5.1.2垂直定义性质垂线性质
人教版数学七下 5.1.2 垂线 课件
取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b． 问题4 尝试转动木条，是否存在一种情况使a与b所形成的四个角都相等。
∵周角为360°
∴若形成四个相等的角，则这个角为90°
当a与b互相垂直时，所成的四个角都为90° 问题5 当a与b所成夹角α为90°时，其余的角分别为多少？ 按照顺时针方式，其余角分别为：90°、 90 °、 90 °
基础测试
1．点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上的三点，PA=3 cm，PB=4 cm， PC=5 cm，那么点P到直线l的距离是（） A．3 cm B．小于3 cm C．不大于3 cm D．大于3 cm，且小于8 cm
【答案】C 【解析】 因为垂线段最短，所以点P到直线l的距离为不大于3cm，故选C.
在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？ 将实际问题转化为数学问题（如下图），
即求直线外一点p与直线的最短距离。 思考：最短距离是哪条线段，为什么？
比例1:100 000，求渠道最短距离？ 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
2.如图，在线段PA，PB，PC，PD中，长度最小的是( B ) A．线段PA B．线段PB C．线段PC D．线段PD
3.如图所示，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，AB＝6 cm，AD＝5 cm，则点B 到AC的距离为____5__c_m____，点A到BC的距离为___6__c_m____．
再见
按照顺时针方式，其余角分别为：146°、34°、146° 问题2 当a与b所成锐角α为60°时，其余的角分别为多少？
按照顺时针方式，其余角分别为：120°、60°、120°
5.1.2垂线
1.直线AB外一点P到直线AB的距离指的是（ B）
（A）从P点到AB的垂线段 (B)从P点到AB的垂线段长度 （C）从P点到AB的垂线（D）从 P点到AB的垂线长
2.点P为直线l外一点，点A、B、C在直线l 上， 若PA=4cm,PB=5cm，PC=6cm，则P到直线l 的距离是（ C ） A．4cm B. 小于4cm C .不大于4cm D . 5cm
5.1.2 垂线
探究1：
取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木条a， 转动木条b． （1）在木条b的转动过程中,∠α有什么变化？ ∠a随b的转动由小到大发生变化。 （2）当∠α=90°时，木条b与a所在的直线有什么位置 关系？ a与b垂直
垂直：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，叫
做这两条直线互相垂直．其中的一条直线叫做另一条直线的垂 线，它们的交点叫做垂足．垂直符号用⊥表示。
B
C
D
注意：点A到直线CD的距离是
垂线段AB的长度，而不是垂线段AB。
归纳总结
1．什么是垂直？
两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，叫做这两 条直线互相垂直．其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它 们的交点叫做垂足．
2.垂直和相交有什么关系？ 垂直是相交的特殊情况
3. 如何画已知直线的垂线呢？
垂足 ③交点O又叫做_____. 垂直
C
） A
o
D
B
④直线AB的垂线是_____. CD
90° ∠AOD=____,∠BOD=____. 90° 90° ⑤∠BOC=____,
2．过点Ｐ画出射线AB或线段AB的垂线．
P
A P
B
B A
注意: 过一点画已知线段(或射线)的垂线, 就是画这条线段(或射线)所在直线的垂线.
5.1.2垂线教案
5.1.2垂线[ 教学目标]知识与技能：知道垂直是相交的特殊情况，理解垂线的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。
过程与方法：通过操作，探究等活动，培养学生的动手能力，并通过活动使学生对知识学习从感性认识上升到理性认识。
情感态度与价值观：通过师生的共同活动，促使学生在学习活动中培养良好的情感、合作交流、主动参与的意识，在独立思考的同时能够认同他人[ 教学重点与难点] 1．教学重点：垂线的定义及性质。
2 ．教学难点：垂线的画法。
教学准备：多媒体课件，电脑[ 教学过程设计]一.复习提问：1.叙述邻补角及对顶角的定义。
2. 对顶角有怎样的性质。
二．新课：引言： 前面我们复习了两条相交直线所成的角，如果两条直线相交成特殊角直角时，这两条直线有怎样特殊的位置关系呢？日常生活中有没有这方面的实例呢？下面我们就来研究这个问题。
（一）垂线的定义: 当两条直线相交的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线是互相垂直的，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
如图，直线 AB 、CD 互相垂直，记作 AB CD ，垂足为 O 。
请同学举出日常生活中，两条直线互相垂直的实例。
注意：1. 如遇到线段与线段、线段与射线、射线与射线、线段或射线与直线垂直，C特指它们所在的直线互相垂直。
2 、掌握如下的推理过程：（如上图）AO B已知），AB CD(DAOC COBBODAOD 90 (垂直定义）.AOC 已知）反90 (之，ABCD (垂直定义）（二）垂线的画法 探究：1、用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条？2、经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？3、经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？画法：让三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使其另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线。
注意：如过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在直线的垂线，垂足有时在延长线上。
人教版5.1.2垂线第一课时课件
a
αb O
若要强调垂足，则记为：a⊥b, 垂足为O.
导学问题：
C
1、如图，直线AB与CD相交于点O，
若∠COB=90°，则直线AB与CD的位 置关系是 垂直 ，表示为：AB⊥CD，其
A
O
B
中直线CD是AB的 垂 线，点O叫做 垂足
D
2、若已知直线AB⊥CD,则 ∠AOC=90° 。 ∠AOC= ∠COB= ∠BOD= ∠DOA=90°
工具：直尺、三角板
如图，已知直线 l,作l的垂线。
A
问题：
这样画l的
垂线可以
画几条？
O
l
无数条
1放、 2靠、 3画线、
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
1.垂线的画法：
如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线.
B
则所画直线AB
是过点A的直线l的
垂线.
A
l
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;
注意: 过一点画已知线段(或射线)的垂线,就是画这 条线段(或射线)所在直线的垂线.
课堂练习
1.过点 P向线段AB所在直线引垂线，正确的是（ C）.
A
B
C
D
课堂检测：
• 1、如图，直线MN⊥PQ于O点，直线AB经 过O点，∠1=26°，则∠2=
P
1
M
O
N
2
M
A
B
Q
2、过点M做线段AB的垂线。
3、如图，直线AB与CD相交于0点，已知OE⊥AB， ∠BOD=45°，则∠COE= 135°
5.1.2 垂线(1)(精)--
A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
l
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合; 放直尺,直尺的一边要与已知直线重合; 靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上; 2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上; 孝感市文昌中学学生专用尺 移动三角板到已知点; 3移:移动三角板到已知点; 画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线. 4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
D
如图,直线AB,CD相交于点O OE⊥AB, 如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB, AB 相交于点 1=125° COE的度数 的度数. ∠1=125°,求∠COE的度数. C A E 1 O D B
垂线的画法
问题: 怎么样画垂线?
1.垂线的画法: 1.垂线的画法: 垂线的画法
工具:直尺, 工具:直尺,三角板 如图, l,作 的垂线. 如图,已知直线 l,作l的垂线. 问题: 问题: 这样画l 这样画l的 垂线可以 画几条? 画几条? 无数条
练习一, 练习一,
E E
E 注意:画线段(或射线) 注意:画线段(或射线)的 垂线时, 垂线时,有时要将线段延 或将射线反向延长) 长(或将射线反向延长)后 再画垂线. 再画垂线.
练习二, 练习二, 1,如图,分别过A,B,C 如图,分别过A BC,AC,AB的垂线 的垂线. 作BC,AC,AB的垂线. A
∵ AB⊥OE (已知) AB⊥ 已知) ∠EOB=90 垂直的定义) EOB=90° ∴ ∠EOB=90°(垂直的定义) ∠DOE= 50° 已知) ∵ ∠DOE= 50° (已知) B A O ∠DOB=40 互余的定义) DOB=40° ∴ ∠DOB=40°(互余的定义) C F ∠AOC= DOB=40° 对顶角相等) ∴ ∠AOC= ∠DOB=40°(对顶角相等) OB平分 平分∠ 又∵OB平分∠DOF ∴ ∠BOF= ∠DOB=40°(角平分线定义) ∠BOF= DOB=40° 角平分线定义) ∠EOF= BOF=90°+40°=130° ∴ ∠EOF= ∠EOB+ ∠BOF=90°+40°=130° ∴ ∠COF=∠COD-∠DOF=180°-80°=100° ∠COF= COD- DOF=180° 80°=100° COF=∠ 邻补角定义) (邻补角定义)
5.1.2 垂线(第1课时)
3.垂直的书写形式： D A 如图，当直线AB与CD 相交于O点，∠AOD=90° 时，AB⊥CD，垂足为O。 O 书写形式： C ∵∠AOD=90°（已知） B ∴AB⊥CD（垂直的定义） 反之，若直线AB与CD垂直，垂足为 O，那么，∠AOD=90°。 书写形式： ∵ AB⊥CD （已知） ∴ ∠AOD=90° （垂直的定义） 应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
C
二、垂线的画法
问题： 怎么样画垂线？
垂线的画法： 工具：直尺、三角板 1.如图，已知直线 l,作l的垂线。 问题： 这样画l的 垂线可以 画几条？ 无数条
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Fra bibliotekmA l
1放、 2靠、 3画线、
O
孝感市文昌中学学生专用尺
2.如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线. 则所画直线AB B 这样画l的垂 是过点A的直线l的 线可以画几 垂线. 条？
1
2、如图,∠ABC=90° ,∠1=60° ,过B作 AC的垂线BO,垂足是O,过O作BC的垂线, 垂足是D,若∠1= ∠2,求∠ABO, ∠BOD.
解： ∵∠ABC=90°(已知 ) A ∠1=60°（ 已知） O （互余的定义） ∴∠ABO=30° 2 ∵BO⊥AC于O点 （已知） ） 1 （垂直的定义）B D ∴∠BOC=90° 又∠2=∠1 （已知） （等量代换） ∴∠2=60° （互余的定义） ∴∠BOD=30°
一、垂直
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角 中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂 直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它 a 们的交点叫垂足。 例如、如图，a、b互相垂 b 直,O叫垂足.a叫b的垂线， O b也叫a的垂线。 从垂直的定义可知， 判断两条直线互相垂直的关键： 只要找到两条直线相交时四个交角中 一个角是直角。
人教版数学七年级下册5.1.2垂线 课件
感悟新知
例 1 如图5.1-11，直线AB，CD 相交于点O，OE ⊥ AB 于 点O，且∠ COE=40°，求∠ BOD 的度数. 解题秘方：利用垂直的定 义及对顶角的性质，将要 求的角向已知角转化.
感悟新知
解：因为OE ⊥ AB， 所以∠ AOE=90°. 又因为∠ AOE= ∠ AOC+ ∠ COE，∠ COE=40°， 所以∠ AOC=90°－40°=50°. 所以∠ BOD= ∠ AOC=50°
所以AC·BC=AB·CD，进而可得CD=2.4 cm.
感悟新知
(2)点P 为直线m 外一点，点A，B，C 为直线m 上的三点，
PA=4 cm，PB=5 cm，PC=2 cm，则点P 到直线m 的距
离( D )
A. 等于4 cm
B. 等于2 cm
C. 小于2 cm
D. 不大于2 cm
感悟新知
解题秘方：根据点到直线的距离的定义，找出垂线段. 解：点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的 长度，而垂线段是该点与直线上各点的连线中最短 的. 从条件看，PC是三条线段中最短的，但不一定 是所有连线中最短的，所以点P 到直线m 的距离应 该是不大于2 cm.
感悟新知
1-1. [中考·河南] 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥ CD，垂足为O，若∠ 1=54°，则∠ 2 的度数为( B ) A. 26° B. 36° C. 44° D.54°
感悟新知
例2 将一张长方形纸片按如图5.1-12 所示方式折叠，EF， EG 为折痕，判断EF 与EG 的位置关系. 解题秘方：利用折叠的性 质求出两线的夹角，根据 夹角是90°判断两条直线 的位置关系.
1. 垂线段：
特别解读 垂线、垂直与垂线段之间的区别与联系： 1. 区别：垂线是一条与已知直线垂直的直线；垂
垂线性质
ABCDO 课题：5.1.2 垂线（1）一、学习目标：1．理解垂线的概念,掌握“过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线”的基本事实. 2．会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线. 二、重点难点：重点：垂线的定义及性质. 难点：垂线的画法.三、 导学过程（一）预习导引1．如图，若∠1=60°，那么∠2= 、∠3= 、∠4= 2．改变上图中∠1的大小，若∠1=90°，请画出这种图形，并求出此时∠2、∠3、∠4的大小。
（二）自读深思1．阅读教材P 3的内容，导入2所画图形中两条直线的关系是__________，两条直线互相________是两条直线相交的特殊情形。
2．用语言概括垂直定义3．垂直的表示方法：垂直用符号“⊥”来表示，若“直线AB 垂直于直线CD ， 垂足为O ”，记为__________，并在图中任意一个角处作上直角记号,如下图。
4.垂直的推理应用：（1）∵∠AOD=90° （ 已知 ）∴AB ⊥CD （ 垂直定义 ）由两条直线交角为直角，可知两条直线互相垂直 （2）∵ AB ⊥CD （ 已知 ）∴ ∠AOD=90°（ 垂直定义 ） 由两条直线垂直，可知四个角为直角5.注意：①垂直是相交的一种特殊情况.②垂直是一种相互关系，即a ⊥b ，同时b ⊥a .③当提到线段与线段，线段与射线，射线与射线，射线与直线的垂直情况时，是指它们所在的直线互相垂直.（三）小组讨论1.完成教材P 4探究提出的问题E (3)OD CBA(1)ODC B经过探索，我们可以发现：在同一平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直． 2.变式训练,请完成教材P 5练习第2题的画图（在教材上画）.画完图后，归纳总结:画一条射线或线段的垂线, 就是画它们所在______的垂线. （四）评讲总结本节课你你有那些收获？还有什么疑难需老师或同学帮助解决？ （五）检测反馈 判断题.1.两条直线互相垂直,则所有的邻补角都相等.( )2.一条直线不可能与两条相交直线都垂直.( )3.两条直线相交所成的四个角中,如果有三个角相等,那么这两条直线互相垂直.( )4.两条直线相交有一组对顶角互补，那么这两条直线互相垂直.( ). 填空题.1.如图,直线AB 与直线CD 的位置关系是_______, 记作_______,此时,•∠AOD=∠_______=∠_______=∠_______=90°.2.如图（1）,OA ⊥OB,OD ⊥OC,O 为垂足,若∠AOC=35°,则∠BOD=________.3.如图（3）,直线AB 、CD 相交于点O,若∠EOD=40°,∠BOC=130°,那么射线OE 与直线AB的位置关系是_________.画图题如图，P 为∠AOB 的边OA 上一点，过P 点分别画OA,OB 的垂线四、课后练习课时练P4 五、课后反思l A l BODCA 第1题图ODCA 第1题图课题：5.1.2 垂线（2）一、学习目标：1．了解垂线段的概念,了解垂线段最短的性质.2．了解点到直线的距离的意义并会度量点到直线的距离.二、重点难点：对点到直线的距离的概念的理解.三、导学过程（一）预习导引1.将弯曲的河道改直依据的几何知识是 .2.思考教材P5图5.1-8中提出问题.（二）自读深思阅读教材P5-P6内容1.如果把小河看成是直线l，把要挖的渠道看成是一条线段，则该线段的一个端点自然是农田P，另一个端点就是直线l上的某个点,那么最短渠道问题会变成是怎样的数学问题？（提示：用数学眼光思考:在连接直线l外一点P与直线l上各点的线段中,哪一条最短?）回答P5探究提出的问题归纳结论：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， .简单说成: .2.(1)垂线段与垂线有何区别联系？(2)垂线段与线段有何区别与联系？3.此时你会解决教材P5图5.1-8中提出的问题吗？在图形中画出“最短渠道”的位置.4. 叫做点到直线的距离．．．．．．．.注意：垂线是，垂线段是一条，点到直线的距离是一个数量，不能说“垂线段”是距离（三）小组讨论例1 教材P6练习解：例2 如图，直线AB,CD相交于O,OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF＝65°，求∠BOE和∠OFEDCBAAOC 的度数.（四）评讲总结（六）检测反馈1．如图所示，AC ⊥BC ，CD ⊥AB 于D ，AC =5cm ，BC =12cm ，AB =13cm ，则点B 到AC 的距离是________，点A 到BC 的距离是_______，点C 到AB •的距离是_______，•AC ﹥CD •的依据是_ _ _．2．如图，AOB 为直线，∠AOD ：∠DOB =3：1，OD 平分∠COB ． （1）求∠AOC 的度数； （2）判断AB 与OC 的位置关系．四、课后练习课时练P 5-6 五、课后反思课题：5.1.3同位角、内错角、同旁内角一、学习目标：会识别同位角、内错角、同旁内角.二、重点难点：能准确在各种图形中找出同位角、内错角、同旁内角. 三、导学过程 （一）预习导引在前面我们学习了两条直线相交于一点，得到四个角，即“两线四角”，这四个角里面，有 对对顶角，有 对邻补角.如果是一条直线分别与两条直线相交，结果又会怎样呢？（二）自读深思第2题图第1题图阅读教材第6页，并思考下列问题（写出来）：1.哪些是有公共点的角？哪些是没有公共点的角？什么叫被截直线？2.同位角的位置关系具有哪几个限定条件？第6页图中有几组同位角？3.内错角的位置关系具有哪几个限定条件？第6页图中有几组内错角？4.同旁内角的位置关系具有哪几个限定条件？第6页图中有几组同旁内角？（三）小组讨论1.教材第6页图是“直线，被直线所截”形成的图形（1）∠1与∠5这对角在两被截线AB,CD的，在截线EF的，具有这种位置关系的一对角叫同位角。
人教版七年级(数学)下册5.1.2 垂线
第五章相交线与平行线5.1.2垂线学习目标：1.理解两条直线互相垂直的概念、性质及垂线段的概念，会借助三角尺、方格纸画垂线，并会应用解决问题.2.通过经历观察与操作活动探索垂直性质的过程，进一步培养观察、分析、归纳能力，发展空间观念.3.感受数学语言的整洁美，激发探索知识的热情，把学到的知识应用到生活中去，进一步提高参与意识和合作精神.重点：垂直的概念和性质.难点：垂直的概念和性质的理解与应用及垂线的画法.自主学习一、知识链接1.两点间的距离如何测量呢？2.两条直线相交形会成几个角？这些角之间有何数量关系？二、新知预习1.垂直的有关概念：当两条直线相交所成的四个角中有一个角为时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的，它们的交点叫做.2.如图①，两条直线互相垂直，垂足为点O，用字母表示为.3.如图②，直线AB、CD 相交于点O，若∠AOC=90°，则AB 与CD 的位置关系是；反过来，若AB⊥CD，则∠AOC=.三、自学自测如图，AB⊥CD，垂足为点O，图中∠1与∠2的关系是（）A.∠1+∠2=180° B.∠1+∠2=90°C.∠1=∠2 D.无法确定四、我的疑惑______________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学备注【自学指导提示】学生在课前完成自主学习部分课堂探究一、要点探究探究点1：垂线的概念问题1：两条直线如何才算垂直呢？两条直线互相垂直，四个角的大小各如何呢？问题2：你能借助下图写出问题1的推理过程吗？例1.(1)如图1，若直线m、n相交于点O,∠1＝90°,则______；(2)若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，那么∠BOD=______；(3)如图2，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶5，那么∠COA＝____，∠BOC的补角为______.例2如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数．探究点2：垂线的画法及基本事实问题3：（1）画已知直线l的垂线能画几条?(2)过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能画几条?(3)过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能画几条?教学备注配套PPT讲授1.情景引入（见幻灯片3）2.探究点1新知讲授（见幻灯片5-14）3.探究点2新知讲授（见幻灯片15-19）当堂检测1.下图中过点P 向线段AB 所在直线引垂线，正确的是（）2.如图，下列说法正确的是（）A.线段AB 叫做点B 到直线AC 的距离B.线段AB 的长度叫作点A 到直线AC 的距离C.线段BD 的长度叫作点D 到直线BC 的距离D.线段BD 的长度叫作点B 到直线AC的距离第2题图第4题图第5题图3.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是()A.有两个角相等B.有两对角相等C.有三个角相等D.有四对邻补角4.如图,AC ⊥BC,∠C=90°,线段AC 、BC 、CD 中最短的是()A.AC B.BC C.CD D.不能确定5.如图，直线AB 、CD 相交于点E ，EF ⊥AB 于E ，若∠CEF=58°，则∠BED 的度数为.6.如图，AO ⊥FD ，OD 为∠BOC 的平分线，OE 为射线OB 的反向延长线，若∠AOB =40°，求∠EOF 、∠COE的度数．教学备注配套PPT 讲授5.当堂检测（见幻灯片23-28）。
人教版七年级数学下册同步备课 5.1.2 垂线(教学设计)
5.1.2 垂线教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级下册（以下统称“教材”）第五章“相交线与平行线”5.1.2垂线，内容包括：垂线的有关概念、性质及画法、垂线段和点到直线的距离的概念.2.内容解析垂线是平面几何所要研究的基本内容之一.垂线的概念、画法和性质是重要的基础知识，是进一步学习平面直角坐标系、三角形的高、切线的性质和判定、以及空间里的垂直关系等知识的基础，与其他数学知识一样，它在现实生活中有着广泛的应用.垂线的概念和性质，蕴含着“从一般到特殊”的认识规律，是培养学生思维能力的重要内容之一.基于以上分析，确定本节课的教学重点为：垂直定义、垂直性质的理解与运用.二、目标和目标解析1.目标（1）理解垂线的有关概念、性质及画法；（2）知道垂线段和点到直线的距离的概念，并会应用其解决问题.2.目标解析认识垂线，理解“互相垂直”和“垂足”的含义;会用三角板或量角器过一点画一条直线(或射线、线段)的垂线:3.知道垂线的性质:过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；培养学生的观察、理解能力，几何语言能力，画图能力，抽象思维能力；培养学生动手操作能力和创造精神，运用知识解决实际问题能力，形成垂线的空间观念；培养学生辩证唯物主义思想及勇于探索的精神；培养学生的合作精神，进行集体观念的教育.三、教学问题诊断分析七年级学生是第三学段低年级的学生，他们在课堂中思维活跃，有想法就会举手发言甚至是抢答，探索真理的欲望比较强.因此，我们要营造轻松、和谐的课堂气氛，充分激活学生的探索欲望，让学生在教师创设的情境中充满好奇地学，留给学生足够的自主活动、相互交流的空间，让学生在观察中不断发现数学问题、在实践中领悟数学思想、在评价中逐步形成数学价值观.七年级学生由于年龄较小，他们虽然对新事物容易产生兴趣，但这种兴趣并不稳定，上课时注意力也不易持久，容易分散，因而在教学中不断激发他们的兴趣，吸引他们的注意力至关重要。
人教版七年级数学下册 5-1-2 垂线(第一课时) 教案
5.1 相交线5.1.2 垂线(第一课时)教学反思教学目标1.理解垂线的概念.2.理解垂线的性质——在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.3.会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.教学重难点重点：两条直线互相垂直的概念、性质和画法.难点：过一点作已知直线的垂线.课前准备相交线模型、多媒体课件教学过程导入新课导入一：教师：在前面我们学习了两条直线相交形成了四个角，这四个角会产生4对邻补角和2对对顶角.你们还记得它们的定义吗？学生回答，老师纠正.教师：如果两条直线相交，形成的四个角中有一个角是直角时，这两条直线有怎样的特殊关系？日常生活中有没有这方面的实例呢？今天我们就来研究这个问题.(板书课题：5.1.2垂线(第一课时))导入二：教师：同学们观察教室里的课桌面相邻的两边，黑板面相邻的两边，方格纸的横线和竖线……这些给大家什么印象？学生回答，教师指出：“垂直”这两个字对大家并不陌生，在小学，我们已经学习过“垂直”，对于“垂直”的知识我们已经了解了一些.今天，我们就在原有知识的基础上，继续探究“垂直”.(板书课题：5.1.2垂线(第一课时))设计意图通过生活中我们经常见到的现象引出垂直，通过新问题来激发学生的学习兴趣.探究新知探究点一：认识垂线和垂直教师：拿出相交线模型，如图1，演示模型，提问学生：固定木条a，转动木条b，当b的位置发生变化时，什么量随之发生变化？学生：当b 的位置变化时，a，b 所形成的四个夹角的度数随之发生变化. 教师：在b 转动的过程中，当a ，b 所形成的夹角∠α＝90°时(如图2所示)，木条a 与b 所形成的其他三个角的度数是多少？为什么？图2学生：另外三个角也是90°.教师：这种特殊的位置关系，即∠α＝90°时，我们就说a 与b 互相垂直.我们身边存在大量的形如两条直线相互垂直的实例，请同学们举一些例子.学生发言，教师肯定.教师追问：根据前面的活动，你们能说出什么样的两条直线互相垂直吗？ 师生活动鼓励学生大胆发表自己的见解，学生可能会说两条直线相交所构成的四个角都是直角时，两条直线互相垂直，这时可以引导学生认识到：两直线相交所构成的四个角中，只要有一个角是直角，就可以得出其他三个角也是直角.教师总结并板书垂直的概念：两条直线相交所构成的角中有一个角是直角时，我们就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.教师强调：“互相垂直”与“垂线”的区别与联系：“互相垂直”是指两条直线的位置关系；“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名.如果两条直线“互相垂直”，那么其中一条直线必定是另一条直线的“垂线”；如果一条直线是另一条直线的“垂线”，那么它们必定“互相垂直”.设计意图垂直是两条直线相交的特殊情形，两条直线垂直所形成的四个角之间的关系，需要由“邻补角和为180°”“对顶角相等”得出.相交线模型的演示与有关问题的引导，使学生对垂直的认识由感性上升到理性，从而加深学生对垂直的理解.教师：许多几何图形都可以用符号来表示，例如，角用“∠”表示，三角形用“△”表示等等，垂直也有它自己的符号.教师：垂直用符号“⊥”表示，如图3所示，直线AB 垂直于直线CD ，垂足为O ，就可记为“AB ⊥CD ，垂足为O ”.(教师板书)图3教师：根据垂直的定义，结合图3，当AB⊥CD时，∠AOD是多少度？学生：∠AOD＝90°.教师：我们如何用几何推理语言来描述这个结论.学生大胆发言，教师引导并板书：因为AB⊥CD，所以∠AOC＝90°(垂直的定义).教师：把这个推理倒过来，当∠AOC＝90°，直线AB，CD具备什么特殊的位置关系？学生：垂直.教师：如何用几何推理语言描述这个结论.学生发言，教师板书：因为∠AOC ＝90°，所以AB⊥CD(垂直的定义).设计意图教学中在明确给出垂直的定义后，借助图形用符号语言来表示，让学生从文字语言、图形语言、符号语言等不同角度来认识垂直，实现了三种语言之间的转化，在此过程中，培养了学生用几何语言表达问题的能力，增强了学生的符号感.探究点二：垂线的画法及性质教师：根据垂直的定义，我们知道要想画垂线，必须有直角，我们的学习用具中有存在直角的吗？学生：三角尺、量角器中存在直角.教师：现在我们就开始研究用三角尺和直尺或者量角器画垂线的方法，出示课本探究.如图4所示.(1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？(2)经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？(3)经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？(1) (2)图4学生独立尝试，小组合作交流，完成下面填空和思考：1.垂线的画法：第一步：靠，即三角尺的一条直角边紧靠；第二步：过，即三角尺的另一条直角边过；第三步：画，即画出垂线.2.(1)与直线l垂直的直线能画条.(2)经过直线上一点能画条直线与已知直线垂直.(3)经过直线外一点能画条直线与已知直线垂直.教师在学生合作交流的基础上组织两名学生用三角尺演示第(2)(3)问，并展示上述填空.教师：如果把(2)(3)两条结论合并在一起，你们认为应该怎样表达.学生发言，教师引导得出垂线的性质并板书.垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.设计意图在本环节的教学中有两个重要的任务，除了让学生掌握垂线的性质外，还应让学生在探究性质的过程中，掌握过一点作已知直线的垂线的方法，它是几何作图中的一种常用的基本作图，需要学生熟练掌握.虽然学生在小学已经接触过垂线的作法，但要在各种情境中熟练作图，对学生来说也是一个难点，尤其是过已知点作线段的垂线.因此在这一环节的教学中应给予学生充分的机会来感受、体会、总结、训练垂线的作法，教师也可以在此基础上演示总结用三角尺过一点画已知直线的垂线的方法：一靠，即三角尺的一条直角边紧靠已知直线也就是与已知直线重合；二过，即三角尺的另一条直角边过已知点；三画，即画出垂线.使学生能够顺利突破难点.新知应用例1 判断下列语句是否正确？(1)两条直线相交，若有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直.( )(2)若两条直线相交构成的四个角相等，则这两条直线互相垂直.( )(3)一条直线的垂线只能画一条.( )(4)过一点可以任意画已知直线的垂线.( )答案：(1)正确(2)正确(3)错误(4)错误师生活动教师读题，学生抢答.设计意图考查学生由角的关系来判断两直线的位置关系，强化对垂直概念的理解..或线段AB的垂线.图5师生活动找三位同学在黑板上板演，其他同学自己动手画图，画完之后请同学们点评.(1) (2) (3)图6教师引导学生归纳：画一条射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线.设计意图训练学生在各种情境中熟练作图，通过此练习，给学生充分的机会来感受、体会、总结、训练在各种条件下垂线的作法.课堂练习(见导学案“当堂达标”)参考答案1.C2.B3.D4.B5.C6.D7. 垂直 AB ⊥CD DOB BOC COA 8.30° 9.解：OD ⊥OE.理由：∵ OD 平分∠BOC ，∴ ∠COD ＝12∠BOC.∵ OE 平分∠AOC ，∴ ∠COE ＝12∠AOC. ∴ ∠EOD ＝∠COD+∠COE＝12(∠BOC+∠AOC)＝12×180°＝90°，即OD ⊥OE.10.解：(1)∠AOD ＝120°.(2)∠AOD ＝110°.(3)猜想∠AOD 与∠BOC 互补.理由如下：如题图①，∵ ∠AOD ＝∠AOC+∠COD ＝∠AOC+90°，∠BOC ＝∠AOB-∠AOC ＝90°-∠AOC ，所以∠AOD+∠BOC ＝180°，即∠AOD 与∠BOC 互补.(见导学案“课后提升”)参考答案1.解：∵ OE 平分∠BOD ，∴ ∠DOE ＝∠BOE. ∵ ∠AOD ∶∠DOE ＝4∶1，∴ ∠AOD ∶∠DOE ∶∠BOE ＝4∶1∶1.又∵ ∠AOB ＝180°，∴ ∠DOE ＝∠BOE ＝180°×16＝30°，∴ ∠COB ＝∠COD-∠DOE-∠BOE ＝180°-30°-30°＝120°. 又∵ OF 平分∠COB ，∴ ∠COF ＝∠BOF ＝12∠COB ＝60°，∴ ∠AOF ＝∠AOB-∠BOF ＝180°-60°＝120°. (此题解法多种，只提供一种)2.解：有可能有三个或两个或一个.如图7所示.课堂小结1.本节课主要学习了两条直线互相垂直、垂线以及垂足的概念和垂线的一条性质.2.会用三角尺或量角器过一点画已知直线、射线、线段的垂线.3.要关注三种语言，即文字语言、图形语言、符号语言之间的转化.布置作业教材第8页习题5.1第3，4，5题板书设计。
5.1.2 垂 线教案
5．1.2 垂线(第2课时)教学目标一、基本目标【知识与技能】1．了解垂直的概念．2．理解垂线的性质：经过一点，能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线．3．会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线．【过程与方法】通过探索、猜测，进一步体会推理的必要性，发展学生初步推理能力．【情感态度与价值观】通过观察、实验、归纳、类比、推断，体验数学活动的趣味性，感受推理过程的严谨以及结论的确定性．二、重难点目标【教学重点】垂直的概念、性质和画法．【教学难点】两条直线互相垂直的性质和画法．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P3～P6的内容，完成下面练习．【3 min反馈】(一)垂线1．当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角(90°)时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.垂直用“⊥”表示，如a、b互相垂直，则记为：a⊥b或b⊥a.2．下面四种判定两条直线垂直的方法，正确的有①②③④.①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直；②两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直；③两条直线相交，所成的四个角相等，则这两条直线互相垂直；④两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直．3．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．(二)垂线段4．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．即：垂线段最短.5．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.6．如图所示，点A到直线l的距离是(A)A．线段AD的长度B．线段AE的长度C．线段AB的长度D．线段AC的长度环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】(1)如图1，过点P画AB的垂线；(2)如图2，过点P分别画OA、OB的垂线；(3)如图3，过点A画BC的垂线．【互动探索】(引发学生思考)理解画垂线的步骤，根据画垂线的步骤求解．【解答】如图所示．【互动总结】(学生总结，老师点评)垂线的画法需要三步完成：一落：让三角板的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合；二移：沿直线移动三角板，使其另一直角边经过所给的点；三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线．【例2】如图所示是一条河的示意图，C是河边AB外一点．现欲用水管从河边AB将水引到C处，请在图上画出应该如何铺设水管能让路线最短，并说明理由．【互动探索】(引发学生思考)根据垂线的性质可得，即过点C作CE⊥AB，再根据“垂线段最短”可得CE最短．【解答】如图所示，沿CE铺设水管能让路线最短．因为垂线段最短．【互动总结】(学生总结，老师点评)在利用垂线的性质解决生活中最近、最短距离的问题时，要依据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”来解决．活动2巩固练习(学生独学)1．如图，直线a、b相交于点A，点B在直线a上，过点B作直线b的垂线，垂足为点C，若∠1＝50°，则∠2的度数为(A)A．40°B．50°C．60°D．140°2．体育课上，老师测量跳远成绩的依据是(C)A．平行线间的距离相等B．两点之间，线段最短C．垂线段最短D．两点确定一条直线3．如图，点A为直线BC外一点，AC⊥BC，垂足为点C，AC＝3，点P是直线BC上的动点，则线段AP的长不可能是(A)A．2B．3C．4D．54．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，能表示点到直线的距离的线段有5条．活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图，已知直线AB、CD相交于点O，且OE⊥AB.(1)过点O画直线MN⊥CD；(2)若点F是(1)中所画直线MN上任意一点(O点除外)，若∠AOC＝35°，求∠EOF的度数．【互动探索】(1)根据题意画出直线MN即可；(2)当点F在射线OM上时，根据垂直定义求出∠EOF＝∠BOD，根据对顶角求出∠BOD＝∠AOC，即可求出答案；当点F在射线ON上时，求出∠AOM的度数，根据对顶角求出∠BON的度数，求出∠EOB＋∠BON即可．【解答】(1)如图所示．(2)①当点F在射线OM上时．因为OE⊥AB，MN⊥CD，所以∠EOB＝∠MOD＝90°，所以∠MOE＋∠EOD＝90°，∠EOD＋∠BOD＝90°，所以∠EOF＝∠BOD＝∠AOC＝35°.②当点F在射线ON上时，如图中点F′.因为MN⊥CD，所以∠MOC＝90°＝∠AOC＋∠AOM，所以∠AOM ＝90°－∠AOC ＝55°， 所以∠BON ＝∠AOM ＝55°，所以∠EOF ′＝∠EOB ＋∠BON ＝90°＋55°＝145°， 即∠EOF 的度数是35°或145°.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了垂线的作法、角的计算、对顶角、垂线等知识点的应用，关键是根据这些性质求出∠EOM 和∠AOM 的度数，题目较好，难度不大，注意分类讨论思想的运用．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)垂线⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫定义作法⎩⎪⎨⎪⎧一落二移三画性质：垂线段最短求最短距离 练习设计请完成本课时对应练习！。
垂线(2)
5.1.2 垂线(2)
主要讲了哪些知识? 有哪些困惑?
m
在直线m上任意选取点A，B, C，D，分别与 直线m外一点P连接，所成的线段PA、PB、PC、 PD,中，哪一条线段最短？
答：线段ＰB最短．
“垂线”和“垂线段”是一回事吗？
垂线的性质（2）
连接直线外一点与直线上各点的所 有线段中，垂线段最短。 也可简单地说成：垂线段最短。
2.垂直的表示： a、b互相垂直, 垂足为O
记作a⊥b或b⊥a,垂足为O , 或a⊥b于O , 或b⊥a于O ,
b O
3.垂直的判定
∵∠AOD=90°（
已知
）
A O C
D
∴AB⊥CD（ 垂直的定义 ） ∵∠AOC=90°（
已知
)
B
∴AB⊥CD( 垂直的定义 ） ∵∠BOD=90°（ 已知 ) ∴AB⊥CD( 垂直的定义）
D
C
5. 如图所示，在△ABC中，∠ABC=90 ， AB 的长度. 点A到直线BC的距离是线段 点B到直线AC的距离是线段 BD 的长度. DE 的长度 点D到直线AB的距离是线段 线段AD的长度是点 A 到直线 BD 的距离. B
A
C
6.如图，BO⊥AO，∠BOC 与∠BOA的度数之比为1:5， 那么∠COA＝_____, 72° ∠BOC的补角为______ 度。 162°
O 2
D
C
例2：如图2-22，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D， DE⊥BC于E．试比较四条线段AC，CD，DE和AB 的大小 解：∵ AC⊥BC于C，(已知) ∴ AC＜AB．(垂线的性质二) 又∵ CD⊥AD于D，(已知) ∴ CD＜AC．(垂线的性质二) ∵ DE⊥CE于E，(已知) ∴ DE＜CD．(垂线的性质二) ∴ AB＞AC＞CD＞DE．
5.1.2垂线正式版
活动4 巩固练习
（1）如何画一条线段或一条射线的垂线？
C
C
A
A
B
C
画已知线段、射线的垂线其实 就是经过已知点作已知线段、射线 A 所在的直线的垂线.
B
B
• 2、找出下图中随互堂相练垂习直的直线。
B
A
C
C
O
（1）
DA
DB
（2）
练习一、
E
E
E 注意:画线段(或射线)的 垂线时,有时要将线段延 长(或将射线反向延长)后 再画垂线.
∵ ∠DOE= 50° （已知）
AO
B
∴ ∠DOB=40°(互余的定义)
C
F
∴ ∠AOC= ∠DOB=40°（对顶角相等）
又∵OB平分∠DOF ∴ ∠BOF= ∠DOB=40°（角平分线定义）
∴ ∠EOF= ∠EOB+ ∠BOF=90°+40°=130°
∴ ∠COF=∠COD－∠DOF=180°－80°=100°
当b的位置变化时,a、b所 b 成的角α也会发生变化. b
b
bb
当α =90°时,a与b垂直.
α ）α
当α ≠90°时,a与b不垂
a
直，叫斜交.
斜交 两条直线相交
垂直 垂直是相交的特殊情况
5.1.2垂线
如果两条直线垂相交直成直的角定， 义
那么这两条直线互相垂直。
nC
图中，直线AB与直线CD垂直
记作： AB⊥CD；
l
B
张庄
拓展应用
如图：要把水渠中的水引到水池C 中，在渠岸的什么地方开沟，水沟的 长度才能最短？ 请画出图来，并说明理由。
C
活动4 巩固练习
5.1.2 垂线教案
XX市XXX中学统一备课用纸科目数学年级七年级班级授课时间年月日课题 5.1.2垂线课型新授课教学目标1、理解垂线的意义和垂线的性质；掌握用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线；了解点到直线的距离和垂线段最短.2、从实际问题中发现两条直线的垂直关系及垂直的第一个性质，培养学生发现问题的能力，培养学生掌握画图的基本技能；3、通过分组操作活动，培养学生合作交流的意识和探索精神.教学重点垂线的定义及性质；垂线段最短教学难点垂线的画法和垂线第二条性质的理解教具准备多媒体及课件教学内容及过程教学方法一、复习引入如右图，(1)∠AOC的对顶角是哪个角？这两个角的关系怎样？(2)∠AOC的邻补角有几个？是哪几个角？二、垂直的相关概念观察思考：在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,当b的位置变化时,a,b所成的角α也会发生变化。
有一个位置十分特殊，是哪个位置？当α=90°时,a与b垂直.动手画一画：画直线AB、CD相交于点O问题如图,当∠AOC＝90°时，∠BOD、∠AOD、∠BOC等于多少度？为什么？1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.例:如图，a,b互相垂直,O叫垂足.a叫b的垂线，b也叫a的垂线。
垂直的表示：2.垂直的记法、读法和性质、判定读法记法：垂直用符号“⊥”来表示，读作“垂直于”。
如“直线AB垂直于直线CD”，就记“AB⊥CD”。
性质：∵AB⊥CD ∴∠AOD=90判定: ∵∠AOD=90°∴AB⊥CD巩固练习：1. 下面四种判断两条直线垂直的方法正确的有( )(1)两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直．(2)两条直线相交，有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直．(3)两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线互相垂直．(4)两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直．A．4个B．3个 C．2个D．1个2．两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是A. 有两个角相等B.有两对角相等C. 有三个角相等D. 有四对邻补角三、探究:垂线的画法及性质探究：(1)画已知直线l的垂线能画几条?(2)过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能画几条?(3)过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能画几条?练习：请用三角尺过点A、B画直线l的垂线。
七年级 华师大版 5.1.2 相交线 垂线
小常识
立定跳远中，体育老师是如何测量 运动员的成绩的？你能解释吗？
体育老师实际上测量 的是点到直线的距离
起 跳 线
落脚点
学到了什么?
1、垂线的定义及表示方法
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角 时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条 直线的垂线，它们的交点叫垂足。
2、垂线的画法
一、靠（线）；二、过（点）；三、画 （线）
a
b O
从垂直的定义可知， 判断两条直线互相垂直的关键： 只要找到两条直线相交时四个交角中 一个角是直角。
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角 中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂 直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它 们的交点叫垂足。 a 2.垂直的表示： α b 用“⊥”和直线字母表示垂直
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到 直线的距离。
如图，线段PA的长度是点P到直线m的距离。
1、如图，点A处是一座小屋，BC是 一条公路，一人在O处。 A
（1）此人到小屋去，怎样走最近？ 小屋 为什么？ 两点之间，线段最短 （2）此人要到公路去，怎样走最 近？为什么？垂线段最短
．
O
B
公路
C
A
则所画直线AB是过点 A的直线L的垂线.
B
L
1靠（线）:把三角板的一直角边靠在直线上; 2过（点）:三角板的另一条直角边过已知点; 3画（线）:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
总结：
根据以上的操作，你能得出什么结论？ 垂线的第一性质：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
注意： （1）“过一点”中的点，可以在已知直线上， 也可以在已知直线外。 （2）“有且只有”中，“有”指存在，“只 有”指唯一性。
5.1.2 垂线的定义
第五章相交线与平行线 5.1.2 垂线一、知识回顾如图，直线AB与CD相交于点O。
则∠AOD的对顶角是，邻补角是；∠DOB的对顶角是，邻补角是；∠EOB的邻补角是。
二、知识探究1、垂直的概念：当两条直线相交所成的四个角中，有时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫。
2、垂直的表示方法：用符号表示垂直。
如图表示为：3、几何语言表示，如图：垂线的定义：∵∠= °∴⊥反之：∵⊥∴∠= °练习：1、下面四种判断两条直线垂直的方法正确的有___个 [ ](1)两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直．(2)两条直线相交，有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直．(3)两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线互相垂直．(4)两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直．A．4 B．3 C．2 D．12、如图，点O是直线AB上一点。
（1）若OC⊥OD，∠AOC=35°，则∠BOD=（2）若∠AOC=40°，∠BOD=50°，则OC OD。
三、例题点拨例1：如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠1=125°,求∠COE的度数.例2：如图，OC⊥AB于点O，∠AOE=∠COF，则射线OE、OF有什么位置关系？请说明理由。
例3：如图，直线AB、CD相交于O点，∠AOC与∠AOD的度数比为4：5，OE⊥AB，OF平分∠DOB，求∠EOF的度数．四、课堂练习1、如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1=145°，则∠3的度数为2、如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠EOD=∠AOC，则∠BOC=3、如图，已知AB、CD相交于O，OE⊥CD于O，∠AOC=30°，则∠BOE=（1）（2）（3）4、如图，直线PQ⊥MN，垂足为O，AB是过点O的直线，∠1=50°，则∠2的度数为5、如图，AB、CD交于点O，OE⊥AB，则∠1与∠2一定满足关系是6、如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于O，若∠BOD=40°，则不正确的结论是（）（4）（5）（6）7、如图，直线AB、CD、EF相交于点O，且AB⊥CD，OB平分∠EOG，若∠FOD=60°．则∠BOG的度数为8、如图，AO⊥BO，CO⊥DO，∠AOC=35°，则∠BOD的度数为9、如图，AO⊥BO，CO⊥DO，∠AOC：∠BOC=1：5，则∠BOD=10如图，∠1=15°，∠AOC=90°，点B，O，D在同一直线上，则∠2的度数为（7）（8）（9）（10）11、如图所示，O是直线AB上一点，∠AOC=∠BOC，OC是∠AOD的平分线．（1）求∠COD的度数．（2）判断OD与AB的位置关系，并说出理由．12、如图，点O是直线AB上一点，∠AOC=40°，OD平分∠AOC，∠COE=70°．（1）请你说明DO⊥OE；（2）OE平分∠BOC吗？为什么？13、如图，∠1=30°，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O．求∠2、∠3的度数．14、如图所示，OA⊥OB，OC⊥OD，OE为∠BOD的平分线，∠BOE=17°．求∠AOC的度数．。
5.1.2-垂线-教案设计(全国优质课一等奖)
人教版初中数学七年级《垂线》教案［教学目标］1、知识与技能〔1〕了解垂线的概念和垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义。
〔2〕知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，并会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。
2、过程与方法经历操作、探索、归纳、总结的过程，初步形成几何概念的认识方式和几何结论的归纳方法。
3、情感态度价值观体会探究的乐趣，体会数学与现实生活的联系，能对感性认识到理性认识有初步的体验。
［教学重点与教学难点］1、教学重点：〔1〕通过动手操作了解垂线的概念。
〔2〕通过动手操作进行垂线的两个性质的归纳。
2、教学难点：垂线的两个性质归纳的语言表述。
［教具准备］相交线模型、绳子、多媒体课件。
［教学课时］1课时［教学过程］一、创设情景揭示课题1、提问：某人在下雨时想要跑进屋檐下躲雨。
此人会以怎样的路线跑到屋檐下？2、板书课题：垂线二、动手操作得出新知学生操作：学生拿出相交线模型旋转，引导学生从角的变化过程中体会垂直与角大小的关系。
教师指出：四个角有一个是直角时，两直线就垂直了，此时四个角都是直角。
垂直：两条直线相交，有一个角是直角，这两条直线互相垂直。
垂线：两条直线互相垂直，其中一条叫作另一条的的垂线。
三、提问升华举例感知1、问题1：垂直的两条直线其夹角的大小有什么关系？2、问题2．怎样判定两条直线是否垂直？3、请列举生活中具有垂直形象的事物。
学生答复好以上三个问题后，教师指出：垂直定义即可以作为垂直的性质又可以作为垂直的判定。
四、探究思考讨论归纳〔一〕性质1师：生活中我们常用垂线知识解决问题，画已知直线的垂线是必不可少的基本技能1、问题1：与一条已知直线垂直的直线一共有几条？请同学们动手画一画。
2、问题2：如图〔1〕，过P点可以作几条直线与直线L垂直？请同学们动手画一画。
3、问题3：如图〔2〕，过P点可以作几条直线与直线L垂直？请同学们动手画一画。
这3个问题要求学生独立画图再小组内交流。
垂线(2)-数学-人教版新教材-下册-初中-一年级-第五章-第一节-第3课时
M· ·
A
┏
N
E 问题3：若蚂蚁在点M处，想爬
到棱BC上，请你设计一条最佳
B 路线。
灿若寒星
小结：
1、垂线段的定义 由直线外一点向直线引垂线，这点与垂足 间的线段叫做垂线段。 2、点到直线的距离
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度, 叫做点到直线的距离.
灿若寒星
一、复习
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角
中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂
直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它
们的交点叫垂足。
a
2.垂直的表示： 用“⊥”和直线字母表示垂直
αb O
例如、如图，a、b互相垂直,垂足为O，则 记为： a⊥b或b⊥a,
若要强调垂足，则记为：a⊥b,垂足为O.
O
∵BO⊥AC于O点 （已知）
2
∴∠BOC=90°（垂直定义） ）1
又∵∠2=∠1=60°（已知）B D
C
∴∠BOD=30°（余角定义）
灿若寒星
想一想： 已知：如图AD＜AE＜AC＜AB能说AD的 长是A到BC的距离吗？
A
答：不能。
B
灿若寒星
D EC
例3、如图：AC⊥BC于C,CD⊥AB于D,DE⊥BC 于E,试比较四条线段AB、AC、DC和DE的大小。
(A)、AC(B)、BC、(C)、CD(D)、不能确定 C
A
D
B
灿若寒星
例2、如图,∠ABC=90°,∠1=60°,过B作 AC的垂线BO,垂足是O,过O作BC的垂线,垂 足是D,若∠1=∠2,求∠ABO,∠BOD.
解：∵∠ABC=90°(已) 知
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P
A P
B
A
B
活动二：
第5页思考：在灌溉时，要把河中的水引到农田P处， 如何挖掘能使渠道最短？
思考： （1）你能将这个实际问题转化成数学问题吗？ （2）在直线上有无数个点，试着取几个点与点P 相连，比较一下它们的大小关系．你有什么发现？ （3）你能猜想一下最短的位置会在哪儿？它唯一 吗？为什么？ （4）你能用一句话总结出观察得出的结论吗？
2.垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的 所有线段中，垂线段最短． 简单说成：垂线段最短． 3.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂 线段的长度，叫点到直线的距离．
思考： （5）如果图中的比例尺为1:1000000，水渠大 概要挖多长？ （6）你能列举生活中类似的实例吗？
归纳小结
1．什么是垂直？垂直和相交有什么关系？ 我们是如何刻画两直线垂直的位置关系的？ 2．垂线有哪些性质？
5.1.2 垂线
课件说明
学习目标： （1）理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一 点画已知直线的垂线．理解点到直线的距离的概念，能度 量点到直线的距离．掌握垂线的性质． （2）通过观察、思考、探究等活动归纳出垂线的概念和性 质，并利用所学知识进行说理，体会从一般到特殊的方法， 提高逻辑思维能力．通过利用垂线的性质解决简单的实际 问题，提高应用意识．
练习：
第6页练习 第8页习题5.1 第3、4、5、6、7题
（１）用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这 样的垂线能画出几条？
（２）经过一点画已知直线l的垂线，这样的垂线 能画出几条？ ①经过一点画已知直线l的垂线有几种情况？ ②通过画图，你发现过一个点可以画几条直 线与已知直线垂直？
2.垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一 条直线与已知直线垂直．
第5页练习： 2．过点Ｐ画出射线AB或线段AB的垂线．
学习重点： 垂线的概念和性质．
问题1： 取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木 条a，转动木条b．
（1）在木条b的转动过程中,什么量也随之发生改变？ a与b所成的角也随之发生改变 （2）木条b与a成90º 的位置有几个？此时，木条b与a 所在的直线有什么位置关系？ a与b垂直
1.垂直概念：两条直线相交所成的四个角中，有一 个角是直角时，叫做这两条直线互相垂直．两条直 线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂 线，它们的交点叫做垂足． 如图，AB ⊥CD，垂足为Ｏ． 记作：AB ⊥CD于点Ｏ．
符号语言：垂直定义 ∵ AB ⊥CD， ∴∠AOC=90°．
反之垂直性质 ∵ ∠Aபைடு நூலகம்C=90°， ∴ AB⊥CD．
问题2： （1）两条直线垂直和相交是什么关系？
垂直是相交的特殊情况
（2）能否认为在同一平面内，两条直线的位置关系 有3种：相交，平行，垂直？
不能，因为垂直是相交的特殊情况
活动一：第4页探究