【必考题】高考数学一模试题含答案

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上海高中2024年高三第一次模拟考试(数学试题含解析)

上海高中2024年高三第一次模拟考试（数学试题含解析）请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合2{|1}M x x ==．N 为自然数集，则下列表示不正确的是（）A ．1M ∈B ．{1,1}M =-C ．M ∅⊆D ．M N ⊆ 2．下列说法正确的是（）A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题C ．0(0,)x ∃∈+∞，使0034x x >成立D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题 3．已知数列{}n a 中，112,()1,n n n a n a a a n N *+=-=+∈ ，若对于任意的[]*2,2,a n N ∈-∈，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立，则实数t 的取值范围为（） A ．(][),21,-∞-⋃+∞B ．(][),22,-∞-⋃+∞C ．(][),12,-∞-⋃+∞D ．[]2,2- 4．已知15455,log log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c b a >>5．已知m ∈R ，复数113z i =+，22z m i =+，且12z z ⋅为实数，则m =（）A ．23-B ．23C ．3D ．-36．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%．2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：参加用户比 40% 40% 10% 10%脱贫率 95% 95% 90% 90%那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（）A ．2728倍B ．4735倍C ．4835倍D ．75倍 7．已知函数()()614,7,7x a x x f x a x -⎧-+≤=⎨>⎩是R 上的减函数，当a 最小时，若函数()4y f x kx =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（）A ．1(,0)2-B ．1(2,)2-C ．(1,1)-D ．1(,1)28．函数()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，则a 的值为（）A ．3B ．－3C ．2D ．－2 9．函数的定义域为（）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）10．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）.若甲队得分的中位数是86，乙队得分的平均数是88，则x y +=（）A ．170B ．10C ．172D ．12 11．下列与函数y x=定义域和单调性都相同的函数是（） A ．2log 2x y = B ．21log 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．21log y x = D ．14y x =12．已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）．A ．122B ．112C ．102D ．92二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年高考数学模拟试题与答案解析

2024年高考数学模拟试题与答案解析一、选择题1.设集合A={x|x=2k,k∈Z}，B={x|x=3k,k∈Z}，则A∩B={()}A.{x|x=6k,k∈Z}B.{x|x=2k,k∈Z}C.{x|x=3k,k∈Z}D.{x|x=k,k∈Z}【答案】B解析：集合A包含所有2的倍数，集合B包含所有3的倍数。

A ∩B表示同时属于A和B的元素，即同时是2和3的倍数的数，也就是6的倍数。

所以A∩B={x|x=6k,k∈Z}，故选B。

2.若函数f(x)=x²-4x+c的图像的对称轴是x=2，则c的值为()A.4B.3C.2D.1【答案】A解析：函数f(x)=x²-4x+c的图像的对称轴是x=-b/2a，即x=2。

根据对称轴的公式，得到-(-4)/(21)=2，解得c=4。

故选A。

3.已知等差数列的前n项和为Sn=n(a1+an)/2，若S3=18，S6-S3=24，则a4的值为()A.6B.8C.10D.12【答案】B解析：根据等差数列的前n项和公式，得到S3=3(a1+a3)/2=18，即a1+a3=12。

又因为S6-S3=24，得到a4+a5+a6=24。

由等差数列的性质，a3+a6=a4+a5。

将a3+a6替换为a4+a5，得到3a4+3a5=48，即a4+a5=16。

解方程组a1+a3=12和a4+a5=16，得到a4=8。

故选B。

二、填空题4.若|x-2|≤3，则|x+1|的取值范围是______【答案】-2≤x≤5解析：由|x-2|≤3，得到-3≤x-2≤3，即-1≤x≤5。

再由|x+1|的图像可知，当-3≤x≤5时，|x+1|的取值范围是-2≤x≤5。

5.已知函数f(x)=2x²-3x+1，求f(1/2)的值。

【答案】3/4解析：将x=1/2代入函数f(x)，得到f(1/2)=2(1/2)²-3(1/2)+1=2/4-3/2+1=3/4。

三、解答题6.（1）求证：对任意正整数n，都有n²+2n+1≥n+2。

高考一模数学试卷答案

一、选择题（每题5分，共50分）1. 【答案】C【解析】根据三角函数的定义，sinA = 对边/斜边，cosA = 邻边/斜边。

在直角三角形ABC中，∠A=30°，则sinA=1/2，cosA=√3/2。

因此，C选项正确。

2. 【答案】A【解析】由一元二次方程的求根公式可得，x1=(-b+√(b²-4ac))/(2a)，x2=(-b-√(b²-4ac))/(2a)。

因为a=1，b=-3，c=2，代入公式计算得x1=2，x2=1。

故A选项正确。

3. 【答案】D【解析】根据复数的乘法法则，(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。

代入a=2，b=-1，c=3，d=2，得(2-1i)(3+2i)=(6-2)+(6-3)i=4+3i。

故D选项正确。

4. 【答案】B【解析】根据数列的通项公式an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

由题意知，数列的前三项为1，4，7，公差为3。

代入公式计算得an=1+(n-1)×3=3n-2。

故B选项正确。

5. 【答案】C【解析】由集合的运算性质，A∪B=(A-B)∪(A∩B)。

因此，集合A∪B包含A中不属于B的元素以及A∩B中的元素。

故C选项正确。

二、填空题（每题5分，共25分）6. 【答案】-3【解析】由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，代入a1=2，d=-1，n=5，得a5=2+(5-1)×(-1)=-3。

7. 【答案】π/3【解析】由三角函数的性质，sin(π/3)=√3/2。

8. 【答案】1/4【解析】由复数的模长公式，|a+bi|=√(a²+b²)，代入a=2，b=-1，得|2-1i|=√(2²+(-1)²)=√5。

复数的模长等于1/|2-1i|=1/√5=1/4。

9. 【答案】2【解析】由指数函数的性质，(2^3)^2=2^(3×2)=2^6=64。

2023高考数学模拟卷(一)(含答案解析)

A.1B.2C.3D.4
9.已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于两点，若，则
A B.8C.16D.
10.已知函数的图象过点，且在上单调，同时的图象向左平移个单位之后与原来的图象重合，当，且时，，则
A. B.-1C.1D.
11.下图是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的外接球的表面积为
20.已知椭圆的一个焦点为，离心率为 .不过原点的直线与椭圆相交于两点，设直线，直线，直线的斜率分别为，且成等比数列.
（1）求的值；
（2）若点在椭圆上，满足直线是否存在？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
21.已程的两个实数根为，求证：；
设M（x1，y1），N（x2，y2），M，N到准线的距离分别为dM，dN，
由抛物线的定义可知|MF|=dM=x1+1，|NF|=dN=x2+1，于是|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+2．
∵ ，
∴ ，即，∴ .
∴ ,∴直线AB的斜率为，
∵F（1，0），∴直线PF的方程为y= （x﹣1），
将y= （x﹣1），代入方程y2=4x，得3（x﹣1）2=4x，化简得3x2﹣10x+3=0，
A. B. C. D.
6.已知展开式中的系数为0，则正实数
A.1B. C. D.2
7.已知数列的前项和，若，则
A. B.
C. D.
8.如图是正四面体的平面展开图，分别是的中点，在这个正四面体中：① 与平行；② 与为异面直线；③ 与成60°角；④ 与垂直.以上四个命题中，正确命题的个数是（）

高考一模数学试卷及答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 若函数f(x) = x^3 - 3x + 2在区间[0, 2]上的最大值为M，则M等于：A. -1B. 0C. 2D. 32. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5 = 35，S9 = 81，则公差d等于：A. 2B. 3C. 4D. 53. 下列命题中正确的是：A. 若a > b，则a^2 > b^2B. 若a > b，则loga > logbC. 若a > b > 0，则a/b > b/aD. 若a > b，则a - b > 04. 已知复数z = 1 + i，则|z|^2等于：A. 2B. 3C. 4D. 55. 函数y = 2sin(2x - π/6)的图像关于点(π/3, 0)对称，则实数x的取值范围是：A. x ∈ [0, π/2]B. x ∈ [π/2, π]C. x ∈ [π, 3π/2]D. x ∈[3π/2, 2π]6. 若直线y = kx + 1与圆x^2 + y^2 = 1相切，则k的取值范围是：A. k ∈ (-1, 1)B. k ∈ [-1, 1]C. k ∈ (-∞, -1) ∪ (1, +∞)D. k ∈ (-∞, 1) ∪ (1, +∞)7. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，若f(x)在区间[0, 2]上的图像是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增8. 已知等比数列{an}的首项a1 = 1，公比q = 2，则数列的前5项之和S5等于：A. 31B. 32C. 33D. 349. 若向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a·b等于：A. 7B. 5C. 3D. 110. 已知函数f(x) = |x - 1| + |x + 2|，则f(x)的最小值为：A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

浙江省新2025届高三下学期一模考试数学试题含解析

浙江省新2025届高三下学期一模考试数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的取值为（） A ．-2B ．-1C ．1D ．22．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫⎪⎝⎭⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（） A ．4B ．6C ．3D ．83．半正多面体(semiregular solid ) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．83B ．4C ．163D ．2034．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A ．B ．C ．D ．5．已知实数x ，y 满足约束条件2211x y y x y kx +≥⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，若2z x y =-的最大值为2，则实数k 的值为（）A ．1B ．53C ．2D ．736．已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，22()2xx x f x e +=-，设22),(2),(ln a f b f c f ===，则（） A ．b a c >>B ．b a c >=C ．a c b =>D ．c a b >>7．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为( ) A ．31πB ．34C 3πD ．148．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b9．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =，则AB AM ⋅等于（） A ．10B ．9C ．8D ．710．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，设其前n 项和n S ，若14+=nn n a a （n *∈N ），则5S =（）A ．30B ．312C ．2D ．6211．已知等差数列{}n a 中，若5732a a =，则此数列中一定为0的是（） A ．1aB ．3aC ．8aD ．10a12．已知等差数列{}n a 的公差为-2，前n 项和为n S ，若2a ，3a ，4a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，则n S 的最大值为（） A ．5B ．11C ．20D ．25二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

新高考一模数学试卷答案

一、选择题1. 下列选项中，函数y=2x-3的图像是（）A. B. C. D.答案：A解析：由于函数y=2x-3的斜率为2，且y轴截距为-3，所以其图像是一条通过点(0,-3)且斜率为2的直线，故选A。

2. 已知等差数列{an}的公差为d，且a1=3，a4=11，则d=（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A解析：由等差数列的性质可知，a4=a1+3d，代入已知条件得11=3+3d，解得d=2。

3. 若复数z满足|z+1|=|z-1|，则z在复平面上的对应点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：D解析：由复数的几何意义可知，|z+1|表示复数z到点(-1,0)的距离，|z-1|表示复数z到点(1,0)的距离。

由于|z+1|=|z-1|，所以复数z到这两个点的距离相等，即复数z位于这两个点的中垂线上。

由于点(-1,0)和点(1,0)位于x轴上，所以复数z位于x轴上，即第四象限。

4. 已知函数f(x)=x^2-4x+4，则f(x)的最小值为（）A. -4B. 0C. 4D. 8答案：B解析：由于f(x)是一个二次函数，其开口向上，所以最小值在顶点处取得。

顶点的横坐标为x=-b/2a=-(-4)/21=2，代入f(x)得f(2)=2^2-42+4=0，所以f(x)的最小值为0。

5. 已知等比数列{an}的公比为q，且a1=2，a4=32，则q=（）A. 2B. 4C. 8D. 16答案：B解析：由等比数列的性质可知，a4=a1q^3，代入已知条件得32=2q^3，解得q=4。

二、填空题6. 函数y=3x^2-6x+5的图像的对称轴方程为________。

答案：x=1解析：由于函数y=3x^2-6x+5是一个二次函数，其对称轴的方程为x=-b/2a，代入系数得x=-(-6)/(23)=1。

7. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若an=2^n-1，则S10=________。

2024届山西省高考一模数学试题(解析版)

数学姓名__________准考证号__________注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm 的黑色笔迹签字笔写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量()()1,1,1,1a m b m =+=-，且a b ⊥，则m =（）A.1B.1- C. D.0【答案】D 【解析】【分析】利用平面向量数量积的坐标表示计算即可.【详解】由题意知()()21110a b m m m ⋅=+⨯-+== ，所以0m =.故选：D2.已知集合{}{}1,1,0,1,2,4A B =≤=-，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{}1 B.{}1,1- C.{}0,1 D.{}1,0,1-【答案】C 【解析】【分析】先求得集合A ,根据图示计算出A B ⋂即可.【详解】结合题意图中阴影部分表示的集合为A B ⋂，因为{}1A x=≤，根据幂函数的性质：y =为增函数，且0x ≥，1≤，所以有：01x ≤≤，所以{}|01A x x =≤≤，又{}1,0,1,2,4B =-，所以{}0,1A B = .故选：C3.设命题:R,x p x a kx ∃∈>，则p ⌝为（）A.R,x x a kx ∀∈>B.R,x x a kx ∃∈≤C.R,x x a kx ∀∈≤D.R,x x a kx∃∈=【答案】C 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定形式判定即可.【详解】由题意可知:R,x p x a kx ⌝∀∈≤.故选：C4.某学校高三年级组在每次考试后将全年级数学成绩的第85百分位数定为“优秀”分数线.某次考试后，张老师将自己所带100名学生的数学成绩录入计算机，并借助统计软件制作成如图所示的频率分布直方图.据此，以样本估计总体，可知此次考试的“优秀”分数线约为（）A.120B.123C.126D.129【答案】D 【解析】【分析】根据频率分布直方图，求出张老师将自己所带100名学生的数学成绩第85百分位数，以样本估计总体，即可求解.【详解】样本中[)120,135，[)135,150两个小组的频率分别为1150.2075´=，7150.071500´=，由于0.200.070.270.15+=>，故第85百分位数位于[)120,135内，设其为x ，则()10.071350.1575x +-=，解得129x =，由样本估计总体，可知此次考试的“优秀”分数线约为129.故选：D5.已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点，经过1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，若223,4,5AF AB BF ===，则椭圆C 的离心率为（）A.22B.33C.12D.55【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆定义求出2a ，根据2ABF △边长确定290BAF ∠=︒，进而求出2c ，即可求解椭圆离心率.【详解】由题意结合椭圆定义可知：2ABF △的周长为124a =，26a =，又因为2222291625AF AB BF +=+==，所以290BAF ∠=︒，又由23AF =，知1223AF a AF =-=，故1212c F F ===，因此椭圆C 的离心率为2262c e a ===.故选：A6.已知数列{}n a 满足1121n n n n a a a a ++=--，且13a =，则2024a =（）A.15B.4- C.54D.23【答案】B 【解析】【分析】由递推公式列举数列的若干项，观察规律，利用数列的周期性计算即可.【详解】由题意可知22232314a a a =--⇒=-，同理312a =-，45678125,,,3,4534a a a a a =====- ，即{}n a 是以6为周期的数列，所以20246337224a a a ⨯+===-.故选：B7.已知函数()f x 是定义在{}0xx ≠∣上不恒为零的函数，若()()()22f x f y f xy yx=+，则（）A.()11f =B.()11f -=C.()f x 为偶函数 D.()f x 为奇函数【答案】C 【解析】【分析】根据题意，令x 、y 取特殊值逐一验证四个选项即可.【详解】令1x y ==，则()()121f f =，故()10f =，A 选项错误；令1x y ==-，则()()121f f =-，故()10f -=，B 选项错误；令1y =-，则()()()()21f f x f x f x x--=+=，故()f x 为偶函数，C 选项正确；因为()f x 为偶函数，又函数()f x 是定义在{}0xx ≠∣上不恒为零的函数，D 选项错误.故选：C8.如图，在体积为1的三棱锥A BCD -的侧棱,,AB AC AD 上分别取点,,E F G ，使::1:1,:2:1AE EB AF FC AG GD ===，记O 为平面BCG ､平面CDE ､平面DBF 的交点，则三棱锥O BCD -的体积等于（）A.14B.15C.16D.17【答案】B 【解析】【分析】先画出图形确定O 的位置，将三棱锥O BCD -的体积，转化为线段的长度比，充分利用直线的平行进行推导，求出比例即可．【详解】如图所示，假设,ED BG J CG DF I == ，连接,BI CJ ，易知BI CJ O = ，在ABD △中，设,GJ GB EJ ED λμ==，所以()2221333AJ AG GJ AD AB AD AB AD λλλ⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎝⎭，()1111222AJ AE ED AB AD AB AB AD μμμμ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭，则()()1112421132λμλλμμ⎧⎧=-=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-==⎪⎪⎩⎩，即14GJ GB =，同理14GI GC =，则1445JI BO BC BI =⇒=，设,,,O I G A 到底面的距离分别为,,,O I G A h h h h ，则4311,,5435O G O I I G A A h h h h h h h h ===⇒=，所以15O BCD O A BCD A V h V h --==.故选：B【点睛】思路点睛：先根据平面性质确定交点位置，再由平面向量的线性运算计算线段比例关系得出棱锥高的比例关系即可.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数13i,z z =-+是z 的共轭复数，则（）A.32i z +-=B.z 的虚部是3iC.z 在复平面内对应的点位于第二象限D.复数z 是方程2280x x ++=的一个根【答案】AC 【解析】【分析】利用复数的定义、模长公式、几何意义、共轭复数定义与方程的解法一一判定选项即可.【详解】由题意可知32i 2i z +-=+，所以32i z +-=，故A 正确；易知z 的虚部是3，故B 错误；z 在复平面内对应的点为()1,3-，位于第二象限，故C 正确；对于2228012x x x -±++=⇒==-±，显然13i z =--不符合题意，故D 错误.故选：AC10.已知函数()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则（）A.当12ω=时，函数()f x 的周期为4πB.函数()f x 图象的对称轴是ππ,6k x k ωω=+∈Z C.当12ω=时，5π3x =是函数()f x 的一个最大值点D.函数()f x 在区间()0,1内不单调，则5π6ω>【答案】ACD 【解析】【分析】由正弦函数的周期，对称性及最大值判断ABC ，由导函数等于0有解判断D.【详解】对A ，当12ω=时，函数()f x 的周期为2π4πω=，故A 正确；对B ，令πππ32x k ω-=+，得5ππ,6k x k ωω=+∈Z ，故函数()f x 图象的对称轴是5ππ,6k x k ωω=+∈Z ，故B 错误；对C ，当12ω=时，()1π5πsin ,1233f x x f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为最大值，故5π3x =是函数()f x 的一个最大值点，故C 正确；对D ，函数()f x 在区间()0,1内不单调，则()πcos 03f x x ωω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭'在()0,1有解，且左右函数值异号，令πππ,333t x ωω⎛⎫=-∈-- ⎪⎝⎭，则2ππ3ω->，解得5π6ω>，故D 正确.故选：ACD.11.群的概念由法国天才数学家伽罗瓦（1811-1832）在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学､晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.设G 是一个非空集合，“ ”是一个适用于G 中元素的运算，若同时满足以下四个条件，则称G 对“ ”构成一个群：（1）封闭性，即若,a b G ∈，则存在唯一确定的c G ∈，使得c a b = ；（2）结合律成立，即对G 中任意元素,,a b c 都有()()a b c a b c = ；（3）单位元存在，即存在e G ∈，对任意a G ∈，满足a e e a a == ，则e 称为单位元；（4）逆元存在，即任意a G ∈，存在b G ∈，使得a b b a e == ，则称a 与b 互为逆元，b 记作1a -.一般地，a b 可简记作,ab a a 可简记作22,a a a 可简记作3a ，以此类推.正八边形ABCDEFGH 的中心为O .以e 表示恒等变换，即不对正八边形作任何变换；以r 表示以点O 为中心，将正八边形逆时针旋转π4的旋转变换；以m 表示以OA 所在直线为轴，将正八边形进行轴对称变换.定义运算“ ”表示复合变换，即f g 表示将正八边形先进行g 变换再进行f 变换的变换.以形如(,pqr m p q ∈N ，并规定)00r m e ==的变换为元素，可组成集合G ，则G 对运算“ ”可构成群，称之为“正八边形的对称变换群”，记作8D .则以下关于8D 及其元素的说法中，正确的有（）A.28mr D ∈，且22mr r m =B.3r m 与5r m 互为逆元C.8D 中有无穷多个元素D.8D 中至少存在三个不同的元素，它们的逆元都是其本身【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意，对选项逐一运算可得结果.【详解】我们有：1 由于两次轴对称等价与不变换，故2m e =；由于旋转45 施行8次等价于旋转360 也就是不变，故8r e =；由于先旋转再关于OA 对称和先关于OA 对称再旋转等效，故rm mr =.2 8D 一共是16个元素，变换后ABCDEFGH 逆时针排列的有8个，顺时针排列的有8个.这就说明：22mr r m =，A 正确；()()353528r m r m r r mr e ===，B 正确；8D 一共是16个元素，C 错误；8D 中，()()()22484428,,m e r r e mr mr m r e =====，D 正确.故选：ABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若一个底面半径为1，高为2的圆柱的两个底面的圆周都在球O 的表面上，则球O 的表面积为__________．【答案】8π【解析】【分析】画出组合体的轴截面图，根据轴截面图可知，利用勾股定理可计算出球的半径，进而求得球的表面积.【详解】画出组合体的轴截面图如下图所示，其中BC 是球的半径，AB 是圆柱底面半径，AC 是圆柱高的一半，故222112BC AC AB =+=+=，所以球的表面积为24π8πBC ⋅=.【点睛】本小题主要考查球的表面积计算，考查圆柱和球的组合体问题的求解方法，属于基础题.13.甲､乙､丙､丁､戊､己六位同学中考语文､数学､外语的成绩如下表：甲乙丙丁戊己语文108110115110118107数学110120112111100118外语110100112114110113将每人中考成绩最高的科目认定为他的“最擅长科目”，例如甲的最擅长科目为数学和外语.现从这六位同学中选出三人分别担任语文､数学､外语三个科目的科代表（每科一人，不可兼任），若每个科代表对应的科目都是他的最擅长科目，则符合要求的安排方法共有__________种.【答案】10【解析】【分析】由表格先确定六人各自擅长科目，再分类讨论即可.【详解】由表格可知：甲最擅长科目为数学和外语，乙为数学，丙为语文，丁为外语，戊为语文，己为数学.则语文可从丙、戊两位同学选，数学可从甲乙己三位同学选，外语可从甲丁两位同学选，C C4=种选法；若甲不为课代表，则只需选语文、数学科目代表即可，有1122C2=选法；若甲为课代表，则①甲为数学课代表，只需选语文课代表即可，有12C C4=种选法；②甲为外语课代表，只需选语文、数学课代表即可，有有1122综上所述，共有10种方案.故答案为：1014.已知()()1122,,,A x y B x y 为抛物线28y x =上两个不同的动点，且满足1216y y =-，则112222x y x y +++++的最小值为__________.【答案】6【解析】【分析】根据点A 、B 在抛物线上，化112222x y x y +++++为22121248y y y y ++++，设出直线AB 方程，利用韦达定理化简22121248y y y y ++++得到一元二次函数，即可求出最小值.【详解】由()11,A x y 在抛物线28y x =上可知：2118y x =，所以()2211111422088y y x y y +++=++=≥；同理可得：222222208y x y y ++=++≥，故22121122122248y y x y x y y y ++++++=+++①，设直线AB 方程为x my n =+，直线与抛物线联立，有：28x my ny x=+⎧⎨=⎩消去x 整理有：2880y my n --=，由韦达定理有：128y y m +=，又1216y y =-，故①式化为：221888862m m m ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，故：112222x y x y +++++的最小值为6.故答案为：6【点睛】关键点点睛：要求112222x y x y +++++的最小值，关键在于结合点在曲线上，化112222x y x y +++++为22121248y y y y ++++，再利用韦达定理进一步化简成一元二次函数求最值.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.ABC 中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其面积为S ，且2224S b c a =+-.（1）求A ；（2）已知a =S 的取值范围.【答案】（1）π4A =（2）02S <≤+【解析】【分析】（1）根据面积公式以及余弦定理即可求解tan 1A =，进而可求解π4A =，（2）根据余弦定理结合不等式即可求解.【小问1详解】因为三角形的面积为222441sin 2bc A S b c a ==+-⨯，则222sin cos 2b c a A A bc+-==，所以tan 1A =，又(0,π)A ∈，则π4A =；【小问2详解】由于2222cos 22b c a A bc +-==，所以22828b c bc +-=≥-，即(288bc bc -≤⇒≤+b c =取等号，故(11212sin 8222222S bc A ==⨯≤⨯+=，故02S <≤+16.如图，在三棱台111ABC A B C -中，平面11ABB A ⊥平面11111π,,4,2,2AB C BB AB AB AA AB BAC ∠⊥====.（1）证明：AC ⊥平面11ABB A ；（2）若直线BC 与11B C 距离为3，求平面11ABB A 与平面11BCC B 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而可得线线垂直，进而可求，（2）根据线面垂直的性质，结合平面夹角的几何法，即可求解1AB C ∠即为平面11ABB A 与平面11BCC B 所成角或其补角，根据三角形的边角关系求解长度即可求解.【小问1详解】由于平面11ABB A ⊥平面1,AB C 且交线为1AB ,又111,BB AB BB ⊥⊂平面11ABB A ，所以1BB ⊥平面1,AB C AC ⊂平面1,AB C 故1BB AC ⊥，又11,,,AB AC AB BB B AB BB ⊥⋂=⊂平面11ABB A ,故AC ⊥平面11ABB A 【小问2详解】由（1）知1BB ⊥平面1,AB C 1CB ⊂平面1,AB C 故1BB ⊥1CB ，又11,BB AB ⊥1AB ⊂平面11ABB A ,1CB ⊂平面11BCC B ,所以1AB C ∠即为平面11ABB A 与平面11BCC B 所成角或其补角，过1B 作1B D BC ⊥于D ,由于直线BC 与11B C 距离为3，故13B D =，由于111,4,2BB AB AB AB ⊥==，故1BB ==在直角三角形1BB D中，111sin 2B D DBB BB ∠==,故1π3DBB ∠=，故在直角三角形1BB C中，111tan 6B C BB DBB =∠==，（1）知AC ⊥平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A 故1AB AC ⊥，所以1Rt AB C △中，11121cos 63B A ABC CB ∠===17.某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军.比赛规则为：①每局比赛后，胜者获得3分，负者获得1分，比赛没有平局；②连续2局获胜或积分率先达到11分者可获得冠军，比赛结束.已知在单局比赛中，甲乙获胜的概率均为12.（1）求甲乙决出冠军时比赛局数X 的分布列与数学期望()E X ；（2）求在甲获得冠军的条件下其积分达到11分的概率P .【答案】（1）分布列见解析；()238E X =（2）18【解析】【分析】（1）根据比赛规则，分析比赛可能出现的各种情况，确定X 的取值，进而求出X 的分布列与数学期望；（2）根据条件概率公式求出()()()()()P BC P BC P BC P BC P BC +++即可.【小问1详解】由比赛规则可知，1局比赛后，甲乙双方共获得4分，若比赛进行了4局还未结束，则双方共计16分，此时双方均为8分，则第5局比赛后必定有一人积分可达到11分，故比赛次数不会超过5；由比赛规则可知，若比赛共进行了n 局，()25n ≤≤，则前n 1-局不可能出现某人连胜2次（否则2连胜后比赛结束），故前n 1-局必定甲乙二人胜负交替，综上可知：比赛决出冠军时，二人比赛过程中的胜负情况有以下三种可能：第一，比赛进行n 局()24n ≤≤，前n 1-局二人胜负交替，第n 局与第n 1-局胜者相同，此人达成2连胜并获得冠军（其积分不超过33110⨯+=，故未达11分）；第二，比赛进行了5局，二人始终胜负交替，其中第5局获胜者获得11分，另一方9分，此时获胜者仅积分率先达到11分并获得冠军；第三，比赛进行了5局，前4局二人胜负交替，但第4局的获胜者在第5局连续获胜，则他同时完成2连胜且积分率先达到11分并获得冠军.即随机事件=i A “第i 局比赛中甲获胜”{}1,2,3,4,5i ∈，B =“甲达成2连胜”，C =“甲先获得11积分”；根据题意，X 的可能取值为2,3,4,5()()()2212121112222P X P A A P A A ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()331231231113224P X P A A P A A A ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()44123412341114228P X P A A A A P A A A A ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()11115123412488P X P X P X P X ==-=-=-==---=.于是X 的分布列为：X2345P12141818故()111123234524888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问2详解】根据以上分析可知：()()()()234121231234111722216P BC P A A P A A P A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()51234511232P BC P A A A ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()()51234511232P BC P A A A A ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故()()()()()()()()()1113232|7118163232P BC P BC P C P P C B C P B C P BC P BC P BC ++=⋃===⋃++++.18.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>经过点()3,2A ，其右焦点为F ，且直线2y x =是C 的一条渐近线.（1）求C 的标准方程；（2）设(),M m n 是C 上任意一点，直线22:1mx nyl a b -=.证明：l 与双曲线C 相切于点M ；（3）设直线PT 与C 相切于点T ，且0FP FT ⋅=，证明：点P 在定直线上.【答案】（1）221832x y -=（2）证明过程见解析（3）证明过程见解析【解析】【分析】（1）由题意得229412a bb a⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解出,a b 的值即可；（2）一方面(),M m n 是C 上任意一点，从而可得出它也在直线22:1mx nyl a b -=上面，联立椭圆方程，消元后得到一个一元二次方程，证明判别式等于0即可；（3）由（2）中结论，设出点的坐标，可得432nq mp =-，由向量数量积公式化简得-=-0-≠即可得证.【小问1详解】因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>经过点()3,2A ，且直线2y x =是C 的一条渐近线，所以229412a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得228,32a b ==，所以C 的标准方程为221832x y -=；【小问2详解】首先设(),M m n 是C 上任意一点，所以有222222221832m n m n m n m n a b a b ⋅-⋅=-=-=，这表明了点(),M m n 也在直线l 上，也可以得到22432m n -=，联立直线l 的方程与椭圆C 的方程有2218321832x y mx ny ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，化简并整理得()222246425680n mxmx n -+--=，而224320n m -=-≠，且()()()()2222222Δ6444832643240m n mnm m =+-⨯+=-⨯=，这也就是说l 与双曲线C 相切于点M ；【小问3详解】不妨设()(),,,T m n P p q ，由（2）可知过点T 的直线PT 的方程为1832mx ny -=，因为点(),P p q 在直线1832mx ny -=上，所以1832mp nq-=，即有432nq mp =-，又2240a b +=，从而()F ，所以()(),FP p q FT m n =-=-，若0FP FT ⋅=，则()40432FP FT p m qn pm p m pm ⋅=--+=-+++-)580pm p m =-++=，-=-，因为m a ≥=2105m ≠=0-≠，从而5p ==，所以点P 在定直线上2105x =上.19.已知0a >，且1a ≠，函数()()ln 11xf x a x =++-.（1）记()()ln 1,n n a f n n n S =-++为数列{}n a 的前n 项和.证明：当89a =时，642024S <；（2）若1ea =，证明：()0xf x ≥；（3）若()f x 有3个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）直接利用等差数列、等比数列的求和公式计算即可；（2）利用导数研究()e 1xx -+的单调性与最值判定()f x 的单调性即可证明；（3）分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理及极限思想计算即可.【小问1详解】由题意可知89a =时，()()88ln 11ln 1199n nn a n n n n ⎛⎫⎛⎫=++--++=+- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以()64126644881998880126412016899919S ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++++++++-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭- 6484202920428⎛⎫=⎪⎭<-⨯ ⎝；【小问2详解】易知1e a =时，()()()()()()e 1111ln 111e 1e e 1xx x x x f x x f x x x x +'=++-⇒=--=>-++，令()()()()1e 1e 1xxg g x x x x '=->⇒=+--，显然()1,0x ∈-时，()()0,0,g x x '<∈+∞时，()0g x '>，即()g x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故()()()000g x g f x '≥=⇒≥，所以()f x 在()1,-+∞上单调递增，又()00f =，所以()1,0x ∈-时，()()0,0,f x x <∈+∞时，()0f x >，故()0xf x ≥；【小问3详解】①若1a >，易知()f x 定义域上为单调递增函数，不会有三个零点，不符题意；②若1,1e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，则()1,0x ∈-时，1e x x a <，x ∈()0,∞+时，1exx a >，由（2）可知：()1,0x ∈-时，()()1ln 110e xf x x <++-<，()0,x ∈+∞时，()()1ln 110ex f x x >++->，且()00f =，则函数()f x 只有一个零点，不符题意；③由（2）知，1ea =时，()f x 在()1,-+∞上单调递增，也不符题意；④若10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()()()1111ln 111ln 11xxx x a a a f x x x x a a -⎛⎫⎛⎫⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'=+=>-+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()()(),l 1111111e 1n ,ln x xh x x x a a a a a h x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+>>- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭'-⇒⎭⎝-⎝⎝⎭=，显然()1,0x ∈-时，()()0,0,h x x ∞<∈+'时，()0h x '>，即()h x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，注意到()()10,01ln 0h a h a -=>=+<，(),0x h x →+∞>，所以()()121,0,0,x x ∃∈-∈+∞使得()()120h x h x ==，即()f x 在()11,x -和()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减，又1x →-时，()f x →-∞，()()()1200f x f f x >=>，(),0x f x →+∞>，所以在区间()()121,,,x x -+∞各存在一个零点，及0x =也是一个零点，符合题意；综上10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.【点睛】思路点睛：对于第三问，先讨论1a >，此时函数单调递增，排除；结合（2）再讨论1,ea 的大小关系，首先注意到1,1e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由1,ex x a 的大小关系及（2）的结论放缩下从而确定不符题意，再利用隐零点及零点存在性定理、极限思想来确定10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时符合题意即可.。

陕西省高考数学一模考试卷真题（2）

陕西省高考数学一模考试卷真题(2)陕西省高考数学一模考试卷答案一、选择题(本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.复数在复平面上对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出复数在复平面上对应的点的坐标，则答案可求.【解答】解： = ，则复数在复平面上对应的点的坐标为：( ， )，位于第一象限.故选：A.【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.2.集合P={x|x2﹣9<0}，Q={x∈Z|﹣1≤x≤3}，则P∩Q=()A.{x|﹣3【考点】交集及其运算.【分析】求出集合P中一元二次不等式的解集确定出集合P，取集合Q中解集的整数解确定出集合Q，然后找出既属于P又属于Q的元素即可确定出两集合的交集.【解答】解：由集合P中的不等式x2﹣9<0，解得：﹣3∴集合P={x|﹣3由集合Q中的解集﹣1≤x≤3，取整数为﹣1，0，1，2，3，∴集合Q={﹣1，0，1，2，3}，则P∩Q={﹣1，0，1，2}.故选D【点评】此题属于以不等式解集为平台，考查了交集的元素，是一道基础题，也是高考中常考的题型.3.已知cosα=﹣，且α∈( ，π)，则tan(α+ )等于( )A.﹣B.﹣7C.D.7【考点】两角和与差的正切函数;弦切互化.【分析】先根据cosα的值求出tanα的值，再由两角和与差的正切公式确定答案.【解答】解析：由cosα=﹣且α∈( )得tanα=﹣，∴tan(α+ )= = ，故选C.【点评】本题主要考查两角和与差的正切公式.属基础题.4.若命题p：对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1<0，则￢p为( )A.不存在x∈R，使得x3﹣x2+1<0B.存在x∈R，使得x3﹣x2+1<0C.对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1≥0D.存在x∈R，使得x3﹣x2+1≥0【考点】命题的否定.【分析】利用全称命题的否定是特称命题，去判断.【解答】解：因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定￢p为：存在x∈R，使得x3﹣x2+1≥0故选：D【点评】本题主要考查全称命题的否定，要求掌握全称命题的否定是特称命题.5.在等比数列{an} 中，a1=4，公比为q，前n项和为Sn，若数列{Sn+2}也是等比数列，则q等于( )A.2B.﹣2C.3D.﹣3【考点】等比关系的确定.【分析】由数列{Sn+2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列，即(s2+2)2=(S1+2)(S3+2)代入等比数列的前n项和公式整理可得(6+4q)2=24(1+q+q2)+12解方程即可求解【解答】解：由题意可得q≠1由数列{Sn+2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列则(s2+2)2=(S1+2)(S3+2)代入等比数列的前n项和公式整理可得(6+4q)2=24(1+q+q2)+12解可得 q=3故选C.【点评】等比数列得前n项和公式的应用需要注意公式的选择，解题时要注意对公比q=1，q≠1的分类讨论，体现了公式应用的全面性.6.已知向量 =(1，1)，2 + =(4，2)，则向量，的夹角的余弦值为( )A. B. C. D.【考点】数量积表示两个向量的夹角.【分析】利用向量的坐标运算求出;利用向量的数量积公式求出两个向量的数量积;利用向量模的坐标公式求出两个向量的模;利用向量的数量积公式求出两个向量的夹角余弦.【解答】解：∵∴∴∵∴两个向量的夹角余弦为故选C【点评】本题考查向量的数量积公式，利用向量的数量积公式求向量的夹角余弦、考查向量模的坐标公式.7.函数f(x)=sin(2x+φ)+ cos(2x+φ)的图象关于原点对称的充要条件是( )A.φ=2kπ﹣，k∈ZB.φ=kπ﹣，k∈ZC.φ=2kπ﹣，k∈ZD.φ=kπ﹣，k∈Z【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.【分析】先利用辅助角公式对函数化简可得，f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)=2sin(2x+φ+ )，由函数的图象关于原点对称可知函数f(x)为奇函数，由奇函数的性质可得，f(0)=0代入可得sin( φ)=0，从而可求答案.【解答】解：∵f(x)=sin(2x+φ)+ cos(2x+φ)=2sin(2x+φ+ )的图象关于原点对称∴函数f(x)为奇函数，由奇函数的性质可得，f(0)=0∴sin( φ)=0∴ φ=kπ∴φ=故选：D【点评】本题主要考查了利用辅助角公式把不同名的三角函数化为y=Asin(x+)的形式，进而研究函数的性质;还考查了奇函数的性质(若奇函数的定义域内有0，则f(0)=0)的应用，灵活应用性质可以简化运算，减少运算量.8.执行如图所示的程序框图(算法流程图)，输出的结果是( )A.9B.121C.130D.17021【考点】程序框图.【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c的值，当c=16900时，不满足条件c<2016，退出循环，输出a的值为121.【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，b=2，c=3满足条件c<2016，a=2，b=9，c=11满足条件c<2016，a=9，b=121，c=130满足条件c<2016，a=121，b=16900，c=17021不满足条件c<2016，退出循环，输出a的值为121.故选：B.【点评】本题主要考察了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查.9.双曲线的离心率为2，则的最小值为( )A. B. C.2 D.1【考点】双曲线的简单性质;基本不等式.【分析】根据基本不等式，只要根据双曲线的离心率是2，求出的值即可.【解答】解：由于已知双曲线的离心率是2，故，解得，所以的最小值是 .故选A.【点评】本题考查双曲线的性质及其方程.双曲线的离心率e和渐近线的斜率之间有关系，从这个关系可以得出双曲线的离心率越大，双曲线的开口越大.10.(x2+3x﹣y)5的展开式中，x5y2的系数为( )A.﹣90B.﹣30C.30D.90【考点】二项式系数的性质.【分析】(x2+3x﹣y)5的展开式中通项公式：Tr+1= (﹣y)5﹣r(x2+3x)r，令5﹣r=2，解得r=3.展开(x2+3x)3，进而得出.【解答】解：(x2+3x﹣y)5的展开式中通项公式：Tr+1= (﹣y)5﹣r(x2+3x)r，令5﹣r=2，解得r=3.∴(x2+3x)3=x6+3(x2)2•3x+3(x2)×(3x)2+(3x)3，∴x5y2的系数= ×9=90.故选：D.【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.11.已知不等式组表示平面区域D，现在往抛物线y=﹣x2+x+2与x轴围成的封闭区域内随机地抛掷一小颗粒，则该颗粒落到区域D 中的概率为( )A. B. C. D.【考点】几何概型.【分析】根据积分的知识可得先求y=﹣x2+x+2与x轴围成的封闭区域为曲面MEN，的面积，然后根据线性规划的知识作出平面区域D，并求面积，最后代入几何概率的计算公式可求.【解答】解：根据积分的知识可得，y=﹣x2+x+2与x轴围成的封闭区域为曲面MEN，面积=等式组表示平面区域D即为△AOB，其面积为根据几何概率的计算公式可得P=故选：C【点评】本题主要考查了利用积分求解曲面的面积，还考查了几何概率的计算公式的应用，属于基础试题.12.定义在R上的函数f(x)满足(x﹣1)f′(x)≤0，且y=f(x+1)为偶函数，当|x1﹣1|<|x2﹣1|时，有( )A.f(2﹣x1)≥f(2﹣x2)B.f(2﹣x1)=f(2﹣x2)C.f(2﹣x1)【考点】函数的单调性与导数的关系.【分析】①若函数f(x)为常数，可得当|x1﹣1|<|x2﹣1|时，恒有f(2﹣x1)=f(2﹣x2).②若f(x)不是常数，可得y=f(x)关于x=1对称.当x1≥1，x2≥1，则由|x1﹣1|<|x2﹣1|可得f(x1)>f(x2).当x1<1，x2<1时，同理可得f(x1)>f(x2).综合①②得出结论.【解答】解：①若f(x)=c，则f'(x)=0，此时(x﹣1)f'(x)≤0和y=f(x+1)为偶函数都成立，此时当|x1﹣1|<|x2﹣1|时，恒有f(2﹣x1)=f(2﹣x2).②若f(x)不是常数，因为函数y=f(x+1)为偶函数，所以y=f(x+1)=f(﹣x+1)，即函数y=f(x)关于x=1对称，所以f(2﹣x1)=f(x1)，f(2﹣x2)=f(x2).当x>1时，f'(x)≤0，此时函数y=f(x)单调递减，当x<1时，f'(x)≥0，此时函数y=f(x)单调递增.若x1≥1，x2≥1，则由|x1﹣1|<|x2﹣1|，得x1﹣1f(x2).同理若x1<1，x2<1，由|x1﹣1|<|x2﹣1|，得﹣(x1﹣1)<﹣(x2﹣1)，即x2f(x2).若x1，x2中一个大于1，一个小于1，不妨设x1<1，x2≥1，则﹣(x1﹣1)可得1<2﹣x1f(x2)，即f(x1)>f(x2).综上有f(x1)>f(x2)，即f(2﹣x1)>f(2﹣x2)，故选A.【点评】本题主要考查函数的导数与函数的单调性的关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7= 49 .【考点】等差数列的前n项和;等差数列的性质.【分析】由等差数列的性质求得a1+a7，再用前n项和公式求得.【解答】解：∵a2+a6=a1+a7∴故答案是49【点评】本题考查等差数列的性质和等差数列前n项和公式.14.直线y=x与函数的图象恰有三个公共点，则实数m的取值范围是﹣1≤m<2.【考点】函数的零点与方程根的关系.【分析】根据题意，求出直线y=x与射线y=2(x>m)、抛物线y=x2+4x+2在(﹣∞，m]上的部分的三个交点A、B、C，且三个交点必须都在y=f(x)图象上，由此不难得到实数m的取值范围.【解答】解：根据题意，直线y=x与射线y=2(x>m)有一个交点A(2，2)，并且与抛物线y=x2+4x+2在(﹣∞，m]上的部分有两个交点B、C由，联解得B(﹣1，﹣1)，C(﹣2，﹣2)∵抛物线y=x2+4x+2在(﹣∞，m]上的部分必须包含B、C两点，且点A(2，2)一定在射线y=2(x>m)上，才能使y=f(x)图象与y=x 有3个交点∴实数m的取值范围是﹣1≤m<2故答案为：﹣1≤m<2【点评】本题给出分段函数的图象与直线y=x有3个交点，求参数m的取值范围，着重考查了直线与抛物线位置关系和分段函数的图象与性质等知识，属于中档题.15.设F为抛物线的焦点，与抛物线相切于点P(﹣4，﹣4)的直线l与x轴的交点为Q，则∠PQF的值是.【考点】抛物线的简单性质.【分析】先求切线方程，从而可得Q的坐标，计算，可得，从而可得结论.【解答】解：由题意，焦点坐标为F(0，﹣1)先求导函数为： x，则p点处切线斜率是2，∴与抛物线相切于点P(﹣4，﹣4)的直线l的方程为y=2x+4，交x 轴于Q(﹣2，0)，∴∴∴故答案为【点评】本题以抛物线的标准方程为载体，考查抛物线的性质，解题的关键是求切线方程，利用向量的数量积求解垂直问题.16.如图，在小正方形边长为1的网格中画出了某多面体的三视图，则该多面体的外接球表面积为34π.【考点】简单空间图形的三视图;球的体积和表面积.【分析】由三视图知，该几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，画出直观图，再建立空间直角坐标系，求出三棱锥外接球的球心与半径，从而求出外接球的表面积.【解答】解：由三视图知，该几何体是三棱锥S﹣ABC，且三棱锥的一个侧面SAC与底面ABC垂直，其直观图如图所示;由三视图的数据可得OA=OC=2，OB=OS=4，建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示;则A(0，﹣2，0)，B(4，0，0)，C(0，2，0)，S(0，0，4)，则三棱锥外接球的球心I在平面xOz上，设I(x，0，z);由得，，解得x=z= ;∴外接球的半径R=|BI|= = ，∴该三棱锥外接球的表面积S=4πR2=4π× =34π.故答案为：34π.【点评】本题考查了由三视图求几何体外接球的表面积，解题的关键是判断几何体的形状及外接球的半径，是综合性题目.三、解答题(本大题共5小题，共70分)17.(12分)(2017•榆林一模)如图，在△ABC中，已知点D，E分别在边AB，BC上，且AB=3AD，BC=2BE.(Ⅰ)用向量，表示 .(Ⅱ)设AB=6，AC=4，A=60°，求线段DE的长.【考点】平面向量的基本定理及其意义;平面向量数量积的运算.【分析】(Ⅰ)根据平面向量的线性表示与运算法则，用，表示出即可;(Ⅱ)根据平面向量的数量积与模长公式，求出| |即可.【解答】解：(Ⅰ)△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且AB=3AD，BC=2BE;∴ = ， = = ( ﹣ )，∴ = + = + ( ﹣ )= + ;(Ⅱ)设AB=6，AC=4，A=60°，则= +2× × • += ×62+ ×6×4×cos60°+ ×42=7，∴| |= ，即线段DE的长为 .【点评】本题考查了平面向量的线性运算以及数量积运算的应用问题，是基础题目.18.(12分)(2017•榆林一模)某校为提高学生身体素质，决定对毕业班的学生进行身体素质测试，每个同学共有4次测试机会，若某次测试合格就不用进行后面的测试，已知某同学每次参加测试合格的概率组成一个以为公差的等差数列，若他参加第一次测试就通过的概率不足，恰好参加两次测试通过的概率为 .(Ⅰ)求该同学第一次参加测试就能通过的概率;(Ⅱ)求该同学参加测试的次数的分布列和期望.【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列.【分析】(Ⅰ)设出该同学第一次测试合格的概率为a，根据题意列方程求出a的值;(Ⅱ)该同学参加测试的次数ξ的可能取值是1、2、3、4，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望即可.【解答】解：(Ⅰ)设该同学四次测试合格的概率依次为：a，a+ ，a+ ，a+ (a≤ )，则(1﹣a)(a+ )= ，即a2﹣ a+ =0，解得a= 或a= ( > 舍去)，所以小李第一次参加测试就合格的概率为 ;(Ⅱ)因为P(ξ=1)= ，P(ξ=2)= × = ，P(ξ=3)= × × = ，P(ξ=4)=1﹣P(ξ=1)﹣P(ξ=2)﹣P(ξ=3)= ，所以ξ的分布列为：ξ 1 2 3 4P所以ξ的数学期望为Eξ=1× +2× +3× +4× = .【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列和期望以及相互独立事件同时发生的概率计算问题，是基础题目.19.(12分)(2017•榆林一模)如图，AC是圆O的直径，点B在圆O 上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1.(1)证明：EM⊥BF;(2)求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.【考点】用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的性质;二面角的平面角及求法.【分析】(1)根据线面垂直得到线与线垂直，根据直径所对的圆周角是直角，得到两个三角形是等腰直角三角形，有线面垂直得到结果.(2)做出辅助线，延长EF交AC于G，连BG，过C作CH⊥BG，连接FH.，做出∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角，求出平面角.【解答】解：(1)证明：∵EA⊥平面ABC，BM⊂平面ABC，∴EA⊥BM.又∵BM⊥AC，EA∩AC=A，∴BM⊥平面ACFE，而EM⊂平面ACFE，∴BM⊥EM.∵AC是圆O的直径，∴∠ABC=90°.又∵∠BAC=30°，AC=4，∴ ，AM=3，CM=1.∵EA⊥平面ABC，FC∥EA，∴FC⊥平面ABC.∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形.∴∠EMA=∠FMC=45°.∴∠EMF=90°，即EM⊥MF(也可由勾股定理证得).∵MF∩BM=M，∴EM⊥平面MBF.而BF⊂平面MBF，∴EM⊥BF.(2)延长EF交AC于G，连BG，过C作CH⊥BG，连接FH.由(1)知FC⊥平面ABC，BG⊂平面ABC，∴FC⊥BG.而FC∩CH=C，∴BG⊥平面FCH.∵FH⊂平面FCH，∴FH⊥BG，∴∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角.在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AC=4，∴ ，由，得GC=2.∵ ，又∵△GCH∽△GBM，∴ ，则 .∴△FCH是等腰直角三角形，∠FHC=45°，∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为 .【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，考查应用向量知识解决数学问题的能力，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.20.(12分)(2017•榆林一模)已知点P(﹣1，)是椭圆E：+ =1(a>b>0)上一点，F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴.(1)求椭圆E的方程;(2)设A，B是椭圆E上两个动点，满足：+ =λ (0<λ<4，且λ≠2)，求直线AB的斜率.(3)在(2)的条件下，当△PAB面积取得最大值时，求λ的值.【考点】直线与椭圆的位置关系.【分析】(Ⅰ)由PF1⊥x轴，求出2a=|PF1|+|PF2|=4，由此能求出椭圆E的方程.(2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由+ =λ (0<λ<4，且λ≠2)，得x1+x2=λ﹣2，y1+y2= (2﹣λ)，再由3(x1+x2)(x1﹣x2)+4(y1+y2)(y1﹣y2)=0，由此能求出AB的斜率.(3)设直线AB的方程为y= x+t，与3x2+4y2=12联立得x2+tx+t2﹣3=0，由此利用根的判别式、弦长公式、点到直线距离公式、三角形面积公式，求出△PAB的面积为S= × |t﹣2|，设f(t)=S2=﹣ (t4﹣4t3+16t﹣16)(﹣2【解答】解：(Ⅰ)∵PF1⊥x轴，∴F1(﹣1，0)，c=1，F2(1，0)，∴|PF2|= = ，∴2a=|PF1|+|PF2|=4，∴a=2，∴b2=3，∴椭圆E的方程为：=1.…(3分)(2)证明：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由+ =λ (0<λ<4，且λ≠2)，得(x1+1，y1﹣)+(x2+1，y2﹣)=λ(1，﹣ )，∴x1+x2=λ﹣2，y1+y2= (2﹣λ)…①…又，两式相减得3(x1+x2)(x1﹣x2)+4(y1+y2)(y1﹣y2)=0…..②以①式代入可得AB的斜率k= = .…(8分)(3)设直线AB的方程为y= x+t，与3x2+4y2=12联立消去y并整理得 x2+tx+t2﹣3=0，△=3(4﹣t2)，|AB|= |x1﹣x2|= × = ，点P到直线AB的距离为d= ，△PAB的面积为S= |AB|×d= × |t﹣2|，…(10分)设f(t)=S2=﹣ (t4﹣4t3+16t﹣16)(﹣2f′(t)=﹣3(t3﹣3t2+4)=﹣3(t+1)(t﹣2)2，由f′(t)=0及﹣2当t∈(﹣2，﹣1)时，f′(t)>0，当t∈(﹣1，2)时，f′(t)<0，f(t)=﹣1时取得最大值，所以S的最大值为 .此时x1+x2=﹣t=1=λ﹣2，λ=3.…(12分)【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的求法，考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、直线、导数等知识点的合理运用.21.(12分)(2017•榆林一模)已知函数f(x)=x2﹣ax+ln(x+1)(a∈R).(1)当a=2时，求函数f(x)的极值点;(2)若函数f(x)在区间(0，1)上恒有f′(x)>x，求实数a的取值范围;(3)已知c1>0，且cn+1=f′(cn)(n=1，2，…)，在(2)的条件下，证明数列{cn}是单调递增数列.【考点】数列与函数的综合;利用导数研究函数的极值.【分析】(1)先求出导函数，找到导数为0的根，在检验导数为0的根两侧导数的符号即可得出结论.(2)因f′(x)=2x﹣a+ ，由f′x)>x，分参数得到：a(3)本题考查的知识点是数学归纳法，要证明当n=1时，c2>c1成立，再假设n=k时ck+1>ck，ck>0成立，进而证明出n=k+1时ck+2>ck+1，也成立，即可得到对于任意正整数n数列{cn}是单调递增数列.【解答】解：(1)a=2时，fx)=x2﹣2x+ln(x+1)，则f′(x)=2x﹣2+ = ，f′x)=0，x=± ，且x>﹣1，当x∈(﹣1，﹣)∪( ，+∞)时f′x)>0，当x∈(﹣， )时，f′x)<0，所以，函f(x)的极大值点x=﹣，极小值点x= .(2)因f′(x)=2x﹣a+ ，f′x)>x，2x﹣a+ >x，即ay=x+ =x+1+ ﹣1≥1(当且仅x=0时等号成立)，∴ymin=1.∴a≤1(3)①当n=1时，c2=f′(x)=2c1﹣a+ ，又∵函y=2x+ 当x>1时单调递增，c2﹣c1=c1﹣a+ =c1+1+ ﹣(a+1)>2﹣(a+1)=1﹣a≥0，∴c2>c1，即n=1时结论成立.②假设n=k时，ck+1>ck，ck>0则n=k+1时，ck+1=f′(ck)=2ck﹣a+ ，ck+2﹣ck+1=ck+1﹣a+ =ck+1+1+ ﹣(a+1)>2﹣(a+1)=1﹣a≥0，ck+2>ck+1，即n=k+1时结论成立.由①，②知数{cn}是单调递增数列.【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的极值、数列与函数的综合、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想.属于基础题.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.(10分)(2017•榆林一模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：(φ为参数，实数a>0)，曲线C2：(φ为参数，实数b>0).在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α(ρ≥0，0≤α≤ )与C1交于O、A两点，与C2交于O、B两点.当α=0时，|OA|=1;当α= 时，|OB|=2.(Ⅰ)求a，b的值;(Ⅱ)求2|OA|2+|OA|•|OB|的最大值.【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.【分析】(I)由曲线C1：(φ为参数，实数a>0)，利用cos2φ+sin2φ=1即可化为普通方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式即可得出极坐标方程，进而得出a的值.同理可得b的值.(II)由(I)可得C1，C2的方程分别为ρ=cosθ，ρ=2sinθ.可得2|OA|2+|OA|•|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ= +1，利用三角函数的单调性与值域即可得出.【解答】解：(Ⅰ)由曲线C1：(φ为参数，实数a>0)，化为普通方程为(x﹣a)2+y2=a2，展开为：x2+y2﹣2ax=0，其极坐标方程为ρ2=2aρcosθ，即ρ=2acosθ，由题意可得当θ=0时，|OA|=ρ=1，∴a= .曲线C2：(φ为参数，实数b>0)，化为普通方程为x2+(y﹣b)2=b2，展开可得极坐标方程为ρ=2bsinθ，由题意可得当时，|OB|=ρ=2，∴b=1.(Ⅱ)由(I)可得C1，C2的方程分别为ρ=cosθ，ρ=2sinθ.∴2|OA|2+|OA|•|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2θ+1= +1，∵2θ+ ∈ ，∴ +1的最大值为 +1，当2θ+ = 时，θ= 时取到最大值.【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.[选修4-5：不等式选讲]23.(2017•榆林一模)设函数f(x)=|2x+a|+|x﹣|(x∈R，实数a<0).(Ⅰ)若f(0)> ，求实数a的取值范围;(Ⅱ)求证：f(x)≥ .【考点】绝对值不等式的解法;分段函数的应用.【分析】(Ⅰ)去掉绝对值号，解关于a的不等式组，求出a的范围即可;(Ⅱ)通过讨论x的范围，结合基本不等式的性质求出求出f(x)的最小值即可.【解答】(Ⅰ)解：∵a<0，∴f(0)=|a|+|﹣ |=﹣a﹣ > ，即a2+ a+1>0，解得a<﹣2或﹣(Ⅱ)证明：f(x)=|2x+a|+|x﹣ |= ，当x≥﹣时，f(x)≥﹣﹣ ;当﹣﹣ ;当x≤ 时，f(x)≥﹣a﹣，∴f(x)min=﹣﹣≥2 = ，当且仅当﹣ =﹣即a=﹣时取等号，∴f(x)≥ .【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查解绝对值不等式问题，是一道中档题.。

2024年全国统一高考数学Ⅰ卷(带答案解析)

2024年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。

1．（5分）已知集合A＝{x|﹣5＜x3＜5}，B＝{﹣3，﹣1，0，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{2，3}C．{﹣3，﹣1，0}D．{﹣1，0，2} 2．（5分）若＝1+i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i3．（5分）已知向量＝（0，1），＝（2，x），若⊥（），则x＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．24．（5分）已知cos（α+β）＝m，tanαtanβ＝2，则cos（α﹣β）＝（）A．﹣3m B．﹣C．D．3m5．（5分）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（）A．2πB．3πC．6πD．9π6．（5分）已知函数为f（x）＝在R上单调递增，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．[﹣1，0]C．[﹣1，1]D．[0，+∞）7．（5分）当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin（3x﹣）的交点个数为（）A．3B．4C．6D．88．（5分）已知函数为f（x）的定义域为R，f（x）＞f（x﹣1）+f（x﹣2），且当x＜3时，f（x）＝x，则下列结论中一定正确的是（）A．f（10）＞100B．f（20）＞1000C．f（10）＜1000D．f（20）＜10000二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。

每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。

（多选）9．（6分）为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N（1.8，0.12），假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N（，s2），则（）（若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（Z＜μ+σ）≈0.8413）A．P（X＞2）＞0.2B．P（X＞2）＜0.5C．P（Y＞2）＞0.5D．P（Y＞2）＜0.8（多选）10．（6分）设函数f（x）＝（x﹣1）2（x﹣4），则（）A．x＝3是f（x）的极小值点B．当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2）C．当1＜x＜2时，﹣4＜f（2x﹣1）＜0D．当﹣1＜x＜0时，f（2﹣x）＞f（x）（多选）11．（6分）造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于﹣2，到点F（2，0）的距离与到定直线x＝a（a＜0）的距离之积为4，则（）A．a＝﹣2B．点（2，0）在C上C．C在第一象限的纵坐标的最大值为1D．当点（x0，y0）在C上时，y0≤三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。

2024年长沙市第一中学高考数学一模卷+答案解析

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则下列集合为空集的是( )备战2024高考—名师原创数学一模卷A.B. C. D.2.若复数z 满足，，则( )A. B.C.D.3.在中，若，，则( )A. B. C. D. 4.设是等比数列的前n 项和，若，，则的最小值为( )A. 1B.C.D.5.若过点可以作三条直线与曲线相切，则m 的取值范围为( )A.B.C.D. 6.已知函数的最小正周期为，且在上单调递减，在上单调递增，则实数m 的取值范围是( )A. B.C. D.7.已知，点P 为直线上的一点，点Q 为圆上的一点，则的最小值为( )A.B.C.D.8.已知直三棱柱的外接球表面积为S ，体积为V ，且，若，则V 的最大值为( )A. B. C. D. 4二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.如图，在正方体中，则( )A.平面 B. 与平面相交C. 平面D. 平面平面10.工厂生产某零件，其尺寸D服从正态分布单位：其中k由零件的材料决定，且当零件尺寸大于或小于时认为该零件不合格；零件尺寸大于且小于时认为该零件为优质零件；其余则认为是普通零件.已知当随机变量时，，，，则下列说法中正确的有( )A. k越大，预计生产出的优质品零件与不合格零件的概率之比越小B. k越大，预计生产出普通零件的概率越大C. 若，则生产200个零件约有9个零件不合格D. 若生产出优质零件、普通零件与不合格零件盈利分别为3a，2a，，则当时，每生产1000个零件预计盈利2580a11.已知抛物线的准线l的方程为，过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，以A，B为切点分别作C的两条切线，且两切线交于点M，则下列结论正确的是( )A. C的方程为B.C. M恒在l上，且MF恒为的高线D.12.设定义在R上的函数与的导函数分别为和，若，，若为奇函数，则A. B.C. ；D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022年普通高等学校招生全国统一考试高三第一次联合诊断检测数学+答案解析(附后)

2022年普通高等学校招生全国统一考试高三第一次联合诊断检测数学1. 已知集合，，则( )A.B.C.D.2. 设复数z 满足R ，则z 的实部为A. 0B. 1C.D. i3. 设向量，是互相垂直的单位向量，则与向量垂直的一个单位向量是A. B. C.D.4. 已知且，则函数为奇函数的一个充分不必要条件是( ) A.B.C.D.5. 设双曲线C ：的右焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线C 及其渐近线在第一象限分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若，则双曲线C 的渐近线方程为A. B.C. D.6. 已知，，，则( )A.B. C.D.7. 通过核酸检测可以初步判定被检测者是否感染新冠病毒，检测方式分为单检和混检．单检，是将一个人的采集拭子放入一个采样管中单独检测；混检，是将多个人的采集拭子放入一个采样管中合为一个样本进行检测，若检测结果呈阳性，再对这多个人重新采集单管拭子，逐一进行检测，以确定当中的阳性样本．混检按一个采样管中放入的采集拭子个数可具体分为“3合1”混检，“5合1”混检，“10合1”混检等．调查研究显示，在群体总阳性率较低低于时，混检能较大幅度地提高检测效力、降低检测成本．根据流行病学调查结果显示，某城市居民感染新冠病毒的概率为若对该城市全体居民进行核酸检测，记采用“10合1”混检方式共需检测X 次，采用“5合1”混检方式共需检测Y 次，已知当时，N ，据此计算的近似值为A. B. C. D.8. 定义在上的函数满足：当时，，当时，，若关于x 的方程有两个不等实根，则a 的取值范围是A. B. C. D.9. 下列函数中，最小正周期为，且在上单调递增的是.( )A. B. C. D.10. 已知具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据，由此得到的线性回归方程为，则下列说法中正确的是( )A. 回归直线至少经过点中的一个点B. 若，，则回归直线一定经过点C. 若点都落在直线上，则变量x，y的样本相关系数D. 若，，则相应于样本点的残差为11. 已知数列满足：N，则下列说法中正确的是A. B.C. 数列的前10项和为定值D. 数列的前20项和为定值12. 已知正方体，P是棱的中点，以下说法正确的是A. 过点P有且只有一条直线与直线AB，都相交B. 过点P有且只有一条直线与直线AB，都平行C. 过点P有且只有一条直线与直线AB，都垂直D. 过点P有且只有一条直线与直线AB，所成角均为13.已知a为非零实数，直线与曲线相切，则_________.14. 的值等于__________.15. 中国长征系列运载火箭包括长征一号、长征二号、长征三号、长征四号4个系列十多种型号，具有发射从低轨到高轨、不同质量与用途的各种卫星、载人航天器和月球探测器的能力．其中长征三号系列火箭因其入轨精度高、轨道选择多、适应能力强，成为发射北斗导航卫星的“专属列车”．12年间，长征三号系列火箭用38次成功发射的优异表现，将53颗北斗导航卫星送入预定轨道．现假设长征三号系列火箭某8次成功发射共运送11颗相同的北斗导航卫星进入预定轨道，每次发射运送1颗或2颗卫星，则这11颗卫星的不同运送方式共有_________种．16. 在平面直角坐标系xOy中，过动点P作圆A：的一条切线PQ，其中Q为切点，若则的最大值为__________.17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，求C；若，，点D在边AB上，且，求CD的长．18. 如图，在直三棱柱中，，，，M是的中点，求的长；求直线与平面所成角的正弦值．19. 已知数列满足：，N，R.证明：数列是等差数列；是否存在使得数列为等差数列？若存在，求的值及数列的前n项和；否则，请说明理由．20. 某电视台举办“读经典”知识挑战赛，初赛环节，每位选手先从A，B，C三类问题中选择一类．该类题库随机提出一个问题，该选手若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余下两类问题中选择一类继续回答．该类题库随机提出一个问题，该选手若回答正确则取得复赛资格，本轮比赛结束；否则该选手需要回答由最后一类题库随机提出的两个问题，两个问题均回答正确该选手才可取得复赛资格，否则被淘汰．已知选手甲能正确回答A，B两类问题的概率均为，能正确回答C类问题的概率为，每题是否回答正确与回答顺序无关，且各题回答正确与否相互独立．已知选手甲先选择A类问题且回答正确，接下来他等可能地选择B，C中的一类问题继续回答，求他能取得复赛资格的概率；为使取得复赛资格的概率最大，选手甲应如何选择各类问题的回答顺序？请说明理由．21. 已知椭圆C：的右顶点为B，O为坐标原点，D为线段OB的中点，过点D的直线l与椭圆C交于M，N两点，且当直线l与x轴垂直时，求椭圆C的离心率；若，求直线l的斜率．22. 已知函数，R.当时，讨论的单调性；若存在唯一极值点，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查交集运算，属于基础题.化简A，由交集运算即可求解.【解答】解：因为，，则故选：2.【答案】A【解析】【分析】本题考查复数的四则运算以及复数的概念，考查运算求解能力，属于基础题.根据复数的乘法法则计算，结合复数的概念即可求得z的实部.【解答】解：设复数，a，，因为，所以，所以z的实部为0，故选3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了向量垂直的性质，单位向量的概念，属于基础题.依次判断选项中的向量是否与向量垂直且模为1即可.【解答】解：，可知向量与向量垂直，而，模长不为1，故A错误；同理可知向量、与向量垂直，而，，故B正确，C错误；，与向量平行，故D错误.故选4.【答案】C【解析】【分析】本题考查充分必要条件的判断，考查函数的奇偶性，属于中档题.求得函数为奇函数的等价条件，结合充分不必要条件的定义判断即可.【解答】解：函数为奇函数，则，，即，解得，当时，，即为奇函数的充分必要条件是或，是的非充分非必要条件是的非充分非必要条件是的充分不必要条件;则函数为奇函数的一个充分不必要条件是，故选5.【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查双曲线的标准方程和几何性质.把右焦点的坐标分别代入双曲线方程及其渐近线方程中，得到，，结合点A是BF的中点，得到，再根据即可求解渐近线方程.【解答】解：设双曲线的右焦点为，因为过点F且垂直于x轴的直线与双曲线C及其渐近线在第一象限分别交于A，B两点，所以设双曲线的一条渐近线方程为，把右焦点F的坐标分别代入双曲线方程及其渐近线方程中，得到，，又，所以可得点A是BF的中点，所以，即，又，所以，则双曲线C的渐近线方程为故选6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了比较大小，不等式性质和对数函数及其性质，属于基础题.利用对数函数的性质和不等式性质得和，再利用不等式性质得结论.【解答】解：，，因此，即又，，，因此，即，综上所述，故选7.【答案】B【解析】【分析】本题考查离散型随机变量的期望，属于中档题.分别求出进行10合1混检和采用5合1混检每个个体平均检测，即可求出比值.【解答】解：由于一个城市的总人口数很大，而总体阳性率较低，所以我们可以认为阳性个体均匀分布，若进行10合1混检，对任意一个10人组进行检测，总检测次数有两种结果：1次和11次，概率分别为和，故这10人组检测次数的期望为，相当于每个个体平均检测次，同理，采用5合1混检，每个个体平均检测次，故答案选8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查利用导数研究函数的单调性与极值，属于较难题．、利用导数得出当时，，单调递减，当时，，单调递增，，从而故在上单调递增，在上单调递减，即可求解．【解答】解：当时，，，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，，时，当时，故在上单调递增，在上单调递减，时，时，故有两个不等实根只需，故选9.【答案】BCD【解析】【分析】本题主要考查三角函数的图象和性质的应用，考查函数的周期性，考查运算能力．属于基础题.根据函数的周期公式和单调性，对选项加以判断，即可得到在上单调递增，且最小正周期为的函数．【解答】解：对于A，的最小正周期为，由于当时，，故函数在上不单调，故A不正确；对于B，的最小正周期为，且在上单调递增，故B正确．对于C，的最小正周期为，在上单调递增，故C正确；对于D，函数的图像可以看做将正切函数的图象保留x轴及x轴上方部分，将x轴下方部分沿x轴翻折上去，所以最小正周期为，且在上单调递增，故D正确.故选10.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查回归直线方程、相关系数和残差分析，属于基础题.利用回归直线方程、相关系数和残差分析逐个判断即可.【解答】解：回归直线一定过样本中心点，但不一定要过样本点，故A错误，B正确；对于C、因为点都落在直线上，属于完全正相关，故相关系数，正确；对于D、若则相对应于样本的残差为，正确．故选11.【答案】AD【解析】【分析】本题考查数列的函数特征以及数列的递推关系，属较难题；由，两式可判断A，B选项;根据由题知，①，②，③，②-①得，②+③得即可判断C，D选项.【解答】解：取得，故，A正确;取得，又，所以，B错误;由题知，①，②，③，②-①得，②+③得，为定值，题中条件只限制，所以的值不确定，故前10项和无法确定，C错误;前20项中奇数项有10项，相邻两项的和确定，故这10项的和确定，同理10个偶数项的和确定，故前20项和为定值，D正确.故答案选12.【答案】AC【解析】【分析】本题考查空间中直线与直线的位置关系，属于中档题.先确定点P不在这两条异面直线AB与中的任何一条上，取的中点Q，设与AB 交于点E，确定点，，Q，E，P共面，由此分析直线AB与平面仅交于点E，两点确定一条直线，即可判断选项A；利用假设法，即可判断B；由题意可得平面ABCD，显然满足条件的直线唯一，即可判断C；分别平移AB，，使AB与均经过点P，即可判断选项【解答】解：直线AB与是两条互相垂直的异面直线，点P不在这两条异面直线中的任何一条上，如图所示，取的中点Q，则，且，设与AB交于点E，则点，，Q，E，P共面，直线EP必与相交于某点F，由于直线AB与平面仅交于点E，两点确定一条直线，则过点P有且只有一条直线l与AB，都相交，故选项A正确;对于B，若存在一条直线与AB，都平行，则，矛盾，故B错误;对于C，因为，若，则，若，而，且平面ABCD，则平面ABCD，显然满足条件的直线唯一，即，故C正确；对于D，分别平移AB，，使AB与均经过点P，则有两条互相垂直的直线与AB，都成角，故选项D错误;故选13.【答案】e【解析】【分析】本题考查导数的几何意义，属于基础题.设切点坐标，利用导数的几何意义即可求解.【解答】解：设切点，则，，又对于，其导函数为又切线方程的斜率为1，即，，，又a为非零实数，故答案为14.【答案】【解析】【分析】本题考查了两角和与差的余弦公式，属于基础题.根据，利用两角和与差的余弦公式即可得答案.【解答】解：故答案为：15.【答案】56【解析】【分析】本题考查组合问题，属于基础题.转化为从8次选3次运送2颗即可.【解答】解：由题知，有3次运送2颗、有5次运送1颗，而卫星无区别，故只需确定8次中是哪3次运送2颗，共有种情况.故答案为16.【答案】【解析】【分析】本题考查与圆有关的最值问题，属于一般题.先求出点P轨迹是以为圆心、为半径的圆，，再利用即可求解.【解答】解：，设，则，化简得，故点P轨迹是以为圆心、为半径的圆，，的最大值为，故的最大值为故答案为17.【答案】解：根据题意，中，因为，，所以由正弦定理得：，由余弦定理得：，即，又，所以由余弦定理知，，由知，，即【解析】本题考查正、余弦定理、三角形面积公式与同角三角函数关系式，考查逻辑推理能力和运算能力．利用正弦定理将已知等式中的角化边，再结合余弦定理，得解；由余弦定理知，可得，结合，即可解答.18.【答案】解：取中点N，连接MN，AN，则，平面ABC，平面ABC，，又，，BA，平面，平面，故平面，平面，，又，，AM，平面AMN，平面AMN，平面AMN，，故∽，，而，；连接，由知平面，故为直线与平面所成角，，，即所求角的正弦值为【解析】本题考查线面垂直的判定及性质、直线与平面所成角，属中档题.先由线面垂直的判定定理得到平面，故平面，则∽，可得AB的长，则；为直线与平面所成角，求解其正弦值即可.19.【答案】解：，，两式相减得，n 为偶数时，，，，，，数列是首项为，公差为3的等差数列.由题知，，若为等差数列，则，故即，此时，，即对有，故为等差数列，且，【解析】本题考查数列的递推关系式及等差数列的判定以及等差数列的概念与通项公式及前n项和公式，属于中档题.根据递推关系式得出，进而得出是等差数列；由题意求出，再由为等差数列，则，得出，再由求出对有，得出为等差数列，由等差数列的前n项和公式求出20.【答案】解：考虑两种情况：甲接下来选择回答B类问题并取得复赛资格的概率为，甲接下来选择回答C类问题并取得复赛资格的概率为，故所求概率为由于甲回答A，B两类问题的概率相同，故只需考虑ABC、ACB、CAB这三种回答顺序，按ABC顺序回答，取得复赛资格的概率为，按ACB顺序回答，取得复赛资格的概率为，按CAB顺序回答，取得复赛资格的概率为，，故甲按ABC或BAC顺序回答问题取得复赛资格的概率最大.【解析】本题考查了相互独立事件同时发生的概率，是中档题.若选手甲先选择A类问题，分别求出甲接下来选择回答B类或者C类问题并取得复赛资格的概率，相加即可得解；由于甲回答A，B两类问题的概率相同，故只需考虑ABC、ACB、CAB这三种回答顺序，分别求出这三种顺序的概率，比较即可得解.21.【答案】解：由题意可得，点在椭圆上，将点代入椭圆方程得，故，由知，，设，，直线，代入椭圆方程得，由D在椭圆内部知必有，则，，由题知，故①，②，由得，即，故l的斜率为【解析】本题考查椭圆的性质及几何意义和直线与椭圆的位置关系，属于中档题.将点代入椭圆方程得，故，，将直线代入椭圆方程得，由根于系数关系即可求解.22.【答案】解：由题知，，即，令，则，故在和上单调递增，在上单调递减，又，，所以，或，从而或，，在和上单调递增，在上单调递减.由题知，则，即，令，则，或，，即在和上单调递增，在上单调递减，且时，时，在上有唯一零点，记为，当时，，，单调递增，当时，，，单调递减，为的极小值点，由题知有唯一极值点，故在上无极值点，在上，由的单调性可知，的极大值，时，且时，故当时，，在上单调递增，，在上无极值点，当时在和内各存在一个零点，分别记为，，则或时，，，单调递增，时，，单调递减，所以为的极大值点，为的极小值点，不合题意，舍去，综上，即【解析】本题主要考查利用导数判断函数的单调性和利用导数解决函数的极值问题，属于难题.由函数解析式求出导数，构造函数，得出在和上单增，在上单减；分和两种情况判断函数是否存在唯一的极值点，求出a的取值范围。