第6章电磁场数值模拟-有限元素法
数值模拟有限元法
数值模拟有限元法
数值模拟有限元法是一种广泛应用于工程学、力学、物理学等领域的数值计算方法。
它通过将实际问题抽象为数学模型，然后应用数值计算方法求解该模型，从而获得实际问题的数值解。
有限元法是数值模拟的重要组成部分。
它通过将实际问题离散化为有限个小元素，然后利用这些小元素的特性来近似求解实际问题。
有限元法的优势在于可以对复杂的结构进行分析，同时还可以考虑各种边界条件和载荷情况。
在有限元法中，数学模型的建立是关键步骤之一。
模型的建立需要考虑实际问题的各种因素，例如材料的特性、结构的形状和尺寸等。
建立好模型后，需要进行离散化处理，将模型划分为有限个小元素。
这些小元素通常是三角形或四边形，它们的尺寸越小，模型的精度就越高。
在离散化处理之后，需要对每个小元素进行数值计算，从而得到该元素的应力、位移等参数。
这些参数可以用于推导出整个结构的应力、位移等参数。
在数值计算中，需要考虑各种因素，例如材料的非线性特性、结构的几何非线性等。
数值模拟有限元法的应用非常广泛。
在工程学领域，它通常用于分析各种结构的强度、刚度、振动等特性。
在物理学领域，它可以用于模拟各种物理现象，例如流体力学、热传导等。
在力学领域，它
可以用于分析各种材料的力学特性，例如弹性模量、塑性应变等。
数值模拟有限元法是一种非常重要的数值计算方法，它已经成为了工程学、力学、物理学等领域中不可或缺的工具。
它的应用范围非常广泛，在未来也有着非常广阔的发展前景。
计算电磁学中的有限元方法
计算电磁学中的有限元方法随着计算机技术的不断发展和应用，计算电磁学研究的范围和深度不断提高，其应用领域也越来越广泛。
有限元方法是计算电磁学研究中重要的数值分析方法之一，其可模拟复杂电磁场问题，有着广泛的应用。
本文将简要介绍计算电磁学中的有限元方法的一些基本原理和应用。
一、有限元法基本理论有限元方法是数值分析中一种重要的数学工具，其基本思想是将整个计算区域分割成若干个简单的单元，然后在每个单元内选取一个适当的基函数，通过求解基函数系数来表示数值解。
这种思想很容易扩展到计算电磁场问题上，因为电磁场分布可以被视为由一些小电磁场单元组成。
有限元方法的基本过程包括建立有限元模型、离散化、求解以及后处理。
其中建模是有限元方法中最重要的一个环节。
在建模过程中，首先需要选取合适的计算区域，并将其离散化为若干个小单元（如三角形、四边形等）。
然后，我们需要选取适当的基函数，并确定它们所对应的系数的初始值。
一旦有限元模型被建立，我们就可以进行求解了。
具体来说，有限元法的求解过程需要求解一个大规模的稀疏矩阵方程，其中系数矩阵和右侧向量都与电磁场有关。
这个过程需要借助计算机的优势，通过矩阵解法算法完成求解。
最后，我们通过后处理来获得我们需要的电磁场信息或工程参数，例如电势、磁场强度、感应电动势等。
二、有限元法应用领域有限元法在计算电磁学中广泛应用。
其应用范围涉及电机、变压器、电力电子、雷达、电磁兼容等多个领域。
有限元法可用于仿真复杂的电磁场分布问题，例如在电机设计中，有限元法可用于电机磁场分析、电机振动分析以及谐波分析等。
在电力电子领域中，有限元法可用于设计电感元件和变压器等。
另外，有限元法在雷达技术中也有着广泛的应用，可用于雷达天线设计和仿真。
三、有限元法的优缺点有限元法作为一种数值分析方法，具有一定优缺点。
有限元法的主要优点在于它具有很强的适应性和通用性，可用于模拟各种复杂的材料和几何形状。
此外，有限元法允许我们针对不同的模型选择不同的元素类型和元素尺寸，因此可以根据实际需求自由选择不同的模型。
电磁场数值模拟方法研究与应用
电磁场数值模拟方法研究与应用随着计算机技术和数值模拟方法的不断发展，电磁场数值模拟也越来越成为现代电磁学研究和应用领域中不可或缺的手段。
电磁场数值模拟是通过数学方法和计算机计算，模拟电磁场在空间中的分布、演变和作用规律，从而为电磁场的分析、设计、控制和优化提供基础和依据。
一、电磁场数值模拟方法1. 有限元法有限元法（Finite Element Method，FEM）是一种广泛应用于电磁学领域的数值模拟方法。
该方法将电磁问题离散化为一系列局部问题，在每个局部问题中，通过解决一个代表导体和介质的区域内所能发生的任何电磁过程的方程，来确定局部场分布。
最后，通过组合这些局部场，来得到整个电磁场分布。
有限元法是一种适应性强的方法，能够处理任意复杂的几何形状和材料特性，广泛应用于电动机、变压器、电力电子器件等领域的设计和分析。
2. 有限差分法有限差分法（Finite Difference Method, FDM）是一种将区域划分为网格，通过对每个网格内的方程进行差分，建立离散的求解方程组来模拟整个电磁场分布的方法。
该方法简单易行，特别适用于规则区域的情况，如平面波导、电磁谐振腔等的分析和设计。
3. 时域有限差分法时域有限差分法（Finite Difference Time Domain, FDTD）是一种基于时域求解Maxwell方程的数值模拟方法。
该方法将Maxwell方程组离散化、网格化后，采用差分法对时间和空间进行离散，通过迭代求解来计算电磁场在时域的分布变化。
FDTD方法具有模拟宽带高频信号、自然分析非线性、高精度等优点，在雷达、无线通信等领域有广泛应用。
二、电磁场数值模拟应用1. 电子设备设计电磁场数值模拟可用于电子设备的设计和优化。
例如，可以使用有限元法和时域有限差分法来对电子器件进行仿真模拟，分析其电磁场分布、电场强度等参数，以优化电路传输、EMC抗干扰等性能。
2. 电磁兼容性分析电磁兼容性（Electromagnetic Compatibility，EMC）是评估电子设备互相之间及其周围电子环境中的电磁干扰程度的一种能力。
电磁场的数值模拟方法
电磁场的数值模拟方法引言电磁场的数值模拟方法是一种在工程和科学领域中广泛应用的技术。
通过数学模型和计算方法，可以模拟和分析电磁场的行为和特性。
本文将介绍电磁场数值模拟的基本原理和常用方法。
电磁场模拟的重要性电磁场在许多领域中起着重要作用，包括电子设备设计、电力系统分析、天线设计等。
通过模拟电磁场，我们可以更好地理解和优化系统的性能。
同时，由于电磁场的方程通常是非线性的，无法得到解析解，因此数值模拟方法是求解电磁场问题的主要手段之一。
电磁场的基本方程电磁场可以用麦克斯韦方程组描述，包括麦克斯韦方程和洛伦兹力方程。
对于静电场和静磁场问题，可以根据静态麦克斯韦方程进行求解。
而对于时变场问题，需要考虑到电磁波的传播，可以利用时域或频域的电磁波方程进行求解。
有限差分法有限差分法是求解偏微分方程的常用离散化方法之一。
对于电磁场的数值模拟，可以将空间离散化为一系列网格点，并用差分方式求解电磁场的方程。
常见的有限差分法包括有限差分时间域法(FDTD)和有限差分频域法(FDFD)等。
有限差分时间域法 (FDTD)有限差分时间域法是一种广泛应用于求解时变电磁场问题的数值方法。
它将空间和时间离散化，并通过迭代的方式求解电磁场的时变行为。
在FDTD方法中，电场和磁场分别通过麦克斯韦方程的差分形式进行更新。
由于FDTD方法是一种显式的时间离散方法，因此对时间步长有一定的限制，需要满足稳定性条件。
有限差分频域法 (FDFD)有限差分频域法是一种用于求解频域电磁场问题的数值方法。
它通过将时间域的麦克斯韦方程转化为频域来进行求解。
在FDFD方法中，电场和磁场的空间表达式被离散为一系列频域的谐波，通过求解谐波的耦合方程组来得到电磁场的分布。
相比于FDTD方法，FDFD方法需要耦合求解大规模的线性方程组，计算量较大，但对于频域分析更为适用。
有限元法有限元法是一种用于求解偏微分方程的数值方法，广泛应用于结构力学、电磁场、流体力学等领域。
电磁仿真算中的有限元法
1电磁仿真算法中的有限元法1.1常规的电磁计算方法简介从上世纪50年代以来,伴随着计算机技术的进步,电磁仿真算法也蓬勃发展起来,这其中主要包括:单矩法、矩量法和有限元法等属于频域技术的算法; 传输线矩阵法、时域积分方程法以及时域有限差分法等属于时域技术的算法。
除了这些以外, 还有属于高频技术的集合衍射理论等。
本文根据国内外计算电磁学的发展状况,对日常生活中比较常用的电磁计算方法做了介绍,并对有限元法做了重点说明。
⑴矩量法矩量法属于电磁场的数值计算方法中频域技术的一种, 它的基本原理是利用把待解的微积分方程转化成的算子方程, 然后将由一组线性组合表示的待求函数代入第一步中的算子方程, 然后将算子方程转化成矩阵方程, 最后再通过计算机进行大量的数值计算从而得到数值结果。
该方法在求解非均勻和不规则形状对象时,面很广,但会生成病态矩阵,所以会在一定程度上受到限制。
矩量法的特点就是适用于求解微积分方程, 并且求解方法统一简单。
但缺点就是会占用大量计算机内存,影响计算速度。
(2)单矩法单矩法是一种解析方法和数值方法相结合的混合数值算法法,该方法的关键在于,如何合理的选择一个球面最小的半径,使得能够将分析对象的结构全部包含在内,以便将内外场进行隔离。
外边的散射场单独使用其他函数表示,而包围的内部区域使用有限元法亥姆赫兹(Helmholtz)方程。
此方法对于计算复杂形体乃至复杂埋入体内的电磁散射是种极为有效的手段。
(3)时域有限差分法时域有限差分法(FDTD）近几年来越来越受到各方的重视, 因为一方面它处理庞大的电磁福射系统方面和复杂结构的散射体时很突出,另外一方面则在于它不是传统的频域算法, 它是种时域算法, 直接依靠时间变量求解麦克斯韦方程组,可以在有限的时间和体积内对场进行数据抽样, 这样同时也能够保证介质边界条件自动满足。
吋域有限差分法可以看作是在时域内对空间电磁波传播过程的数字拟合,它是法拉第电磁感应定律的很好体现。
工程电磁场数值分析(有限元法)解读课件
有限元法在工程电磁场中的应用
在静电场中，电荷分布是确定的，电场强度和电位是求解的目标。有限元法可以将连续的静电场离散化为有限个单元，通过求解离散化的方程组来得到电场强度和电位。
有限元法在静电场问题中能够有效地处理复杂的边界条件和电荷分布，为工程实际中静电场问题的求解提供了有效的数值分析方法。
在静电场问题中，有限元法将连续的求解区域离散化为有限个单元，每个单元内的电荷分布被假设为均匀分布。通过将电场强度和电位表示为单元中心点的插值函数，可以建立离散化的方程组。求解该方程组可以得到每个单元中心点的电场强度和电位，从而得到整个区域的电场分布。
静电场问题
总结词
详细描述
在静磁场中，磁力线是闭合的，磁场强度是确定的。有限元法可以将连续的静磁场离散化为有限个单元，通过求解离散化的方程组来得到磁场强度和磁感应强度。
有限元法在静磁场问题中能够有效地处理复杂的边界条件和磁场分布，为工程实际中静磁场问题的求解提供了有效的数值分析方法。
在静磁场问题中，有限元法将连续的求解区域离散化为有限个单元，每个单元内的磁场分布被假设为均匀分布。通过将磁场强度和磁感应强度表示为单元中心点的插值函数，可以建立离散化的方程组。求解该方程组可以得到每个单元中心点的磁场强度和磁感应强度，从而得到整个区域的磁场分布。
02
诺依曼边界条件
规定电场和磁场在边界处的法向分量，与狄利克雷边界条件一起使用。
STEP 01
STEP 02
ห้องสมุดไป่ตู้
STEP 03
有限元法基础
结构分析
用于分析各种结构的应力、应变、位移等。
流体动力学
用于分析流体流动、传热等问题。
电磁场
用于分析电磁场分布、电磁力、电磁感应等问题。
电磁仿真算法中的有限元法
1电磁仿真算法中的有限元法1.1常规的电磁计算方法简介从上世纪50年代以来,伴随着计算机技术的进步,电磁仿真算法也蓬勃发展起来,这其中主要包括:单矩法、矩量法和有限元法等属于频域技术的算法; 传输线矩阵法、时域积分方程法以及时域有限差分法等属于时域技术的算法。
除了这些以外, 还有属于高频技术的集合衍射理论等。
本文根据国内外计算电磁学的发展状况,对日常生活中比较常用的电磁计算方法做了介绍,并对有限元法做了重点说明。
⑴矩量法矩量法属于电磁场的数值计算方法中频域技术的一种, 它的基本原理是利用把待解的微积分方程转化成的算子方程, 然后将由一组线性组合表示的待求函数代入第一步中的算子方程, 然后将算子方程转化成矩阵方程, 最后再通过计算机进行大量的数值计算从而得到数值结果。
该方法在求解非均勻和不规则形状对象时,面很广,但会生成病态矩阵,所以会在一定程度上受到限制。
矩量法的特点就是适用于求解微积分方程, 并且求解方法统一简单。
但缺点就是会占用大量计算机内存,影响计算速度。
(2)单矩法单矩法是一种解析方法和数值方法相结合的混合数值算法法,该方法的关键在于,如何合理的选择一个球面最小的半径,使得能够将分析对象的结构全部包含在内,以便将内外场进行隔离。
外边的散射场单独使用其他函数表示,而包围的内部区域使用有限元法亥姆赫兹(Helmholtz)方程。
此方法对于计算复杂形体乃至复杂埋入体内的电磁散射是种极为有效的手段。
(3)时域有限差分法时域有限差分法(FDTD）近几年来越来越受到各方的重视, 因为一方面它处理庞大的电磁福射系统方面和复杂结构的散射体时很突出,另外一方面则在于它不是传统的频域算法, 它是种时域算法, 直接依靠时间变量求解麦克斯韦方程组,可以在有限的时间和体积内对场进行数据抽样, 这样同时也能够保证介质边界条件自动满足。
吋域有限差分法可以看作是在时域内对空间电磁波传播过程的数字拟合,它是法拉第电磁感应定律的很好体现。
电磁场计算中的有限元方法教程
电磁场计算中的有限元方法教程引言电磁场计算是电磁学领域中重要的研究内容之一，广泛应用于电气工程、通信工程、电子技术等领域。
而有限元方法（Finite Element Method，简称FEM）是一种常用的数值计算技术，可以解决电磁场计算中的复杂问题。
本文将介绍有限元方法在电磁场计算中的基本原理、步骤和应用。
一、有限元方法简介有限元方法是一种通过将待求解区域划分成有限数量的小单元，利用单元上的近似函数构造整个区域上的解的数值计算方法。
有限元方法的基本思想是在每个小单元内近似解以建立一个代数方程组，通过将这些方程组联立得到整个区域上的解。
有限元方法具有处理复杂几何形状、边界条件变化和非线性问题的优势，因此被广泛应用于工程和科学计算中。
二、电磁场方程建立在电磁场计算中，关键是建立合适的电磁场方程。
常见的电磁场方程包括静电场方程、恒定磁场方程、麦克斯韦方程等。
根据具体情况选择适用的方程，并根据材料的性质和边界条件确定相应的方程形式。
三、有限元网格划分有限元方法需要将计算区域划分为有限数量的小单元。
在电磁场计算中，通常采用三角形或四边形单元来进行划分，这取决于计算区域的几何形状和分辨率要求。
划分过程需要考虑电场变化的特点和计算精度的需求，合理划分网格对精确计算电磁场起着重要的作用。
四、有限元方程的建立有限元网格划分完成后，需要建立相应的有限元方程组。
以求解静电场问题为例，我们可以利用能量最小原理、偏微分方程等方法建立有限元方程组。
有限元方程组的建立需要考虑电场的连续性、边界条件和材料特性等。
五、有限元方程求解有限元方程组的求解是求解电磁场分布的核心任务。
根据具体的方程形式和计算区域的几何形状，可以采用直接法、迭代法、近似法等方法来求解方程。
在电磁场计算中，常用的求解算法包括高斯消元法、迭代法、有限元法和有限差分法等。
六、计算结果的后处理在得到有限元方法计算的电磁场分布结果后，需要进行相应的后处理，进行数据分析和可视化。
电磁场数值模拟研究
电磁场数值模拟研究近年来，随着计算机技术和数值计算方法的不断发展，电磁场数值模拟研究的重要性逐渐得到了人们的认识和重视。
这种研究方法既能够加深我们对电磁学理论的理解，同时还能够帮助我们设计和优化各种电子元器件和电磁场传感器。
本文将对电磁场数值模拟研究的一些重要进展进行介绍。
1. 电磁场数值模拟的基本原理电磁场是由电荷和变化的电流产生的空间中物理场。
在物理实验中，电磁场通常被表示为由电场和磁场组成的矢量场。
数值模拟是一种基于计算机及其数值计算方法，来模拟和计算实际物理过程的技术。
电磁场数值模拟是利用数值计算方法来求解电磁场中的物理问题的技术。
电磁场数值模拟需要运用较多的高等数学知识与电磁学知识，使用的数值计算方法有有限差分法、有限元法和边界元法等。
2. 电磁场数值模拟的应用领域电磁场数值模拟在现代电子工程中有着广泛的应用，主要包括以下几个方面：（1）电磁场传感器与类比器件研发。
（2）无线电和雷达系统的设计与优化。
（3）集成电路、微电子器件的设计与制造工艺的数值模拟。
（4）电磁兼容性（EMC）的研究与应用。
（5）电力系统的数据分析与优化，如电力变压器中的电场分布、油温分布等。
（6）声学、光学、机械、电气和热工等领域的相关数值模拟。
3.电磁场数值模拟的发展现状随着计算机软硬件技术的日益先进和数值计算方法的不断优化，电磁场数值模拟的应用领域和研究深度不断扩展和拓宽。
传统的数值模拟方法越来越难以满足现代电子工程的需要，需要大量新的理论和方法的研究发展。
（1）电磁场有限元法数值模拟有限元法是一种重要的数值模拟方法，随着计算机硬件和操作系统的升级，使用有限元法数值模拟电磁场成为事实上的标准。
在有限元法数值模拟中，需要将三维的电磁场问题离散化成有限个结点之间的一系列基函数的线性组合。
此时，可将该离散化问题视为一个大型的线性方程组，通过求解线性方程组的解，可得到电磁场的具体分布情况。
该方法较传统方法更加准确，计算速度更快。
《有限元素法》课件
有限元素法的应用范围
讨论有限元素法在结构力学、电磁学、热力学、流体力学等领域的应用。
有限元素法的优点与缺点
分析有限元素法的优势和局限性，包括精度、计算成本和模型简化等方面。有限元素法中常用的数学公式
罗列有限元素法中常见的数学方程和公式，如有限元刚度矩阵和载荷向量等。
《有限元素法》PPT课件
有限元素法是一种广泛应用于工程领域的数值模拟方法，通过将复杂结构划 分为互不重叠的小单元，以近似的方式求解整个系统的行为。
有限元素法的概述
介绍有限元素法的起源、基本思想和应用领域。展示仿真结果。
有限元素方法的基本原理
探讨有限元素方法的数学基础和数值计算步骤。
有限元素法的速算方法
有限元素法中的网格划分
探讨有限元素法中的网格划分技术，包括三角形、四边形和非结构化网格等。
电磁场有限元法
选择插值基函数
使用线性三角形单元，在第e个单元内，e (x) 可以 近似为：
e (x, y) ae be x ce y
节点坐标带入：
1e ae be x1e ce y1e
e 2
ae
be x2e
ce y2e
e 3
ae
be x3e
ce y3e
解得：
3
e (x, y) Nie (x, y)ie
• 在电磁场计算中，矢量基函数已基本取代了标量基函数；
• 一般情况下，分为频域有限元法和时域有限元法。
1
有限元的基本思路
• 将计算空间离散，划分为有限个小单元，小单元 形式简单，数量有限；
• 根据小单元的不同形状，定义单元内的基函数， 要求各基函数之间线性无关；
• 基函数是坐标的函数，每个基函数在单元内与各 自特定的点或线相关。在这个特定的点或线上， 定义在其上的基函数等于1，其它基函数等于0；
残数加权方法类型，它通过对微分方程的残数 求加权方法来得到方程的解。
5
里兹(Ritz)变分方法
LФ=f 的解等于下式泛函对 的解 泛函：
vj是定义在全域上的展开函数 cj是待定的展开系数
6
里兹(Ritz)变分方法
将试探函数代入泛函： 令其对ci的偏导数为零，从而得到线性代数方程组
7
里兹(Ritz)变分方法
其中：(D )
②
3
Rie
e j
j 1
e x
Nie x
N
e j
x
y
N
e i
y
N
e j
y
Nie
N
e j
dxdy
e
N
电磁场数值模拟技术的研究与应用
电磁场数值模拟技术的研究与应用电磁场是物理学中重要的概念之一，主要描述有电荷的物质间存在的相互作用。
电磁场的研究在生产生活中具有广泛的应用。
例如，电磁波可以作为通讯媒介，还能够在医学领域中被应用于成像等方面。
因此，电磁场数值模拟技术的研究和应用具有非常重要的意义。
一、电磁场数值模拟技术电磁场数值模拟技术主要是指对电磁场的分析和计算。
目前主要采用有限元方法、有限差分法、矢量势法、边界元法等来进行电磁场数值模拟。
1、有限元方法有限元方法是利用算法将大的物理问题分解成一些小的简单问题，然后进行求解的数值分析方法。
它的优点在于可以分析复杂的结构和三维几何形态，也可以用复杂的边界条件解决问题，因此能够在避免实验中的高成本和高风险的情况下，更好地掌握电磁场的性质。
2、有限差分法有限差分法是采用差分方程模拟物理问题的一种方法，具有简单易学，适用性强等优点。
它可以通过计算网格内某一点的导数或者数量值，来计算整个网格的电磁特性，所有计算数据都是通过互相关的差分公式来预测。
在建立数值模拟模型时，有限差分法非常适用于模型边界不规则，模型尺寸比较大的情况。
3、矢量势法矢量势法是一种用于求解电磁场分布的迭代计算方法。
该方法基于矢量势函数，其优点在于可以加速计算速度。
在进行矢量势方法计算时，需要对场区域进行离散化处理，然后以矢量势为主要电磁学量，通过数值迭代方法反复计算直到最终的模型求解出结论。
4、边界元法边界元法是基于经典场论，利用边界元法与物理问题的相关性，将物理问题进行离散化，通过求解离散化后的物理问题模型而达到计算结果的数值方法。
边界元法包括时间域和频域两种形式，它克服了有限元方法和有限差分法等方法的缺点，也能解决更加复杂的边界条件问题。
但它的计算较为复杂，其计算量也会随着模型的复杂程度增加而增加。
二、电磁场数值模拟的应用1、电磁场模拟在电磁波通信中的应用电磁波通信是一个广泛的领域，电磁场模拟可以用来研究和优化通信信道的性能。
工程电磁场数值分析(有限元法)
04
有限元法在工程电磁场中的应用
静电场问题
总结词
有限元法在静电场问题中应用广泛，能够准确模拟和预测静电场 的分布和特性。
详细描述
静电场问题是指电荷在静止状态下产生的电场，有限元法通过将 连续的静电场离散化为有限个单元，对每个单元进行数学建模和 求解，能够得到精确的解。这种方法在电力设备设计、电磁兼容 性分析等领域具有重要应用。
单元分析
对每个单元进行数学建模，包 括建立单元的平衡方程、边界 条件和连接条件等。
整体分析
将所有单元的平衡方程和连接 条件组合起来，形成整体的代 数方程组。
求解代数方程组
通过求解代数方程组得到离散 点的场量值。
有限元法的优势和局限性
02
01
03
优势 可以处理复杂的几何形状和边界条件。 可以处理非线性问题和时变问题。
传统解析方法难以解决复杂电磁场问题，需要采用数值分析方法 进行求解。
有限元法的概述
有限元法是一种基于离散化的数值分 析方法，它将连续的求解域离散为有 限个小的单元，通过求解这些单元的 近似解来逼近原问题的解。
有限元法具有适应性强、精度高、计 算量小等优点，广泛应用于工程电磁 场问题的数值分析。
02
静磁场问题
总结词
有限元法在静磁场问题中同样适用，能够有效地解决磁场分布、磁力线走向等问题。
详细描述
静磁场问题是指恒定磁场，不随时间变化的磁场问题。有限元法通过将磁场离散化为有限个磁偶极子，对每个磁 偶极子进行数学建模和求解，能够得到静磁场的分布和特性。这种方法在电机设计、磁力泵设计等领域具有重要 应用。
有限元法的基本步骤
01
电磁场的有限元分析与模拟
电磁场的有限元分析与模拟电磁场是现代社会无法避免的元素，它涉及到我们生活中很多领域，比如通讯、能源、交通等等。
漫步在街头巷尾，随处可见的电线杆和变电箱就是它们的实际表现。
为了更好地掌握电磁场对事物的影响，研究人员利用有限元分析与模拟技术，对电磁场的性质进行深入研究。
有限元分析与模拟技术是一种现代化的数值计算方法。
它的核心思想是将计算区域分割成许多小的元素，对局部进行具体计算，并将它们组装成一个完整的物理模型。
在电磁场模拟中，这种方法被广泛应用，因为它既可以针对复杂的结构而进行计算，又可以精确地测量电场、磁场、电荷等物理因素。
在有限元分析过程中，一个研究者通常需要先定义物理模型。
比如他可能要研究一个特定的电磁场，他就需要定义电场、磁场等各种物理元素的数值变量，以及它们在计算区域内的位置、形状以及与其他物理元素的关系等等。
接下来，他通常会将区域分割成许多小的元素，这些元素被称为离散单元。
研究者会对每一个离散单元应用基本的电磁场方程进行求解，并将结果存储在计算机中。
最后，他会通过计算机程序将这些分散的结果组装成一个完整模型。
这个模型可以帮助他分析和预测电磁场的行为，例如电场、磁场的强度、分布、变化等等。
为了更好地理解有限元分析与模拟技术的应用，我们可以以一个实际的例子来解释。
比如一个为了通讯目的而建设的卫星天线，这个天线的结构非常复杂，它包含了许多不同的组件，如喇叭、反射器等等，另外还要考虑材料的导电性等因素。
在这种情况下，有限元分析与模拟技术就可以很好地帮助工程师解决问题。
他可以将整个卫星天线分割成大量的小离散单元，并对每个单元进行电磁场计算。
通过这种方法，工程师可以非常准确地预测电磁场在天线中的传输和变化，并在其基础上做出最优化的设计方案。
当然，有限元分析与模拟技术不仅仅在工程领域中有着广泛的应用，其在其他领域中也起到了非常重要的作用。
比如在生物医学中，人类身体中电磁场的分布和作用也是研究的热点之一。
第6章 电磁场数值模拟-有限元素法
v u uv d CD kuvd 0,
A d
n
Ad ,
第一节 大地电磁场有限元模拟
1.2 虚功原理
与定解问题对应的由虚功原理得到的变分问题：
v u uv d CD kuvd 0 u 1, AB
0
第一节 大地电磁场有限元模拟
1.4 位能原理
用 u 的变分 δu 乘微分方程两侧并积分 u u 0
vA v A v A
uu u u u u d u u ud uu d u u u u d uu d uu d u u u u d uu d uu d u u u u d
第一节 大地电磁场有限元模拟
1.1 边值问题
第一节 大地电磁场有限元模拟
1.1 边值问题
Ez 和 H z 应满足的偏微分方程：
可统一表示成 对于 E 型： 对于 H 型：
第一节 大地电磁场有限元模拟
1.1 边值问题
为了求解方程 ，还必须给出边界条件。 ① 外边界条件 E 型波——取图所示的研究区域。上边界 AB 离地面足够远，使异 常场在 AB 上为零，以该处的 u 为 1 单位：
第一节 大地电磁场有限元模拟
1.3 变分问题
泛函变分的求法： 例 1：求泛函 J u
J u J u u 0
1
0
u 2 dx 的变分。
2
J u
1 0
u u
电磁场数值计算之6-西安交通大学电气工程学院
第六章 矢量有限元法引起伪解的原因有多种：①由于未强加矢量函数的散度条件而引起；②材料界面和导体表面强加边界条件不方便；③导体和介质边缘及角等结构的奇异性引起的。
矢量有限元是给单元的棱边赋予自由度，取代结点自由度，也称棱边元、矢量元。
上个世纪60年代就有人提出过这些类型的单元，但它们在电磁场的应用及其重要性直到上个世纪80年代才被认识到。
棱边元可以有效地消除伪解问题，一开始它被应用于解电磁散射中的电场积分方程的解中，后来被用于有限元解中。
下面介绍最基本的矢量有限元法或称棱边单元法，它适用于无通量源的区域，即场量的散度为零的区域。
§6－1 二维棱边元从最简单的矩形单元入手介绍棱边元的概念。
6.1.1 矩形单元单元的每一棱边赋予一个不变的切向场分量，e x E 1，ex E 2分别是棱边1和2的电场x E 分量，e y E 1，e y E 2分别是棱边3和4的电场y E 分量，e ce c y x ,是矩形单元的中点，e x E 、e y E 分别是沿y 、x 方向上的线性插值（这里，E 可以代表其它未知函图6-1 矩形棱单元 数，不一定是电场）。
那么，单元中任一点的场为 112121y y E E y y E E ex e x e x e x --=-- ，y c l y y 211-= ，y c l y y 212+=，整理得到： e x ey e c e y e x ey e c eyex E l y y l E y l y l E 212121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+= (6-1) e y e x e c ex e y ex e c exe yE l x x l E x l x l E 212121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+= (6-2) 写成矢量形式∑==41i e i e i eE N E (6-3)式中，e i E 表示沿第i 个棱边的切向场分量，e i N 是矢量插值函数，也称矢量基函数，它们由下面公式给出⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y ex ec e x e y e x e c e x e xey e c e y e x e y e c e y e l x x l x l x l l y y l y l y l e N , e N e N , e N 212121214321 (6-4)矢量基函数具有与前述基函数相同的性质：基函数的重要性：（类似于有限元节点法）（1）当场点在第i 边上，只有e i N 有切向分量，在其它所有边都等于零，即棱边i 上的场量不受其它棱边场量的影响，所以，切向场的连续性得到了保证。
电磁场数值模拟的方法及其应用研究
电磁场数值模拟的方法及其应用研究电磁场是一个极其重要的物理现象，它在日常生活和科学研究中都扮演着至关重要的角色。
电磁场数值模拟是解决一系列电磁学问题的重要手段，例如雷达与通信，电力系统，计算机芯片设计等。
这篇文章将从电磁场的基本原理开始，介绍一些常用的数值模拟方法，以及如何应用这些方法来研究电磁现象。
1. 电磁场基本原理电和磁都是物质中基本的对称物理量。
电荷和电场是描述电的量，而电流和磁感应是描述磁的量。
电和磁在物理上紧密关联，并且它们被归纳到一起来描述电磁学。
电磁学包括了电荷、电场、电流、磁场和电磁波等概念。
电磁场的本质可以用麦克斯韦方程组来描述。
这个方程组包括了四个式子，它们描述了电荷如何产生电场和磁场，以及它们又如何影响电荷的运动。
这些方程中的每一个单独解释着一段电磁现象，当它们联合起来时则系统描述了电磁学。
2. 数值模拟方法数值模拟是一种通过计算机技术来求解微分方程的方法，这种微分方程由于其复杂性不容易用解析方法求解。
在电磁场数值模拟中，求解的模型可以是二维的、三维的并且需要满足一些特定的边界条件。
本节将介绍一些常用的数值模拟方法，它们用于求解麦克斯韦方程组和计算电磁场。
2.1 有限元方法有限元方法是数值模拟中常用的数值解法之一。
有限元方法将求解区域分割成若干个小区域并且且将方程转换成代数方程。
每个代数方程都包含了小区域的一个或多个节点，以及在这个节点上的未知数。
通过组成更大的矩阵，并采用迭代算法，可以求解整个方程组。
在电磁场数值模拟中，有限元方法可以用于求解稳态或者动态问题，例如用于求解电场、磁场分布等。
有限元方法优点是可以灵活地处理计算区域，及良好的高阶精度。
但它的缺点是计算量大，需要大量的计算资源。
2.2 有限差分法有限差分法是数值解微分方程中的另一种常用方法。
它通过对微分方程中的导数进行数值逼近，构建一个代数方程的数值计算方法。
与有限元法不同的是，有限差分法构建方程时不需要将求解域划分成小单元，而是在整个求解域上逼近微分方程。
微电子器件及工艺CAD第六章 有限元法模拟
xj yk )
b( e ) 2
i ( yj
yk ) j ( yk yi ) k ( yi
2D
yj )
(6.2.6)
b( e ) 3
i ( xk
xj ) j ( xi xk ) k ( xj
2D
xi )
1x y
i
i
2D 1 x y 2[顶点为i,j,k的三角形的面积]
《微电子器件及工艺CAD》
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连续介质离散化及插值函数
6.2.4 二维元素及其插值函数
在半导体器件模拟中常采用的二维元素是三节点三角形
元素。根据区域离散化的形式，可以允许 在每个元素上按
线性变化，如图6-4。与元素(e)相联系的 的三个节点值的
平面由下述方程描述。
(6.2.4)
(e )
(x,
y)
1. 连续介质离散化 把连续介质或求解区域划分成很多元素。有各种不同 形式的元素可供采用，并且在同一个求解区域中可以应用 不同形式的元素。
《微电子器件及工艺CAD》
7
基本概念
2. 选择插值函数 指定每个元素上的节点，选择插值函数的类型以表示 每个元素上场变量的变化。通常是选择多项式作为场变量 的插值函数，因为多项式易于积分和微分。场变量及其导 数的大小在节点上可能是未知的。
《微电子器件及工艺CAD》
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基本概念
《微电子器件及工艺CAD》
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§6-2 连续介质离散化及插值函数
《微电子器件及工艺CAD》
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连续介质离散化及插值函数
6.2.1 连续介质离散化
如上所述，有限元法的基本概念是把求解区域分为有限 个数目的子区域，这些子区域称之为元素。
有限元素法
有限元素法的基本思想:•实际的物理問題很难利用单一的微分方程式描述，更无法順利求其解析解.•有限元素法是将复杂的几何外型結构的物体切割成许多简单的几何形状称之为元素.•元素与与元素间以“节点”相连.•由于元素是简单的几何形状，故可以順利地写出元素的物理方程式,並求得节点上的物理量.•采用內插法求得元素內任意点的物理量.有限元一般方法：直接刚度法变分方法加全余量法有限元分析的目的：针对具有任意复杂几何形状变形体，完整获取在复杂外力作用下它内部的准确力学信息，即求取该变形体的三类力学信息(位移、应变、应力)总结有限元计算步骤:解题思路：0力学模型的选取平面问题，平面应变问题，平面应力问题，轴对称问题，空间问题，板，梁，杆或组合体等，对称或反对称等1寻找与原问题相适应的变分形式；2建立有限元子空间，即选择元素类型、相应的形状函数、位移模式3单元刚度矩阵，单元结点力列阵的计算和整体总刚度矩阵，总结点力列阵4边界条件的处理和利用变分原理有限元方程组求解（应力、应变、位移），由单元的结点位移列阵计算单元应力5回到实际问题中区变分法是把有限元法归结为求泛函的极值问题(例如固体力学中的最小势能原理与最小余能原理)。
它使有限元法建立在更加坚实的数学基础上，扩大了有限元法的应用范围。
位移函数：有限单元法的基本原理是分块近似，即将弹性体划分成若干细小网格，在每一个单元范围内，内部各点的位移变化情况可近似地用简单函数来描绘对每个单元可以假定情况可近似地用简单函数来描绘。
对每个单元，可以假定一个简单函数，用它近似表示该单元的位移。
这个函数称为位移函数，或称为位移模式。
对于平面问题，单元位移函数可以用多项式表示，多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精确但选取多少项数要受单元型式的限制，1）数学处理比较方便（微积分运算）2）提高多项式阶数可较好的接近真实解求解的收敛性必须满足：(1) 单元位移模式中应包含单元的刚体位移状态。
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vd
1v
u1 n
d
uv
v
u
d
AB
u n
vd
BC
u n
vd
CD
u n
vd
DA
u n
vd
uv v u d
CD
u n
vd
uv
v
u d
0
v
u
uv
d
CD
kuvd
0,
And Ad,
第一节 大地电磁场有限元模拟
1.2 虚功原理
与定解问题对应的由虚功原理得到的变分问题：
由图，磁场的切向分量
1
根据介质分界面上磁场切向分量的连续性可知，介质两侧的
1 Ez 是连续的，即
y
i n
α
n 与 x 的夹角为 90 ，方向余弦为 n
sin ，n 与 y 的夹角为 ，方向余弦
Ez
为 cos ，Ht 括号内为方向导数。
第一节 大地电磁场有限元模拟
1.1 边值问题
② 内边界条件 H 型波——由于 Hz 沿着介质分界面，根据磁场切向分量连续性可 知，在两种介质的分界面 1 上，有 u1 u2
常场在 AB 上为零，以该处的 u 为 1 单位：
y
x z
第一节 大地电磁场有限元模拟
1.1 边值问题
① 外边界条件 E 型波
下边界 CD 以下为均质岩石，局部不均匀体的异常场在 CD 上 为零，电磁波在 CD 以下的传播方程为
（-y 方向传播）， u0 是常数，
k i 2 。对低频电磁波， k i 。
第一节 大地电磁场有限元模拟
1.1 边值问题
角频率为 （时间因子为 eit ）的定态电磁场的方程：
B E=
t
H= E+ E
t
（1） （2）
当平面电磁波入射地面时，地下介质中的电磁波总以平面波 形式，几乎垂直地向下传播。将(1)和(2)式按分量展开，并考虑到
z 0 ，得两个独立的方程组，并以 z 分量为准，分别命名为 E
v
u
uv
d
CD
kuvd
0
u 1, AB
第一节 大地电磁场有限元模拟
1.3 变分问题
泛函变分的求法：
J u J u u
0
例 1：求泛函 J u 1u2dx 的变分。 0
J u
1 0
u
u
2
dx
0
1 2u u u dx
1
2 u udx
0
0
0
例 2：求泛函 J u 1 u2 u2 dx 的变分。 0
由图，电场切向分量
1
根据介质分界面上电场切向分量的连续性可知，介质两侧的
1 Hz 是连续的，即
i n
y
x
z
Hz
第一节 大地电磁场有限元模拟
1.1 边值问题 综合以上讨论，边值问题归纳为
Ω2 Ω1
第一节 大地电磁场有限元模拟
1.2 虚功原理
为简单起见，假定在区域中只有一个不均匀体。用满足边界条件 v=0 （在 AB 上）的任意 v 乘微分方程两侧并积分
对 u 求导 u ku 。因为 CD 处 ，所以 CD 处的边界
y
y n
y
条件：
x
z
第一节 大地电磁场有限元模拟
1.1 边值问题
y
① 外边界条件
x
E 型波
z
取左右边界 AD, BC 离局部不均匀体足够远，电磁场在 AD，
BC 上左右对称，其上的边界条件是
第一节 大地电磁场有限元模拟
1.1 边值问题
型和 H 型波。
第一节 大地电磁场有限元模拟
1.1 边值问题
第一节 大地电磁场有限元模拟
1.1 边值问题 Ez 和 H z 应满足的偏微分方程：
可统一表示成 对于 E 型： 对于 H 型：
第一节 大地电磁场有限元模拟
1.1 边值问题
为了求解方程
，还必须给出边界条件。
① 外边界条件
E 型波——取图所示的研究区域。上边界 AB 离地面足够远，使异
u uud uu uu uud
uud uu uud
1 1uu1d 2 2uu2 d uu u ud
1
1 uu1
d
n
1 2uu2 n d
uu u ud
1
1
u
u1 n
d
1
2 u
u2 n
S
第一节 大地电磁场有限元模拟
1.2 虚功原理
u uvd
1
1v
u1 n
d
1
2v
u2 n
d
uv v u d
1v
u1 n
d
1
1vu2 n
d
外法线方向相反
uv v u d
1v
u1 n
d
uv
v
u
d
第一节 大地电磁场有限元模拟
1.2 虚功原理
u
u
① 外边界条件
y
H 型波——取所示的研究区域。
上边界 AB 直接取在地面上，
x
并以该处的 u 为 1 单位：
z
这是因为对大地电磁波来说，有 1，有
所以，空气中的 H z 近似为常量。这样，可取地面的 u=1。其它条 件同 E 波。
第一节 大地电磁场有限元模拟
1.1 边值问题
② 内边界条件 E 型波——由于 Ez 沿着介质分界面，根据电场切向分量连续性可 知，在两种介质的分界面 1 上，有 u1 u2
内容提要 第六章 电磁场数值模拟——有限元法
第一节 大地电磁场有限元模拟 第二节 大地电磁场矢量有限元模拟
第一节 大地电磁场有限元模拟
讨论二维大地电磁场的有限元模拟。大地电磁(MT) 测深是一种以天然电磁场为场源，探测地下电性垂向变化 的勘探方法，在构造单元划分、基底起伏形态研究、沉积 盆地电性分层、油气田探查、地热探查和地震预报中，得 到了广泛的应用。大地电磁反演是当前地球物理反演研究 的热门领域。正演是反演的基础，而大地电磁的正演，目 前只对一维分层均匀介质有解析解。求解一维连续介质、 二维和三维介质的大地电磁场的解析解是十分困难的，除 少数简单情况外，一般都不能得到解析解。在实际工作中， 常常遇到二维和三维介质，这时，必须依靠数值方法计算 大地电磁场，最有效的数值方法是有限元法。
求泛函的变分就 是先求泛函对自 变量的导数，然 后再乘以自变量 的变分。
J u
1 0
u
u
2
u
u2
dx
0
J u 012u u 2u udx, u u
第一节 大地电磁场有限元模拟
1.4 位能原理
用 u 的变分 δu 乘微分方程两侧并积分
u u 0
vA v A v A
u u 0
u uvd vu uv v u d
vu d uv v ud
1 1vu1 d 2 2vu2 d uv v u d
1
1vu1
d
n
1
2vu2
n
d
uv v u d
vA v A v A, A dS AdV