高等桥梁结构理论课程讲义2014-04剖析
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第四讲 薄壁箱梁自由扭转及开口截面 的约束扭转
1
4.1 单室闭口箱梁截面杆件的自由扭转
一般情况下，薄壁杆件受扭后，杆件轮廓线上各点不仅在其平面内产生相对位移，而且平面还会产生 翘曲（凹凸）。可以使杆件轮廓线上各点自由翘曲的扭转称作自由扭转或圣维南扭转。当杆件为等截面直
杆时，各截面的翘曲变形 u 只是截面曲线坐标 s 的函数u(s) ，而与纵向坐标 z 无关，即各截面上同一点 s 的
G 0 GJ d 0
即
（4-17）
1
s ds 1
s
(s)ds
0 Jd 0
对 s 求一阶导，并将（4-12）代入，即
(s)
ds
上式即为截面无翘曲所需满足的条件。当 为常数时， (s) 亦为常数，则
（4-18） （4-19）
ds
l
（4-20）
该式表明，扭转中心取在圆心的等厚圆管的自由扭转截面无翘曲。同样，扭转中心在横截面外接圆圆心的
q3
ds t
q2
ds 2,3 t
G3 '
MK G
ds
MK G2
dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（4-8） （4-9）
（4-10） （4-11）
10/10/2020
5
令 则式（4-11）可改写为
Jd
2 ds
'(z) M K GJ d
（4-12） （4-13）
式中， J d 称为自由扭转惯性矩或扭转常数。
式（4-13）表明，当 M K 一定时，扭率 ' (z) 为常量，即杆件沿 z 轴方向的扭率为一常数，故又称为均匀
翘曲位移都相同。纵向线应变
z
u(s) z
0
故截面正应力为 z E z 0 。
（4-1）
1.1.1 截面扭转剪力流
在小变形条件下，假定杆件外形轮廓在横截面内保持不变（可以发生翘曲）。对于任意截面的杆件，
截面上有扭矩 M K 作用，设扭转中心在 O1点， O1点可以任意取，如图 4-1 所示。
10/10/2020
为了求得纵向翘曲 u(s) ，从杆件中面上任意一点 M (z, s) 处取一微元 dzds ，其剪切变形的几何物理
方程为
u v s z G
（4-6）
其中， —— 剪应变； G —— 剪切模量； u —— 沿轴向 z 的位移； v —— 沿曲线坐标 s 的位移。
由于假定截面外形轮廓线保持不变，则在截面 z const 上，可以将 v(z, s) 写成
s
(s)ds
0
其中， u0 (z) 是任意积分函数，其物理意义表示在截面 z 上 s 0 处的纵向翘曲位移。
1.1.1 扭率和自由扭转惯性矩
对于闭口薄壁杆件，由截面 s 0 处的位移连续条件可得
u0
(
z)
u0
(z)
MK G
ds '(z) (s)ds
即，
'(z)
MK G
ds
(s)ds
自由扭转，各室截面的扭率 ' (z) 为常数，故相邻室之间的关系可写为：
qi
ds
qi1
ds i,i1
qi1
ds i,i1
Gi '
式中，
i,i1
ds
,
qi1
ds i,i1
分别为第 i 的左右腹板范围内的积分。
利用总扭矩与各室剪力流关系，可得
n
qii M K GJ d '
v(z,s) (s) (z)
（4-7）
式中， (z) 为截面 z 的扭转角。
10/10/2020
4
将式（4-7）及（4-5）代入到式（4-6）中，有
u (s) '(z) M K
s
G
在选定曲线坐标 s 的起算点后（ s 0 ），对上式积分，即
u(
z,
s)
u0
(
z)
MK G
s ds '(z) 0
扭转。式（4-13）对 z 积分一次，则
(z) M K z C GJ d
（4-14）
上式表明，自由扭转时，杆件各截面的扭转角沿纵坐标 z 按线性变化。故杆件的母线变性后仍为直线。
将式（4-13）代入到（4-9），则
u(z,
s)
u0 (z)
MK G
s ds M K 0 GJ d
s
(s)ds
式中， (s) 10/10/2020
为扭转中心
O1
点到轮廓线上某点
M
(s)
的切线垂直距离。
（4-3）
3
将式（4-2）代入（4-3），则
M K q (s)ds q
（4-4）
式中， (s)ds 为外形轮廓线所围面积的两倍，即截面剪力流强度为
q MK
1.1.1 截面自由扭转的翘曲位移
（4-5）
2
图4-1 闭口薄壁杆件自由扭转（注：H应改为MK）
由于杆件壁很薄，假定自由扭转时剪应力沿壁厚均匀分布。在扭矩 M K 作用下，截面上将产生剪力流，
且
q(s) (s) (s)
（4-2）
式中， (s) 为截面 s 点的剪应力， (s) 为截面 s 点的壁厚。
由绕 z 轴力矩平衡关系可知，
MK (s) (s)(s)ds
正多边形等厚薄壁杆件的自由扭转也是无翘曲扭转。
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7
4.2 多室闭口箱梁截面杆件的自由扭转
对于多室闭口薄壁截面，在扭矩 M K 作用下，截面上的剪力流属于多次超静定结构，通过变形协调来 求解。如图 4-2 所示闭口薄壁截面，其上作用有外扭矩 M K 时，假定各室的剪力流 qi (i 1,2,, n) 。对于
0
即
（4-15）
u(z, s)
u0 (z)
MK G
s ds M K 0 GJ d
s
(s)ds
0
1上0/1式0/右 202边0 仅为 s 的函数，与 z 无关，表明各截面外形轮廓线上 s 点的翘曲位移都相同。
（4-16）
6
若式（4-16）右端为零，则
M K
s ds M K
s
(s)ds 0
图4-3 单箱三室薄壁截面示意图（单位：mm）
10/10/2020
10
解：假定自左向右各室的剪力流依次为 q1, q2 , q3 ，则根据式（4-21）有
第 1 室： 第 2 室：
q1
ds t
q2
ds 1,2 t
G1 '
q2
ds t
q1
1, 2
ds t
q3
2,3
ds t
G
2
'
第 3 室：
i1
n
式中， J d 为整个截面的扭转惯性矩，即 J d qii / G ' ； n 为箱室数目。 i 1
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（4-21） （4-22）
8
图4-2 多室闭口薄壁截面
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9
【例题 2-4】 如图 4-3 所示，单箱三室闭口截面杆件，在两端受到大小相等、方向相反的扭矩 M K 的作用， 求截面上的剪力流分布 qi (i 1,2,3) 和自由扭转常数 J d 。
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4.1 单室闭口箱梁截面杆件的自由扭转
一般情况下，薄壁杆件受扭后，杆件轮廓线上各点不仅在其平面内产生相对位移，而且平面还会产生 翘曲（凹凸）。可以使杆件轮廓线上各点自由翘曲的扭转称作自由扭转或圣维南扭转。当杆件为等截面直
杆时，各截面的翘曲变形 u 只是截面曲线坐标 s 的函数u(s) ，而与纵向坐标 z 无关，即各截面上同一点 s 的
G 0 GJ d 0
即
（4-17）
1
s ds 1
s
(s)ds
0 Jd 0
对 s 求一阶导，并将（4-12）代入，即
(s)
ds
上式即为截面无翘曲所需满足的条件。当 为常数时， (s) 亦为常数，则
（4-18） （4-19）
ds
l
（4-20）
该式表明，扭转中心取在圆心的等厚圆管的自由扭转截面无翘曲。同样，扭转中心在横截面外接圆圆心的
q3
ds t
q2
ds 2,3 t
G3 '
MK G
ds
MK G2
dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（4-8） （4-9）
（4-10） （4-11）
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令 则式（4-11）可改写为
Jd
2 ds
'(z) M K GJ d
（4-12） （4-13）
式中， J d 称为自由扭转惯性矩或扭转常数。
式（4-13）表明，当 M K 一定时，扭率 ' (z) 为常量，即杆件沿 z 轴方向的扭率为一常数，故又称为均匀
翘曲位移都相同。纵向线应变
z
u(s) z
0
故截面正应力为 z E z 0 。
（4-1）
1.1.1 截面扭转剪力流
在小变形条件下，假定杆件外形轮廓在横截面内保持不变（可以发生翘曲）。对于任意截面的杆件，
截面上有扭矩 M K 作用，设扭转中心在 O1点， O1点可以任意取，如图 4-1 所示。
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为了求得纵向翘曲 u(s) ，从杆件中面上任意一点 M (z, s) 处取一微元 dzds ，其剪切变形的几何物理
方程为
u v s z G
（4-6）
其中， —— 剪应变； G —— 剪切模量； u —— 沿轴向 z 的位移； v —— 沿曲线坐标 s 的位移。
由于假定截面外形轮廓线保持不变，则在截面 z const 上，可以将 v(z, s) 写成
s
(s)ds
0
其中， u0 (z) 是任意积分函数，其物理意义表示在截面 z 上 s 0 处的纵向翘曲位移。
1.1.1 扭率和自由扭转惯性矩
对于闭口薄壁杆件，由截面 s 0 处的位移连续条件可得
u0
(
z)
u0
(z)
MK G
ds '(z) (s)ds
即，
'(z)
MK G
ds
(s)ds
自由扭转，各室截面的扭率 ' (z) 为常数，故相邻室之间的关系可写为：
qi
ds
qi1
ds i,i1
qi1
ds i,i1
Gi '
式中，
i,i1
ds
,
qi1
ds i,i1
分别为第 i 的左右腹板范围内的积分。
利用总扭矩与各室剪力流关系，可得
n
qii M K GJ d '
v(z,s) (s) (z)
（4-7）
式中， (z) 为截面 z 的扭转角。
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将式（4-7）及（4-5）代入到式（4-6）中，有
u (s) '(z) M K
s
G
在选定曲线坐标 s 的起算点后（ s 0 ），对上式积分，即
u(
z,
s)
u0
(
z)
MK G
s ds '(z) 0
扭转。式（4-13）对 z 积分一次，则
(z) M K z C GJ d
（4-14）
上式表明，自由扭转时，杆件各截面的扭转角沿纵坐标 z 按线性变化。故杆件的母线变性后仍为直线。
将式（4-13）代入到（4-9），则
u(z,
s)
u0 (z)
MK G
s ds M K 0 GJ d
s
(s)ds
式中， (s) 10/10/2020
为扭转中心
O1
点到轮廓线上某点
M
(s)
的切线垂直距离。
（4-3）
3
将式（4-2）代入（4-3），则
M K q (s)ds q
（4-4）
式中， (s)ds 为外形轮廓线所围面积的两倍，即截面剪力流强度为
q MK
1.1.1 截面自由扭转的翘曲位移
（4-5）
2
图4-1 闭口薄壁杆件自由扭转（注：H应改为MK）
由于杆件壁很薄，假定自由扭转时剪应力沿壁厚均匀分布。在扭矩 M K 作用下，截面上将产生剪力流，
且
q(s) (s) (s)
（4-2）
式中， (s) 为截面 s 点的剪应力， (s) 为截面 s 点的壁厚。
由绕 z 轴力矩平衡关系可知，
MK (s) (s)(s)ds
正多边形等厚薄壁杆件的自由扭转也是无翘曲扭转。
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4.2 多室闭口箱梁截面杆件的自由扭转
对于多室闭口薄壁截面，在扭矩 M K 作用下，截面上的剪力流属于多次超静定结构，通过变形协调来 求解。如图 4-2 所示闭口薄壁截面，其上作用有外扭矩 M K 时，假定各室的剪力流 qi (i 1,2,, n) 。对于
0
即
（4-15）
u(z, s)
u0 (z)
MK G
s ds M K 0 GJ d
s
(s)ds
0
1上0/1式0/右 202边0 仅为 s 的函数，与 z 无关，表明各截面外形轮廓线上 s 点的翘曲位移都相同。
（4-16）
6
若式（4-16）右端为零，则
M K
s ds M K
s
(s)ds 0
图4-3 单箱三室薄壁截面示意图（单位：mm）
10/10/2020
10
解：假定自左向右各室的剪力流依次为 q1, q2 , q3 ，则根据式（4-21）有
第 1 室： 第 2 室：
q1
ds t
q2
ds 1,2 t
G1 '
q2
ds t
q1
1, 2
ds t
q3
2,3
ds t
G
2
'
第 3 室：
i1
n
式中， J d 为整个截面的扭转惯性矩，即 J d qii / G ' ； n 为箱室数目。 i 1
10/10/2020
（4-21） （4-22）
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图4-2 多室闭口薄壁截面
10/10/2020
9
【例题 2-4】 如图 4-3 所示，单箱三室闭口截面杆件，在两端受到大小相等、方向相反的扭矩 M K 的作用， 求截面上的剪力流分布 qi (i 1,2,3) 和自由扭转常数 J d 。