复数模的最值求法

复数模的最值求法

根据不同的题设条件，选择不同的求复数模的最值的方法，从而简捷地解决问题，这是我们求复数模的最值时应当树立的正确意识.解复数问题的最常规的方法是设出相关复数的代数形式，将复数问题转化为实数问题来求解，求复数模的最值也不例外，但这里介绍几种特殊的方法.

若已知复数z的模或辐角，则可设出其三角形式.

例1 已知复数z对应的向量OZ（O为坐标原点）与x轴正半轴的夹角为60°，且|z-1|是|z|和|z-2|的等比中项，求|z|的值.

解析由题意，可设z=r(cos60°+isin60°)（r∈R且r＞0），则|z|=r 且z的实部为r/2,

由题设，可知|z-1|2=|z||z-2|，整理得r2+2r-1=0，

解得r=√2-1或-√2-1（不合题意，舍去），

所以|z|=√2-1.

例2 设z∈C且|z|=1,求|z2-z+1|的最值.

解析可设z=cosθ+isinθ，

则|z2-z+1|

=|cos2θ+isin2θ-cosθ-isinθ+1|

=|(cos2θ+1-cosθ)+i(sin2θ-sinθ)|

=|(2cos2-cosθ)+i(sin2θ-sinθ)|

=(2cos2θ-cosθ)2+(sin2θ-sinθ)2

=|2cosθ-1|，

所以当cosθ=-1时，|z2-z+1|取得最大值3;当cosθ=1/2时，|z2-z+1|取得最小值0.

例2：已知，z∈C且|z|=1，求μ=|z+2+2i|的最大值和最小值。

解法一（代数法——复数问题实数化）

依题意，令z=a+bi（a，b∈R），其中a2+b2=1，

则μ2=|(a+2)+(b+2)i|2=(a+2)2+(b+2)2=a2+b2+8+4(a+b)=9+4(a+b), 但2ab≤a2+b2=1

所以(a+b)2= a2+b2+2ab≤2,

-≤a+b≤,

故μ2max=9+4，μ2min=9-4，

从而μmax=2+1，μmin=2-1.

解法二（三角法——利用复数的三角形式）

依题意，令z=cosα+isinα，

则μ2=|(cosα+2)+(sinα+2)i|2

=(cosα+2)2+(sinα+2)2

=cos2α+sin2α+4(cosα+sinα)+8

=9+4sin(α+φ)

故μ2max=9+4，μ2min=9-4，

从而μmax=2+1，μmin=2-1.

解法三（几何法——利用模的几何意义）

由|z|=1知复数z所对应的点Z在以原点为圆心、1长为半径的圆上，μ=|z+2+2i|=|z-（-2-2i）| 在复平面内表示定点R（-2，-2）到点Z的距离，由右图很容易看出

μmax=|PR|=|RO|+1=2+1

μmin=|QR|=|RO|-1=2-1

解法四（绝对值不等式法——利用不等式||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤

|z1|+|z2|）

μ=|z+2+2i|=|z+(2+2i)| ≤|z|+|2+2i|= 2+1

又μ=|z+2+2i|=|z+(2+2i)|≥||z|-|2+2i||=2-1

故μmax=|PR|=|RO|+1=2+1，

μmin=|QR|=|RO|-1=2-1

解法五（模平方法——利用模的性质|z|2=）

μ2=（z+2+2i）（）

=，

由知故μ2==9+，

依题意，令，其中

则μ2=9+4x+4y=9+4（x+y），

由2xy≤，

得≤2，

-≤x+y≤

故μ2max=9+4，μ2min=9-4，

从而μmax=2+1，μmin=2-1.

由以上诸法我们可以看到，对于此类题目，三角法、几何法与绝对值不等式法都是对之进行求解的常用方法，但代数法的适用范围往往更为广泛，是解决复数问题更为一般的方法，希望同学们能够具体题目具体对待，寻找最佳的解题方法，以期正确、快速、简洁地对问题加以解答。