函数的最大(小)值

第一章 集合号函数概念

1.3 函数的基本性质

1.3.1 单调性与最大（小）值

第2课时 函数的最大（小）值

A 级 基础巩固

一、选择题

1．已知函数f (x )＝2x －1

(x ∈[2，6])，则函数的最大值为( ) A ．0.4 B ．1 C ．2 D ．2.5

解析：因为函数f (x )＝2x －1

在[2，6]上是单调递减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝22－1

＝2. 答案：C

2．函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧2x ＋4，1≤x ≤2，x ＋5，－1≤x <1，则f (x )的最大值、最小值分别为( )

A ．8，4

B ．8，6

C ．6，4

D ．以上都不对

解析：f (x )在[－1，2]上单调递增，所以最大值为f (2)＝8，最小值为f (－1)＝4.

答案：A

3．函数f (x )＝11－x （1－x ）

的最大值是( )

A.54

B.45

C.43

D.34

解析：因为1－x (1－x )＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －122＋34≥34，所以1

1－x （1－x ）≤43

，得f (x )的最大值为43. 答案：C

4．若函数y ＝ax ＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( )

A ．2

B ．－2

C ．2或－2

D ．0 解析：a >0时，由题意得2a ＋1－(a ＋1)＝2，即a ＝2；a <0时，a ＋1－(2a ＋1)＝2，所以a ＝－2，所以，a ＝±2.

答案：C

5．已知f (x )＝x 2－2x ＋3在区间[0，t ]上有最大值3，最小值2，则t 的取值范围是( )

A ．[1，＋∞)

B ．[0，2]

C ．(－∞，2]

D ．[1，2]

解析：因为f (0)＝3，f (1)＝2，函数f (x )图象的对称轴为x ＝1，结合图象可得1≤t ≤2.

答案：D

二、填空题

6．函数f (x )＝x 2－4x ＋2，x ∈[－4，4]的最小值是________，最

大值是________．

解析：f(x)＝(x－2)2－2，作出其在[－4，4]上的图象知f(x)min＝f(2)＝－2；f(x)max＝f(－4)＝34.

答案：－234

7．函数f(x)＝1

x在[1，b](b＞1)上的最小值是

1

4，则b＝________．

解析：因为f(x)＝1

x在[1，b]上是减函数，所以f(x)在[1，b]上的

最小值为f(b)＝1

b＝

1

4，所以b＝4.

答案：4

8．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.

解析：设矩形花园的宽为y，则x

40＝40－y

40，即y＝40－x，矩形

花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20 m 时，面积最大．

答案：20

三、解答题

9．已知函数f(x)＝2

x－1

.

(1)证明：函数在区间(1，＋∞)上为减函数；

(2)求函数在区间[2，4]上的最值．

(1)证明：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1

2x 1－1－2

x 2－1＝2（x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1）

. 由于10，x 1－1>0，x 2－1>0，

则f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，

所以函数f (x )在区间(1，＋∞)上为减函数．

(2)解：由(1)可知，f (x )在区间[2，4]上递减，则f (2)最大，为2，

f (4)最小，为23

. 10．如图所示，动物园要建筑一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍，可供建造围墙的材料总长为30 m ，问每间笼舍的宽度x 为多少时，才能使得每间笼舍面积y 达到最大？每间最大面积为多少？

解：设总长为b ，由题意知b ＝30－3x ，可得y ＝xb ，

即y ＝x (30－3x )＝－(x －5)2＋37.5，x ∈(0，10)．

当x ＝5时，y 取得最大值为37.5，即每间笼舍的宽度为5 m 时，每间笼舍面积最大，最大面积为37.5 m 2.

[B 级 能力提升]

1．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)

分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x (其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )

A ．90万元

．60万元 C ．120万元 ．120.25万元

解析：设公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆，公司

获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －1922＋30＋1924

， 所以当x ＝9或10时，L 最大为120万元．

答案：C

2．函数y ＝－x 2＋6x ＋9在区间[a ，b ](a

解析：y ＝－(x －3)2＋18，因为a

答案：－2 0

3．已知函数f (x )＝ax －1x ，且f (－2)＝－32

. (1)求f (x )的解析式；

(2)判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性并加以证明；

(3)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦

⎥⎤12，2上的最大值和最小值． 解：(1)因为f (－2)＝－32

， 所以－2a ＋12＝－32

，