交通流理论第五章

第五章连续交通流模型

如果从飞机上俯看某条高速公路，我们会很自然地把来来往往的车流想象成河流或某种连续的流体。正是由于这种相似性，经常使用流量、密度、速度等流体力学术语来描述交通流特性。我们知道，流体满足两个基本假设：一是流量守恒，二是速度与密度（或流量与密度）对应。对于交通流，其中第一个假设比较容易证明，而第二个假设的成立需要有一定的条件。本章将推导交通守恒方程，介绍它的解析解法和数值解法，以此为依据还将介绍更精确的动态模型，并详细地讨论交通波理论。

第一节守恒方程

、守恒方程的建立

守恒方程比较容易推导，可以采用下面的方法：考察一个单向连续路段，在该路段上选择两个交通记数站，如图5—1所示，两站间距为△ x,两站之间没有出口或入口（即该路

段上没有交通流的产生或离去）。

图5—1 用于推导守恒方程的路段示意图

设N i为厶t时间内通过i站的车辆数，q i是通过站i的流量，△ t为1、2站同时开始记数所持续的时间。令△ N = N2-N1,则有：

N i/ △ t=q

N2/ △ t=（2

△N/A t=A q

如果△x足够短，使得该路段内的密度k保持一致，那么密度增量厶k可以表示如下：

Z

-”号，是因为如果(N 2— NJ >0,说明从站2驶离的 也就是两站之间车辆数减少，即密度减小。换句话说，

-/:q ：A = . ：k. ：x

卫辿=0

L X L t

假设两站间车流连续，且允许有限的增量为无穷小，那么取极限可得：

殂+鱼=0 x

-1 该式描述了交通流的守恒规律，即有名的守恒方程或连续方程，这一方程与流体力学的方程 有着相似的形

式。 如果路段上有交通的产生或离去，那么守恒方程采用如下更一般的形式：

旦』=g(x,t )

.X :t

这里的g (x , t )是指车辆的产生(或离去)率(每单位长度、每单位时间内车辆的产生或 离去数)。 二、守恒方程的解析解法

守恒方程5—1和5—2可以用来确定道路上任意路段的交通流状态，它把两个互相依 赖的基本变量一一密度 k 和流率q 与两个相互独立的量一一时间

t 和距离x 联系了起来。 但是，如果没有另外的附加方程或假设条件，

对方程5—2的求解是不可能的。为此我们把 流率q 当作密度k 的函数，即q=f (k )。相应地u=g (k ),这是一个合理的假设，但只有在 平衡状态时才能

成立。下面介绍守恒方程的解析解法。

回到式(5—2)的求解。考虑下面的基本关系式： q 二 ku

(5 — 3)

易知，如果在式(5 — 2)中u=f (k ),我们将得到只有一个未知量的方程，

可以对其解析求解。 针对一般情况的解析解法很复杂，实际应用起来也不方便。为了简化求解过程，我们只考 虑没有交通产生和离去的影响，即

g (x , t ) =0的情况，这样我们可以把守恒方程化为如

下形式： ■

★- 'k ；:k df ：：k : k 一(ku) [kf (k)] f (k) k 0 式中(N 2- N 1)前面之所以加上" 车辆数

大于从站1驶入的车辆数， △ N 与厶k 的符号相反，于是：

同时，根据流量的关系，有: 因此

△ q A t=A N

(5— 1) (5— 2) ［

(5— 4)

x :t :x :t :x dk：x :t