考点练习(必修二)：与圆有关的轨迹问题(附答案)

与圆有关的轨迹问题

1. 动点P 与定点A(-1,0)，B(1,0)的连线的斜率之积为-1，则点P 的轨迹为（ ）

A.221x y +=

B. ()2

2

11x y x +=≠±

C. ()2

2

11x y x +=≠ D. ()2

2

10x y x +=≠

2. 点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )

A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1

B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4

C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4

D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1

3. 设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则点P 的轨迹方程为( )

A ．y 2＝2x

B ．(x －1)2＋y 2＝4

C ．y 2＝－2x

D ．(x －1)2＋y 2＝2

4. 已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P 满足|P A|＝2|P B|，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于________．

5. 自A(4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程．

6. 已知动点M 到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半．

(1)求动点M 的轨迹方程；

(2)若N 为线段A M 的中点，试求点N 的轨迹．

7. 已知线段AB 的长为4，且端点A ，B 分别在x 轴与y 轴上，则线段AB 的中点M 的轨迹方程为________．

8. 点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）

A. （x﹣2）2+（y+1）2=1

B.（x﹣2）2+（y+1）2=4

C. （x+4）2+（y﹣2）2=1

D.（x+2）2+（y﹣1）2=1

9. 已知△ABC的边AB长为2a，若BC边上的中线为定长m，求顶点C的轨迹．

10. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为2 3.

(1)求圆心P的轨迹方程；

(2)若P点到直线y＝x的距离为

2

2，求圆P的方程．

11. 已知圆的方程是x2＋y2－2ax＋2(a－2)y＋2＝0，其中a≠1，且a∈R.

(1)求证：a取不为1的实数时，圆过定点；

(2)求圆心的轨迹方程．

12. 设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.

13. 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．

(1)求线段AP中点的轨迹方程；

(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．

14. 已知线段AB的端点B在圆C1：x2＋(y－4)2＝16上运动，端点A的坐标为(4，0)，线段AB的中点为M.

(1)试求M点的轨迹C2的方程；

(2)若圆C1与曲线C2交于C，D两点，试求线段CD的长.

15. 已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.

(1)求M的轨迹方程；

(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积.

参考答案 与圆有关的轨迹问题

1. 【答案】B

2. 解析：选A 设圆上任意一点为(x 1

，y 1

)，中点为(x ，y )，则⎩⎨⎧

x ＝x 1

＋42

，y ＝y 1

－2

2，

即⎩

⎪⎨

⎪⎧

x 1＝2x －4，

y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4.化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.

3. 解析：选D 设P (x ，y )，则由题意知，圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1,0)、半径为1，∵P A 是圆的切线，且|P A |＝1，∴|PC |＝2，即(x －1)2＋y 2＝2，∴点P 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝2.

4. 【解析】设点P (x ，y )，由题意知(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，整理得x 2－4x ＋y 2＝0，

配方得(x －2)2＋y 2＝4. 可知圆的面积为4π.

5. 【解析】设P (x ，y )，O 为原点，连接OP ，

∵当x ≠0时，OP ⊥A P ，即k OP ·k A P ＝－1，∴

y x ·4

y

x -＝－1，即x 2＋y 2－4x ＝0.① 当x ＝0时，P 点坐标(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内的部分)．

设P (x ，y )，O 为原点，连接OP ，

∵当x ≠0时，OP ⊥A P ，即k OP ·k A P ＝－1，∴y x ·4

y

x -＝－1，即x 2＋y 2－4x ＝0.① 当x ＝0时，P 点坐标(0,0)是方程①的解，

∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内的部分)．

6. 【解析】(1)设动点M 的坐标为(x ，y )，

∵A(2,0)，B(8,0)，|M A|＝

12|M B|，∴(x －2)2＋y 2＝1

4

[(x －8)2＋y 2]． 化简得x 2＋y 2＝16，即动点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝16. (2)设点N 的坐标为(x ，y )，

∵A(2,0)，N 为线段A M 的中点，∴点M 的坐标为(2x －2,2y )．