对数与对数运算教案三课时

2.2.1 对数与对数运算（三课时）

教学目标：1．理解并记忆对数的定义，对数与指数的互化，对数恒等式及对数的性质．

2．理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程． 3．熟练运用对数的性质和对数运算法则解题． 4．对数的初步应用.

教学重点：对数定义、对数的性质和运算法则

教学难点：对数定义中涉及较多的难以记忆的名称，以及运算法则的推导

第一课时 对数的概念

教学过程：

（一）、自学引导

让学生自学课本62、63页，并完成以下练习

① 一般地，若(0,1)x

a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底N 的

______ 记作log a x N =，a 叫做对数的_____，N 叫做______.

称x

a N =为_______，称log a x N =为________.

②

<=>N a

x

=________________________________.

③指数式化为对数式：

11

44

33

==

00

101

41

==

4

1010000=

（二）、教师精讲

（1）（说一说）对数的文化意义

对数发明是17世纪数学史上的重大事件，为什么呢？大家一起来看一下 投影：恩格斯说，对数的发明与解析几何的创立、微积分的建立是17世 纪数学史上的3大成就。

伽利略说，给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙。

布里格斯（常用对数表的发明者）说，对数的发明，延长了天文学家的寿命。 对数的发明让天文学家欣喜若狂，这是为什么？ 我们将会发现，对数可以

将乘除法变为加减法，把天文数字变为较小的数，简化数的运算。这些都非常有趣。那么，什么是对数？对数真的有用吗？对数如何发现？我们带着这些问题，一起来探究对数。

（对数的导入）

为了研究对数，我们先来研究下面这个问题： （P62思考）根据上一节的例8我们能从

13 1.01x y =⨯中，算出任意一个年头x 的

人口总数，那么哪一年的人口达到18亿，20亿，30亿？

（停顿让学生思考） 即：

182030

1.01, 1.01, 1.01,131313

x x x ===在个式子中，x 分别等于多少？

（2）（讲一讲）对数概念

在这三个式子中，都是已知（停顿）底数和幂，求指数x 。如何求指数x ？这是本节课要解决的问题。这一问题也就是：

x

x 01a N a N a a =>≠若，已知和如何求指数（其中，且）

数学家欧拉用对数来表示x ，如何表示？

一般地，若(0,1)x

a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，

记作log a x N =，a 叫做对数的底数，N 叫做真数.

称x

a N =为指数式，称log a x N =为对数式

我们可以由指数式得到对数式，也可以由对数式得到指数式：

log x

a a N N x

=⇔=

不难得到，181.0113x

=

的x 用对数表示就是 1.0118log 13

x = 我们要注意到，x

a N =中的01a a >≠且。因此，log a N x =也要求

01a a >≠且；还有log a N x =中的真数N 能取什么样的数呢？这是为什

么？

这是因为01a a >≠且，所以0x

a N =>。因此，log a N x =中真数

N 也要求大于零，即负数与零一定没有对数。

（3）（做一做）指数式与对数式间的关系

例1 指数式化为对数式：

114433

==

0010141

== 4

1010000=

让学生大胆猜测，由

43log 41log 31

==，可以发现什么结果？

由

104log 10log 10

==呢？

log 10,log 1(01

a a a a a ==>≠其中，且）.为什么？

10

,1(01

a a a a a ==>≠把其中，且）化为对数式.立 即得到上式结论。

我们还会注意到，4

1010000=，10log 100004=，利用对数可以将很大很大 的数变为较小的数，减少计算量，以后还会发现，乘除运算便会加减运算，简

化运算.

（4）（讲一讲）例题讲解

例2 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）54=625 (2)6

12

64-=

(3)1

() 5.733

m =

(4) 3log 92= (5)5log 1253= (6) 12

log 164=-

（做一做）练习：

1. 把下列指数式写成对数式：

3

(1)28= 5

(2)232= 1

1

(3)22

-= 131(4)273-=

2. 把下列对数式写成指数式：

3(1)log 92= 5(2)log 1253= 21(3)log 24

=- 31

(4)log 481=-

（5）（讲一讲）两种特殊的对数：

常用对数10log lg N N 记为； 自然对数 e log ln N N 记为；

教师：对数log a N 的底a 有何限制?（停顿）01a a >≠且

10a =，我们得到对数10log N 。称10log N 为常用对数。通常写成lg N .

当e=2.71828a =…时，得到对数e log N ，称e log N 为自然对数。通常写成

ln N

（做一做）练习：

把下列对（指）数式写成指（对）数式： （1）lg 0.012=- （2）ln10 2.303=