D1_1行列式

( 4) 2 ( 3) 2 ( 2) ( 2) 1 1 4
4 6 32 4 8 24 14.
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二 、行列式的性质
将行列式 D 的行与相应的列互换后所得的新
T D 行列式，称为D的转置行列式，记为
a11
a12 a22 a32
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
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a11 a12 a13 D a21 a22 a23 .列标 a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算 a11 a12 a13 a11 a12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32
1 2
1 a22 : 2 a12 :
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
两式相减消去 x2，得
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（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2 ;
分母都为原方程组的系数行列式.
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例1 求解二元线性方程组 3 x1 2 x2 12, 2 x1 x2 1. 解
D
3 2 2 1 1
3 ( 4) 7 0,
D1
12 2 1
14, D2
3 12 2 1
21,
D1 14 D2 21 x1 2, x 2 3. D 7 D 7
按第三列展开
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2
3
1 1 3
分别按第一行，第
例3 将行列式 D 1 4 5 2 三列展开。
解 按第一行展开 1 1 11 4 1 2 1 D 2 1 3 1 2 3 5 3
1 1
1 3
1 4 5 2
2 10 3 2 1 18
a21 a23 a23 a31 a33
1 0 11 1 2 1 0 0 1
1 1
1
0 1
2
1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1
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性质6：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同 一数 k 后再加到另一行（列）对应的元素 上去，行列式的值不变。 用数 k 乘第 t 行加到第 s 行上： rs krt “运算性质” cs kct 用数 k 乘第 t 列加到第 s 列上：
a13 a23 a33
即若
D a21 a31 a11 DT a12 11 a13 11
a11 a11 21 31 a11 a 32 11 22 a11 a33 11 23
行变列，列变行
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性质1：行列式与它的转置行列式相等, 即 D D
1 2 4 1
T
例
D 2 2 1 DT 2 4
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性质4：用非零数 k 乘行列式的某一行（列）中 所有元素，等于用数 k 乘此行列式。
用 k 乘第 i 行： ri k 用 k 乘第 i 列： c i k
a11 D ka21 a31 a12 ka22 a32 a13 a33 a11 a31 a12 a22 a32 ka23 k a21
14.
3 4 2 2 3 2 1 4 2
4 6 32 24 8 4
DD
T
14.
由此性质也知：行具有的性质．列也同样具有．
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性质2：互换行列式的两行 ( 列 )，行列式变号。 互换 s、t 两行： rs rt 互换 s、t 两列： cs ct “运算性质”
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 .
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(2)对角线法则 a11 a12
a13 a23 a33
a21 a22 a31 a32
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
和第 j 列划去后，余下的 二 阶行列式叫 元素 aij 的余子式, 记为 M ij , 同时
i j Aij 1 M ij
称为 元素 aij 的代数余子式。
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a11
a12 a22 a32
a13 a23 a33
例如：D a21 a31 元素 a23 的 余子式
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a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a11 a12 D , a21 a22
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a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
b1 D1 b2 a12 , a22
3
2 0 1
3 1 1
推论2：行列式中某一行（列）的元素全为零，则 这 个行列式等于 零。
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推论3：若行列式有两行（列）的对应元素成比 例，则行列式等于0 。
2 1 1
4 0 2
6
1 2
3
1 ( 2) 1 0 1 0 3 1 2 3
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二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a11a22 a12a21 .
a11 a12
a12
a22
a11 x1 a12 x2 b1 , 对于二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2 .
若记 系数行列式
a11 a12 D , a21 a22
1 2
3
1 0 1 0 1 1
r1 r3
0 1
1
1 0 1 1 2 3
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性质3：若行列式有两行（列）相同，则行列式为 0 。
1 2 3 1 2 3 r1 r3 D 1 0 1 1 0 1 D 1 2 3 1 2 3
1 2
故 D 1
3
0 1 0 1 2 3
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性质5：若某一行是两组数的和，则此行列式就等 于如下两个行列式的和。
a11 a21 a21 a31 a12 a22 a22 a32 a13 a11 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
由方程组的四个系数确定.
（3）
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定义
由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
称列）的数表
a11 a12 a21 a22 ( 4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（ 4）所确定的二阶 a11 a12 行列式，并记作 a21 a22
即
( 5)
a11 a12 D a11a22 a12a21 . a21 a22
a31 A31 a32 A32 a33 A33
按第一行展开 按第二行展开 按第三行展开 按第一列展开
a11 A11 a21 A21 a31 A31 a12 A12 a22 A22 a32 A32 a13 A13 a23 A23 a33 A33
按第二列展开
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三阶行列式
定义
设有9个数排成3行3列的数表 a11 a12 a21 a22 a31 a32 a13 a23 a33 ( 5)
记 a11 a12
a21 a22 a31 a32
a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31, a33
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号．
说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
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1
2 -4
例２ 计算三阶行列式 D - 2 2 解 按对角线法则，有
1 -3 4 -2
D 1 2 ( 2) 2 1 ( 3) ( 4) ( 2) 4
a22 a11 a32 a23 a21 a 23 a 21 a 22 a12 a13 a33 a31 a 33 a 31 a 32
问题：一个 n 阶行列式是否可以转化为若干个 n－1 阶行列式来计算？
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定义1：在 三 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行
“运算性质”
a13 a23 a33
1 2
3
1 0 1 0 1 1
2 r1 1
2 4
6
1 0 1 2 0 1 1
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推论1：行列式中某一行（列）的公因子可以提到 行列式符号外面。
2 4 6 1 1 0 1 2 1 0 1 1
2
0 0 1
2 1 2 0 1
1 1
2 3
例
1 2 3 按 第2行 展 开 1 0 1 1 A21 0 A22 ( 1) A23 0 1 1
32
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2
3
1 1 3
1 4 5 2 2 3
D 1 4 5 2
按第三列展开
D 1 1
1 3
5 2 3 3 3 2 3 1 1 4 1 18 1 19 3 11
32
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a11 M 23 a31
考虑元素 a23
a12 a32
元素 a23的代 数余子式
A23 1
2 3
M 23 M 23
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定理：三阶行列式D 的值等于它的任一行（列）的各 元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D a11 A11 a12 A12 a13 A13 a21 A21 a22 A22 a23 A23
类似地，消去 x1，得 （a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21 ,
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
b1a22 a12b2 a11b2 b1a21 x1 ， x2 . a11a22 a12a21 a11a22 a12a21
第一章
行 列 式
第一节
一、二阶和三阶行列式 二、行列式的性质 三、行列式的展开 四、n阶行列式
第一章
行列式的定义、性质及计算
机动
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一 、二阶和三阶行列式
引例 用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
1 2 3 r2 r1 1 1 0 2 1 3 0 2 4 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1
1 2
3
1
2
3
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三 、行列式的展开 对于三阶行列式，容易验证：
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a 23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a 33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a11 b1 D2 . a21 b2
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则二元线性方程组的解为
b1
a12
a11
b1
D1 b2 a22 x1 , D a11 a12 a21 a22
注意
D2 a21 b2 x2 . D a11 a12 a21 a22
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a11 a12 D , a21 a22
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a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
b1 D1 b2 a12 , a22