一元二次方程的解法(直接开平方法)练习题
(完整版)一元二次方程解法及其经典练习题
一元二次方程解法及其经典练习题方法一：直接开平方法（依据平方根的定义）平方根的定义：如果一个数 的平方等于a （ ），那么这个数 叫做a 的平方根即：如果 a x =2 那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式一、 用直接开平方法解下列一元二次方程。
1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4．.25)1(412=+x5．(2x ＋1)2=(x －1)2． 6．(5－2x )2=9(x ＋3)2． 7．.063)4(22=--x方法二：配方法解一元二次方程1. 定义：把一个一元二次方程的左边配成一个 ，右边为一个 ，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
2. 配方法解一元二次方程的步骤：（1） （2）（3） 4) (5)二、用配方法解下列一元二次方程。
1、.0662=--y y2、x x 4232=- 39642=-x x 、4、0542=--x x5、01322=-+x x6、07232=-+x x方法三：公式法1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法2.公式的推导：用配方法解方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）解：二次项系数化为1，得 ，移项 ，得 ，配方, 得 ，方程左边写成平方式 ，∵a ≠0,∴4a 2 0,有以下三种情况：（1）当b 2-4ac>0时，=1x ， =2x（2）当b 2-4ac=0时，==21x x 。
（3）b 2-4ac<0时，方程根的情况为 。
3.由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因（1）式子ac b 42-叫做方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）根的 ，通常用字母 “△” 表示。
当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根；当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根；当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根。
直接开平方法解一元二次方程基础练习50题含详细答案
此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键
6．C
【详解】
解：要利用直接开平方法解一元二次方程，先将一元二次方程进行变形，变形为等号左边是数的平方或完全平方形式，等号右边为常数，且当常数要大于或等于0时，方程有实数解，因为选项C，移项后变形为 ，根据平方根的性质，此时方程无解，
10． 2或-1．
【解析】
①∵－ － ,
∴min{－ ，－ }=－ ;
②∵min{(x−1)2,x2}=1，
∴当x>0.5时,(x−1)2=1，
∴x−1=±1，
∴x−1=1，x−1=−1，
解得：x1=2,x2=0(不合题意,舍去)，
当x⩽0.5时,x2=1，
解得：x1=1(不合题意,舍去),x2=−1，
11．方程x2－3＝0的根是__________．
12．一元二次方程 的解是______．
13．方程x2﹣4＝0的解是_____．
14．如图，已知sinO＝ ，OA＝6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，则AP＝________．
15．方程（x−2）2=9的解是_________.
16．方程 的根是______________．
17．若一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是m+1与2m－4，则 =.
18．方程4x2-4x+1=0的解为_______．
三、解答题
19．解方程：
20．解方程： .
21．按指定的方法解方程：
（1）9（x﹣1）2﹣5=0（直接开平方法）
（2）2x2﹣4x﹣8=0（配方法）
（3）6x2﹣5x﹣2=0（公式法）
故选:A.
【点睛】
专题2-2 用直接开平方法求解一元二次方程-重难点题型(举一反三)(北师大版)(原卷版)
专题2.2 用直接开平方法求解一元二次方程-重难点题型【北师大版】【题型1 直接开平方法解一元二次方程的条件】【例1】（2020秋•环江县期末）若关于x的方程x2﹣m＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m＜0B．m≤0C．m＞0D．m≥0【变式1-1】（2020秋•乐亭县期中）若方程（x﹣1）2＝m+1有解，则m的取值范围是（）A．m≤﹣1B．m≥﹣1C．m为任意实数D．m＞0【变式1-2】（2020春•南岗区校级月考）若（4x﹣3）2＝m+3无实数解，则m的取值范围是．【变式1-3】（2020秋•鼓楼区校级月考）已知关于x的方程（x﹣1）2＝4m﹣1有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若方程有一个根为2，求方程的另外一个根．【题型2 解形如x 2=p(p ≥0)的方程】【例2】（2020秋•梁溪区校级期中）解方程：（1）x 2＝9；（2）4x 2﹣25＝0．【变式2-1】（2020秋•江城区期中）解方程4x 2﹣13＝12【变式2-2】（2020秋•马山县期中）解方程：1﹣8x +16x 2＝2﹣8x ．【变式2-3】（2020春•金山区期中）解关于x 的方程：x 2﹣1＝1﹣ax 2（a ≠﹣1）．【题型3 解形如(mx +n)2=p(p ≥0,m ≠0)的方程】【例3】（2021•广州校级期中）解方程：4（2x ﹣1）2﹣36＝0．【变式3-1】（2020春•蜀山区期中）解方程：12（y +2）2﹣6＝0 【变式3-2】（2020秋•孟津县期末）解方程：（y +2）2＝（3y ﹣1）2．【变式3-3】（2021秋•孝南区月考）解方程：4x 2+12x +9＝81．【题型4 已知方程的根求字母的值】【例4】（2020秋•武昌区校级期中）如果x ＝2是方程x 2﹣c ＝0的一个根，这个方程的另一个根为 ．【变式4-1】（2020秋•龙湖区期末）若关于x 的方程（ax ﹣1）2﹣16＝0的一个根为2，则a 的值为 ．【变式4-2】（2020秋•杨浦区期中）若关于x 的一元二次方程a （x ﹣m ）2＝3的两根为12±12√3，其中a 、m 为两数，则a ＝ ，m ＝ ．【变式4-3】（2020秋•于洪区校级月考）若一元二次方程ax 2＝b （ab ＞0）的两个根分别是m +1与2m ﹣4，则a b = ．【题型5 已知方程的解求另一个方程的解】【例5】（2020秋•湖里区校级月考）方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，则方程a（x+m+2）2+b ＝0的解是（）A．x1＝﹣2，x2＝1B．x1＝﹣4，x2＝﹣1C．x1＝0，x2＝3D．x1＝x2＝﹣2【变式5-1】（2021春•阜阳月考）若关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（﹣x﹣m+1）2+b＝0的解是（）A．x1＝1，x2＝﹣2B．x1＝1，x2＝0C．x1＝3，x2＝﹣2D．x1＝3，x2＝0【变式5-2】（2020秋•石家庄期中）关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2（a、b、m为常数，a≠0），则方程a（2x+m+1）2+b＝0的解是．【变式5-3】（2020秋•海陵区校级月考）已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a，b，m均为常数，且a≠0）的两个解是x1＝3和x2＝7，则方程4a(x+12m)2+b＝0的解是．【题型6 直接开平方法解新定义问题】【例6】（2020秋•钦州期末）给出一种运算：对于函数y＝x n，规定y'＝nx n﹣1．例如：若函数y＝x4，则有y'＝4x3．已知函数y＝x3，那么方程y′＝18的解是（）A．x1=√6，x2=−√6B．x1＝6，x2＝﹣6C．x1＝3，x2＝﹣3D．x1＝3√2，x2＝﹣3√2【变式6-1】（2020秋•樊城区期末）实数p，q用符号min（p，q）表示p，q，两数中较小的数，如min（1，2）＝1，若min（x2﹣1，x2）＝1，则x＝．【变式6-2】（2020秋•灌云县期中）定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b＝a+3b；当a＜b时，a*b ＝a﹣3b，例如：3*（﹣4）＝3+（﹣12）＝﹣9，（﹣6）*12＝﹣6﹣36＝﹣42．（1）x2*（x2﹣2）＝30，则x＝；（2）小明在计算（﹣3x2+6x﹣5）（﹣x2+2x+3）随取了一个x的值进行计算，得到的结果是40，小华说小明计算错了，请你说明小华是如何判断的．【变式6-3】（2020秋•零陵区期中）在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x（x+8）＝4解：原方程可变形，得[（x+4）﹣4][（x+4）+4]＝4（x+4）2﹣42＝4（x+4）2＝20直接开平方，得x1＝﹣4+2√5，x2＝﹣4﹣2√5．我们称这种解法为“平均数法”．（1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+2）（x+8）＝40时写的解题过程：解：原方程可变形，得[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝40（x+a）2﹣b2＝40（x+a）2＝40+b2直接开平方，得x1＝c，x2＝d．上述解题过程中的a，b，c，d所表示的数分别是，，，．（2）请用“平均数法”解方程：（x﹣2）（x+6）＝4．。
北师大版九年级数学上册第二章 一元二次方程 专题复习练习题
北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程专题复习练习题专题一、一元二次方程的解法1、用直接开平方法解方程：（1）x2﹣＝0；（2）2x2+3＝﹣2x2+4；（3）（2x﹣1）2﹣121＝0；（4）（2x+3）2 =（x﹣1）2．2、用配方法解方程：（1）x2﹣4x＝7；（2）2x2﹣4x-1＝0.（3）（4x﹣1）（3﹣x）＝5x+1．3、用因式分解法解方程：（1）2x2﹣5x=0；（2）（x﹣2）2＝3x﹣6；（3）4x2+1=-4x；（4）（x﹣1）（x+3）＝12．4、用公式法解方程：（1）x2x﹣14=0；（2）3x2＝4x+2．5、当x取何值时，代数式3x2+6x﹣8的值与1﹣2x2的值互为相反数？专题二、一元二次方程的应用：增长率及利润问题1、某旅游景区今年5月份游客人数比4月份增加了44%，6月份游客人数比5月份增加了21%，求5月、6月游客人数的平均增长率．2、去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．3、某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有81个人被感染．（1）请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一个人会感染几个人？（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过700人？4、阿里巴巴电商扶贫对某贫困地区一种特色农产品进行网上销售，按原价每件300元出售，一个月可卖出100件，通过市场调查发现，单价每降低10元，月销售件数增加20件．已知该农产品的成本是每件200元，在保持月利润不变的情况下，尽快销售完毕，则售价应定为多少元？5、适逢中高考期间，某文具店平均每天可卖出30支2B铅笔，卖出1支铅笔的利润是1元，经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出10支铅笔，为了使每天获取的利润更多，该文具店决定把零售单价下降x元（0＜x＜1）．（1）当x为多少时，才能使该文具店每天卖2B铅笔获取的利润为40元？（2）该文具店每天卖2B铅笔获取的利润可以达到50元吗？如果能，请求出x的值；如果不能，请说明理由．6、某科技公司为提高经济效益，近期研发一种新型设备，每台设备成本价为2万元．经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x（万元）对应的点（x，y）在函数y ＝kx+b的图象上，如图．（1）求y与x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不高于5万元，若该公司要获得80万元的月利润，则该设备的销售单价是多少万元？专题三、一元二次方程的应用：面积问题1、如图，有一块宽为16 m的矩形荒地，某公园计划将其分为A、B、C三部分，分别种植不同的植物．若已知A、B地块为正方形，C地块的面积比B地块的面积少40 m2，试求该矩形荒地的长．2、如图，幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周未铺地毯的条形区域的宽度是多少米.3、在某校园建设过程中，规划将一块长18米，宽10米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求广场中间小路的宽．4、如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为多少？5、如图①，有一张长40cm，宽20cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图②的有盖纸盒．（1）若纸盒的高是3cm，求纸盒底面长方形的长和宽；（2）若纸盒的底面积是150cm2，求纸盒的高．图①图②6、如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发，沿AB 边以1cm/s的速度向点B移动；点Q从点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：（1）经过几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？（2）经过几秒后，P，Q两点间的距离是cm？专题1参考答案1.解：（1）x1＝，x2＝﹣．（2）x1＝，x2＝﹣．（3）x1＝6，x2＝﹣5．（4）x1=﹣4，x2=﹣2．解：（1）x1＝x2＝2．（2）x1＝1+，x2＝1﹣．（3）x1＝x2＝1．3．解：（1）x1＝0，x2＝52．（2）x1＝2，x2＝5．（3）x1＝x2＝-．（4）x1＝3，x2＝﹣5．4．解：（1）x1＝，x2＝．（2）x1＝，x2＝．5．解：根据题意，得3x2+6x﹣8+1﹣2x2＝0，整理，得x2+6x﹣7＝0，则（x+7）（x﹣1）＝0，∴x+7＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣7，x2＝1．∴当x取﹣7或1时，代数式3x2+6x﹣8的值与1﹣2x2的值互为相反数．专题2答案：1．解：设5月、6月游客人数的平均增长率是x，依题意有（1+x）2＝（1+44%）×（1+21%），解得：x1＝32%，x2＝﹣2.32（舍去）．答：5月、6月游客人数的平均增长率是32%．2．解：（1）450+450×12%＝504（万元）．答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，依题意，得：350（1+x）2＝504，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．3．解：（1）设每轮感染中平均一个人会感染x个人，依题意，得：1+x+x（1+x）＝81，解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．答：每轮感染中平均一个人会感染8个人．（2）81×（1+8）＝729（人），729＞700．答：若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过700人．4．解：当售价为300元时月利润为（300﹣200）×100＝10000（元）．设售价应定为x元，则每件的利润为（x﹣200）元，月销售量为100+＝（700﹣2x）件，依题意，得：（x﹣200）（700﹣2x）＝10000，整理，得：x2﹣550x+75000＝0，解得：x1＝250，x2＝300（舍去）．答：售价应定为250元．5．解：（1）根据题意得：（1﹣x）（100x+30）＝40，整理得：10x2﹣7x+1＝0，解得：x1＝0.2，x2＝0.5．答：当x为0.2或0.5时，才能使该文具店每天卖2B铅笔获取的利润为40元．（2）根据题意得：（1﹣x）（100x+30）＝50，整理得10x2﹣7x+2＝0， ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×10×2＝﹣31＜0．答：该文具店每天卖2B铅笔获取的利润不可以达到50元．6．解：（1）依题意有，解得．故y与x的函数关系式是y＝﹣10x+80．（2）设该设备的销售单价为x万元/台，依题意有（x﹣2）（﹣10x+80）＝80，整理方程，得x2﹣10x+24＝0．解得x1＝4，x2＝6．∵此设备的销售单价不高于5万元，∴x2＝6（舍去），∴x＝4．答：该设备的销售单价是4万元．专题3答案：1．解：设B地块的边长为x m，根据题意得：x2﹣x（16﹣x）＝40，解得：x1＝10，x2＝﹣2（不符题意，舍去），∴10+16＝26 m．答：矩形荒地的长为26 m．2．解：设四周未铺地毯的条形区域的宽度是x m，依题意，得：（8﹣2x）（5﹣2x）＝18，整理，得2x2﹣13x+11＝0，解得x1＝1，x2＝．又∵5﹣2x＞0，∴x＜，∴x＝1．答：四周未铺地毯的条形区域的宽度是1 m．3．解：设广场中间小路的宽为x米，依题意，得：（18﹣2x）（10﹣x）＝18×10×80%，整理，得：x2﹣19x+18＝0，解得：x1＝1，x2＝18．又∵18﹣2x＞0，∴x＜9，∴x＝1．答：广场中间小路的宽为1米4．解：设AB＝x米，则BC＝（22﹣3x+2）米，依题意，得：x（22﹣3x+2）＝45，整理，得：x2﹣8x+15＝0，解得：x1＝3，x2＝5．当x＝3时，22﹣3x+2＝15＞14，不合题意，舍去；当x＝5时，22﹣3x+2＝9，符合题意．答：若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为5米．5．解：（1）纸盒底面长方形的长为（40﹣2×3）÷2＝17（cm），纸盒底面长方形的宽为20﹣2×3＝14（cm）．答：纸盒底面长方形的长为17cm，宽为14cm．（2）设当纸盒的高为x cm时，纸盒的底面积是150cm2，依题意，得×（20﹣2x）＝150，化简，得：x2﹣30x+125＝0，解得x1＝5，x2＝25．当x＝5时，20﹣2x＝10＞0，符合题意；当x＝25时，20﹣2x＝﹣30＜0，不符合题意，舍去．答：若纸盒的底面积是150 cm2，则纸盒的高为5 cm．6．解：（1）设经过x秒后，△PBQ的面积等于8 cm2，则BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2x cm，依题意，得（6﹣x）×2x＝8，化简，得x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4．答：经过2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8 cm2．（2）设经过y秒后，P，Q两点间距离是cm，则BP＝（6﹣y）cm，BQ＝2y cm，依题意，得：（6﹣y）2+（2y）2＝（）2，化简，得：5y2﹣12y﹣17＝0，解得：y1＝，y2＝﹣1（不合题意，舍去）．答：经过秒后，P，Q两点间的距离是cm．。
直接开平方法练习题
22.2.1 直接开平方法教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．教学目标理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a （ex+f ）2+c=0型的一元二次方程．重难点关键1．重点：运用开平方法解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x 2=n ，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程．教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题1．填空（1）x 2-8x+______=（x-______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x 2+px+_____=（x+______）2．问题2．如图，在△ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始，沿AB 边向点B 以1cm/s•的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果AB=6cm ，BC=12cm ，•P 、Q 都从B 点同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8c m 2？老师点评：问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（2p ）2 2p ． 问题2：设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2则PB=x ，BQ=2x依题意，得：12x ·2x=8 x 2=8根据平方根的意义，得x=±22即x1=22，x2=-22可以验证，22和-22都是方程12x·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．所以22秒后△PBQ的面积等于8c m2．二、探索新知上面我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±22，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？（学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±22即2t+1=22，2t+1=-22方程的两根为t1=2-12，t2=-2-12例1：解方程：x2+4x+4=1分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．解：由已知，得：（x+2）2=1直接开平方，得：x+2=±1即x+2=1，x+2=-1所以，方程的两根x1=-1，x2=-3例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x．•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2解：设每年人均住房面积增长率为x，则：10（1+x）2=14.4（1+x）2=1.44直接开平方，得1+x=±1.2即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%．（学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、巩固练习教材P36练习．四、应用拓展例3．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，•那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2．解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x．那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31把（1+x）当成一个数，配方得：（1+x+12）2=2.56，即（x+32）2=2．56x+32=±1.6，即x+32=1.6，x+32=-1.6方程的根为x1=10%，x2=-3.1因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．五、归纳小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±p转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±p，达到降次转化之目的．六、布置作业1．教材P45复习巩固1、2．2．选用作业设计:一、选择题1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-22．方程3x2+9=0的根为（）．A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根3．用配方法解方程x2-23x+1=0正确的解法是（）．A．（x-13）2=89，x=13±223B．（x-13）2=-89，原方程无解C．（x-23）2=59，x1=23+53，x2=253-D．（x-23）2=1，x1=53，x2=-13二、填空题1．若8x2-16=0，则x的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．3．如果a、b为实数，满足34a++b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．三、综合提高题1．解关于x的方程（x+m）2=n．2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），•另三边用木栏围成，木栏长40m．（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？（2）鸡场的面积能达到210m2吗？3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，•并说明你制作的理由吗？答案:一、1．B 2．D 3．B二、1．±2 2．9或-3 3．-8三、1．当n≥0时，x+m=±n，x1=n-m，x2=-n-m．当n<0时，无解2．（1）都能达到．设宽为x，则长为40-2x，依题意，得：x（40-2x）=180整理，•得：•x2-20x+90=0，x1=10+10，x2=10-10；同理x（40-2x）=200，x1=x2=10，长为40-20=20．（2）不能达到．同理x（40-2x）=210，x2-20x+105=0，b2-4ac=400-410=-10<0，无解，即不能达到．3．因要制矩形方框，面积尽可能大，所以，应是正方形，即每边长为1米的正方形．。
九年级数学上一元二次方程2.2一元二次方程的解法1配方法__直接开平方法习题湘教
You made my day!
17.用直接开平方法解下列方程．
(1)3(2x－5)2－36＝0；
解：移项，得 3(2x－5)2＝36，
两边同时除以 3，得(2x－5)2＝12.
开方，得 2x－5＝±2 3，
∴2x－5＝2 3或 2x－5＝－2 3.
∴x1＝5＋22
3，x2＝5－22
3 .
(2)4(2y－5)2＝9(3y－1)2.
(2)若max{(x－1)2，x2}＝9，求x的值． 解：∵max{(x－1)2，x2}＝9， ∴当max{(x－1)2，x2}＝x2时，(x－1)2＜x2，x2＝9， 解得x1＝－3(不合题意，舍去)，x2＝3， 当max{(x－1)2，x2}＝(x－1)2时，(x－1)2＞x2，(x－1)2＝9， ∴x－1＝±3，∴x－1＝－3或x－1＝3， 解得x1＝－2，x2＝4(不合题意，舍去)， 综上所述，x的值为3或－2.
16．将 4 个数 a，b，c，d 排成两行两列，两边各加一条竖直线 记成ac db，定义ac db＝ad－bc，上述记号叫作二阶行列 式，若x2－1 x－－31＝7，则 x＝__0_或__2___．
【点拨】根据题意得(x－1)2－2×(－3)＝7，∴(x－1)2＝1， 开方得，x－1＝±1，∴x1＝2，x2＝0.
A．x1＝x2＝3 C．x1＝x2＝－ 3
B．x1＝x2＝ 3 D．x1＝ 3，x2＝－ 3
4．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无实数解
的方程为( C )
A．x2－5＝0
B．3x2＝0
C．3x2＋10＝0
D．－x2＋8＝0
5．【2020·扬州】方程(x＋1)2＝9的根是_x_1＝__2_，__x_2_＝__－__4_．
___版九年级上册一元二次方程练习题(含答案)
___版九年级上册一元二次方程练习题(含答案)一元二次方程及其解法——直接开平方法巩固练】一、选择题1.（2015·泰安模拟）方程$x^2+ax+1=0$和$x^2-x-a=0$有一个公共根，则$a$的值是（）．A．0.B．1.C．2.D．32.若$ax^2-5ax+3=0$是一元二次方程，则不等式$3a+6>0$的解集应是(。
).A．$a>2$。
B．$a-2$。
D．$a>-2$且$a\neq 0$3.（2016·重庆校级三模）若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+6=0$的一个根为$x=-2$，则代数式$6a-3b+6$的值为（）A．9B．3C．0D．-34.已知方程$x+bx+a=0$有一个根是$-a(a\neq 0)$，则下列代数式的值恒为常数的是(。
)．A．ab。
B．$\frac{a}{b}$。
C．$a+b$。
D．$a-b$5.若$\frac{x-9}{x-3}=\frac{1}{2}$，则$x^2-5x+6$的值为（）．A．1.B．-5.C．1或-5.D．66.对于形如$x$的方程$(x+m)=n$，它的解的正确表达式是（）.A．用直接开平方法解得$x=\pm n$B．当$n\geq m$时，$x=m\pm n$C．当$n>m$时，$x=\pm(n-m)$D．当$n\geq m$时，$x=\pm(n-m)$二、填空题7.如果关于$x$的一元二次方程$x^2+px+q=0$的两根分别为$x_1=2$，$x_2=1$，那么$p$，$q$的值分别是.8.（2014秋·东胜区校级期中）若关于$x$的一元二次方程$(m-2)x^2+3x+m^2-4=0$的常数项为$-8$，则$m$的值等于.9.已知$x=1$是一元二次方程$x+mx+n=0$的一个根，则$m+2mn+n$的值为________．10.(1)当$k=\frac{1}{2}$时，关于$x$的方程$(k-1)x^2-(k-1)x+1=0$是一元二次方程；(2)当$k\neq \frac{1}{2}$时，上述方程是一元一次方程．11.已知$a$是方程$x^2+ax-5=0$的根，则$\frac{1}{a^3}-\frac{1}{a}$的值为．12.已知$a$是关于$x$的一元二次方程$x-2012x+1=0$的一个根，则$a-2011a+\frac{22}{2012a^2+1}$的值为．三、解答题13.（2016·乌鲁木齐校级月考）一元二次方程$a(x-1)^2+b(x-1)+c=0$化为一般形式后为$2x^2-3x-1=0$，试求$a$，$b$，$c$的值．14．用直接开平方法解下列方程：1）$x^2-6x+5=0$；2）$2x^2-5x+2=0$；3）$3x^2+4x+1=0$；4）$5x^2-6x+1=0$；5）$x^2-8\sqrt{2}x+16=0$；6）$4x^2-4x+1=0$；7）$3x^2-4\sqrt{2}x+2=0$；8）$5x^2-4\sqrt{5}x+1=0$；9）$x^2-(2+\sqrt{3})x+1=0$；10）$2x^2-(2+\sqrt{2})x+\sqrt{2}=0$．1.题目中的符号应该用正确的数学符号代替，即“=”应该为“＝”。
人教版数学九年级上学期课时练习- 一元二次方程解法-直接开平方法(人教版)
专题21.5 一元二次方程解法-直接开平方法（专项练习）一、单选题1．方程24x =的解是（ ） A ．x=2B ．x=﹣2C ．x1=1，x2=4D ．x1=2，x2=﹣22．方程2(1)4x +=的解是（ ） A ．12x =，22x =- B ．1233x x ==-，C ．1213x x ==-， D ．1212x x ==-，3．若()222a =-，则a 是（ ） A ．-2B ．2C ．-2或2D ．44．方程（x +1）2＝0的根是（ ） A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝x 2＝﹣1C ．x 1＝﹣1，x 2＝1D ．无实根5．一元二次方程()2x 616+=可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x 64+=，则另一个一元一次方程是（ ）A ．x 64-=-B ．x 64-=C ．x 64+=D ．x 64+=-6．如果代数式3x 2-6的值为21，则x 的值为（ ） A ．3B ．±3C ．-3D ．7．方程 x 2=（x ﹣1）0 的解为（ ） A ．x=-1B ．x=1C ．x=±1D ．x=08．若2x+1与2x -1互为倒数，则实数x 为( )A．x=12±B ．x ＝±1C ．D ．9．若a ,b ,c 满足0,0,a b c a b c ++=⎧⎨-+=⎩则关于x 的方程20(a 0)++=≠ax bx c 的解是( )A ．1，0B ．-1，0C ．1，-1D ．无实数根10．计算：4（3x +1）2﹣1＝0、3274y ﹣2＝0的结果分别为（ ） A ．x ＝±12，y ＝±23B ．x ＝±12，y ＝23C ．x ＝﹣16，y ＝23D ．x ＝﹣16或﹣12，y ＝2311．用直接开平方的方法解方程22(31)(25)x x +=-，做法正确的是（ ） A ．3125x x +=- B ．31(25)x x +=-- C ．31(25)x x +=±-D ．3125x x +=±-12．如图，是一个简单的数值运算程序，则输入x 的值为（ ）A 1B ．1C 1或1D ．无法确定13．若方程()200++=≠ax bx c a 中，,,a b c 满足420a b c ++=和420a b c -+=，则方程的根是（ ）A ．1,0B ．1,0-C ．1,1-D ．2,2-14．如图，正方形 ABCD 的边长为 5，点 M 是边 BC 上的点，DE⊥AM 于点 E ，BF⊥DE ，交 AM 于点 F ．若E 是 AF 的中点，则 DE 的长为（ ）AB ．C ．4D 二、填空题15．方程x 2－3＝0的根是__________．16．方程x 2的两根为x 1=__________，x 2=__________．17．在实数范围内定义一种运算“﹡”，其规则为a ﹡b ＝a 2﹣b 2，根据这个规则，方程（x +1）﹡3＝0的解为_____．18．方程的()()222134x x -=+解是_______________．19．若实数,a b 满足()()2211a b a b ++-=，则a b +=___________________． 20．方程22(1)2020x -=的根是__________．21．若实数a 、b 满足()22229a b +-=，则22a b +的值为___________．22．若一元二次方程ax 2=b （ab ＞0）的两个根分别是2m +与25m -，则ba=________.23．如果关于x 的方程（m ﹣1）x 3﹣mx 2+2＝0是一元二次方程，那么此方程的根是_____． 24．已知关于x 的方程a （x +m ）2+b =0（a ，b ，m 均为常数，且a ≠0）的两个解是x 1=3，x 2=7，则方程21402a x m b ⎛⎫++=⎪⎝⎭的解是________． 25．已知2222(2)(2)5a b a b +++-=,那么22a b +=_____. 4224009999x x x --=26.方程的解是27．如图，是一个简单的数值运算程序，则输入x 的值为______．2(1)(3)27x x −−→-−−→⨯-−−→-输入输出三、解答题 28．解方程：（1）23270x -=； （2）2(5)360x --=； （3）21(2)62x -=； （4）()()4490+--=y y ．参考答案1．D解：x 2=4，x =±2. 故选D.【点拨】本题利用方程左右两边直接开平方求解. 2．C解：⊥(x ＋1)2=4，⊥x +1=±2， 解得x 1=1，x 2=﹣3. 故选C. 3．C 【分析】先计算2(2)-，再用直接开平方法解一元二次方程即可． 解：()2224a =-=2a ∴=±故选C【点拨】本题考查了有理数的乘方，直接开平方法解一元二次方程，熟练直接开平方法是解题的关键．4．B 【分析】根据平方根的意义,利用直接开平方法即可进行求解. 解：(x +1)2＝0, 解: x +1=0,所以x1＝x2＝﹣1, 故选B.【点拨】本题主要考查一元二次方程的解法,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的解法.5．D解：将()2x 616+=两边开平方，得x 64+=±，则则另一个一元一次方程是x 64+=-．故选D ．6．B解：根据题意得：3x2﹣6=21，即x2=9，解得：x=±3，故选B．【点拨】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根定义是解本题的关键．7．A【分析】根据(x-1)0有意义，可得x-1≠0，求出x≠1，通过解方程x2=1，确定x的值即可.解：⊥(x-1)0有意义，⊥x-1≠0，即x≠1，⊥x2=（x﹣1）0⊥x2=1，即x=±1⊥x=-1.故选A.【点拨】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．同时还考查了零次幂.8．C解：根据2x+1与2x﹣1互为倒数，列方程得：（2x+1）（2x﹣1）=1；整理得：4x2﹣1=1，移项得：4x2=2，系数化为1得：x2=12；开方得：x故选C．9．C解：【分析】由方程组得到a+c=0, 即a=-c，b=0，再代入方程可求解.因为a+b+c=0——⊥；a-b+c=0——⊥且a≠0,联立两式⊥+⊥得a+c=0, 即a=-c,b=0,代入ax²+bx+c=0得：ax²-a=0解得x=1或x=-1故选C【点睛】本题考核知识点：一元二次方程.解题关键点：由方程组推出a,b,c 的特殊关系. 10．D 【分析】直接开平方与开立方，再解一次方程即可．解：由4（3x +1）2﹣1＝0得（3x +1）2＝14，所以3x +1＝±12， 解得x ＝﹣16或x ＝﹣12，由3274y ﹣2＝0得y 3＝827， 所以y ＝23，所以x ＝﹣16或﹣12，y ＝23．故选：D ．【点拨】本题考查开平方法解一元二次方程与立方根法解三次方程，掌握平方根与立方根性质与区别是解题关键．11．C 【分析】一元二次方程22(31)(25)x x +=-，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解．解：22(31)(25)x x +=-开方得31(25)x x +=±-， 故选：C ．【点拨】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．12．C 【分析】先根据数值运算程序可得一个关于x 的一元二次方程，再利用直接开平方法解方程即可得．解：由题意得：()2319x --=-，()213x -=，1-=x ，1x =±即1x =或1x =， 故选：C ．【点拨】本题考查了解一元二次方程，根据数值运算程序正确建立方程是解题关键． 13．D 【分析】联立420a b c ++=和420a b c -+=，前式减后式，可得0b =，前式加后式，可得4c a =-，将a 、c 代入原方程计算求出方程的根．解：⊥根据题意可得：420420a b c a b c ++=⎧⎨-+=⎩①②，⊥－⊥＝40b =，得0b =， ⊥＋⊥＝820a c +=， ⊥解得：0b =，4c a =-．将a 、b 、c 代入原方程()200++=≠ax bx c a 可得，⊥240ax bx a +-=， 240ax a -= 24ax a =⊥2x =± 故选：D ．【点拨】本题考查解一元二次方程，联立关于a 、b 、c 的方程组，由方程组推出a 、b 、c 的数量关系是解题关键．14．B 【分析】因为AF ＝AE +EF ，则可以通过证明ABF ⊥DAE ，从而得到AE ＝BF ，便得到了AF ＝BF +EF ，再利用勾股定理求出DE 的长即可．解：⊥四边形ABCD 是正方形，⊥AD ＝AB ，⊥BAD ＝90° ⊥DE ⊥AG ，⊥⊥DEM ＝⊥AED ＝90° ⊥⊥ADE +⊥DAE ＝90°又⊥⊥BAF +⊥DAE ＝⊥BAD ＝90°， ⊥⊥ADE ＝⊥BAF ． ⊥BF ⊥DE ，⊥⊥AFB ＝⊥DEG ＝⊥AED ． 在ABF 与DAE 中，AFB AED ADE BAF AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ⊥ABF ⊥DAE （AAS ）． ⊥BF ＝AE ，⊥BF ⊥DE ，⊥AED ＝90° ⊥⊥AFB ＝90°， ⊥E 是AF 的中点， ⊥AE ＝EF ， 又⊥BF ＝AE ， ⊥BF ＝EF ＝AE ， 设BF 为x ，则AF 为2x ， ⊥AB 2＝AF 2+BF 2， ⊥52＝（2x ）2+x 2，解得x＝， ⊥AF ＝2x＝ ⊥DE ＝AF ， ⊥DE＝ 故选：B ．【点拨】此题主要考查学生对正方形的性质及全等三角形的判定的掌握情况，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法以及正方形的各种有关性质．15．x1x 2.解：试题分析：移项得x 2=3，开方得x 1=，x 2= -．考点：解一元二次方程． 16． -【分析】先移项，然后用直接开平方法，即可求出两根. 解：移项得28x =，解得：12x x ==-故答案为-【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解题方法是解题的关键. 17．x=2、-4 【分析】先根据新定义得到()22130x +-=，再移项得()219x +=，然后利用直接开平方法求解. 解：(x+1)﹡3＝0，∴()22130x +-=， ∴()219x +=，13x +=±，所以2x =、4-. 故答案为：2x =、4-.【点拨】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：如果方程化成2x p =的形式，那么可得x p =±，如果方程能化成()2nx m p +=（0p ≥）的形式，那么nx m p +=±.18．1235,5x x =-=-【分析】运用直接开平方法求解即可． 解：()()222134x x -=+开方得：2134x x -=+，()2134x x -=-+1235,5x x ∴=-=-【点拨】此题主要考查了解一元二次方程—直接开平方法，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解答此题的关键．19．1或12-【分析】根据题意设a+b=x ，根据()()2211a b a b ++-=，得出x （2x -1）=1，解方程即可． 解：设a+b=x ，则x （2x -1）=1，则有（x -1）（2x+1）=0，解得x=1或12-，即a b +=1或12-.故答案为： 1或12-.【点拨】本题考查解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换是解题的关键．20．122021,2019x x ==- 【分析】利用直接开平方法进行求解一元二次方程即可． 解：()2212020x -=12020x -=±，解得：122021,2019x x ==-； 故答案为122021,2019x x ==-．【点拨】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．21．5 【分析】利用平方根的含义求解2223,a b +-=±再利用非负数的性质可得答案．解：()22229ab +-=，2223,a b ∴+-=±225a b ∴+=或221a b +=-，又220,a b +≥22 5.a b ∴+=故答案为：5.【点拨】本题考查的是非负数的性质，利用平方根的含义解方程，掌握以上知识是解题的关键．22．9解：分析：本题利用直接开平方法求出解互为相反数，从而解出m 的值，得出所求的值即可.解析：2,b x x a == 所以这两个解互为相反数，即2m ++25m -=0，解得m=1,⊥这两个根为±3，所以b a=9. 故答案为9.23．【分析】直接利用一元二次方程的定义得出m 的取值范围，再代入方程解方程即可．解：由题意得：10{0m m -=-≠， ⊥m=1，原方程变为：﹣x 2+2=0，x=故答案为【点拨】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握二次项系数不为零是解题关键．24．32或72【分析】首先根据一元二次方程解的定义求出m 和b a的值，然后代入所求方程整理求解即可． 解：⊥方程()20a x m b ++=的解为：x 1=3，x 2=7，⊥()()223070a m b a m b ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩， 解得：54m b a=-⎧⎪⎨=-⎪⎩， ⊥21402a x m b ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，0a ≠， ⊥21402b x m a ⎛⎫++= ⎪⎝⎭， ⊥254402x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， ⊥32x =或72， 故答案为：32或72． 【点拨】本题考查解一元二次方程的拓展应用，掌握解一元二次方程的基本方法是解题关键．25．3.【分析】把22a b +看成一个整体设为x ，再解一元二次方程舍去负值即可.解：设22a b x +=,则原方程化为:()()225x x +-=,29x =,3x =±,220a b +>,223a b ∴+=,故答案为:3.【点拨】本题考查的是解方程，关键是将22a b +看成一个整体，即整体思想的应用，易错点是要注意22a b +的非负性，注意根的取舍.26．﹣9或11解：由题意可得：x 4﹣2x 2﹣400x=9999（x 2+1）2=（2x+100）2⊥当x 2+1=2x+100时，经化简可得（x ﹣1）2=100解得x=﹣9或x=11．⊥当x 2+1=﹣2x ﹣100时，经化简可得（x+1）2=﹣100，此方程无解，因此x 的值应该是﹣9或11．故答案是：﹣9或11.【点睛】本题中正确的将9999进行拆分以配合前面的式子组成熟悉的公式是解题的关键．27．4或2-【分析】根据运算程序可得关于x 的方程，解方程即得答案．解：根据题意得：2(1)(3)27x -⨯-=-，化简得2(1)9x -=，13x ∴-=±，解得4x =或2x =-．故答案为：4或2-．【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，正确理解题意、熟练掌握直接开平方法是解题的关键．28．（1）123,3x x ==-；（2）1211,1x x ==-；（3）122,2x x ==-；（4）125,5y y ==-．【分析】（1）先移项，再两边同除以3，然后利用直接开方法解方程即可得；（2）先移项，再利用直接开方法解方程即可得；（3）先两边同乘以2，再利用直接开方法解方程即可得；（4）先利用平方差公式去括号，再移项合并同类项，然后利用直接开方法解方程即可得．解：（1）23270x -=，2327x =，29x =，3x =±，即123,3x x ==-；（2）2(5)360x --=，2(5)36x -=，56x -=或56x -=-，11x =或1x =-，即1211,1x x ==-；（3）21(2)62x -=， 2(2)12x -=，2x -=2x -=-，2x =或2x =-，即122,2x x ==-；（4）()()4490+--=y y ，21690y --=，225y =，5y =±，即125,5y y ==-．【点拨】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，一元二次方程的主要解法包括：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等，熟练掌握各解法是解题关键．。
第1课时 用直接开平方法解一元二次方程
2
(2)(5x) -4=1;
2
解:(1)化简,得 x = .开平方,得 x=±
2
(2)化简,得(5x) =5.
开平方,得 5x=± .
∴x1=- ,x2= .
.∴x1= ,x2=- .
.
(3)(x-1)2=49;
(4)(3x-2)2=(x+4)2.
解:(3)∵(x-1)2=49,
9.方程(x-3)2=(5x+2)2的解是
x1= ,x2=
.
10.在实数范围内定义一种运算“※”,其规则为a※b=a2-b,根据这个规则,方程(x+2)※9=0的解为
x1=1,x2=-5
.
11.(2022庆云月考)对于实数p,q,我们用符号min{p,q}表示p,q两数中较小的数,如min{1,2}=1,若
2 用配方法解一元二次方程
第1课时
用直接开平方法解一元二次方程
1.方程(x+1)2=9的解为( A )
A.x=2,x=-4
B.x=-2,x=4
C.x=4,x=2
D.x=-2,x=-4
2.用直接开平方法解下列一元二次方程,其中无解的方程为(
A.x2-1=0
B.x2=5
C.x2+4=0
D.-x2+3=0
解:(2)原方程可变形,得
[(x+2)-4][(x+2)+4]=4.
2
2
2
2
(x+2) -4 =4.(x+2) =4+4 .
∴x=-2±2 .
完整版)一元二次方程解法及其经典练习题
完整版)一元二次方程解法及其经典练习题一元二次方程的解法及经典练题方法一：直接开平方法（基于平方根的定义）平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
即，如果x²=a，那么x=±√a。
注意，x可以是多项式。
一、使用直接开平方法解下列一元二次方程：1.4x²-1=22.(x-3)²=233.81(x-2)²=1644.(x+1)²/4=255.(2x+1)²=(x-1)²6.(5-2x)²=9(x+3)²7.2(x-4)²/3-6=0.方法二：配方法解一元二次方程1.定义：把一个一元二次方程的左边配成一个平方，右边为一个常数，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
2.配方法解一元二次方程的步骤：1）将方程移项，使等式左边为完全平方，右边为常数。
2）将等式左右两边开平方。
3）解出方程的根。
二、使用配方法解下列一元二次方程：1.y²-6y-6=02.3x²-2=4x3.3x²-4x=94.x²-4x-5=05.2x²+3x-1=06.3x²+2x-7=0方法三：公式法1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
2.公式的推导：使用配方法解方程ax²+bx+c=0（a≠0），解得x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)。
3.由上可知，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因为1）当b²-4ac>0时，方程有两个实数根，x₁=[-b+√(b²-4ac)]/(2a)，x₂=[-b-√(b²-4ac)]/(2a)。
2）当b²-4ac=0时，方程有一个实数根，x₁=x₂=-b/(2a)。
一元二次方程的解法练习题(带答案))
【答案】（ 1 ） ① ②
（2） （3）
【解析】（ 1 ） （ 2 ） 方程 ∴
． ． ． ．
的解为
， ．
6
（ 3 ） 解方程
得
∴
【标注】【知识点】算式找规律
， ．
四、 因式分解法
1. 用因式分解法解方程：
（1）
．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
【答案】（ 1 ） （2） （3） （4）
，
．
，
．
，
．
，
．
【解析】（ 1 ） （2） （3） （4）
3. 阅读材料，解答问题．
阅读材料：为解方程
，我们可以将 视为一个整体，然后设
，则
，原方
程化为
．解得
，
．当 时，
，
∴
；当 时，
，∴
．
∴原方程的解为
，
，
，
．
解答问题：请你仔细阅读上述材料，深刻领会解题过程中所包含的数学思想和方法，然后解方程
．
【答案】
，
．
【解析】 设
，则原方程化为
．
解这个方程，得
，．
当
， ，
． ．
【解析】（ 1 ） （2）
， ，
． ．
【标注】【知识点】公式法求一元二次方程的根
2. 公式法解方程：
（1）
．
（2）
．
（3）
．
【答案】（ 1 ） （2） （3）
，
．
，
．
，
．
【标注】【知识点】公式法求一元二次方程的根
3. 在实数范围内因式分解：
专题训练一：一元二次方程
解：等式变形为 a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋ c－5＝0， 即(a－3)2＋(b－4)2＋ c－5＝0，由非负性得(a－3)2＝0，(b－4)2＝0， c－5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5.∵32＋42＝52，即 a2＋b2＝c2， ∴△ABC 为直角三角形
解：(1)不符合．设小路宽度均为x m，根据题意得(16－2x)(12－2x) 1 ＝ ×16×12，解得x1＝2，x2＝12，但x2＝12不符合题意，应舍 2 去，∴x＝2，故小芳的方案不符合条件，小路的宽度均为2 m
(2)答案不唯一，略
三、几何图形问题
6．如图，AO＝OB＝50 cm，OC是一条射线，OC⊥AB，一蚂蚁 由A以2 cm/s的速度向B爬行，同时另一蚂蚁由O点以3 cm/s的速度沿 OC方向爬行，问几秒钟后两蚂蚁与 O点组成的三角形面积等于 450 cm2?
三、几何图形问题 解：分两种情况讨论：(1)当由A 点出发的蚂蚁到达 O点之前，设 离开A点t s后，两蚂蚁与O点组成的三角形面积等于450 cm2，根据 题意得 (50 － 2t)·3t ＝ 450 ， 整理得 t2 － 25t ＋ 150 ＝ 0 ， 解得 t1 ＝ 15 ， t2 ＝ 10 ； (2) 当由 A 点出发的蚂蚁爬完 OA 这段距离用了＝ 25(s) 后 ， 开 始由O向B爬行，设从O点开始x秒钟后，两蚂蚁与O点组成的三角形 面积等于450 cm2，根据题意得·2x·3(25＋x)＝450，整理得x2＋25x －150＝0，解得x1＝5，x2＝－30(不合题意，舍去)，当x＝5时，x＋ 25＝30，这只蚂蚁已由A点爬行了30 s．综上可知，分别在10 s，15 s，30 s时，两蚂蚁与O点组成的三角形面积等于450 cm2
一元二次方程的解法直接开平方
1 .x2-4=0;
解：(x+2)(x-2)=0, ∴x+2=0,或x-2=0. ∴x1=-2, x2=2.
2.(x+1)2-25=0.
解:[(x+1)+5][(x+1)-5]=0, ∴x+6=0,或x-4=0. ∴x1=-6, x2=4.
这两个方程是否还有其它的解法?
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得 x1 a,x2 a
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
(1)方程x2=0.25的根是 X1=0.5, x2=-0.5 (2)方程2x2=18的根是 X1=3, x2=-3 (3)方程(x+1)2=4的根是 X1=1, x2=-3
∴x1= 9 =3, X2=- 9 =-3 (不合题意，舍去）．
1.作业本; 2.课后作业选做.
知识回顾 Knowledg方法解下列方程:
(1)3x2－48=0;
(2)(2x－3)2=7
思考：
下面我们来探讨怎样解方程x2－10x＋16=0 ？
想一想，你能用因式分解法或者开平方法直接解 这个方程吗？
你能将方程x2-10x+16=0 转化成x a2 b 的形
式吗？
请尝试解这个方程，并把解得的结果与你的同伴交流
)2
=(x－
3 2
)2
(3)x2－12x＋ 62 =(x－ 6 )2
配方时,配上的是一次项系数一半的平方.
x2＋12x=－9
解:方程的两边都加上36,得 X2+12x+36=-9+36
即 (x+6)2=27.
(完整版)解一元二次方程练习题(配方法)(最新整理)
(7) 5x 2 －3x+2 =0
(8) 7x 2 －4x－3 =0
(9) -x 2 -x+12 =0
(10) x 2 －6x+9 =0
韦达定理：对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) ，如果方程有两个实数根 x1, x2 ，那么
x1
x2
b a
,
x1x2
c a
说明：（1）定理成立的条件 0
2．已知 x1，x2 是方程 2x2－7x＋4＝0 的两根，则 x1＋x2＝
，x1·x2＝
，
（x1－x2）2＝
1
3．已知方程 2x2－3x+k=0 的两根之差为 2 ，则 k=
;
2
4．若方程 x2+(a2－2)x－3=0 的两根是 1 和－3，则 a=
;
5．若关于 x 的方程 x2+2(m－1)x+4m2=0 有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么 m 的值为
（2）注意公式重
x1
x2
b a
的负号与
b
的符号的区别
根系关系的三大用处
（1）计算对称式的值
例 若 x1, x2 是方程 x2 2x 2007 0 的两个根，试求下列各式的值：
(1) x12 x22 ；
(2) 1 1 ； x1 x2
(3) (x1 5)(x2 5) ；
(4) | x1 x2 | ．
25、 5x2 7x 1 0
26、 5x2 8x 1
27、 x2 2mx 3nx 3m2 mn 2n2 0
28、3x2+5(2x+1)=0
29、 (x 1)(x 1) 2 2x
30、 3x2 4x 1
人教版九年级数学上册第二十一章 一元二次方程 专题练习题(含答案,教师版)
人教版九年级数学上册第二十一章 一元二次方程 专题练习题专题1 一元二次方程的解法1．用直接开平方法解下列方程：(1)3x 2－27＝0；解：3x 2＝27，x 2＝9，x ＝±3，∴x 1＝3，x 2＝－3.(2)2(3x －1)2＝8.解：(3x －1)2＝4，3x －1＝±2，∴x 1＝1，x 2＝－13.2．用配方法解下列方程：(1)x 2－2x ＋5＝0；解：x 2－2x ＝－5，x 2－2x ＋1＝－5＋1，(x －1)2＝－4<0，∴原方程无解．(2)14x 2－6x ＋3＝0.解：x 2－24x ＋12＝0，(x －12)2＝132，x－12＝±233，∴x1＝233＋12，x2＝－233＋12.3．用因式分解法解下列方程：(1)x2－3x＝0；解：x(x－3)＝0，∴x＝0或x－3＝0.∴x1＝0，x2＝3.(2)(x－3)2－9＝0；解：∵(x－3)2－32＝0，∴(x－3＋3)(x－3－3)＝0，即x(x－6)＝0.∴x＝0或x－6＝0.∴x1＝0，x2＝6.(3)2(t－1)2＋8t＝0；解：原方程可化为2t2＋4t＋2＝0.∴t2＋2t＋1＝0.∴(t＋1)2＝0.∴t1＝t2＝－1.(4)x2－3x＝(2－x)(x－3)；解：原方程可化为x(x－3)＝(2－x)(x－3)．移项，得x(x－3)－(2－x)(x－3)＝0.∴(x－3)(2x－2)＝0.∴x －3＝0或2x －2＝0.∴x 1＝3，x 2＝1.(5)x 2－4x －12＝0.解：分解因式，得(x －6)(x ＋2)＝0，∴x 1＝6，x 2＝－2.4．用公式法解下列方程：(1)3x 2－2x ＋1＝0；解：∵a ＝3，b ＝－2，c ＝1，b 2－4ac ＝(－2)2－4×3×1＝－8<0，∴原方程无实数根．(2)x 2－23x ＋2＝0；解：∵a ＝1，b ＝－23，c ＝2，b 2－4ac ＝(－23)2－4×1×2＝4，∴x ＝－（－23）±22×1＝3±1. ∴x 1＝3－1，x 2＝3＋1.(3)3x ＝2(x ＋1)(x －1)． 解：将原方程化为一般形式，得2x 2－3x －2＝0.∵a ＝2，b ＝－3，c ＝－2，b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×(－2)＝11>0，224∴x 1＝6＋224，x 2＝6－224. 5．用合适的方法解下列方程：(1)4(x －3)2－25(x －2)2＝0；解：原方程可化为[2(x －3)]2－[5(x －2)]2＝0，即(2x －6)2－(5x －10)2＝0.∴(2x －6＋5x －10)(2x －6－5x ＋10)＝0，即(7x －16)(－3x ＋4)＝0.∴x 1＝167，x 2＝43. (2)5(x －3)2＝x 2－9；解：5(x －3)2＝(x ＋3)(x －3)，移项，得5(x －3)2－(x ＋3)(x －3)＝0.∴(x －3)[5(x －3)－(x ＋3)]＝0，即(x －3)(4x －18)＝0.∴x －3＝0或4x －18＝0.∴x 1＝3，x 2＝92. (3)t 2－22t ＋18＝0. 解：方程两边都乘8，得8t 2－42t ＋1＝0.∵a ＝8，b ＝－42，c ＝1， ∴b 2－4ac ＝(－42)2－4×8×1＝0.2×84∴t 1＝t 2＝24. 6．阅读材料：为了解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)＋4＝0，我们可以将x 2－1看作一个整体，设x 2－1＝y ，那么原方程可化为y 2－5y ＋4＝0①，解得y 1＝1，y 2＝4.当y ＝1时，x 2－1＝1，∴x 2＝2.∴x ＝±2；当y ＝4时，x 2－1＝4，∴x 2＝5.∴x ＝± 5.故原方程的解为x 1＝2，x 2＝－2，x 3＝5，x 4＝－ 5.解答问题：(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想；(2)请利用以上知识解方程：(x 2＋x)2－5(x 2＋x)＋4＝0；(3)请利用以上知识解方程：x 4－3x 2－4＝0.解：(2)设y ＝x 2＋x ，则y 2－5y ＋4＝0.∴(y －1)(y －4)＝0.解得y 1＝1，y 2＝4.①当x 2＋x ＝1，即x 2＋x －1＝0时，解得x ＝－1±52； ②当x 2＋x ＝4，即x 2＋x －4＝0时，解得x ＝－1±172. 综上所述，原方程的解为x 1＝－1＋52，x 2＝－1－52，x 3＝－1＋172，x 4＝－1－172.(3)设x 2＝y ，则y 2＝x 4，原方程化为y 2－3y －4＝0，解此方程，得y 1＝4，y 2＝－1.∵y ≥0，∴y ＝4.当y ＝4时，x 2＝4，解得x 1＝2，x 2＝－2.专题2 根的判别式及根与系数的关系的综合1．若关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋m 2－3m ＋3＝0的两根互为倒数，则m 的值等于(B)A ．1B ．2C ．1或2D ．02．已知关于x 的方程x 2－(2k 2－3)x ＋k ＋7＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，且x 1＝5－x 2，则k 的值为－2．3．已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋3)x ＋m 2＝0有两个实数根α，β.(1)求m 的取值范围；(2)若1α＋1β＝－1，求m 的值． 解：(1)由题意知，(2m ＋3)2－4×1×m 2≥0，解得m ≥－34. (2)由根与系数的关系，得α＋β＝－(2m ＋3)，αβ＝m 2.∵1α＋1β＝－1，∴α＋βαβ＝－1. ∴－（2m ＋3）m 2＝－1. 变形得m 2－2m －3＝0，解得m 1＝－1，m 2＝3.经检验，m 1＝－1和m 2＝3是原分式方程的解．由(1)知m ≥－34，∴m 1＝－1应舍去． ∴m 的值为3.4．已知关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋m ＋4＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求m 的取值范围；(2)若x 1，x 2满足3x 1＝|x 2|＋2，求m 的值．解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋m ＋4＝0有两个实数根x 1，x 2，∴Δ＝(－6)2－4(m ＋4)＝20－4m ≥0.解得m ≤5.(2)∵关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋m ＋4＝0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝6①，x 1x 2＝m ＋4②.∵3x 1＝|x 2|＋2，∴x 1>0.当x 2≥0时，有3x 1＝x 2＋2③，联立①③，解得x 1＝2，x 2＝4.∴8＝m ＋4.∴m ＝4，满足m ≤5；当x 2＜0时，有3x 1＝－x 2＋2④，联立①④，解得x 1＝－2，x 2＝8(不合题意，舍去)．∴m 的值为4.5．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0的两个实数根．(1)若(x 1－1)(x 2－1)＝19，求m 的值；(2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．解：(1)根据题意，得x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5.(x1－1)(x2－1)＝19整理，得x1x2－(x1＋x2)＋1＝19.把x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5代入x1x2－(x1＋x2)＋1＝19，得m2＋5－2(m＋1)＋1＝19.整理，得m2－2m－15＝0.解得m1＝－3，m2＝5.∵由Δ＝4(m＋1)2－4(m2＋5)≥0，得m≥2，∴m1＝－3不合题意，应舍去．∴m的值为5.(2)若等腰△ABC的腰长为7，把x＝7代入方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0，得49－14(m＋1)＋m2＋5＝0，解得m1＝4，m2＝10.若m＝4，则原方程为x2－10x＋21＝0，解得x1＝7，x2＝3.△ABC三边为7，7，3(符合题意)．若m＝10，则原方程为x2－22x＋105＝0，解得x1＝7，x2＝15.△ABC三边为7，7，15(不合题意，舍去)．若等腰△ABC的底边长为7，则Δ＝[－2(m ＋1)]2－4(m 2＋5)＝8m －16＝0，解得m ＝2.原方程为x 2－6x ＋9＝0.解得x 1＝x 2＝3.△ABC 三边为3，3，7(不合题意，舍去)．综上可知：△ABC 三边为7，7，3，周长为7＋7＋3＝17，即这个三角形的周长为17.专题3 一元二次方程的实际应用1．印度古算书中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮．告我总数共多少，两队猴子在一起．”你能解决这个问题吗？解：设有x 只猴子，由题意，得(18x)2＋12＝x ， 整理，得x 2－64x ＋768＝0，解得x 1＝16，x 2＝48.答：这群猴子的总数为16只或48只．2．改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长(AD)16 m ，宽(AB)9 m 的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112 m 2，则小路的宽应为多少？解：设小路的宽应为x m ，根据题意，得(16－2x)(9－x)＝112.解得x 1＝1，x 2＝16.∵16＞9，∴x ＝16不符合题意，舍去．∴x ＝1.答：小路的宽应为1 m.3．某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2 000 kg ，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，设南瓜种植面积的增长率为x.(1)则今年南瓜的种植面积为10(1＋x)亩；(用含x 的代数式表示)(2)如果今年南瓜亩产量的增长率是种植面积的增长率的12，今年南瓜的总产量为60 000 kg ，求南瓜亩产量的增长率．解：根据题意，得10(1＋x)×2 000(1＋x 2)＝60 000， 整理，得x 2＋3x －4＝0，解得x 1＝1＝100%，x 2＝－4(不合题意，舍去)．∴12x ＝50%. 答：南瓜亩产量的增长率为50%.4．某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，今年起采用“场内＋农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万千克与3.6万千克，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同．(1)求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率；(2)假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万千克．如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？解：(1)设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x ，根据题意，得2.5(1＋x)2＝3.6.解得x ＝0.2，x ＝－2.2(不合题意舍去)．答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为20%.(2)设再增加y 个销售点，根据题意，得3.6＋0.32y ≥3.6×(1＋20%)，解得y ≥94. 答：至少再增加3个销售点．5．如图，在直角墙角AOB(OA ⊥OB ，且OA ，OB 长度不限)中，要砌20 m 长的墙，与直角墙角AOB 围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC 的面积为96 m 2.(1)求矩形地面的长；(2)有规格为0.80×0.80和1.00×1.00(单位：m)的地板砖单价分别为50元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙)，用哪一种规格的地板砖费用较少？解：(1)设AC ＝x m ，则BC ＝(20－x)m ，由题意，得x(20－x)＝96，整理，得x 2－20x ＋96＝0，解得x 1＝12，x 2＝8.当AC ＝12时，BC ＝8；当AC ＝8时，BC ＝12.答：矩形地面的长为12 m.(2)①若选用规格为0.80×0.80(单位：m)的地板砖：120.8×80.8＝15×10＝150(块)， 150×50＝7 500(元)；②若选用规格为1.00×1.00(单位：m)的地板砖：121×81＝96(块)， 96×80＝7 680(元)．∵7 500＜7 680，∴选用规格为0.80×0.80(单位：m)的地板砖费用较少．6．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位：台)和销售单价x(单位：万元/台)成一次函数关系．(1)求年销售量y 与销售单价x 的函数关系式；(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元/台，如果该公司想获得10 000万元的年利润，那么该设备的销售单价应是多少万元/台？解：(1)设年销售量y 与销售单价x 的函数关系式为y ＝kx ＋b(k ≠0)，将(40，600)，(45，550)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧40k ＋b ＝600，45k ＋b ＝550.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－10，b ＝1 000. ∴年销售量y 与销售单价x 的函数关系式为y ＝－10x ＋1 000.(2)根据题意，得(x －30)(－10x ＋1 000)＝10 000，整理，得x 2－130x ＋4 000＝0，解得x 1＝50，x 2＝80.∵此设备的销售单价不得高于70万元/台，∴x ＝50.答：该设备的销售单价应是50万元/台．7．安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0＜x ＜20)之间满足一次函数关系，其图象如图所示：(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)商贸公司要想获利2 090元，则这种干果每千克应降价多少元？解：(1)设一次函数关系式为y ＝kx ＋b ，当x ＝2，y ＝120；当x ＝4，y ＝140.∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝120，4k ＋b ＝140，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝10，b ＝100. ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝10x ＋100.(2)由题意，得(60－40－x)(10x ＋100)＝2 090，解得x 1＝1，x 2＝9.∵让顾客得到更大的实惠，∴x ＝9.答：商贸公司要想获利2 090元，且让顾客得到更大的实惠，则这种干果每千克应降价9元．8．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝16 cm ，BC ＝8 cm ，一动点P 从点C 出发沿着CB 边以2 cm/s 的速度运动，另一动点Q 从点A 出发沿着AC 边以4 cm/s 的速度运动，P ，Q 两点同时出发，运动时间为t s.(1)若△PCQ 的面积是△ABC 面积的14，求t 的值； (2)△PCQ 的面积能否与四边形ABPQ 面积相等？若能，求出t 的值；若不能，说明理由．解：(1)根据题意，得S △PCQ ＝12×2t(16－4t)，S △ABC ＝12×8×16＝64. ∵△PCQ 的面积是△ABC 面积的14， ∴12×2t(16－4t)＝64×14. 整理，得t 2－4t ＋4＝0，解得t ＝2.答：当t ＝2 s 时，△PCQ 的面积为△ABC 面积的14. (2)△PCQ 的面积不能与四边形ABPQ 面积相等．理由如下：当△PCQ 的面积与四边形ABPQ 面积相等时，则S △PCQ ＝12S △ABC ，即12×2t(16－4t)＝64×12， 整理，得t 2－4t ＋8＝0.∵Δ＝(－4)2－4×1×8＝－16＜0，∴此方程没有实数根．∴△PCQ 的面积不能与四边形ABPQ 面积相等．。
一元二次方程的解法(直接开平方法)练习题
一元二次方程的解法(直接开平方法)练习题一元二次方程的解法练题（一）选择题：1.下列方程中，不能用直接开平方法的是（）A。
x^2-3=0B。
(x-1)^2-4=0C。
x^2+2x=0D。
(x-1)^2=(2x+1)^22.下列说法中正确的是（）A。
方程x^2=4两边开平方，得原方程的解为x=2B。
x=3是方程x^2=9的根，所以得根是x=3C。
方程x^2-25=0的根是x=±5D。
方程x^2-32x+64=0有两个相等的根3.下列方程中，适合用直接开平方法解的个数有（）①x^2=1；②(x-2)^2=5；③12(x+3)^2=3；④x^2=x+3；⑤3x^2-3=x^2+1；⑥(y-1)^2-2y-3=0；⑦x^2=x+3.A、1个B、2个C、3个D、4个4.对于形如(x+m)^2=n的方程，它的解的正确表达式为A、可以用直接开平方法求解，且x=±n-mB、当n≥0时，x=m±√nC、当n>0时，x=±√n-mD、当n≥0时，x=±√n-m5.下面是XXX同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是A、若x^2=4，则x=±2B、若x^2+2x+k=0有一根为2，则k=-8C、若(x-1)^2=144，则其解为x=±12D、略6.若x^2-4x+p=(x+q)^2，那么p、q的值分别是（）．A．p=4，q=2B．p=4，q=-2C．p=-4，q=2D．p=-4，q=-27.已知a≠0，方程9a^2x^2-16b^2=0的解是（）A.x=±16b/9aB.x=±4b/3aC.x=±4b/(3a)^2D.x=±3a/(4b)^28.方程2x^2+m=0(m<0)的根为（）A。
x=±√(-m/2)B。
x=±√(-m/2)C。
x=±√(-2m)D。
x=±√(-m)9.若(x+1)^2-1=0，则x得值等于（）A。
专题21.4一元二次方程的解法(精选精练100题)(专项练习)1「含答案」
专题21.4 一元二次方程的解法（精选精练100题）（专项练习）【题型目录】1、直接开平方法解一元二次方程（1-20题）；2、配方法解一元二次方程（21-40题）；3、公式法解一元二次方程（41-60题）；4、因式分解法解一元二次方程（61-80题）；5、换元法解一元二次方程（81-90题）；6、解可化以一元二次方程的分式方程（91-100题）．四、因式分解法解一元二次方程1．用因式分解法解方程:(1)2411x x =；(2)()2224x x -=-2．用因式分解法解下列方程：(1)()()()262x x x --=-；(2)()()22167920x x --+=．3．用因式分解法解下列方程：(1)()()120x x +-=；(2)()()3521127x x x --=-+．4．用因式分解法解下列方程：(1)269x x -=-；(2)224(3)25(2)0x x ---=．5．用因式分解法解下列方程：(1)250x x +=；(2)(5)(6)5x x x --=-．6．用因式分解法的方法解下列方程：(1)22150x x --＝ ；(2)2326x x （＋）＝＋7．因式分解法解方程：(1)()()23525x x -=-；(2)()()22200abx a b x ab ab -++=¹；8．用因式分解法解下列方程：(1)()2236x x +=+；(2)231212x x +=；(3)()223240x x +-=；(4)()()()521123x x x -=-+．9．用因式分解法解下列一元二次方程：(1)21502x x -=；(2)()()23727x x -=-；(3)()22210x x +-=．10．用因式分解法解下列方程：(1))23x x =；(2)()()221210x x x ---=．11．用因式分解法解下列方程．(1)2560x x --=(2)3(2)2(2)x x x -=-12．用因式分解法解下列方程：(1)()2218x x -=-；(2)()()2222x x x -=-；(3)23x -=-．13．用因式分解法解下列方程：(1)2350y y -=；(2)2412x x =；(3)296x x +=-；(4)229(1)x x =-．14．用因式分解法解下列方程．(1)()()222320x x ---=；(2)()2211t t -+=．15．用因式分解法解下列方程：(1)()2212x x -=；(2)()()222310y y +--=．16．用因式分解法解下列方程：（1）(2)(4)0x x +-=； （2）4(21)3(21)x x x +=+．17．用因式分解法解下列方程：(1)(2)(23)6x x --=；(2)()44x x -=-．18．用因式分解法解方程：(1)3x (2x +1)=2(2x +1)；(2)22(3)(52)x x -=-．19．用因式分解法解方程．(1)22437365x x x x +-=--(2)()233x x x -=-20．用因式分解法解一元二次方程(1)()()41570x x +-=；(2)2(23)4(23)x x +=+．五、换元法解一元二次方程21．()()233320y y -+-+=．22．解方程：2231712x x x x -+=-．23．若实数x ，y 满足2222()(2)3x y x y ++-=，求22x y +的值．24．解方程：226212x x x x--=-．25．解方程()225160x --=．26．如果2222()(2)3x y x y ++-=，请你求出22xy +的值．27．阅读下面的例题，回答问题：例：解方程：220x x --=令y x =，原方程化成220y y --=解得122,1y y ==-（不合题意，舍去） 2,2x x \=\=±\ 原方程的解是122,2x x ==-．请模仿上面的方法解方程：()21160x x ----=28．阅读下列材料：为解方程4260x x --=可将方程变形为()22260x x --=然后设2x y =，则()222x y =．例：4260x x --=，解：令2x y =，原方程化为260y y --=，解得12y =-，23y =，当12y =-时，22x =-（无意义，舍去）当23y =时，23x =，解得x =\原方程的解为1x =2x =．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即：换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程：(1)()()22225260x x x x ----=；(2)()23511x x ++-=．29．阅读材料：在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：2–320x x +=．解：设x t =，则原方程可化为：2–320t t +=．解得：1212t t ==，．当1t =时，1x =，∴1x =±；当2t =时，2x =，∴2x =±．∴原方程的解是：12341122x x x x ==-==-，，，．上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：(1)解方程：220x x -=；(2)解方程：42–1090x x +=．(3)解方程：221211x x x x +-=+．30．换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组2()3()22()3x y x y x y x y ++-=-ìí+--=î，按常规思路解方程组计算量较大．可设x y a +=，x y b -=，那么方程组可化为23223a b a b +=-ìí-=î，从而将方程组简单化，解出a 和b 的值后，再利用x y a +=，x y b -=解出x 和y 的值即可．用上面的思想方法解方程：(1)222432x x x x ++=+；(2)2250x x ++-=六、解可化以一元二次方程的分式方程31．解分式方程：2216111x x x +-=--．32．解分式方程：221226x x x x+++=．33．解分式方程：11133x x +=+-34．解分式方程：()2218111x x x --=+-35．解分式方程：241142x x +=--．36．解分式方程：224124x x x -=-+-37．解分式方程21211x x x -=++38．解分式方程：252112x x x+-＝3．39．解分式方程：2164122x x x x +=--40．解分式方程：2212111x x x -+=--1．(1)10x =，2114x =(2)12x =，24x =【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的方法是解题的关键；（1）先移项然后提公因式，根据因式分解法解一元二次方程；（2）先移项然后提公因式，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：移项，得：24110x x -=，因式分解，得：(411)0x x -=于是，得：0x =或4110x -=，∴10x =，2114x =．（2）移项，得()22240x x --+=，即()()22220x x ---=，因式分解，得：(2)(22)0x x ---=，整理，得：(2)(4)0x x --=，于是，得20x -=或40x -=，∴12x =，24x =．2．(1)12x =，27x =(2)1227x =，234x =【详解】（1）方程左右两边都有因式()2x -，先移项，然后利用提公因式法将等式的左边因式分解；（2）直接利用平方差公式将方程的左边因式分解．（1）移项，得()()()2620x x x ----=，∴()()2610x x ---=，即()()270x x --=，∴20x -=或70x -=，∴12x =，27x =．（2）因式分解，得()()42836428360x x x x -++---=．化简，得()()072234x x --=，∴7220x -=或340x -=，∴1227x =，234x =．3．(1)11x =-，22x =(2)112x =-，223x =【详解】解：（1）()()120x x +-=Q ，10x \+=或20x -=，11x \=-，22x =．（2）原方程可化为2620x x --=，()()21320x x \+-=，210x \+=或320x -=，112x \=-，223x =．4．(1)123x x ==(2)12164,73x x ==【分析】（1）先移项，然后利用完全平方公式因式分解求解；（2）先移项，然后直接开平方即可解答此方程．【详解】（1）解：269x x -=-2690x x -+=()230x -=解得：123x x ==；（2）解：224(3)25(2)0x x ---=[][]220()5232()x x --=-，[][]2(3)5(2)2(3)5(2)0x x x x -+----=，()5()0232x x --+=或()5()0232x x ---=，解得12164,73x x ==．【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是明确方程的特点，选择合适的方法解方程．5．(1)10x =，25x =-(2)15=x ，27x =【分析】（1）直接用因式分解法求解即可；（2）先移项，再用因式分解法求解即可．【详解】（1）∵250x x +=∴()50x x +=∴0x =或50x +=∴10x =，25x =-（2）∵(5)(6)5x x x --=-∴()(5)(6)50x x x ----=∴(5)(61)0x x ---=∴50x -=或610x --=∴15=x ，27x =【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解答本题的关键．6．(1)15x ＝，23x -＝；(2)13x -＝，21x -＝【分析】（1）直接利用因式分解法求解即可；（2）先移项，再利用因式分解法求解即可．【详解】（1）解：22150x x --＝ ，（x ﹣5）（x +3）＝0，则x ﹣5＝0或x +3＝0，∴15x ＝，23x -＝；（2）解：2326x x ++（）＝，2323x x ++（）＝（），移项，得23230x x ++（）﹣（）＝，则（x +3）（x +1）＝0，∴x +3＝0或x +1＝0，∴1231x x --＝，＝．【点睛】本题考查了因式分解法求解一元二次方程，熟练进行因式分解是解题的关键．7．(1)121353x x ==，(2)12b a x x a b==【分析】（1）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可；【详解】（1）解：()()23525x x -=-方程变形为：()()23525x x -+-=0，∴()()50532x x éù+ë-=û-，∴()()53130x x --=，∴12135,3x x ==；（2）解：()()22200abx a b x ab ab -++=¹()()0ax b bx a --=，∵0ab ¹，∴0,0a b ¹¹，∴12,ba x x a b==【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程，掌握用因式分解法解一元二次方程是解此题的关键．12(2)122x x ==(3)12x =-，225x =-(4)112x =，28x =-【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）原方程可变形为()()2230x x ++-=，即()()210x x +-=，所以20x +=或10x -=，即12x =-，21x =．（2）原方程可变形为2440x x -+=，即()220x -=，所以122x x ==．（3）原方程可变形为()()3223220x x x x +-++=，即()()2520x x ++=，所以20x +=或520x +=，即12x =-，225x =-．（4）原方程可变形为()()21530x x -++=，即()()2180x x -+=，210x -=或80+=x ，∴112x =，28x =-．【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握适合因式分解法解一元二次方程——把方程的右边化为0，左边能通过因式分解化为两个一次因式的积的形式的方程是解题的关键．12(2)17x =，2193x =(3)113x =-，21x =-【分析】（1）利用提公因式法进行因式分解，求解即可；（2）通过移项，提公因式法进行因式分解，求解即可；（3）利用平方差公式，进行因式分解，求解即可．【详解】（1）解：21502x x -=因式分解，得1502x x æö-=ç÷èø．于是0x =，1502x -=，解得10x =，210x =；（2）()()23727x x -=-移项，得()()237270x x ---=，因式分解，得()()73720x x --+=éùëû，于是70x -=，3190x -=，解得17x =，2193x =；（3）()22210x x +-=因式分解，得()()21210x x x x éùéù+++-=ëûëû，于是310x +=，10x +=，解得113x =-，21x =-．【点睛】此题考查了因式分解法求解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解的有关方法．10．(1)120x x =，(2)12112x x ==，【分析】利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：∵)23x x =，∴)230x x -=，∴)310x x éù-=ëû，∴)310x -=或0x =，解得120x x ==，；（2）解：∵()()221210x x x ---=，∴()()21210x x x ---=，即()()1210x x --=，∴10x -=或210x -=，解得12112x x ==，．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键．11．(1)18x =，27x =-(2)12x =，223x =【分析】（1）首先把方程变形可得(8)(7)0x x -+=，进而得到两个一元一次方程，然后分别求出x 的值即可；（2）首先对方程进行整理，得出3(2)2(2)0x x x ---=，再因式分解可得(2)(32)0x x --=，然后得出两个一元一次方程，求解即可得出答案．【详解】（1）2560x x --=，(8)(7)0x x \-+=，80x \-=或70x +=，18x \=；27x =-；（2）3(2)2(2)x x x -=-，移项，得3(2)2(2)0x x x ---=，(2)(32)0x x \--=，20x \-=或320x -=，12x \=；223x =．【点睛】本题考查用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程的方法和步骤是解题关键．12．(1)1212x x ==-(2)12x =，22x =-(3)12x x ==【分析】（1）先移项，再把括号展开进行因式分解，即可求解；（2）先移项，再提取公因式()2x -进行因式分解，即可求解；（3）先移项，再用完全平方公式进行因式分解，即可求解．【详解】（1）解：()22180x x +-=，241840x x x -+=+，24410x x ++=，()2210x +=，210x +=，21x =-，1212x x ==-．（2）解：()()22220x x x ---=，()()2220x x x ---=，()()220x x ---=，20x -=或20x --=，12x =，22x =-．（3）解：230x -+=，(20x =，0x =，12x x ==【点睛】本题主要考查了用因式分解法求解二元一次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．13．(1)1250,3y y ==(2)120,3x x ==(3)123x x ==-(4)1211,42x x ==-【分析】（1）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程；（2）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程；（3）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程；（4）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：2350y y -=，()350y y -=，解得：1250,3y y ==；（2）解：2412x x =，24120x x -=，()430x x -=，解得：120,3x x ==；（3）解：296x x+=-2690x x ++=即()230x +=，解得：123x x ==-；（4）解：229(1)x x =-，()22910x x --=，即()()22310x x --=，∴()()31310x x x x +--+=，即()()41210x x -+=，解得：1211,42x x ==-．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．14．(1)125,13x x ==(2)1211,2t t ==【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解；（2）利用因式分解法解答，即可求解．【详解】（1）解：()()222320x x ---=，∴()()()()2322320x x x x -+--éùé-ùëûëû-=，∴()()3510x x --=，∴350x -=或10x -=，∴125,13x x ==．（2）解：()2211t t -+=∴()22110t t -+-=，∴()()1210t t --=，∴1211,2t t ==．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．123(2)1213,42y y =-=【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程；（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：移项，得()22120x x --=，因式分解，得()()12120x x x x -+--=，得10,130x x -=-=或，解得：1211,3x x ==；（2）解：因式分解，得()()2312310y y x y ++-+-+=，合并同类项，得()()41230y y +-+=，得410230y y +=-+=或，解得：1213,42y y =-=．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．16．（1）12=2,=4x x -；（2）1213,24x x =-=．【分析】运用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：（1）∵(2)(4)0x x +-=；∴20x +=，40x -=，∴12x =-，24x =；（2）4(21)3(21)x x x +=+，4(21)3(21)0x x x +-+=，(21)(43)0x x +-=，∴210x +=或430x -=，∴112x =-，234x =．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．122(2)122x x ==【分析】（1）先化为一般形式，再利用因式分解法解一元二次方程；（2）先化为一般形式，再利用因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：(2)(23)6x x --=，223466x x x --+=，即2270x x -=，∴()270x x -=，解得：12720,x x ==；（2）解：()44x x -=-，即2440x x -+=，()220x -=，解得：122x x ==．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．18．(1)1x =-12，2x =23；(2)1x =2，2x =83．【分析】（1）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值；（2）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值．【详解】（1）解：∵3x （2x +1）-2（2x +1）=0，∴（2x +1）（3x -2）=0，∴2x +1=0或3x -2=0，解得1x =-12，2x =23；（2）解：∵22(3)(52)x x -=-，∴22(3)(5)02x x --=-，∴(352)(3520)x x x x +---+=-，即(2)(308)x x --=，∴2-x =0或3x -8=0，解得1x =2，2x =83．【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤．19．(1)113x =-，213x =(2)112x =，23x =【分析】（1）先将原方程化成一般式，然后再因式分解法求解即可；（2）先将原方程化成一般式，然后再因式分解法求解即可．【详解】（1）解：22437365x x x x +-=--2910x -=（3x +1）（3x -1）=03x +1=0，3x -1=0113x =-，213x =．（2）解：()233x x x -=-2263x x x -=-22730x x -+=（2x -1）（x -3）=02x -1=0，x -3=0112x =，23x =．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键．20．(1)114x =-，275x =(2)132x =-，212x =【分析】（1）将一元二次方程化为两个一元一次方程即可；（2）将一元二次方程化为两个一元一次方程即可．【详解】（1）解：()()41570x x +-=；410x +=，570x -=，解得：114x =-，275x =（2）解：()()223423x x +=+，()()2234230x x +-+=，()()232340x x ++-=；()230x +=，()2340x +-=解得：132x =-，212x =．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，解题关键是将它化为两个一元一次方程．21．2y =或1y =【分析】本题考查了解一元二次方程的方法，将()3y -看作一个整体，设3y t -=，利用因式分解法求得t 的值，进而即可求得y ．【详解】解：设3y t -=，则原方程即2320t t ++=，∴()()120t t ++=，∴10t +=或20t +=，解得1t =-或2t =-，∴31y -=-或32y -=-，解得，2y =或1y =．22．1234111,22x x x x =+==-=【分析】本题考查了换元法解可以化为一元二次方程的分式方程等知识．设21x y x =-，原方程变为1732y y +=，解得12y =或23y =．再分别代入21x y x =-，求出1x =或12x =-或2x =，代入最简公分母进行检验即可求解．【详解】解：设21x y x =-，则211x x y-=，原方程变为1732y y +=，去分母得：26720y y -+=，解得12y =或23y =．当2112x x =-时，去分母得：2210x x --=，解得：1x =当2213x x =-时，去分母得：22320x x --=，解得：12x =-或2x =，检验：当1x =()()2110x x x +-¹，当12x =-或2x =时，()()2110x x x +-¹，∴分式方程的解为1234111,22x x x x ===-=．23．223x y +=．【分析】本题主要考查用换元法解一元二次方程，解答本题的关键在于，掌握整体代换思想方法的应用，将22x y +看成一个整体t ，转换成一个关于t 的一元二次方程求解即可．【详解】解：令22x y t +=，则，原方程变为，()23t t -=，即，2230t t --=，()()310t t -+=解得：13t =，21t =-；又220x y +³Q ，∴223x y +=．24．123,1x x ==-【分析】本题考查用换元法解分式方程的能力，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．可根据方程特点设22y x x =-，则原方程可化为260y y --=，解一元二次方程求y ，再求x ．【详解】设22y x x =-，则原方程化为61y y-=\260y y --=，即()()320y y -+=，解得12y =-，23y =．当12y =-时，222x x -=-，该方程无解，当23y =时，223x x -=．解得13x =，21x =-，检验：当13x =时，原方程左边69632196=--=-==-右边，当21x =-时，原方程左边61232112=+-=-==+右边，∴13x =，21x =-都是原方程的根，∴原方程的根是13x =，21x =-．25．13x =，23x =-，31x =，41x =-【分析】设25y x =-，求出y 后，可得关于x 的方程，再解方程即可．【详解】设25y x =-，原方程化为2160y -=，解得14y =，24y =-，当14y =时，254x -=，29x =，则13x =，23x =-；当24y =-时，254x -=-，21x =，则31x =，41x =-，所以原方程的解为13x =，23x =-，31x =，41x =-．【点睛】本题考查了换元法和直接开平方法解方程，掌握求解的方法是关键．26．22x y +的值为3【分析】设22x z y +=，然后用因式分解法求解即可，求解时注意220x y +>.【详解】设22x z y +=，∴(2)3z z -=．整理得：2230z z --=，∴(3)(1)0z z -+=．∴121,3z z ==-．∵220z x y =+>，∴1z =- (不合题意，舍去)∴3z =．即22x y +的值为3．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．27．1224x x =-=，【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令1m x =-，则原方程化为260m m --=，解方程得到3m =，则1=3x -，据此求解即可．【详解】解：令1m x =-，则原方程化为260m m --=，∴()()320m m -+=，解得3m =或2m =-（不合题意，舍去），∴1=3x -，∴13x -=±，解得1224x x =-=，．28．(1)11x =，21x =，341x x ==(2)10x =、25x =-【分析】本题考查了换元法解一元二次方程；（1）令22x x y -=，原方程化为2560y y --=，进而得出226x x -=，221x x -=-，解方程，即可求解；（2y =，原方程化为2321y y -=，解得113y =-，21y =，进而分别解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：令22x x y -=，原方程化为2560y y --=，解得16y =，21y =-．当16y =时，226x x -=，解得1x =．当21y =-时，221x x -=-，解得1x =．\原方程的解为：11x =，21x =，341x x ==（2y =，原方程化为2321y y -=，解得113y =-，21y =当113y =-13=-（无意义舍去）当21y =1=，解得10x =、25x =-．\原方程的解为10x =、25x =-．29．(1)1234022x x x x ====-，，；(2)12341133x x x x ==-==-，，，；(3)1x =和12x =-．【分析】本题考查了整体换元法，整体换元法是我们常用的一种解题方法，在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．（1）设x t =，则原方程可化为220t t -=，解方程求得t 的值，再求x 的值即可；（2）设2x a =，则原方程可化为2–1090a a +=，解方程求得a 的值，再求x 的值即可；（3）设21x m x +=，则原方程可化为2–1m m=，整理得2––20m m =，解方程求得m 的值，再求x 的值，检验后即可求得分式方程的解．【详解】（1）解：设x t =，则原方程可化为：220t t -=．解得：1202t t ==，．当0=t 时，0x =，∴0x =；当2t =时，2x =，∴2x =±．∴原方程的解是：1234022x x x x ====-，，；（2）解：设2x a =，则原方程可化为2–1090a a +=，即()()190a a --=，解得：1a =或9a =，当1a =时，21x =，∴1x =±；当9a =时，29x =，∴3x =±；∴原方程的解是：12341133x x x x ==-==-，，，；（3）解：设21x m x +=，则原方程可化为2–1m m=，整理得2––20m m =，∴()()120m m +-=，解得：1m =-或2m =，当1m =-时，211x x+=-，即210x x ++=，由141130D =-´´=-<知此时方程无解；当2m =时，212x x+=，即2210x x --=，解得：1x =或12x =-，经检验1x =和12x =-都是原分式方程的解．30．(1)1=1x -；2=2x ；31x =41x =(2)11x =-，21x =【分析】该题主要考查了换元思想解方程，一元二次方程的解答，分式方程的解答，解题的关键是运用换元法进行整体代换；（1）设2(0)2x t t x =¹+，将原方程化为2320t t -+=，解得2t =或1t =，再分别代入22x t x =+求解分式方程的解即可；（2()0t t =³，则有222x x t +=，将原方程化为：2450t t +-=，解得5t =-（舍）或1t =t =求解即可；【详解】（1）设2(0)2x t t x =¹+，\原方程化为23t t+=，\2320t t -+=，解得2t =或1t =，当1t =时，212x x =+，解得2x =或=1x -，经检验，=1x -或2x =是方程的解；当2t =时，222x x =+，解得1x =1x =-，经检验，1x =或1x =∴原方程的解为：1=1x -；2=2x ；31x =；41x =（2()0t t =³，则有222x x t +=，\原方程可化为：2450t t +-=，解得5t =-（舍）或1t =，1=，\2210x x +-=，解得11x =-或21x =-；经检验：11x =，21x =是原方程的解．31．4x =-【分析】本题主要考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤求解即可，注意解分式方程最后要验根，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．【详解】解：2216111x x x +-=--方程左右同乘以21x -、去分母得：()()()221116x x x ++--=，去括号得：2222116x x x x +++-+=，移项、合并同类项得：2340x x +-=，因式分解得：()()410x x +-=，∴40x +=或10x -=，解得：14x =-，21x =，检验：14x =-，则211150x -=¹，故是原分式方程的根，21x =，则2210x -=，故是原分式方程的增根，∴原分式方程的解为4x =-．32．12x =-，22x =-，31x =【分析】本题考查了解分式方程和解一元二次方程，能把解分式方程转化成解一元二次方程是解此题的关键，注意：解分式方程一定要进行检验．原方程化为211226x x x x æöæö+-++=ç÷ç÷èøèø，设1x a x +=，则原方程变形为2226a a +-=，求出a 的值，当4a =-时，方程为14x x+=-，求出方程的解，当2a =时，方程为12x x +=，求出方程的解，最后进行检验即可．【详解】解：原方程化为：211226x x x x æöæö+-++=ç÷ç÷èøèø，设1x a x+=，则原方程化为：2226a a +-=，即2280a a +-=，解得：4a =-或2a =，当4a =-时，14x x+=-，整理得：2410x x ++=，Q 24411120D =-´´=>，x \=解得：12x =-，22x =-；当2a =时，12x x +=，整理得：2210x x -+=，()210x -=，解得：1x =，经检验12x =-，22x =-，31x =都是原方程的解，所以原方程的解是12x =-22x =-，31x =．33．12x x ==【分析】方程两边同乘以()()33x x +-可得一个关于x 的一元二次方程，再利用直接开平方法解一元二次方程即可得．【详解】解：11133x x +=+-，方程两边同乘以()()33x x +-，得()()3333x x x x +--+=+，去括号，得2933x x x --+=+，移项、合并同类项，得215x =，直接开平方，得12x x ==经检验，12x x ==【点睛】本题考查了解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键，需注意的是，分式方程的解要进行检验．34．5x =【分析】根据分式方程的解法步骤求解即可．【详解】解：去分母，得()222181x x --=-，去括号，得2224281x x x -+-=-移项、合并同类项，得2450x x --=，解得11x =-，25x =，经检验，5x =是方程的解．【点睛】本题考查解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握分式方程的解法步骤是解答的关键．35．=1x -【分析】方程两边同时乘以()24x -，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验．【详解】解：241142x x +=--，方程两边同时乘以()24x -，得()2442x x +-=+，即220x x --=，()()210x x -+=，解得122,1x x ==-，检验：当2x =时，()24x -0=，当=1x -时，()240x -¹．∴=1x -是原方程的解．【点睛】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键，注意要检验．36．x =4【分析】两边都乘以x 2-4化为整式方程求解，然后验根即可．【详解】解：224124x x x -=-+-，两边都乘以x 2-4，得2(x -2)-4x =-(x 2-4)，x 2-2x -8=0，(x +2)(x -4)=0，x 1=-2，x 2=4，检验：当x =-2时，x 2-4=0，当x =4时，x 2-4≠0，∴x =4是原分式方程的根．【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．37．x =3【分析】将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程求出解并检验即可．【详解】解：21211x x x -=++化为整式方程得()2211x x -+=，整理得2230x x --=，解得123,1x x ==-，检验：当x =3时，x +1¹0；当x =-1时，x +1=0，∴原分式方程的解是x =3．【点睛】此题考查了解分式方程，正确掌握解分式方程的法则及步骤是解题的关键．38．x 1＝56，x 2＝18【分析】观察可得最简公分母是12x （2x ﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【详解】解：方程的两边同乘12x （2x ﹣1），得24x 2+5（2x ﹣1）＝36x （2x ﹣1），整理，得48x 2﹣46x +5＝0，即()()65810x x --=解得x 1＝56，x 2＝18，检验：当x ＝56或18时，x （2x ﹣1）≠0．即原方程的解为：x 1＝56，x 2＝18．【点睛】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．39．83x =-【分析】将分式方程转化为整式方程，然后解整式方程，注意分式方程的结果要进行检验．【详解】解：整理，得：1641(2)2xx x x +=--，去分母，得：216(2)4x x x +-=，221624x x x +-=，232160x x +-=，(2)(38)0x x -+=，解得：12x =，283x =-，检验：当2x =时，(2)0x x -=，2x \=不是原分式方程的解，当83x =-时，(2)0x x -¹，83x \=-是原分式方程的解，\分式方程的解为83x =-．【点睛】本题考查解分式方程，解一元二次方程，掌握解分式方程和因式分解法解一元二次方程的步骤是解题关键，注意分式方程的结果要进行检验．40．2x =-【分析】先去分母化为整式方程求解，最后记得检验即可．【详解】解：原方程可化为()()2121111x x x x --=-+-去分母得()()()()211211x x x x -+-=+-，解得11x =，22x =-经检验11x =是增根，2x =-是原方程的解，\原方程的解为2x =-．故答案为2x =-．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握一般步骤是解题的关键，需要注意的是最后要记得检验是否为方程的根．。
21.2.1解一元二次方程-直接开平方法(解析版)
人教版数学九年级上册同步练习21.2.1解一元二次方程-直接开平方法一．选择题（共12小题）1.方程2ax c =有实数根的条件是（ ）A. a≠0B. ac≠OC. ac≥OD. c a ≥O 【答案】D【解析】【分析】若方程ax 2=c 有解，那么a≠0，并且ac≥0，由此即可确定方程ax 2=c 有实数根的条件．【详解】∵ax 2=c ，若方程有解，∴a≠0，并且ac≥0， ∴0c a≥. 故选：D.【点睛】考查了直接开平方法解一元二次方程以及方程是否有解的问题，结合方程的形式和非负数的性质即可解决问题．2.对形如(x +m )2=n 的方程,下列说法正确的为( )A. 可用直接开平方法求得根xB. 当n ≥0时,x mC. 当n ≥0时,x mD. 当n ≥0时,x【答案】B【解析】【分析】解形如(x+m)2=n 的方程时，只有当n≥0时，方程有实数解.当n ＜0时，方程没有实数解.由此即可解答.【详解】(x +m )2=n （n≥0），x+m=∴x m.故选B.【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a （a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．3.方程（x﹣3）2=m2的解是（）A. x1=m，x2=﹣mB. x1=3+m，x2=3﹣mC. x1=3+m，x2=﹣3﹣mD. x1=3+m，x2=﹣3+m【答案】B【解析】【分析】方程利用平方根定义开方即可求出解．【详解】方程（x-3）2=m2，开方得：x-3=m或x-3=-m，解得：x1=3+m，x2=3-m，故选：B．【点睛】考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握平方根定义是解本题的关键．4.下列方程中，适合用直接开方法解的个数有（）①13x2=1；②（x﹣2）2=5；③14（x+3）2=3；④x2=x+3；⑤3x2﹣3=x2+1；⑥y2﹣2y﹣3=0A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】D【解析】【分析】直接开平方法必须具备两个条件：①方程的左边是一个完全平方式；②右边是非负数．根据这两个条件即可作出判断．【详解】①②③⑤都是或可变形为x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c，而这四种形式都可用直接开平方法，故选：D．【点睛】用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．5.方程(x+2)2=9的适当的解法是A. 直接开平方法B. 配方法C. 公式法D. 因式分解法【答案】A【解析】试题分析：根据方程特征可知选用直接开平方法最简便。