学生们再次重现了“分类讨论的思想”的探究过程。

在数学教学中，我们应该不断重视法则、定理、公式的论证过程，注意归纳、揭示公式之间的联系，帮助学生增强分类意识，体验分类思想方法的作用。

（三） 在单元小结、专题讲座中提炼与概括分类思想
B C A A
C D C
在单元小结时，一般的做法都是通过归纳成条文或画图表概括等手段来罗列某个单元的知识点，学生在听知识梳理课时往往表现得漫不经心、没精打采的。

要在单元复习过程中切实提高学生思维素质，出路在于不仅要教会学生梳理知识，更要教会学生用数学思想方法进行“反思”。

由于数学学习中，有时同一内容可体现出不同的数学思想方法，而同一数学思想方法如分类思想又常常分布在许多不同的知识点中。

于是，我在单元小结时注重从纵横两方面去整理单元知识中所蕴藏的数学思想方法，变教材的“单元内容小结”为“内容+数学思想方法”形式的小结。

在单元小结中注意指导学生把常用的数学方法提高到思想方法的高度来认识，注意把数学知识所揭示的本质规律加以提炼、概括，使学生真正从思想方法上去掌握。

此外适当开设专题讲座，也是帮助学生理解数学知识，培养数学思维的一条有效途径。

我们可以在讲座中系统讲清分类讨论思想方法的内涵、外延、作用、功能等，熟悉分类讨论思想出现的常见题型及特点，从而进一步在提炼与概括中把握分类讨论的思想。

（四）在解题规律过程中突出与强化分类讨论的思想。

美国数学教育家波利亚说：“问题是数学的心脏，学数学就意味着解题。

”要解好数学问题，不仅要有足够的数学知识和技能，而且要有清晰的解题思路，在概括解题规律的过程中，如何突出数学思想方法就成了数学教学的一个很重要的任务。

就分类讨论思想方法而言，在题规律过程中以下两种情况居多。

一是由几何图形的可变性引起的讨论。

在解题过程中有些几何问题的图形位置或形状不能确定，如果解题时进行统一处理，将会遇到
较大困难，这时就必须进行讨论，把问题分成几类或几部分来处理，采取分而治之的方法来各个击破。

在实际教学中可以碰到很多这种习题。

如：
1、 等腰三角形的两边为4，6，求该三角形的周长？
2、 ⊙O 的半径为5cm ，AB 和CD 为⊙O 中的两条平行弦，求AB 和CD 间的距离？
3、已知AB C ∆中，AB=10，AC=12，BC 边上的高AD=8，试求BC 之长。

4、如图，已知CAB RT ∆中，
1BC AC ,90ACB 0===∠，点P 在斜边AB 上移动（点P 不与点A 、B 重合），以P 为顶点作045CPQ =∠,射线
PQ 交BC 边与点Q 。

CPQ ∆能否是等腰三角形？如果能够，试求出AP 的长，如果不能，试简要说明理由。

二是由数量大小不确定引起的讨论。

在计算或推理过程中，遇到数量大小不能确定是应进行讨论。

如化简：1212--+-+=
x x x x y 解：原式＝
112)1(112)1(+---++-+-x x x x ＝
22)11()11(--++-x x ＝|11+-x |+|11--x | ＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<≤≥-)1(212
)2(12x x x x 无解 它揭示了二次根式性质：⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||2a a a a a a 在分类讨论化一般为特殊，
变抽象为具体所起的转化作用。

又如解关于x 的不等式：x 2-(a-1)x-a ≤0,此二次不等式的解应根据a 与-1
的大小来确定，因此同样要进行P
A
讨论。

总之，分类讨论的思想方法是在数学知识的发生和应用的过程中形成和发展的，它的灵活掌握是需要有个潜移默化的过程，是要在多次理解和反复应用的基础上逐步形成的，它是数学教学中的长期任务。

因此，教师要在在日常教学中要根植于课本，着眼于提高，要善于挖掘各种教学资源中所蕴含的分类讨论的思想方法，不失时机地逐步引导学生建立分类讨论的思想，揭示分类讨论思想的本质，进行渗透、概括、提炼与强化，使学生能够自觉合理的运用分类讨论的思想解决相应数学问题，掌握分类讨论数学思想方法这个锐利武器，从而提高学生的综合运用的能力和良好的思维品质。