最新5.1.2垂线ppt课件
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5.1.2垂线ppt课件
探究： ①用三角尺或量角器画已知直线l 的垂 线，这样的垂线能画出几条？
②经过直线l上一点A画 l 的垂线，这样的垂
线能画出几条？
③经过直线l 外一点B画 l 的垂线，这样的
垂线能画出几条？
问题:过已知直线 l 和l上(或外)的一点A , 作l的垂线,可以作几条?
能作一条,而且只能作一条.
垂线的性质1：
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,
当b的位置变化时,a、b所 成的角α也会发生变化.
b b bb
当α=90°时, a与b互相垂直.
）α
a
垂直
垂直是相交的特殊情况
一、垂直的定义
1.定义：当两条直线所成的四个 角中有一个角是直角时，这两条 直线互相垂直。其中一条直线叫C 另一条直线的垂线，它们的交点 叫垂足。
A
O
D
B
2.垂直用符号 “⊥”来表示，读作“垂直于”。
如“直线AB垂直于直线CD”，就记作“AB⊥CD”。
3.交点O叫做垂足
从垂直的定义可知，判断两条直线互相垂直的关键： 只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角。
2.垂直的表示： 用“⊥”和直线字母表示垂直 例如、如图，a、b互相 垂直, 垂足为O，则记为：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
注意: 过一点画已知线段(或射线)的垂线, 就是画这条线段(或射线)所在直线的垂线.
根据以上的结果，你能得出什么结论？ 垂线的第一性质：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（1）“有且只有”中，“有”指存在， “只有”指唯一性。
（2）“过一点”中的点，可以在已知直 线上，也可以在已知直线外。
）1
D
C
∴∠2=60° （等量代换）
②经过直线l上一点A画 l 的垂线，这样的垂
线能画出几条？
③经过直线l 外一点B画 l 的垂线，这样的
垂线能画出几条？
问题:过已知直线 l 和l上(或外)的一点A , 作l的垂线,可以作几条?
能作一条,而且只能作一条.
垂线的性质1：
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,
当b的位置变化时,a、b所 成的角α也会发生变化.
b b bb
当α=90°时, a与b互相垂直.
）α
a
垂直
垂直是相交的特殊情况
一、垂直的定义
1.定义：当两条直线所成的四个 角中有一个角是直角时，这两条 直线互相垂直。其中一条直线叫C 另一条直线的垂线，它们的交点 叫垂足。
A
O
D
B
2.垂直用符号 “⊥”来表示，读作“垂直于”。
如“直线AB垂直于直线CD”，就记作“AB⊥CD”。
3.交点O叫做垂足
从垂直的定义可知，判断两条直线互相垂直的关键： 只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角。
2.垂直的表示： 用“⊥”和直线字母表示垂直 例如、如图，a、b互相 垂直, 垂足为O，则记为：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
注意: 过一点画已知线段(或射线)的垂线, 就是画这条线段(或射线)所在直线的垂线.
根据以上的结果，你能得出什么结论？ 垂线的第一性质：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（1）“有且只有”中，“有”指存在， “只有”指唯一性。
（2）“过一点”中的点，可以在已知直 线上，也可以在已知直线外。
）1
D
C
∴∠2=60° （等量代换）
人教版七年级下册数学 5.1.2 垂线-课件(共25张PPT)
新知讲解
练习2：如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了 使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建 在( A )
A．A 点 B．B 点 C．C 点 D．D 点
课堂练习
1、过点Ｐ画出射线AB 或线段AB 的垂线．
AP B
P B A
课堂练习
2、如图所示, AC⊥BC, C 为垂足, CD⊥AB, D 为垂足，BC ＝8, CD＝4.8, BD＝6.4, AD＝3.6, AC＝6, 那么：
（1）点C 到AB 的距离是__4__.8____, （2）点A 到BC 的距离是____6____, （3）点B 到CD 的距离____6_._4____.
课堂练习
3、如图，直线AB、CD 相交于点O，OE⊥AB，∠AOC=75°, 求∠EOD 的度数.
解：∵ AB⊥OE （已知）, ∴ ∠EOB＝90°(垂直的定义).
符号语言：
∵AB ⊥CD
90º
∴ ∠AOC＝90º
新知讲解
练习1：如图，直线AB、CD相交于点O， OE⊥AB，∠AOD＝ 125°, 求∠COE 的度数.
解：∵ ∠AOD＝∠BOC ∴ ∠BOC＝∠AOD＝125° ∵ OE⊥AB ∴ ∠BOE＝90°, ∴ ∠COE＝ ∠BOC－ ∠BOE
＝ 125°－ 90° ＝ 35°
CE
∵∠BOD＝∠AOC＝75°(对顶角相等）
A
∴∠EOD＝∠EOB+∠BOD
＝90°+75°
＝165°
O
B
D
拓展提高
将一副三角板的两个直角顶点O重合在一起，按如图位置放置．
（1）如图①，若∠BOC＝50°，求∠AOD的度数； 解：∵∠AOB＝90°，∠BOC＝50°，
5.1.2 垂线 课件(共36张PPT) 2023-2024学年人教版七年级数学下册
垂线的性质
点到直线的距离
一放二靠三移四画
在同一平面内，过一点 __有__且__只__有__一__条__直线与 已知直线垂直
垂线段_最__短__
知识结构
一般 邻补角
情况
邻补角互补
相 交 线
两条直 线相交
对顶角
邻补角相等
相交线
存在性和唯一性
成直角
垂线
垂线段最短
点到直 线的距离
（2）根据“垂线段最短”，可知线段
AB最长.
C
B
重点突破，提升探究
例 如图，一辆汽车在直线形公路 AB 上由 A 向 B 行驶，M， N分别是位于公路两侧的村庄.
M
A
B
N
（1）设汽车行驶到公路 AB 上点 P 位置时，距离村庄 M 最 近，行驶到点 Q 位置时，距离村庄 N 最近，请在图中的公 路AB上分别画出点 Р 和点 Q 的位置.
创设情境，新课导入
在灌溉时，要把河中的水引到农田 P 处，如何挖 掘能使渠道最短？请转化成数学问题并找出最短 的位置.
可运用直 尺测量.
问题引入，自主探究
探究点：点到直线的距离
上面的挖渠问题，我们可以将其简化为如下图形，则如何挖 渠能使渠道最短即为求点 Р 到直线 l 的最短路线.
P
l
连接点 P 与直线 l 上的各点.
(4)如果AB⊥CD，那么∠AOD是多少度？用符号语 言怎么表示？
A
D
O
C
B
符号语言： 因为 AB⊥CD ，
所以 ∠AOD ＝ 90°.
对应训练
1.当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条 直线有什么位置关系？为什么？
【选自教材P5 练习 第1题】
点到直线的距离
一放二靠三移四画
在同一平面内，过一点 __有__且__只__有__一__条__直线与 已知直线垂直
垂线段_最__短__
知识结构
一般 邻补角
情况
邻补角互补
相 交 线
两条直 线相交
对顶角
邻补角相等
相交线
存在性和唯一性
成直角
垂线
垂线段最短
点到直 线的距离
（2）根据“垂线段最短”，可知线段
AB最长.
C
B
重点突破，提升探究
例 如图，一辆汽车在直线形公路 AB 上由 A 向 B 行驶，M， N分别是位于公路两侧的村庄.
M
A
B
N
（1）设汽车行驶到公路 AB 上点 P 位置时，距离村庄 M 最 近，行驶到点 Q 位置时，距离村庄 N 最近，请在图中的公 路AB上分别画出点 Р 和点 Q 的位置.
创设情境，新课导入
在灌溉时，要把河中的水引到农田 P 处，如何挖 掘能使渠道最短？请转化成数学问题并找出最短 的位置.
可运用直 尺测量.
问题引入，自主探究
探究点：点到直线的距离
上面的挖渠问题，我们可以将其简化为如下图形，则如何挖 渠能使渠道最短即为求点 Р 到直线 l 的最短路线.
P
l
连接点 P 与直线 l 上的各点.
(4)如果AB⊥CD，那么∠AOD是多少度？用符号语 言怎么表示？
A
D
O
C
B
符号语言： 因为 AB⊥CD ，
所以 ∠AOD ＝ 90°.
对应训练
1.当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条 直线有什么位置关系？为什么？
【选自教材P5 练习 第1题】
5.1.2垂线ppt课件
THANKS
感谢观看
详细描述
首先，确定给定的点和平行线。然后，选择一个与该平面垂直的平面，并将给 定点包含在该平面内。最后，过该点作与该平面垂直的直线，即为所求的垂线 。
过一点作已知直线的垂面
总结词
通过给定的点，使用三维几何的知识，可以作出已知直线的垂面。
详细描述
首先，确定给定的点和已知直线。然后，选择一个与该直线垂直的平面，并将给 定点包含在该平面内。最后，过该点作与该平面垂直的平面，即为所求的垂面。
总结词
通过给定的点，使用直角三角形的性质，可以作出已知直线 的垂线。
详细描述
首先，将给定的点和已知直线连接，形成一个直线段。然后 ，以该点为顶点，直角三角形的直角边与已知直线重合，构 造一个直角三角形。最后，沿着直角三角形的斜边进行延长 ，即可得到过该点的垂线。
过一点作已知平面的垂线
总结词
通过给定的点，使用空间几何的性质，可以作出已知平面的垂线。
机械制造应用
在机械制造中，垂线是确 定机器部件位置和方向的 重要依据。
数学应用
在数学中，垂线是解决几 何问题的重要工具，如求 点到直线的距离、确定直 线的位置等。
02
垂线的判定
直线与直线垂直的判定
判定定理
空间中的垂直关系
两条直线所成的角为直角，则这两条 直线垂直。
如果两条直线所成的角为直角，则它 们垂直。
这个平面垂直。
平面与平面垂直的判定
判定定理
如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面 垂直，那么这两个平面垂直。
推论
如果一个平面内的无数条直线都与另一个平面垂 直，那么这两个平面垂直。
空间中的垂直关系
如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面 垂直，那么这两个平面垂直。
人教版七年级数学下册5.1.2 垂线课件(17张ppt))
如图，连接直线l外一点P与直线l上各点B， A1，A2，A3，…，其中PB⊥l（我们称PB 为点P到直线l的垂线段）．比较线段PB， P哪A一1，条P最A2短，？PA3，…的长短，这些线段中，������������叫做点������到直线������的垂线段
性质2 连接直线外一点与直线上各点 的所有线段中，垂线段最短．
点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线 的距离．
典型例题
【例题1】如图，直线������������与������������相交于点������，������������ ⊥ ������������于点������， ∠������������������ ∶ ∠������������������ = ������ ∶ ������，则∠������������������度数为___1_1_2_._5_°___．
注意：如过一点画射线或线段的 垂线，是指画它们所在直线的垂线， 垂足有时在延长线上．
P
90°
新知讲解
3． 垂线的性质
垂线的性质有哪些呢，我们一起来探究下．
经过一点（已知直线上或直线外）， 能画出已知直线的一条垂线，并且 只能画出一条垂线；
性质1 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
新知讲解
探究：
4．点到直线的距离：
线段������������的长最短 线段������������的长叫点������到直线������的距离．
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
5．总结
新知讲解
垂线的性质： ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
性质2 连接直线外一点与直线上各点 的所有线段中，垂线段最短．
点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线 的距离．
典型例题
【例题1】如图，直线������������与������������相交于点������，������������ ⊥ ������������于点������， ∠������������������ ∶ ∠������������������ = ������ ∶ ������，则∠������������������度数为___1_1_2_._5_°___．
注意：如过一点画射线或线段的 垂线，是指画它们所在直线的垂线， 垂足有时在延长线上．
P
90°
新知讲解
3． 垂线的性质
垂线的性质有哪些呢，我们一起来探究下．
经过一点（已知直线上或直线外）， 能画出已知直线的一条垂线，并且 只能画出一条垂线；
性质1 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
新知讲解
探究：
4．点到直线的距离：
线段������������的长最短 线段������������的长叫点������到直线������的距离．
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
5．总结
新知讲解
垂线的性质： ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
人教版七年级下册《5.1.2垂线》课件(共26张PPT)
2、如图，分别过A、B、C 作BC、AC、AB的垂线。 解：如图、直线AD⊥BC于 A D、直线BE⊥AC于E、直线 CF⊥AB于F 3、如图，过P作直线 PM⊥OA，垂足为点M． O 过P作线段PN⊥OB于N点。 解：如图、直线PM⊥OA 于M、线段PN⊥OB于N
F
C D M A P
B
E
N
B
学点3:垂线的性质
A
B
5、如图2-23，试用直尺或三角板量出： （1）.城市A与城市B的距离． （2）.城市A，B到大河l的距离．
拓展应用1
如图：在铁路旁边有 一张庄，现在要建一火车 站，为了使张庄人乘火车 最方便（即距离最近）， 请你在铁路上选一点来建 火车站，并说明理由。
张庄
垂线段最短
拓 展 应 用2
如图：要把水渠中的水引到水池 C中，在渠岸的什么地方开沟，水沟 的长度才能最短？ 请画出图来，并说明理由。
学点2:垂线的画法
1)已知直线AB和直线上的一点C, 画直线AB的垂线 C ● A
B
2)已知直线AB和直线外的一点C, 画直线AB的垂线 ● C A
B
E E
E 注意:画线段(或射线)的 垂线时,有时要将线段 延长(或将射线反向延 长)后再画垂线.
课堂练习 1.过点 P 向线段 AB 所在直线引垂线，正确的是（ C）. A B C D
线段AC 3如图已知AC⊥BC,CD⊥AB,则图中以________ 线段BC 的长度表示A点到BC的距离;以_____________ 线段CD 的长度表示B点到AC的距离;以_____________ 的长度表示C点到AB的距离. C
D 4.如图A,B,C三点在直线a上,M点在直线a外,AM⊥CM, MB⊥AC,在①MA＞MB②MB＞MC③MC＞BC ④AC＞AM这四个结论中,正确的个数是( C )个 M A.1 B.2 C.3 D.4 a A B C
七年级数学下册 5.1.2 垂线 课件(共15张PPT)
BC
O
A
问题3：怎样画垂线？
用三角尺或量角器画已知直线l的垂线
（１）用三角尺或量角器画已知直线L的垂线，这样
的垂线能画出几条？
无数条
（２）经过一点画已知直线l的垂线，这样
的垂线能画出几条？
①经过一点画已知直线l的垂线有几种情况？
②通过画图，你发现过一个点可以画几条直线 与已知直线垂直？
1.垂线的画法：.
5.1.2 垂线
温故知新
问题1：如右图，
（1）∠AOC的对顶角是哪个角？ 这两个角的关系怎样？
（2）∠AOC的邻补角有几个？ 是哪几个角？
问题2：如下图，当∠AOC＝90°时，∠BOD、 ∠AOD、∠BOC等于多少度？为什么？
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,
当b的位置变化时,a、b所 b 成的角α也会发生变化. b
当α =90°时,a与b垂直.
b bb
α ）α
a
垂直是相交的特殊情况
一、垂直的定义
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中
，有一个角是直角(90°)时，这两条直线互相
垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它
们的交点叫垂足。
A
例如、如图，AB、CD互相 垂直,O叫垂足.AB叫CD的垂 线，CD也叫AB的垂线。
3.垂直的书写形式：
如果直线AB、CD 相交于点O，∠AOC=90°
（或其它三个角中的一个角等于90°），那么 AB⊥CD.
这个推理过程可以写成：
A
D
∵∠AOC=90°（已知），
O
∴AB⊥CD（垂直的定义）．
C
B
如果AB⊥CD，那么所得的四个角中，必有一个
是直角. 这个推理过程可以写成:
5.1.2 垂线课件
如图，请你过点P画出线段AB或射 线AB的垂线.
E E
E
画一条线段或射线的垂线，就是画它们 所在直线的垂线.
思考： 在灌溉时，要把河中的水引到 农田P处，如何挖渠能使渠道最短？
P
请你画图，把这个问题转化为数学问题.
P
D C
B
A
0
如图PO⊥l ，我们称PO为点P到直线l 的垂线段.
∟
l
E
F
垂线的性质2：
A
C
B
反思总结
1．垂线的定义.
2．垂线的性质1：经过一点有且只有一
条直线与已知直线垂直.
3．垂线的性质2：垂线段最短.
4. 点到直线的距离.
连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中，垂线段最短.即： 垂线段最短
P
D C
B
A
0
∟
E
F
点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离. 如图，线段PO的长度即为点 P 到直线 l 的距离. 注意：距离是个数量.
∟
.P . 0
l
巩固运用
1.如图，∠BAC = 90°，AD⊥BC，垂足为D， 则下列结论： （1）AB与AC互相垂直； （2）AD与AC互相垂直； （3）点C到AB的垂线段是线段AB； （4）点A到BC的距离是线段AD; （5）线段AB的长度是点B到AC的距离； （6）线段AB是点B到AC的距离. 其中正确的有（ B ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
1. 放 2. 靠 3. 移
4. 画
o
过直线上一点有且只有 一条直线与已知直线垂直.
过直线外一点能画这条直线的垂 线吗？能画几条？
1. 放 2. 靠 3. 移
5.1.2垂线ppt课件
.
25
垂线的画法：
如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线.
结论：过直线外
A
一点有且只有一条
直线与已知直线垂
直.
则所画直线AB是经过点A的 直线l的垂线.
l B
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;
2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上;
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1
A 垂 线 段
C
B
D
注 意： 点A到直线CD的距离是 垂线段AB的长度，而不是垂线段AB。
.
46
拓展应用
如图：要把水渠中的水引到水池C中，在渠岸的什么地方开沟，水沟的长度才能 最短？ 请画出图来，并说明理由。
垂线段最短
C
.
47
三、知识应用 1、如图，点A处是一座小屋，BC是一条公路，一人在O处。
A
P
B C
.
51
三、知识应用
5 .文峰学校第六届运动会上，701班一名运动员第五跳打破了年级记录。 如图A、B为这一跳的脚印落点，起跳线为CD。请画图说明如何测量他的 成绩。
C ┓
F D
A •
E• B
解：过脚印B的后跟E作 EF⊥CD，垂足为点F。 那么垂线段EF的长度就是这名 运动员跳远的成绩。
你能再举出其他例子吗?
.
8
生活中的垂直
.
9
生活中的垂直
.
10
生活中的垂直
.
11
3.垂直的书写形式：
C
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOC=90°
时,AB⊥CD，垂足为O。
A
B
O
几何语言
5.1.2垂线 课件(共29张PPT)
线垂直的是( C )
A.有两个角相等
B.有两对角相等
C.有三个角相等
D.有四对邻补角
随堂检测 4.过点P画出射线AB或线段AB的垂线．
P
A
PB
A
人教版数学七年级下册
B
巩固练习
人教版数学七年级下册
1.已知,如图,AB⊥CD,垂足为O,EF为过点O的一条直线,则∠1
与∠2的关系一定成立的是（ B ）
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 2. 如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥CD,垂足为O.若 ∠1=54°,则∠2的度数为 ( B ) A.26° B.36° C.44° D.54°
于点O，∠AOD=90°，那么AB⊥CD.
A
符号语言表示：
∵∠AOD=90°
C
O
D
∴AB⊥CD（垂直的定义）
B
探究新知
人教版数学七年级下册
日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，说出下 图中的一些互相垂直的线条.
你能再举出其他例子吗？
探究新知
人教版数学七年级下册
探究 (1)画已知直线l的垂线能画几条? (2)过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能画几条? (3)过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能画几条?
（6）线段AB是点B到AC的距离.
其中正确的有（ B ）
A.1个
B.2个 C.3个 D.4个
人教版数学七年级下册
巩固练习
人教版数学七年级下册
3.如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠EOC=35°,求
∠AOD的度数.
解:∵AB⊥OE∴ ∠EOB=90° ∵∠EOC=35° ∴∠AOC=35° ∴∠AOD=180°-∠AOC =180°- 35°=145 °
人教版七年级下册 5.1.2 垂线画法 课件 (共15张PPT)
是过点A的直线l的
垂线.
l A
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;
0 2靠1 :靠2 三3 角板4 ,把5 三6 角7板的8 一9直角10 边11 靠在直尺上;孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
3移:移动三角板到已知点;
4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
1.垂线的画法：
如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线.
能作一条,而且只能作一条.
结论: 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 注意:
过一点画已知线段(或射线)的垂线,就是 画这条线段(或射线)所在直线的垂线.
练习:P7/练习
E
E
E
注意:画线段(或射线)的
垂线时,有时要将线段 延长(或将射线反向延 长)后再画垂线.
练习：
1、如图，分别过A、B、C
作BC、AC、AB的垂线。 解：如图、AD⊥BC于D、 A BE⊥AC于E、CF⊥AB于F
l
例如：如图，PA⊥l于点A ，线段
A
PA叫做点P到直线l的垂线段.
结论:
要找垂线段，
连接直线外一点与直线 先把点来看。
上各点的所有线段中，垂线 过点画垂线，
段最短.
点足垂线段。
简单说成: 垂线段最短.
点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，
叫做点到直线的距离。
P
例如：如图，PA⊥l于点A ，垂线
段PA的长度叫做点P到直线l的距离.
l
例：如图，是一个同学跳远的位置
A
跳远成绩怎么表示?
解:过P点作PA⊥l于
l
点A ，垂线段PA的长
P
A
度就是该同学的跳远成
新人教版七年级数学5.1.2垂线ppt课件
m
1
On
2.若直线AB、CD相交于点O，
且AB⊥CD，那么∠BOD＝__9_0_。°
3.如图，BO⊥AO，∠BOC 与∠BOA的度数之比为1:5，
那么∠COA＝__7__2_°,
162 ∠BOC的补角为____完_整最_新度版课。件
B C
O
13A
练习2：
如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线，
2.垂直的表示：
a
1）图形：
αb
2）文字：a、b互相垂直, 垂足为O O
3）符号：a⊥b或b⊥a,
若要强调垂足，
则记为：a⊥b, 垂足为O
试一试 填一填
M
E
F
O
E
A
O
B
N
记作：M__N_⊥__E__F__, 垂足为_O__. 记作：A_B_⊥__O__E，垂足为__O__.
或者MN⊥EF于O
或者AB⊥OE于O
若∠1＝35°, ∠2＝55°，则OE与AB的位置关系
是 OE⊥AB .
C
联想数学
A
1O
B
2
D
切记：要证垂直必先想到直角（90°）E
例2 如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB于
O，OB平分∠ DOF，∠DOE=50°,求∠AOC、
∠ EOF、 ∠ COF的度数.
解: ∵ AB⊥OE （已知）
再画垂线.
完整最新版课件
22
1、如图，分别过A、B、C 作BC、AC、AB的垂线.
解：如图、直线AD⊥BC于D 、直线BE⊥AC于E、直线
A
CF⊥AB于F
2、如图，过P作直线 PM⊥OA，垂足为点M． O 过P作线段PN⊥OB于N点.
七年级数学下册 5.1.2 垂线 课件(共15张PPT)
B
则所画直线AB
是过点A的直线m
的垂线.
A
m
1靠:把三角板的一直角边靠在直线上; 2移:移动三角板到已知点; 3画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
1.垂线的画法： 如图，已知直线 m 和m外的一点A ,作m的垂线.
A
B
m
则所画直线AB是 过点A的直线m的垂线.
垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只 有一条直线与已知直线垂直．
∴∠AOC＝90°（垂直的定义）．
看谁做得快
1.若直线m、n相交于点O，
m
∠1＝90°，则___m__⊥__n___。
1
On
2.若直线AB、CD相交于点O，
且AB⊥CD，那么∠BOD＝_9_0_°_。
3.如图，BO⊥AO，∠BOC 与∠BOA的度数之比为1:5，
那么∠COA＝__7_2_°_, ∠BOC的补角为__1_6_2__度。
C
D O
B
从垂直的定义可知， 判断两条直线互相垂直的关键：
只要找到两条直线相交时四个交角中 有一个角是直角。
2.垂直的表示 ：
用“⊥”和直线字母表示垂直
例如、如图，AB、CD互相
垂直, 垂足为O，则记为： C
AB⊥CD或CD⊥AB
A
αD O B
若要强调垂足，则记为：AB⊥CD, 垂足为O. 或AB⊥CD于O.
择决定命运，环境造就人生！
3.垂直的书写形式：
如果直线AB、CD 相交于点O，∠AOC=90°
（或其它三个角中的一个角等于90°），那么 AB⊥CD.
这个推理过程可以写成：
A
D
∵∠AOC=90°（已知），
O
∴AB⊥CD（垂直的定义）．
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在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b, b b 当b的位置变化时,a、b所 b b 成的角α也会发生变化. 当α=90°时, a与b互相垂直.
α ）
a
垂直
垂直是相交的特殊情况
一、垂直的定义
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角 中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂 直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它 a 们的交点叫垂足。 例如、如图，a、b互相垂 b 直,O叫垂足.a叫b的垂线， O b也叫a的垂线。 从垂直的定义可知， 判断两条直线互相垂直的关键： 只要找到两条直线相交时四个交角中 一个角是直角。
垂线段最短
C
小常识
立定跳远中，体育老师是如何测量 运动员的成绩的？
起 跳 线
体育老师实际上测量 的是点到直线的距离
落脚点
巩固练习
1.直线AB外一点P到直线AB的距离指的是（ B ）
（A）从P点到AB的垂线段 (B)从P点到AB的垂线段长 （C）从P点到AB的垂线（D）从 P点到AB的垂线长
2.点P为直线l外一点，点A、B、C在直线l 上， 若PA=4cm,PB=5cm，PC=6cm，则P到直线l 的距离是（ C ） A．4cm B. 小于4cm C、不大于4cm D、5cm
能作一条,而且只能作一条. 垂线的性质1：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
注意: 过一点画已知线段(或射线)的垂线, 就是画这条线段(或射线)所在直线的垂线.
1．选择题 过点 P 向线段AB所在直线引垂线，正确的是（ C ）. A B C D
课堂练习
2.画一条线段的垂线，垂足在 （ D ） A．线段上 B．线段的端点上 C．线段的延长线上 D．以上都有可能
几何语言
∵AB⊥CD(已知)
COB ﹦90° (垂直的定义) ∴∠ ______________来自oDB
1.直线AB与直线CD相交于点O, 若∠AOC=90°则 ①直线AB与直线CD互相___. ②记作____. ③交点O又叫做_____. ④直线AB的垂线是_____. A O
C
B
D
⑤∠BOC=____, ∠AOD=____,∠BOD=____. 所以,∠____=∠____=∠____=∠____=90°
复习回顾
1.如图，直线AB和CD相交于点O，则对 顶角有___对， 分别是___。∠AOB的 邻补角有___个，分别是_____。
A
C
2.如上图：若∠1=2∠2， 求∠1，∠2，∠3，∠4的度数
⌒
2
1 O ⌒ 4 3
D
B
学习目标：
1.理解垂直及其有关概念； 2.会用三角板、直尺过一点画已知直线 的垂线； 3.掌握垂线的性质1，并会运用所学知识 进行简单的计算和推理。
线段PB叫做 点P到直线m的 垂线段。
P
垂线的性质2： 连接直线外一点与直线上各点的所有 线段中，垂线段最短。 垂线段最短 简单说成：垂线段最短．
垂线段的长度 直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离。
A
B
C
D
m
线段AB⊥直线CD，如图，垂足为B，我们就把线 段AB叫做点A到直线CD的垂线段。
B D C
4.如图, AC⊥BC, ∠C=900 ,线段AC、BC、CD 中最短的是( C )
(A) AC
(B) BC
(C) CD (D) 不能确定
C
A
D
B
G D M· C
┏
问题1：长方体的顶点A处有一 只蚂蚁想爬到点C处，请你帮 它画出爬行的最佳路线。并说 F 明理由。
问题2：若A处的蚂蚁想爬到棱 BC上，你认为它的最佳路线是 E 什么？ 问题3：若蚂蚁在点M处，想爬 到棱BC上，请你设计一条最佳 路线。
2 .两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判
定两条直线垂直的是( C ) （A） 有两个角相等 （C） 有三个角相等 （ B）有两对角相等 （ D） 有四对邻补角
3．下面四种判断两条直线垂直的方法正确的 有（ A ）个 (1)两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角， 则这两条直线互相垂直． (2)两条直线相交，有一组邻补角相等，则这两条直 线互相垂直． (3)两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线 互相垂直． (4)两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直 线互相垂直． A．4 B．3 C．2 D．1
例1:如图，已知直线AB、CD都经过O点， OE为射线，若∠1＝35° ∠2＝55°，
垂直 则OE与AB的位置关系是___________
解： C A 1
O
∵∠1＝35°，∠2＝55°（已知） B
∴ ∠AOE＝180°－∠1－∠2 ＝ 180°－35°－55° ＝90° ∴OE⊥AB (垂直的定义)
l
0
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合; 2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上; 孝感市文昌中学学生专用尺 3移:移动三角板到已知点; 4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
1 2 3 11 Cm
垂线的画法： 如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线. 则所画直线AB 结论：过 A 直线外一点 是经过点A的直线l 有且只有一 的垂线.
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角 中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂 直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它 a 们的交点叫垂足。 α b 2.垂直的表示： O 用“⊥”和直线字母表示垂直
例如、如图，a、b互相垂直, 垂足为O， 则记为： a⊥b或b⊥a, 若要强调垂足，则记为：a⊥b, 垂足为O.
O 2
D
C
二、垂线的画法
探究： ①用三角尺或量角器画已知直线l 的垂 线，这样的垂线能画出几条？ ②经过直线l上一点A画 l 的垂线，这样的垂 线能画出几条？ ③经过直线l 外一点B画 l 的垂线，这样的 垂线能画出几条？
垂线的画法： 工具：直尺、三角板 如图，已知直线 l,作l的垂线。 问题： 这样画l的 垂线可以 画几条？ 无数条
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Cm
A
O
l
1放、 2靠、 3画线、
孝感市文昌中学学生专用尺
垂线的画法：
如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线.
结论：过 直线上的一 点有且只有 一条直线与 已知直线互 相垂直。
B
则所画直线AB 是过点A的直线l的 垂线.
A
4 5 6 7 8 9 10
E M O E A N O B F
记作： MN⊥EF , 垂足为O.
或者MN⊥EF于O
记作： AB⊥OE垂足为O.
或者AB⊥OE于O
日常生活中,两条直线互相垂直的情形很 常见,说出图5.1-6中的一些互相垂直的线条.
你能再举出其他例子吗?
生活中的垂直
生活中的垂直
生活中的垂直
3.垂直的书写形式：
巩固练习
3. 如图，BAC 90, AD BC, 垂足为D, 则下列结论： （1）AB与AC互相垂直； （2）AD与AC互相垂直； （3）点C到AB的垂线段是线段AB； （4）点A到BC的距离是线段AD; （5）线段AB的长度是点B到AC的距离； （6）线段AB是点B到AC的距离。
A
其中正确的有（ ） A.1个 B. 2个 C.3个 D. 4个
· A
N
B
条直线与已 知直线垂直.
B
4 5 6 7 8 9 10
l
0
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合; 2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上; 孝感市文昌中学学生专用尺 3移:移动三角板到已知点; 4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
1 2 3 11 Cm
问题:过已知直线 l 和l上(或外)的一点A , 作l的垂线,可以作几条?
如图，当直线AB与CD相交于O 点，∠AOC=90°时,AB⊥CD， 垂足为O。
C A
B O
D
几何语言
已知AB.CD相交于点O,
1)∵ ∠AOC﹦90°(已知) AB⊥CD (垂直的定义) ∴__________
3.垂直的书写形式：
反之，若直线AB与CD垂直， 垂足为O，那么，∠AOC=90°
C
A
2 E D
练习： 1. 如图，直线AB、CD相交于点O， OE⊥AB，∠1=125°,求∠COE的度数.
C A E 1 O D B
2、如图,∠ABC=90° ,∠1=60° ,过B作 AC的垂线BO,垂足是O,过O作BC的垂线, 垂足是D,若∠1= ∠2,求∠ABO, ∠BOD.
解： ∵∠ABC=90°已知 ( ) A ∠1=60°（ 已知） ∴∠ABO=30 ° （互余的定义） ∵BO⊥AC于O点 （已知） 1 ） ∴∠BOC=90（垂直的定义） ° B 又∵∠2=∠1 （已知） ∴∠2=60° （等量代换） （互余的定义） ∴∠BOD=30°
区别：垂线是直线，垂线段是线段； 联系：垂线和垂线段都垂直于已知直线
垂线与垂 线段有何 区别和联 系？
A
垂 线 段
B D
C
注
意： 点A到直线CD的距离是
垂线段AB的长度，而不是垂线段AB。
拓展应用
如图：要把水渠中的水引到水池 C中，在渠岸的什么地方开沟，水沟 的长度才能最短？ 请画出图来，并说明理由。
2.如图，请你过点P画出线段AB或 射线AB的垂线（画在课本第5页上）
P · A·
回顾复习
1、上节课你学到了什么？ 垂线性质
相交线
垂线 垂线画法
2、在这节课中你还有什么疑问？
对顶角：相等 一 般 情 况 邻补角：互补
两 条 直 线 相 交
特殊情况
相交成直角
垂直