求复数模的最值的常用策略

4 i| 的最值.
解 据条件可设 z - 3 = 5 + (cosθ+ isinθ) ,则
∴ | z - 1 - 4 i| = | (2 + 5cosθ) + (5sinθ) i|
= (2 + 5cosθ) 2 + (2 + 5sinθ) 2 = 45 + 20 (cosθ- 2sinθ)
= 45 + 20 5cos(θ+ arctan2) .
即等号不成立. 故 6 不是所求的最大值. (具体求法
见例 8)
4. 2 利用有关的均值不等式求最值
例 7 设关于 x 的方程 x2 + z x + 4 + 3 i = 0 有
实数根 ,求| z| 的最小值.
解 设方程的实根为 x = x0 , 显然 x0 ≠0 , 则由 题设可求得
z= -
x
= [ ( x + 1) 2 + y2 ]2·[ ( x - 2) 2 + y2 ]
= [ ( x + 1) 2 - x2 + 1 ]2·[ ( x - 2) 2 - x2 + 1 ]
= (2 x + 2) (2 x + 2) (5 - 4 x) ( - 1 ≤x ≤1)
≤
(2 x + 2) + (2 x + 2) + (5 - 4 x) 3
消去方程中的 y ,可得
2 x2 + 4 x + 20 - r2 = 0 ( x ∈R) . 于是 ,有 Δ = 16 - 8 (20 - r2) ≥0. 从而解得 r ≥3 2 ,即得所求的最小值为 3 2 .
评注 此例是把求复数模的最值问题转化成了
一元二次方程问题 , 并利用其根的存在性确定所求
所以 | z2 + z + 1| = | z2 + z + zz | = | z| ·| z + 1 + z | = | 2cosθ+ 1| .
故 cosθ= 1 时 , | z2 + z + 1 | 取 最 大 值 为 3 ; 而
wk.baidu.com
cosθ= -
1 2
时
, 取最小值为
0.
例 5 已知复数 z 适合| z - 3| = 5 , 求| z - 1 -
评注 用几何法求复数模的最值要充分利用已
知复数方程所表示的曲线之形状 , 一般都是在动圆
和曲线相切时 ,动圆的半径才取得最值. 在解具体问
题时还常常用到平面几何或平面解析几何的相关知
识.
3 用三角法求最值
收稿日期 :2002 - 10 - 15 作者简介 :于润兴 (1960 - ) ,男 ,辽宁宽甸县人 ,河北石家庄市 42 中高级教师.
∴ 45 - 20 5 ≤| z - 1 - 4 i| ≤ 45 + 20 5 . 由此可求出| z - 1 - 4 i| 的最大值和最小值为 5 + 2 5和 5 - 2 5. 4 用不等式法求最值 我们利用不等式法求复数模的最值 , 有下列两 种方式 . 4. 1 利用 | z1| - | z2| ≤| z1 ±z2 | ≤| z1 | + | z2 | 求最值 例 6 设复数 z 满足| z - 4 + 5 i| ≤3 , 求| z + i| 的最值. 解 [方法 1 ] 由| z + i| - 3 ≤| z + i| - | z - 4 + 5 i| ≤| ( z + i) - ( z - 4 + 5 i) | = | 4 - 4 i| = 4 2 ,
2 0
+4 x0
+
3
i
.
于是 ,又有
| z| = ≥
(
x
2 0
+ 4) 2
x
2 0
+
9
=
10 + 8 = 3 2 .
x
2 0
+
25
x
2 0
+
8
即| z | min = 3 2 . 例 8 已知复数 z 满足| z | = 1 , 求 u = | z3 - 3 z - 2| 的最大值. 解 设 z = x + yi ( x , y ∈R) ,则 x2 + y2 = 1. 所以 u = | z3 - 3 z - 2| = | ( z + 1) 2 ( z - 2) |
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数 学 通 讯 2003 年第 7 期
求复数模的最值的常用策略
于润兴
(石家庄市 42 中 ,河北 050061)
中图分类号 :O122. 1 文献标识码 :A 文章编号 :0488 - 7395 (2003) 07 - 0018 - 02
复数的模是复数中的重要概念之一 , 复数 z 的 模| z| 是其对应点 Z 到原点的距离 ( 复数模的几何 意义) . 复数模的最值问题既是复数问题中的一个重 点 ,也是一个难点. 其最常用的策略有 :用函数思想 、 方程思想可将问题转化为代数法或三角法 , 用数形 结合思想可将问题转化为几何法 , 用重要的不等式 公式可将问题转化为不等式法. 下面我们就来分别 举例说明这几种策略. 1 用代数法求最值
用代数法求复数模的最值 , 在这里是指把问题 转化为求代数中的最值问题来解决.
例 1 已知复数 z 满足| z - ( 2 + 3 i) | + | z -
(2 - 3 i) | = 4 ,试求| z| 的最值.
解 设 z = x + yi ( x , y ∈R) , 则已知条件可化
为
(x
-
2) 2
+
y2 4
= 1.
于是有 | z | = x2 + y2 = x2 + 4[1 - ( x - 2) 2 ]
=
-3
x-
8 3
2
+
28 3
(1 ≤x ≤3) ,
从而可求得 |
z | min = 1 , |
z | max =
2 3
21 .
评注 把求复数模的最值问题转化成了一次函
数或二次函数在闭区间上的最值问题.
| z| 3 + | - 3 z| + 2 = 6 ,即 u 的最大值为 6 ,此时等号
成立. 但取等号时 ,三个复数 z3 , - 3 z , - 2 的对应向
量是同向的 ,即三者均为复实数. 因| z | = 1 , 所以 z3
= - 1 ,且 - 3 z = - 3 ,而这两个方程无公共实数解 ,
3
=3
3.
当且仅当 2 x + 2 = 5 -
4 x ,即
x
=
1 2
时
, 等号成立 .
故当
x=
1 2
,即
z=
1 2
±
3 2
i
时
,
u
取最大值为
3 3.
上述四种方法是求复数模最值的常用策略 , 我
们既可用之进行一题多解 ,又可用之解综合问题.
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所以 ,当动圆 O′和圆 O 外切时 , r 有最小值 , 且
rmin = | OO′| - 2 = 3 ,即| z| min = 3.
而当 动 圆 O′和 圆 O 内 切 时 , r 有 最 大 值 , 且
rmax = | OO′| + 2 = 7 ,即| z | max = 7.
此例的一般题型是 “: 已知 z1 , z2 是两个不等的 复常数 , r 为正实常数 , 且| z - z1 | = r ( z ∈C) , 试 求| z - z2| 的最值. ”例 2 也可用这一方法求解.
可知 | z + i| max = 4 2 + 3. 又由| z + i| + 3 ≥| z + i| + | z - 4 + 5 i|
≥| ( z + i) - ( z - 4 + 5 i) | = | 4 - 4 i| = 4 2 ,
可知| z + i| min = 4 2 - 3. [方法 2 ] ∵ z + i = ( z - 4 + 5 i) + (4 - 4 i) , ∴| 4 - 4 i| - | z - 4 + 5 i| ≤| z + i| ≤| 4 - 4 i |
的最值 .
用代数法求复数模的最值时 , 要注意转化成的
代数问题要有利于求最值. 否则 ,就需要改变转化方
向 ,即变换解题策略 ,寻求新的解题方法.
2 用几何法求最值
用几何法求复数模的最值 , 就是利用已知的复
数方程所表示的图形和复数模的几何意义 , 把问题
转化为求圆半径的最值或求一定点与曲线上点的距
+ | z - 4 + 5 i| .
利用题设可知 4 2 - 3 ≤| z + i| ≤4 2 + 3.
评注 值得注意的是 , 用这种方法求复数模的
最值 ,要特别考虑等号成立的充要条件. 如果不存在
z 使等号成立 ,那么此方法就失效了.
例如 ,若| z| = 1 ,则
u = | z3 - 3 z - 2| ≥| z3 | + | - 3 z | + | - 2 | =
例 2 已知复数 z 适合方程| z - i| = | z + 2 -
3 i| ,求| z - 2 + i| 的最小值.
解 记| z - 2 + i | = r , 并设 z = x + yi ( x , y ∈
R) ,则已知方程和| z - 2 + i| = r 分别可化为
y = x + 3 和 ( x - 2) 2 + ( y + 1) 2 = r2 .
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2003 年第 7 期 数 学 通 讯
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用三角法求复数模的最值 , 一般都是通过引进 复数的三角形式或复数方程的代数方程之参数形式
(以角为参数的) , 将复数模转化为角参数的三角函 数 ,即将求复数模的最值问题转化成了求三角函数 的最值问题.
例 4 已知复数 z 的模为 1 ,求| z2 + z + 1| 的最 值.
解 由| z| = 1 知 , z 可记为 z = cosθ+ isinθ, 且 zz = | z| 2 = 1.
离的最值.
例 3 已知复数 z 满足
条件| z - 3 - 4 i | = 2 , 求| z |
的最值 .
解 记| z| = r , 则| z | =
r 和| z - 3 - 4 i| = 2 表示如
图 1 所示的圆 O 和圆 O′, 且 | OO′| = 5.
图 1 例 3 图
于是 ,由题设可知圆 O 和动圆 O′相交或相切.