上海四校自主招生-数学交附卷(高清)

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上海中学自主招生数学试题(含解析)

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【解析】（1）设正五边形 ABCDE ，联结 AC, BE ，且设它们交于点 M ．可以计算得到
ABM ABC 36 ，因此 ABM ACB ，可得 AB2 AM AC ．同时， BMC CBM 72 ，所以 BC MC ．若正五边形边长为 1，则 AB BC CM 1，
设 AC x ，则由 AB2 AM AC 可列方程12 x(x 1) ，解得 x 5 1 （另一负根舍 2
2、设 a b 0 ， a2 b2 4ab ，则 a b
．
ab
【答案】 3 ．
【解析】由条件可得 (a b)2
6ab ，(a b)2
2ab ．因此 (a b)2 (a b)2
6ab 2ab
3．由于 a b 0 ，
a b 0 ，所以 a b 3 ． ab
3、若 x2 x 1 0 ，则 x3 2x2 3
【解析】（1） 0 f 1 f 2 f 3 3 ， f x k 0 有三个实根 x 1, 2, 3 ， f x k x 1 x 2 x 3 ，展开得 c k 6 ，6 c 9 ；（2）方程 f x 10x 0 有三个实根 x 1, 2,3 ，记第 4 个根为 x p ，则 f x 10x x p x 1 x 2 x 3 ， f x x p x 1 x 2 x 3 10x ， f 10 f 6 10 p 9 8 7 100 6 p 7 8 9 60 8104 ．
，解得 3
m n
3 2 3 2
，另一解与
O
重合，舍去．因此 C(3 2
,
3)． 2
7、一张矩形纸片 ABCD ， AD 9 ， AB 12 ，将纸片折叠，使 A 、 C 两点重合，折痕长是
．

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⎨四校自招-数学·交附卷一、填空题1、在△ABC中，设CA=a，CB=b，P是中线AE与中线CF的交点，则BP= 。

（用a,b表示）2、已知a是正实数，则a+2的最小值等于a3、正整数360共有个正因数。

4、小明负责小组里4个同学的作业本的收发，但做事比较马虎。

如果他随机的分发4个同学的本子，那么他把每个同学的本子都发错的概率是5、计算：1=3-226、计算：1+1+ +1=1⨯22⨯32013⨯20147、一卷直径为10厘米的圆柱形无芯卷筒纸是由长为L厘米的纸绕80圈而成，那么L=8、满足方程：4+2=1的正整数有序数对的（m,n）个数为m n9、已知实数x满足2x2-4x=6x2-2x-1，则x2-2x的值为10、直线x-y=1与反比例函数y=k的图像如果恰有一个交点，则该交点必定在第象限。

x11、平面上边长为1的正方形ABCD绕着其中心旋转45︒得到正方形A'B'C'D'，那么这两个正方形重叠部分的面积为12、请在下列表格的9个小方格中分别填入数字1、2、3、4、5、6、7、8、9，使得每行每列，以及两条对角线上的三个数之和相等（只需要填1种答案）13、在前1000个整数1，2，3，…，1000中，数码1共出现了次14、设A(0,-2)，B(4,2)是平面直角坐标系中的两点，P是线段AB垂直平分线上的点，如果点P与点C(1,5)的距离等于22，则点P的坐标为15、方程组⎧217x+314y=2的解为⎩314x+217y=2 16、坐标原点(0,0)关于直线y=x+4翻折后的点的坐标为二、解答题17、已知，在△ABC中，AC=BC=1，∠C=36°，求△ABC的面积S18、已知二次函数y=ax2+bx+c的图像抛物线经过A(-3,0)，B(1,0)两点，M(t,4)是其顶点。

（1）求实数a,b,c的值；（2）设点C(-4,-6)，D(1,-1)，点P在抛物线上且位于x轴上方，求当△CDP的面积达到最大时点P 的坐标。

上海四校自招-数学交附卷解析

a 2 · a 2 3 = 四校自招-数学·交附卷学而思高中部胡晓晨老师υυυρ 1. BP = 1 υυυρ BA + 1 υυυρ BC = 2 υυυρ BC + 1 υυυρCA = a - 2b3 3 3 3 3【高中知识点】向量的分解2. a + 2 ≥ 2 = 2a 【高中知识点】均值不等式3. 360 = 23 ⨯32 ⨯5约数个数为4⨯3⨯ 2 = 244. 所有可能的情况为1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 14322134, 2143, 2314, 2341, 2413, 24313124, 3142, 3214, 3241, 3412, 34214123, 4132, 4213, 4231, 4312, 432193全都发错有9 种可能，因此概率为 24 82 + 5.520136. 2014【高中知识点】裂项求和7. 设纸的厚度为r ，则2⨯80r = 10即 r = 1 16L = 2π (r + 2r + 3r +Λ+ 80r ) = 6480π r = 405π cm【高中知识点】等差数列求和8.(m - 4)(n - 2) = 8= 8⨯1 = 1⨯ 8= 2 ⨯ 4 = 4 ⨯ 2= (-8) ⨯(-1) = (-1) ⨯(-8)= (-4) ⨯(-2) = (-2) ⨯(-4)2依次检验，只有前 3 组符合题意，故(m , n ) 的个数为3 个9. 设 x 2 - 2x = t ，则2t = 6 -1 ，即2t 2 + t - 6 = 0 ，即(t + 2)(2t - 3) = 0 t ∴ t = -2 或 3 2又t = (x -1)2 -1 ≥ -1∴ t = 3210. 四11. 考虑四个角的小直角三角形，每个小直角三角形的斜边上的高为2则面积为( )2 = 2 4因此，重叠的面积为1- 3 - 2 2 =2 2 +1 4 42 9 412. 7 5 36 1 813. 一位数中，1 出现了1次两位数中 1 在十位上出现了10 次，在个位上，出现了9 次这样，前两位数共出现20 次三位数中，1 在百位上共出现了 100 次，十位和个位看成一个整体，共出现了数字 1 有20⨯9 = 180 次最后数 1000 里面出现了 1 有1次一共有20 +100 +180 +1 = 301 次【高中知识点】组合计数14. 线段 AB 垂直平分线的方程为 y = -x + 2因此，设 P (t , -t + 2) ，则 PC 2 = (t -1)2 + (-t + 2 - 5)2= 8即 2t 2 + 4t +10 = 8 ，解得t = -1因此 P (-1,3)【高中知识点】解析几何——直线与圆的方程15. 两式相减，得97x = 97 y ，即 x = y2 -1 2 -13 - 2 2AB 2 - BE 2 5 -58 BA 2⎧x = ⎪ 因此方程的解为⎨ ⎪ y = ⎩ 2531253116. (-4, 4)【高中知识点】解析几何——点关于直线的对称17. 在ςABC 中作∠CAB 的角平分线 AD设 AB = x ，则∠C = 36︒ ， ∠CAB = ∠B = 72︒ ， ∠CAD = ∠BAD = 36︒可得ςBAD ∽ςBCA故 BA= BDBC BA2则 BD = = x BC ∴ CD = CB - BD =1- x 2又∠C = ∠CAD = 36︒ ，故 DA = DC =1- x 2又∠ADB = ∠B = 72︒ ，故 AB = AD ，即 x = 1- x 2∴ x 2 + x -1 = 0解得 x =∴ AB = 5 -1或 - 2 5 -125 -1（舍）2 过 A 作ςABC 的高 AE ，则AE = = x 2 = 3 - 5 2则 AE == = 10 - 2 54则 S = 1 CB ·AE = 10 - 2 5ς ABC2 818.(1)设 f (x ) = a (x + 3)(x -1) ，且 f (-1) = 4解得a = -1∴ f (x ) = -(x + 3)(x -1) = -x 2 - 2x + 3∴ a = -1， b = -2 ， c = 3(2) 依题意，当 S ςCDP 的面积最大时， P 到直线CD 的距离最大x - ( )2 x 222 3 - 5 - (3 - 5 )2 2 4 ⎪2 那么，过点 P 作平行于CD 的直线，必与抛物线相切（否则在平行线的上方，有到比CD 的距离更远的点） C (-4, -6)， D (1, -1) ，则直线CD 的斜率为k =-1- (-6) = 1 1- (-4)设过 P 的直线为 y = x + b ，代入 y = -x 2- 2x + 3 得 x 2 + 3x + (b - 3) = 0∴∆ = 9 - 4(b - 3) = 21- 4b = 0 ∴ b = 214方程即 x 2 + 3x + 9 = 0 ，所以得 x =- 34 2 则 y = - 3 + 21 = 152 4 4∴当 Sς PCD 面积最大时， P 的坐标为 P (- 3 ,15)2 4 【高中知识点】解析几何——直线的方程19. 假设 = p ，其中 p , q 为整数且互质 q则 p = 2q ， p 2 = 2q2 故 p 2 为偶数，则 p 为偶数设 p = 2m ，则(2m )2 = 2q 2 ，得 q 2 = 2m2则 q 2 为偶数，则q 为偶数 p , q 均为偶数，与 p , q 互质矛盾！故不是有理数【高中知识点】反证法【试卷总结与分析】1. 高中知识点分析从设计到的高中知识点来说，交大附中的考察特点是“杂”，基本上都有涉及，无明显的针对性，如向量、均值不等式、反证法、数列求和、解析几何、组合计数等等，而且考察的也比较基础简单（例如数列求和的两道题可归类于小学奥数内容），涉及到的也不深，考试足以通过初中知识或小学奥数知识解决如 17 题，是初中讲过的“黄金三角形”，只要基础好，本题可秒杀19 题，是初中课本的拓展内容的原题，考生只要留心课本的拓展内容即可2. 初高衔接知识点分析2高中知识中，代数与几何所占比重差异巨大，代数大约占到95%，几何大约5%想打好初高衔接基础，建议把精力全部放在代数，这其中又主要以①代数式变换（因式分解、配方、根式与分式的化简计算）②解方程③二次函数的图像与性质为主在本卷中也有所体现，如第5, 8, 9, 10, 15, 18, 19 题，对于代数式变换和二次函数考察的较多，但不太深，只要接触过一点便能解决，建议学生在这方面平时稍加训练即可3.初中知识点分析初中知识以几何为主，本卷中几何考到的较多，如第1, 7, 10, 11, 14, 16, 17 都在考察平面几何知识，有一定难度但不偏不怪，想做对，要牢牢打好初中几何的基础，否则考试时会在这方面吃亏数论知识考察的不多，仅在第3,8 题涉及，而且考察点只有“质因数分解，约数个数”这些很基础的内容，建议考生无需花太大精力，若已有基本的数论知识，可放心应考；若考生完全没有接触过，建议尽快补充知识，否则会在这方面的考题吃亏组合知识在第4, 13 题中考到，两道题都需要用枚举方法解决，但难度不算很低，建议考生在组合知识方面稍加训练以对应考试。

绝对精品上海市答案-四校自招模拟题-数学卷

四校自招针对性训练
学而思高中部胡晓晨老师
Part 1 代数式变换
1.1 因式分解
【1】 x, y 是正整数，满足 1 4 1的数对 (x, y) _________________ xy
【解析】式子即 y 4x xy ，即 xy 4x y 0 ，即 xy 4x y 4 4
1 1 1 1 1 ，故 a 1 abc a
∴1 a 3 ∴a 2 则11 1
bc 2 1 1 1 1 ，故 b 2 2bc b 1 1 1 1 1 2 ，故 b 4 2bc bb b ∴2b 4 ∴b 3 ∴c 6 综上， a 2,b 3,c 6
即 (x 1)( y 4) 4
x, y 是正整数，则 x 1 0 ，则
x 1 4 x 1 2 x 11

y

4

1
或

y

4

2
或

y

4

4
因此， (x, y) (5,5) 或 (3, 6) 或 (2,8)
【2】 x, y 是正整数，且 x y ，则满足 4xy 15(x y) 的数对 (x, y) 有_____________个【解析】 4xy 15x 15y 0 ，即16xy 60x 60y 0 即16x 60x 60y 225 225 即 (4x 15)(4y 15) 225 225 32 52 ，则 225 1 225 375 5 45 9 25 1515 经检验，当 (4x 15, 4y 15) (1, 225) 或 (5, 45) 或 (9, 25) 时， x, y 有正整数解因此满足题意的数对有 3 个

上海市交通大学附属中学(交大附中)2019年-自主招生数学试卷 (PDF版含答案)

2019年交大附中自招数学试卷一、填空题1、求值：cos30sin 45tan 60⋅⋅=.2、反比例函数1y x =与二次函数243y x x =-+-的图像的交点个数为.3、已知210x x --=，则3223x x -+=.4、设方程()()()()()()11111211210x x x x x x ++++++++=的两根为1x ，2x ，则()()1211x x ++=.5、直线y x k =+（0k <）上依次有,,,A B C D 四点，它们分别是直线与x 轴、双曲线k y x=、y 轴的交点，若AB BC CD ==，则k =.6、交大附中文化体行设施齐全，学生既能在教室专心学习，也能在操场开心运动，德智体美劳全面发展，某次体育课，英才班部分学生参加篮球小组、其余学生参加排球小组。

篮球小组中男生比女生多五分之一，排球小组男女生人数相等；一段时间后，有一名男生从篮球小组转到排球小组，一名女生从排球小组转到篮球小组，这样篮球小组的男女生人数相等，排球小组女生人数比男生人数少四分之一，问英才班有人.7、已知,,,a b c n 是互不相等的正整数，且1111a b c n +++也是整数，则n 的最大值是.8、如图，ABCDE 是边长为1的正五边形，则它的内切圆与外接圆所围圆环的面积为.9、若关于x 的方程()()2460x x x m --+=的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m =.10、设ABC 的三边,,a b c 均为正整数，且40a b c ++=，当乘积abc 最大时，ABC 的面积为.11、如图，在直角坐标系中，将AOB 绕原点旋转到OCD ，其中()3,1A -，()4,3B ，点D 在x 轴正半轴上，则点C 的坐标为.二、解答题12、如图，数轴上从左到右依次有,,,A B C D 四个点，它们对应的实数分别为,,,a b c d ，如果存在实数λ,满足：对线段AB 和CD 上的任意M W，其对应的数为x ，实数xλ对应的点N 仍然在线段AB 或CD 上，则称(),,,,a b c d λ为“完美数组”。

2020年上海交大自主招生数学试卷

2020年上海交大自主招生数学试卷一、填空题1．函数f（x）的定义域为（0，1）．若c∈（0，），则函数g（x）＝f（x+c）+f（x﹣c）的定义域为．2．已知方程2x﹣sin x＝1，则下列判断：（1）方程没有正数解（2）方程有无穷多个解（3）方程有一个正数解（4）方程的实根小于1其中错误的判断有．3．小于1000的正整数中，既不是5的倍数也不是7的倍数的整数有个．4．已知边长为a的正三角形ABC，D，E分别在边AB，BC上，满足AD＝BE＝，联结AE，CD，则AE和CD的夹角为．5．△ABC的顶点坐标分别为A（3，4），B（6，0），C（﹣5，﹣2），则角A的平分线所在的直线方程为．6．从2个红球，3个黑球，5个白球中任意取6个球，则有种不同的取法．7．已知y＝ax2+bx+c过A（﹣3，4），B（5，4），则2a+b＝．8．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作直线m交抛物线于A，B两点，若A，B横坐标之和为5，则直线m的条数为．9．用同样大小的正n边形平铺整个平面（没有重叠），若要将平面铺满，则n的值为．10．若三条直线x﹣2y+2＝0，x＝2，x+ky＝0将平面划分成6个部分，则k可能的取值情况是（）A．只有唯一值B．有两个不同的值C．有三个不同的值D．无穷多个值11．非零实数a，b，c，若，，成等差，则下列不等式成立的是（）A．|b|≤|ac|B．|b|≤C．b2≥|ac|D．a2≤b2≤c2 12．若集合M中任意两个元素的和差积商的运算结果都在M中，则称M是封闭集合．下列集合：（1）R（2）Q（3）∁R Q（4）{x|x＝m+n，m，n∈Z}中．封闭集合的个数为．13．方程x（x+1）+1＝y2的正整数解有．14．若a，b＜0，且满足+＝，则＝．15．若四面体的各个顶点到平面α距离都相等，则称平面α为该四面体的中位面，则一个四面体的中位面的个数是．16．设m（a）是函数f（x）＝|x2﹣a|在区间[﹣1，1]上的最大值，则m（a）的最小值为．17．立方体8个顶点任意两个顶点所在的直线中，异面直线共有对．18．空间三条直线a，b，c两两异面，则与三条直线都相交的直线有条．19．用平面截一个单位正方体，若截面是六边形，则此六边形周长最小值为．20．矩形ABCD的边AB＝，过B，D作直线AC的垂线，垂足分别为E，F，且E，F分别为AC的三等分点．沿着AC将矩形翻折，使得二面角B﹣AC﹣D成直角，则BD长度为．21．平面上给定5个点，任意三点不共线．过任意两点作直线，已知任意两条直线既不平行也不垂直．过5点中任意一点向另外4点的连线作垂线，则所有这些垂线的交点（不包括已知的5点）个数至多有个．22．实数a，b满足（a+b）59＝﹣1，（a﹣b）60＝1，则（a n+b n）＝．23．甲乙丙三人的职业分别是A，B，C，乙的年龄比C大，丙的年龄和B不同，B比甲的年龄小，则甲乙丙的职业分别为（）A．ABC B．CAB C．CBA D．BCA24．函数y＝，x∈（﹣，）的最小值是．2020年上海交大自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．函数f（x）的定义域为（0，1）．若c∈（0，），则函数g（x）＝f（x+c）+f（x﹣c）的定义域为　（c，1﹣c）　．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由题意可得，，结合c的范围解不等式可求．【解答】解：由题意可得，，解可得，，因为0＜c＜，所以﹣c＜c＜1﹣c＜1+c，所以c＜x＜1﹣c．故函数的定义域（c，1﹣c），故答案为：（c，1﹣c）【点评】本题主要考查了函数的定义域的求解，属于基础试题．2．已知方程2x﹣sin x＝1，则下列判断：（1）方程没有正数解（2）方程有无穷多个解（3）方程有一个正数解（4）方程的实根小于1其中错误的判断有　1个　．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】在同一直角坐标系内画出函数y＝2x﹣1与y＝sin x的图象，由两函数图象的交点逐一分析四个命题得答案．【解答】解：由2x﹣sin x＝1，得2x﹣1＝sin x，作出函数y＝2x﹣1与y＝sin x的图象如图：当x＝时，sin＝，＜＜＝，可知函数y＝2x﹣1与y＝sin x的图象在（0，1）上一定有一个交点，且唯一，故（1）错误，（3）（4）正确；由图可知，方程有无穷多个解，故（2）正确．∴其中错误的判断有1个．故答案为：1个．【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．3．小于1000的正整数中，既不是5的倍数也不是7的倍数的整数有　686　个．【考点】等差数列的前n项和．【分析】先求出5的倍数有200个，7的倍数有142个，35的倍数有28个，从而可求．【解答】解：因为小于1000的正整数中，5的倍数有1000÷5＝200个，1000÷7＝142…6即7的倍数有142个，因为1000÷35＝28…20即35的倍数有28个，故既不是5的倍数也不是7的倍数的整数有1000﹣（200+142﹣28）＝686个故答案为：686【点评】本题主要考查了等差数列的简单应用，属于基础试题．4．已知边长为a的正三角形ABC，D，E分别在边AB，BC上，满足AD＝BE＝，联结AE，CD，则AE和CD的夹角为　60°　．【考点】两直线的夹角与到角问题．【分析】以BC的中点为坐标原点O，建立直角坐标系xOy，分别求得A，B，C，D，E 的坐标，以及直线AE，CD的斜率，由两直线的夹角公式，计算可得所求值．【解答】解：以BC的中点为坐标原点O，建立直角坐标系xOy，可得A（0，a），B（﹣a，0），C（a，0），由AD＝BE＝，可得E（﹣a，0），又＝，可得D（，a），即为（﹣a，a），则直线AE的斜率为k AE＝＝3，直线CD的斜率为k CD＝＝﹣，可得两直线AE，CD的夹角的正切为||＝，则所求夹角为60°．故答案为：60°．【点评】本题考查两直线的夹角的求法，运用坐标法是解题的关键，考查直线的斜率和两直线的夹角公式，考查化简运算能力，属于中档题．5．△ABC的顶点坐标分别为A（3，4），B（6，0），C（﹣5，﹣2），则角A的平分线所在的直线方程为　7x﹣y﹣17＝0　．【考点】直线的一般式方程与直线的性质．【分析】求出|AB|、|AC|的长，利用定比分点坐标公式求出点T的坐标，即可写出AT所在的直线方程．【解答】解：由A（3，4），B（6，0），C（﹣5，﹣2），所以|AB|＝＝5，|AC|＝＝10，设角A的平分线AT交BC于点T，则点T分BC所成的比为λ＝＝，由定比分点坐标公式，得x T＝＝，y T＝＝﹣；所以点T（，﹣），所以AT所在的直线方程为＝，即7x﹣y﹣17＝0．【点评】本题考查了线段的定比分点和直线方程的应用问题，是中档题．6．从2个红球，3个黑球，5个白球中任意取6个球，则有　11　种不同的取法．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】根据题意，按不同颜色球的数目列举所有的情况，即可得答案．【解答】解：根据题意，从2个红球，3个黑球，5个白球中任意取6个球，有以下情况：1、2个红球，3个黑球，1个白球；2、2个红球，2个黑球，2个白球；3、2个红球，1个黑球，3个白球；4、2个红球，4个白球；5、1个红球，3个黑球，2个白球；6、1个红球，2个黑球，3个白球；7、1个红球，1个黑球，4个白球；8、1个红球，5个白球；9，3个黑球，3个白球；10、2个黑球，4个白球；11、1个黑球，5个白球；共11种情况；故答案为：11．【点评】本题考查分类计数原理的应用，注意分类讨论要做到不重不漏，属于基础题．7．已知y＝ax2+bx+c过A（﹣3，4），B（5，4），则2a+b＝　0　．【考点】二次函数的性质与图象．【分析】由二次函数图象的对称性，可得对称轴方程为x＝1，可解出答案．【解答】解：图象过A，B两点，可知该函数一定是二次函数，对称轴方程为，所以b＝﹣2a，b+2a＝0．故答案为0．【点评】本题考查了二次函数的对称性．8．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作直线m交抛物线于A，B两点，若A，B横坐标之和为5，则直线m的条数为　当p＞5时，直线条数为0条；当p＝5时，直线条数为1条；当p＜5时，直线条数为2条．　．【考点】抛物线的性质．【分析】设直线方程为x＝ty+，联立可得x1+x2＝t（y1+y2）+p＝5，，根据5﹣p的符号判定即可．【解答】解：设直线方程为x＝ty+，联立整理可得y2﹣2pty﹣p2＝0，y1+y2＝2pt，x1+x2＝t（y1+y2）+p＝5，t•2pt+p＝5∴，当p＞5时，直线条数为0条；当p＝5时，直线条数为1条；当p＜5时，直线条数为2条．【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转化思想，属于中档题．9．用同样大小的正n边形平铺整个平面（没有重叠），若要将平面铺满，则n的值为　3，4，6　．【考点】进行简单的合情推理．【分析】设m个正n边形可以铺满平面，得到关于m和n的式子，找到满足条件的正整数解即可．【解答】解：设m个正n边形可以无重叠，无缝隙地平铺平面如图所示，则，化简可得：2（m+n）＝mn，则满足条件的有，，，因此满足条件的n的值为3，4，6，故答案为：3，4，6【点评】本题考查一般推理能力，属于中档偏难题目．10．若三条直线x﹣2y+2＝0，x＝2，x+ky＝0将平面划分成6个部分，则k可能的取值情况是（）A．只有唯一值B．有两个不同的值C．有三个不同的值D．无穷多个值【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；两条直线的交点坐标．【分析】由题意可得其中只有2条直线互相平行，第三条和这2条平行线都相交，再利用两条直线平行的条件求出k的值．【解答】解：若三条直线x﹣2y+2＝0，x＝2，x+ky＝0将平面划分成6个部分，则其中只有2条直线互相平行，第三条和这2条平行线都相交，则k＝﹣2或k＝0，或者三条直线经过同一个点，即x﹣2y+2＝0和x＝2的交点（2，2）在直线x+ky＝0上，此时k＝﹣1．综上，k＝﹣2 或k＝0或k＝﹣1，故选：C．【点评】本题主要考查两条直线平行的条件，两条直线的位置关系，属于基础题．11．非零实数a，b，c，若，，成等差，则下列不等式成立的是（）A．|b|≤|ac|B．|b|≤C．b2≥|ac|D．a2≤b2≤c2【考点】不等关系与不等式；等比数列的通项公式．【分析】由等差数列的性质得2a2c2＝（a2+c2）b2≥2b2|ac|，推导出|b|≤，进而得到≤≤，或，由此能求出结果．【解答】解：∵由题意得+＝，即2a2c2＝（a2+c2）b2≥2b2|ac|，∴b2≤|ac|，∴，即|b|≤，又2b2c2＝（a2+c2）b2．∴，∴≤≤，或，即a2≤b2≤c2，或c2≤b2≤a2．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．若集合M中任意两个元素的和差积商的运算结果都在M中，则称M是封闭集合．下列集合：（1）R（2）Q（3）∁R Q（4）{x|x＝m+n，m，n∈Z}中．封闭集合的个数为　2　．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由题意结合封闭集合的定义逐一考查所给的集合是否满足题中的定义即可确定封闭集合的个数．【解答】解：两个实数的和差积商仍然是实数，故R是一个封闭集合；两个有理数的和差积商仍然是有理数，故Q是一个封闭集合；注意到，而，故∁R Q不是封闭集合；令，注意到，而，故不是封闭集合；综上可得，封闭集合的个数为2．故答案为：2．【点评】本题考查集合中的新定义问题，属于中等题．13．方程x（x+1）+1＝y2的正整数解有　0　．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】由已知等式可得y＞x，y﹣1＜x，进一步得到x＜y＜x+1，由此可得满足该式的正整数y不存在，从而得到方程x（x+1）+1＝y2的正整数解为0个．【解答】解：由x（x+1）+1＝y2，得y2﹣x2＝x+1，∵x为正整数，∴x+1＞1，即y2﹣x2＞1，则y＞x，由x（x+1）+1＝y2，得y2﹣1＝（y﹣1）（y+1）＝x（x+1），∵y+1＞x+1，∴y﹣1＜x，则x＜y＜x+1，满足该式的正整数y不存在，则方程x（x+1）+1＝y2的正整数解为0个．故答案为：0．【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．14．若a，b＜0，且满足+＝，则＝．【考点】有理数指数幂及根式．【分析】推导出a2﹣b2＝ab，整理得（）2﹣﹣1＝0，由此能求出的值．【解答】解：∵a，b＜0，且满足+＝，∴＝，整理得a2﹣b2＝ab，∴＝1，∴（）2﹣﹣1＝0，由a，b＜0，解得＝．故答案为：．【点评】本题考查两数比值的求法，考查指数定义、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．若四面体的各个顶点到平面α距离都相等，则称平面α为该四面体的中位面，则一个四面体的中位面的个数是　7　．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】分3种情况分类讨论即可，①四个顶点均在平面的一侧，②平面的一侧有三个顶点，另一侧有一个顶点，③平面的两侧各有两个顶点．分别求出中位面的个数再相加可得答案．【解答】解：将所考虑的四面体记作ABCD．若四个顶点均在平面的一侧，则这四个顶点必位于一个与平面平行的平面内，不符合条件；只考虑以下两种情形．（i）平面的一侧有三个顶点，另一侧有一个顶点．不妨设点A，B，C在平面的一侧，点D在另一侧，则A，B，C三点所确定的平面必平行与，由点D作平面ABC的垂线DD1，D1为垂足．则中位面必为经过DD1的中点且与DD1垂直的平面（存在且唯一），该中位面平行于平面ABC．这种类型的中位面共有4个．（ii）平面的两侧各有两个顶点，不妨设点A，B在平面α的一侧，点C，D在另一侧，显然，易知，AB与CD为异面直线，中位面必为经过它们公垂线中点且平行于它们的平面（存在且唯一）．由于四面体的6条棱可按异面直线关系分为3组，于是这种类型的中位面共有3个．综上，一个四面体的中位面由7个互不相同的中位面．故答案为：7．【点评】本题考查空间中线面位置关系，考查学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题．16．设m（a）是函数f（x）＝|x2﹣a|在区间[﹣1，1]上的最大值，则m（a）的最小值为．【考点】带绝对值的函数．【分析】由题意可得函数f（x）为偶函数，因此讨论M（a）的值域只需在x∈[0，1]这一范围内进行，结合二次函数的单调性及a的正负及1的大小分类讨论求解M （a）．【解答】解：由题意可得函数f（x）为偶函数，因此讨论M（a）的值域只需在x∈[0，1]这一范围内进行；①当a≤0时，f（x）＝x2﹣a，函数f（x）在[0，1]单调递增，M（a）＝f（1）＝1﹣a≥1．②当1＞a＞0时，函数f（x）在[0，]上单调递减，在[，1]上单调递增，所以f（x）在[0，]内的最大值为M（a）＝f（0）＝a，而f（x）在[，1]上的最大值为M（a）＝f（1）＝1﹣a．若f（1）＞f（0）得，则1﹣a＞a，求得0＜a＜．故当a∈（0，）时，M（a）＝f（1）＝1﹣a＞；若f（1）≤f（0）得，则1﹣a≤a，求得1＞a≥．故当a∈[，1）时，M（a）＝f（0）＝a，③当a≥1时，函数在[0，1]上为减函数，所以M（a）＝f（0）＝a≥1．综上，M（a）＝1﹣a，（当a＜时）；或M（a）＝a，（当a≥时）．所以M（a）在[0，]上为减函数，且在[，1]为增函数，易得M（a）的最小值为M（）＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了偶函数的性质的应用，其实由分析可得M（a）＝f（0）或f （1），所以可直接通过比较f（0）与f（1）的大小得出M（a）的解析式从而求解．17．立方体8个顶点任意两个顶点所在的直线中，异面直线共有　174　对．【考点】异面直线的判定．【分析】求出正方体中不在同一个平面上的4个点的个数，然后求出这4个点中异面直线的对数即可．【解答】解：立方体中有8个顶点，任意两个顶点所构成的直线有：＝28，其中不在同一个平面上的4个点的个数有C84﹣12＝58，4个点中异面直线的对数是：3，所以过正方体任意两个顶点的直线共有28条，其中异面直线有：58×3＝174对．故答案为：174．【点评】本题考查排列组合的知识，结合空间几何体难度比较大，注意不在同一个平面的4点中，能够出现异面直线，是解答本题的关键．18．空间三条直线a，b，c两两异面，则与三条直线都相交的直线有　无穷多条　条．【考点】异面直线的判定．【分析】在a、b、c上取三条线段AB、CC′、A′D′，作一个平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′，在直线A′D′上取一点P，过a、P作一个平面β，平面β与DD′交于Q、与CC′交于R，由面面平行的性质定理，得QR∥a，由点P的任意性，得与a，b，c都相交的直线有无穷多条．【解答】解：在a、b、c上取三条线段AB、CC′、A′D′，作一个平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′，如右图所示在c上，即在直线A′D′上取一点P，过a、P作一个平面β平面β与DD′交于Q、与CC′交于R，则由面面平行的性质定理，得QR∥a，于是PR不与a平行，但PR与a共面．故PR与a相交，得直线PR是与a，b，c都相交的一条直线．根据点P的任意性，得与a，b，c都相交的直线有无穷多条．故答案为：无穷多条．【点评】本题考查满足条件的直线条件的求法，考查空间直角坐标系的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．用平面截一个单位正方体，若截面是六边形，则此六边形周长最小值为　3　．【考点】平面的基本性质及推论．【分析】画出图象，结合图象求出六边形的周长，即可求得此六边形周长最小值．【解答】解：如图示：，则结合对称性可知，六边形的周长最小值是6×＝3，故答案为：3．【点评】本题考查利用平面几何的知识解决立体几何，考查学生的空间想象能力，考查运算求解能力．20．矩形ABCD的边AB＝，过B，D作直线AC的垂线，垂足分别为E，F，且E，F分别为AC的三等分点．沿着AC将矩形翻折，使得二面角B﹣AC﹣D成直角，则BD长度为．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】根据，可以求出EF，再根据勾股定理即可求出BD的长度．【解答】解：设AF＝FE＝EC＝x，则，，解得，故．故答案为：．【点评】本题考查二面角的概念，考查学生空间想象能力和运算能力，属于基础题．21．平面上给定5个点，任意三点不共线．过任意两点作直线，已知任意两条直线既不平行也不垂直．过5点中任意一点向另外4点的连线作垂线，则所有这些垂线的交点（不包括已知的5点）个数至多有　310　个．【考点】进行简单的合情推理．【分析】固定一个点进行研究，然后推广开后用排除法去掉不符合要求的即可．【解答】解：由给定的五个点两两连线共有＝10条，记五个点为A1，A2，A3，A4，A5，则以A1为例进行研究：A2，A3，A4，A5四个点共产生＝6条连线，由A1向6条连线可引出6条垂线，则推广到其他点共可得到6×5＝30条垂线．若每两条垂线均相交，则可得到个交点，易知每一条线段的垂线互相平行且每一条线段共有3条垂线，则应减去30个交点，又A1，A2，A3，A4，A55点共可得到个三角形，三角形的三边垂线交于一点，故要减去20个点，而由A1，A2，A3，A4，A55点中任一点引出的垂线必交于该点，故减去点，则最终有435﹣75﹣20﹣30＝310个点．故答案为310．【点评】本题考查了排列组合和逻辑推理的相关内容，属于难题．22．实数a，b满足（a+b）59＝﹣1，（a﹣b）60＝1，则（a n+b n）＝　0　．【考点】数列的求和．【分析】本题先根据（a+b）59＝﹣1，可得到a+b＝﹣1，以及根据（a﹣b）60＝1，可得a﹣b＝±1，然后列出关于a、b的方程组，解出a、b的值，代入求和表达式，根据等比数列的求和公式即可计算出结果．【解答】解：依题意，由（a+b）59＝﹣1，可知a+b＝﹣1，∵（a﹣b）60＝1，∴a﹣b＝±1，∴，或，解得，或，当时，a n+b n＝（﹣1）n；当时，a n+b n＝（﹣1）n，∴（a n+b n）＝（﹣1）n＝（﹣1）1+（﹣1）2+…+（﹣1）60＝＝0．故答案为：0．【点评】本题主要考查根据多项式求值，以及求和的问题．考查了方程思想，等比数列的求和公式，以及定义法，转化法，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．23．甲乙丙三人的职业分别是A，B，C，乙的年龄比C大，丙的年龄和B不同，B比甲的年龄小，则甲乙丙的职业分别为（）A．ABC B．CAB C．CBA D．BCA【考点】进行简单的合情推理．【分析】由丙的年龄和B不同，B比甲的年龄小，可得乙的职业为B，进而得到甲的职业为A，丙的职业为C．【解答】解：由丙的年龄和B不同，B比甲的年龄小，可知乙的职业为B，进而乙比甲的年龄小，又因为乙的年龄比C大，所以甲的职业不可能为C，从而甲的职业为A，所以丙的职业为C，所以甲乙丙的职业分别为ABC，故选：A．【点评】本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．24．函数y＝，x∈（﹣，）的最小值是　2　．【考点】三角函数的最值．【分析】先利用换元法得到y的表达式，再利用基本不等式求得最值．【解答】解：令t＝sin x+cos x＝sin（x+），x∈（﹣，），则t∈（0，]，2sin x cos x＝t2﹣1，∴y＝＝2t+，t∈（0，]，∴y≥2＝2（当且仅当t＝时取等号）．故答案为：2．【点评】本题主要考查换元法、基本不等式在求函数最值中的应用，属于中档题．。

上海市上海交通大学附属中学等四校联考2024-2025学年高一上学期10月数学试卷

上海市上海交通大学附属中学等四校联考2024-2025学年高一上学期10月数学试卷一、填空题1．已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =则A B ⋂=.2．不等式3102x x +≤-的解集是．3．已知,R b c ∈，关于x 的不等式20x bx c -+<的解集为()3,2-，则b c +=．4．已知方程22430x x +-=的两实根为12,x x ，则12x x -的值为．5．若:||1x m α-<是:04x β<<的充分非必要条件，则实数m 的取值范围是．6．化简：211133221566425a b a b a ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=.（其中0a >，0b >）7．已知,0x y >且31x y +=，则11x y+的最小值为8x 的分式方程3211m x x +=--有正数解，则符合条件的整数m 的和是．9．已知实数a b c >>，且0a b c ++=，则c a 的取值范围是．10．若关于x 的不等式()2220x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为.11．已知a ，b ，c 不全为无理数，则关于三个数a b +，b c +，c a +，下列说法正确的是（把所有正确选项都填上）①可能均为有理数②可能均为无理数③可能恰有一个为有理数④可能恰有两个为有理数12．已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>，若集合{()0,13}A xf x x ==≤≤∣中恰有两个元素，则(2)f a 的取值范围为．二、单选题13．下列结论中错误的有（）A ．若a ，b 为正实数，a b >，则3322a b a b ab +>+B ．若a ，b ，m 为正实数，a b <，则a m ab m b+<+C ．若22a b c c >，则a b >；D ．当0x >时，2xx+的最小值为14．下列问题中，a ，b 是不相等的正数，比较x ，y ，z 的表达式．下列选项正确的是（）问题甲：一个直径a 寸的披萨和一个直径b 寸的披萨，面积和等于两个直径都是x 寸的披萨；问题乙：某人散步，第一圈的速度是a ，第二圈的速度是b ，这两圈的平均速度为y ；问题丙：将一物体放在两臂不等长的天平测量，放左边时右侧砝码质量为a （天平平衡），放右边时左边砝码质量为b （天平平衡），物体的实际质量为z ．A ．x y z >>B ．x z y >>C ．z x y >>D ．z y x>>15．设1237 A A A A 、、、、是均含有2个元素的集合，且171(1,2,3,,6)i i A A A A i +=∅==∅ 、，记1237B A A A A =⋃⋃⋃⋃ ，则B 中元素个数的最小值是（）A ．4B ．5C ．6D ．716．已知集合S 是由某些正整数组成的集合，且满足：若a S ∈，则当且仅当(a m n =+其中,m n S ∈且)m n ≠，或(a p q =+其中*,,,Z p q S p q ∉∈且)p q ≠.现有如下两个命题:①4S ∈；②集合{}35,N x x n n S =+∈⊆.则下列选项中正确的是（）A ．①是真命题，②是真命题；B ．①是真命题，②是假命题C ．①是假命题，②是真命题；D ．①是假命题，②是假命题.三、解答题17．设集合{}260P x x x =--<，{}23Q x a x a =≤≤+.(1)若Q P Q P ≠∅= 且，求实数a 的取值范围；(2)若P Q =∅ ，求实数a 的取值范围.18．已知函数()y f x =满足2()21f x x a x a =-+-+(1)当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；(2)若()4f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．19．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少？(2)为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高价格到x 元，公司拟投入()216006x -万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，试问：该商品明年的销售量a 至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时每件商品的定价．20．已知a b c d ,,,为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解决（3）中的实际问题.（1）请根据基本不等式2a b +≥（,a b R +∈），证明：4a b c d +++≥；（2）请利用（1）的结论，证明：3a b c ++≥（3）如图，将边长为1米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，在这层一个无盖纸盒.如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米？21．对于集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ ，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素(1,2,3,)i a i n = 之后，剩余的所有元素组成集合(1,2,)i A i n = ，并且i A 都能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，i B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.（1）判断集合{}1,2,3,4和{}1,3,5,7,9,11,13是否是“可分集合”(不必写过程)；（2）求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）若集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 是“可分集合”.①证明：n 为奇数；②求集合A 中元素个数的最小值.。

上海四校自招数学试卷

上海市四校自招考试数学试卷时间：120 分钟总分：150 分注意事项：1. 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 11 页。

2. 请将答案书写在答题纸上，用黑色签字笔或圆珠笔书写。

3. 请仔细检查试卷，确认试卷所有页面齐全。

第 I 卷（选择题）一、单项选择题（每题 3 分，共 30 分）1. 下列函数中，奇函数的是（）(A)(B)(C)(D)2. 若，则的值是（）(A)(B)(C)(D)3. 已知集合，，则是（）(A)(B)(C)(D)4. 已知，则的值为（）(A)(B)(C)(D)5. 下列命题中，真命题是（）(A) 三个角的和大于的三角形是钝角三角形(B) 若两个三角形两边分别相等，那么这两个三角形全等(C) 若，则(D) 若，则6. 已知点在圆上，则的最大值为（）(A) 3(B) 4(C) 5(D) 67. 函数的最小值为（）(A) -2(B) -1(C) 0(D) 18. 已知数列，则的值为（）(A) 120(B) 130(C) 140(D) 1509. 下列说法中，正确的是（）(A) 任何一个集合都是有限集(B) 任何一个非空集合都至少有一个元素(C) 两个集合的交集一定包含这两个集合中的所有元素(D) 两个集合的并集一定包含这两个集合中的所有元素10. 已知向量，，则的值为（）(A) -5(B) -3(C) 3(D) 5二、多项选择题（每题 4 分，共 20 分）11. 下列说法中，正确的是（）(A) 是有理数(B) 是无理数(C) 是有理数(D) 是无理数12. 下列函数中，周期为的是（）(A)(B)(C)(D)13. 下列命题中，真命题是（）(A) 若，，则(B) 若，，则(C) 若，，则(D) 若，，则14. 已知点，分别在抛物线上，且的中点为，则的值为（）(A)(B)(C)(D)15. 下列说法中，正确的是（）(A) 线性方程组的解集一定是有限集(B) 线性方程组的解集一定包含整数解(C) 线性方程组的解集一定包含有理数解(D) 线性方程组的解集一定包含实数解第 II 卷（非选择题）一、填空题（每题 5 分，共 25 分）16. 已知为实数，且，则_________.17. 已知三角形的三边长分别为，，，且，则三角形的形状为_________.18. 已知数列的首项为，公差为，则的值为_________.19. 已知函数，则_________.20. 已知直线与圆相切，则_________.二、解答题（共 75 分）21. （15 分）解不等式：22. （10 分）已知函数，求函数的最小值和最大值。

(高清打印版)2019届交大附中初升高自招数学

精品文档，欢迎下载！2019年交大附中自招数学试卷1.求值：cos30sin 45tan 60︒⋅︒⋅︒=2.反比例函数1y x=与二次函数243y x x =-+-的图像的交点个数为3.已知210x x --=，则3223x x -+=4.设方程(1)(11)(11)(21)(1)(21)0x x x x x x ++++++++=的两根为1x 、2x ，则12(1)(1)x x ++的值为5.直线y x k =+（0k <）上依次有A 、B 、C 、D 四点，它们分别是直线与x 轴、双曲线k y x=、y 轴的交点，若AB BC CD ==，则k 的值为6.交大附中文化体育设施齐全，学生既能在教室专心学习，也能在操场开心运动，德智体美劳全面发展，某次体锻课，英才班部分学生参加篮球小组，其余学生参加排球小组，篮球小组中男生比女生多五分之一，排球小组男女生人数相等，一段时间后，有一名男生从篮球小组转到排球小组，一名女生从排球小组转到篮球小组，这样篮球小组的男女生人数相等，排球小组女生人数比男生人数少四分之一，问英才班有多少人？7.已知a 、b 、c 、n 是互不相等的正整数，且1111a b c n+++也是整数，则n 的最大值为8.如图，ABCDE 是边长为1的正五边形，则它的内切圆与外接圆所围圆环的面积为9.若关于x 的方程2(4)(6)0x x x m --+=的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m 的值为10.设△ABC 的三边a 、b 、c 均为正整数，且40a b c ++=，则当乘积abc 最大时，△ABC 的面积为11.如图，在直角坐标系中，将△OAB 绕原点旋转到△OCD ，其中(3,1)A -、(4,3)B ，点D 在x 轴正半轴上，则点C 的坐标为12.如图，数轴上从左到右依次有A 、B 、C 、D 四个点，它们对应的实数分别为a 、b 、c 、d ，如果存在实数λ，满足：对线段AB 和CD 上的任意一点M ，其对应的实数为x ，实数xλ对应的点N 仍然在线段AB 或CD 上，则称(,,,,)a b c d λ为“完美数组“，例如：(1,2,3,6,6)就是一组”完美数组“，已知||1AB =，||5BC =，||4CD =，求此时所有的”完美数组“，写出你的结论和推算过程.参考答案1.42.3个3.24.20035.92- 6.36人7.428.4π9.65910.11.913(,)55-12.(4,3,2,6,12)--，(2,1,8,4,8)---，(2,3,8,12,24)2019年交大附中自招数学试卷（二）1.()S n 为n 的各位数字之和，例(2019)201912S =+++=.（1）当1099n ≤≤时，求()n S n 的最小值；（2）当100999n ≤≤时，求()n S n 的最小值；（3）当10009999n ≤≤时，求()n S n 的最小值.2.（1）如图，2AB =，1BC =，3CD =，M 为以BD 为直径的圆上任意一点，求证：AM MC为定值.（2）尺规作图：以上图结论画出点P ，使::1:1:2PA PB PC =，保留作图痕迹并写出步骤.。

自招上海自主招生数学试题

B． 30 A 45
C． 45 A 60
D． 60 A 90
3
8. 观察右图，根据规律，从 0
3→4
7→8
11 → …
↓
↑
↓
↑
↓
↑
…
2002 到 2004，箭头方向 1 → 2
2
2004 年交大附中自主招生数学试题及答案
（本试卷满分 100 分，90 分钟完成）
一、单项选择题：（本大题满分 30 分）本大题共有 10 个小题，每小题给出了代号为 A 、B 、
C 、 D 四个答案，其中有且只有一个答案是正确的．请把正确答案的代号写在题后的
圆括号内．每小题选对得 3 分；不选、错选或选出的代表字母超过一个（不论是否写在
2011-2015 年上海初中自主招生数学
试题及答案
1
目录
2004 年交大附中自主招生数学试题及答案................................................................................... 3 2011 年华师二附自主招生数学试题及答案................................................................................... 7 2011 年上海中学自主招生数学试题及答案（部分）................................................................... 9 2012 年复旦附中自主招生数学试题及答案................................................................................. 11 2013 年复旦附中自主招生数学试题及答案（部分）................................................................. 13 2013 年华二附中自主招生数学试题与答案（部分）................................................................. 14 2013 年交大附中自主招生数学试题及答案（部分）................................................................. 16 2013 年上海中学自主招生数学试题及答案................................................................................. 17 2014 年交大附中自主招生数学试题及答案................................................................................. 20 2014 年进才中学自主招生数学试题及答案................................................................................. 23 2014 年上海中学自主招生数学试题及答案................................................................................. 25 2014 年复旦附中自主招生数学试题及答案................................................................................. 27 2014 年华师二附自主招生数学试题............................................................................................. 29 2014 年华中一附自主招生数学试题............................................................................................. 33 2015 年复旦附中自主招生数学试题............................................................................................. 37 2015 年华师一附自主招生数学试题及答案................................................................................. 39

2018-2020年上海四校自招数学试卷汇编版(含答案)--共9套

2018-2020年上海四校自招数学试卷汇编版（含答案）--共9套目录2018交附自招数学答案2018上中自招数学2018上中自招数学答案2019复附自招数学答案2019交附自招数学2020上中、交附、七宝自招上海中学自招试题上海中学自招真题解析2018上海市上海中学自招部分真题1、因式分解：6x3-11x2+x+4=【答案】(x-1)(3x-4)(2x+1)【解析】试根法易得x=1时，上式值为0.利用长除法可得原式=(x-1)(6x2-5x-4)=(x-1)(3x-4)(2x+1)2、设a>b>0，a2+b2=4ab，则a+b=a-b【答案】3【解析】令a+b=x，a-b=y则x>y>0a2+b2=4aba2+b2-2ab=2aby2=1(x2-y2)2x2=3y2xa+b=3=3即y a-b3、若x2+x-1=0，则x3+2x2+3=【答案】4【解析】降次法x2=1-x所以原式=x(1-x)+2(1-x)+3=x-x2+2-2x+3=-x-(1-x)+5=4(,34、已知1(b -c )2=(a -b )(c -a )，且a ≠0，则b +c =4a【答案】2【解析】1(b -c )2=(a -b )(c -a )4(c -b )2=4(a -b )(c -a )⎡⎣(c -a )+(a -b )⎤⎦2=4(c -a )(a -b )⎡⎣(c -a )-(a -b )⎤⎦2=0所以c -a =a -bb +c =2a 即b +c=2a5、一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是【答案】49【解析】P =2⨯2=43396,、直线l ：y =-3x +与x 、y 轴交于点A 、B ，△AOB 关于直线AB 对称得到△ACB ，则点C 的坐标是【答案】33)22【解析】如右图所示易得∠CAD =∠BAO =60︒过C 作CD ⊥x 轴于点D 在△ACD 中AC =1易解得AD =1，CD =3223C (,)223即7、一张矩形纸片ABCD，AD=9，AB=12，将纸片折叠，使A、C两点重合，折痕的长是【答案】45 4【解析】如右图所示易得AC=所以OC=152=15△C△OF∽ABC所以OF=OC解得OF=45即EF=45 AB BC848、任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即n），如果n是奇2数，则将它乘以3再加1（即3n+1），不断重复这样的运算，现在请你研究：如果对于正整数n（首项）按照上述规则实施变换（注：1可以多次出现）后的第八项为1，则n所有可能取值为【答案】128/2/16/20/3/21【解析】92+12212418 12451081632642 163 20 21 1289、正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米，联结AC 、CE 、EA 、BD 、DF 、FB ，求阴影部分小正六边形的面积【答案】2【解析】将小六边形的相对顶点联结后易得：小正六边形的面积是大正六边形面积的13即面积为210、已知y 1=2x 2+(4-m )x +(4-m )与y =mx 在x 取任意实数时，至少有一个是正数，则m 的取值范围为【答案】m <4【解析】（1）当0<m 时，0<x ，y 2=mx >0，且x ≤0时，y 2≤0∴x ≤0时y 1>0∴y 1x =0>0故4-m >0∴m -4<04则∆<0解得-4<m <4∴0<m <4（2）当m <0时，同理解得m <0（3）当m =0时，y 1>0恒成立综上所述，m <411、已知a 、b 、c 是互不相等的实数，x 是任意实数，(x -a )2(x -b )2(x -c )2化简：++=(a -b )(a -c )(c -b )(a -b )(c -a )(c -b )【答案】1-(x -a )2(b -c )-(x -b )2(c -a )-(x -c )2(a -b )=(a -b )(b -c )(c -a )【解析】原式=(a -b )(b -c )(c -a )(a -b )(b -c )(c -a )=1212、已知实数a 、b 满足a 2+ab +b 2=1，t =ab -a 2-b 2，-⎩1则t 的取值范围是【答案】-3≤t ≤-13【解析】由a 2+b 2≥2ab ，a 2+b 2≥-2ab得⎧1-ab ≥2ab 解得-1≤ab ≤1⎨ab ≥-2ab 3t =ab -(1-ab )=2ab -1所以-3≤t ≤-1313、（1）求边长是1的正五边形的对角线长（2）求sin18︒【答案】（1）5+1（2）5-122【解析】（1）正五边形的一个内角大小为：(5-2)⨯180︒÷5=108︒所以△ABE 和△ACD 是黄金三角形在△ABE 中AE =BE 5-1其中AE =1解得BE =25+12（2）在△ACD 中过A 作AF 垂直CD 于点F易得∠FAD =18︒1所以sin18︒=FD =2=5-1AD5+122x y -1⎩14、（1）f (x )=x 3+ax 2+bx +c ，0<f (-1)=f (-2)=f (-3)<3，求c 的取值范围（2）f (x )=x 4+ax 3+bx 2+cx +d ，f (1)=10，f (2)=20，f (3)=30，求f (10)+f (-6)【答案】（1）6<c ≤9（2）8104【解析】（1）令f (-1)=f (-2)=f (-3)=k ，g (x )=f (x )=k ，0<k ≤3则g (x )=(x +1)(x +2)(x +3)所以f (x )=g (x )+k =x 3+6x 2+11x +6+k 故c =6+k ，又0<k <3所以6<c ≤9（2）f (1)=10，f (2)=20，f (3)=30令g (x )=f (x )-10x =x 4+ax 3+bx 2+(c -10)x +d则有g (1)=g (2)=g (3)=0令g (x )=0的第四个根是m 则g (x )=(x -1)(x -2)(x -3)(x -m )所以g (10)+g (-6)=9⨯8⨯7⨯(10-m )+(-7)⨯(-8)⨯(-9)(-6-m )=8064即f (10)+f (-6)=g (10)+g (-6)+40=810415、我们学过直线与圆的位置关系，根据材料完成问题（1）（2）背景知识：平面α：Ax +By +Cz +d =0；球：(x -a )2+(y -b )2+(z -c )2=R 2；点(a ,b ,c )到平面α的距离公式：d =球心到平面的距离为d ，当d <R 时，球与平面相交，当d =R 时，球与平面相切，当d >R 时，球与平面相离；问题（1）：若实数m 、n 、k 满足m +n +k =1，求m 2+n 2+k 2的最小值；问题（2）：解方程++=1(x +y +z )2⎧x =1【答案】（1）1（2）⎪y =2⎨3⎪z =3【解析】（1）设点(m ,n ,k )则该点在平面x +y +z =1上而所求m 2+n 2+k 2即为该点到原点距离的平方Aa +Bb +Cc +D A 2+B 2+C 2z -212+12+12y -1z -2x y -1x ⎨⎨原点到平面x +y +z =1的距离为：d =1=33⎛3⎫21所以(m 2+n 2+k 2)= ⎪=（2）配方法min⎝3⎭3++=1(x +y +z )2x +y +z -(2+2+2z -2)=0(-1)2+(⎧x =1-1)2+(⎧x =1-1)2=0⎪y -1=1解得⎪y =2⎪⎪z =3⎪z -2=1⎩x y -1z -2则交大附中自主招生试卷2018.03第一部分 1. 已知13x x +=-，求3311000x x++. 2. 11(1)x x x tx x x x +++=++有增根，求所有可能的t 之和.3. AB ∥CD ，15AB =，10CD =，3AD =，4CB =，求ABCD S .4. 346y x x =-+，若a x b ≤≤时，其中x 的最小值为a ，最大值为b ，求a b +.5. 22(2)y x m =-+，若抛物线与x 轴交点与顶点组成正三角形，求m 的值.6. DE 为»BC的切线，正方形ABCD 边长为200，»BC 以BC 为直径的半圆，求DE 的长.7. 在直角坐标系中，正ABC ∆，(2,0)B ，9(,0)2C 过点O 作直线DMN ，OM MN =，求M 的横坐标.8. 四圆相切⊙B 与⊙C 半径相同，⊙A 过⊙D 圆心，⊙A 的半径为9，求⊙B 的半径.9. 横纵坐标均为整数的点为整点，（12m a <<），y mx a =+（1100x ≤≤），不经过整点，求a 可取到的最大值.10. G 为重心，DE 过重心，1ABC S ∆=，求ADE S ∆的最值，并证明结论.第二部分（科学素养）1. 已知直角三角形三边长为整数，有一条边长为85，求另两边长（写出10组）.2. 阅读材料，根据凸函数的定义和性质解三道小题，其中第（3）小题为不等式证明 1212[(1)]()1()f bx b x bf x bf x ++<+-（1）14b =；（2）13b =.（注：选（1）做对得10分，选（2）做对得20分）3. 请用最优美的语言赞美仰晖班（80字左右）（17分）4. 附加题（25分）（2 points ） solve the following system of equations for 2122.2221w x y z w x y z w w x y z w x y z +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩（4 points ）Compute 98∞（6 points ）Solve the equation 1=.Express your answer as a reduced fraction with the numerator written in their prime factorization.The gauss function []x denotes the greatest less than or equal to xA ）（3 points ）Compute 2018!2015!2017!2016!+⎡⎤⎢⎥+⎣⎦B ）（4points ）Let real numbers 12,,,n x x x ⋅⋅⋅ be the solutions of the equation 23[]40x x --=，find the value of 22212n x x x ++⋅⋅⋅+ C ）（6 points ）Find all ordered triples (,,)a b c of positive real that satisfy ：[]3a bc =，[]4a b c =，and []5ab c =上海中学自主招生试卷2018.031.因式分解：326114x x x -++=2.设0a b >>，224a b ab +=，则a b a b+=-3.若210x x +-=，则3223x x ++=4.已知21()()()4b c a b c a -=--，且0a ≠，则b c a +=5.一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是6.直线:l y =+x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ∆关于直线AB 对称得到ACB ∆，则点C 的坐标是7.一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是8.任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2n ），如果n 是奇数，则将它乘以3加1（即31n +），不断重复这样的运算，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换（注：1可以多次出现）后的第八项为1，则n 所有可能取值为9.正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米，联结AC 、CE 、EA 、BD 、DF 、FB ，求阴影部分小正六边形的面积为10.已知212(4)(4)y x m x m =+-+-与2y mx =在x 取任意实数时，至少有一个是正数，则m 的取值范围为11.已知a 、b 、c 是互不相等的实数，x 是任意实数，化简：222()()()()()()()()()x a x b x c a b a c c b a b c a c b ---++=------12.已知实数a 、b 满足221a ab b ++=，22t ab a b =--，则t 的取值范围是13.（1）求边长为1的正五边形对角线长；（2）求sin18︒.14.（1）32()f x x ax bx c =+++，0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤，求c 的取值范围；（2）432()f x x ax bx cx d =++++，(1)10f =，(2)20f =，(3)30f =，求(10)(6)f f +-.15.我们学过直线与圆的位置关系，根据材料完成问题（1）（2）类似给出背景知识：平面:0Ax By Cz d α+++=；球：2222()()()x a y b z c R -+-+-=；点(,,)a b c 到平面:0Ax By Cz d α+++=的距离公式：d =；球心到平面的距离为d ，当d R <时，球与平面相交，当d R =时，球与平面相切，当d R >时，球与平面相离；问题（1）：若实数m 、n 、k 满足1m n k ++=，求222m n k ++的最小值；问题（21()2x y z +=++.参考答案1.(1)(34)(21)x x x --+2. 3.4 4.2 5.49 6.33(,227.4548.128、2、16、20、3、219.22cm 10.4m <11.112.133t -≤≤-13.（112+；（2）14-14.（1）69c <≤；（2）810415.（1）13；（2）123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩上海中学自主招生试题1、因式分解：326114x x x -++= ．【答案】()()()13421x x x --+．【解析】容易发现1x =是方程3261140x x x -++=的解，因此原式可以提出因式(1)x -，得到2(1)(654)x x x ---，对2(654)x x --用十字相乘可以得到原式等于(1)(34)(21)x x x --+．2、设0a b >>，224a b ab +=，则a b a b +=- ．【解析】由条件可得2()6a b ab +=，2()2a b ab -=．因此22()63()2a b ab a b ab +==-．由于0a b +>，0a b ->，所以a b a b+=- 3、若210x x +-=，则3223x x ++=．【答案】4．【解析】对多项式用带余除法可得32223(1)(1)4x x x x x ++=+-++，而由条件2(1)(1)0x x x +-+=，因此原式的值等于4．4、已知()()()24b c a b c a -=--，且0a ≠，则b c a+=_________．【答案】2．【解析】令a b m -=，c a n -=，则c b m n -=+，代入()()()24b c a b c a -=--中得()24m n mn +=，()20m n ∴-=，m n ∴=，即a b c a -=-，即2a b c =+，2b c a+∴=． 5、一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是．【答案】49．【解析】第一次取出红球的概率为23，且无论第一次取出什么球，第二次取出红球的概率仍为23，因此两次都是红球的概率是224339⨯=． 6、直线:l y =与x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ∆关于直线AB 对称得到ACB ∆，则点C 的坐标是．【答案】32⎛ ⎝⎭．【解析】根据函数解析式可以算出A 、B 的坐标分别为(1,0)A，B ．由于ACB 是AOB 关于直线AB 对称得到的，所以AC AO =，BC BO =．设(,)C m n，则可列方程组2222(1)1(3m n m n ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，解得32m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩O重合，舍去．因此3(2C ．7、一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是．【答案】454．【解析】由题意知折痕是线段AC 的中垂线，设它与AB ,CD 分别交于,M N ．设MB x =，则由MC MA =可列方程2229(12)x x +=-，解得218x =．同理有218DN =．作ME CD ⊥，垂足为E ，则四边形MECB 是矩形，因此9ME BC ==，218CE BM ==．可知274NE CD DN CE =--=．而454MN ==．因此折痕长为454． 8、任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半——得到2n ，如果n 是奇数，则将它乘以3加1——得到31n +，不断重复这样的运算，如果对正整数n （视为首项）按照上述规则实施变换后（有些书可能多次出现）的第8项为1，则n 的所有可能取值为________．【答案】128，21，20，3，16，2．【解析】设某一项为k ，则它的前一项应该为2k 或者13k -．其中13k -必为奇数，即()4mod 6k ≡，按照上述方法从1开始反向操作7次即可．9、正六边形ABCDED 的面积是6平方厘米，联结AC 、CE 、EA 、BD 、DF 、FB ，求阴影部分小正六边形的面积为．【答案】22cm ．【解析】右图中，阴影部分是正六边形，且与正六边形 ABCDEF的相似比为1:3．因为 ABCDEF 的面积是26cm ，所以阴影部分的面积为2632()cm ÷=．10、已知()()21244y x m x m =+-+-与2y mx =在x 取任意实数时，1y ，2y 至少有一个是正数，m 的取值范围是________．【答案】4m <．【解析】取0x =，则14y m =-，20y =，40m ∴->，4m <，此时函数1y 的对称轴404m x -=-<，则对任意0x ≥总有10y >，只需考虑0x <；若04m ≤<，此时20y ≤，则对任意0x <，有10y >，()()24840m m ∴∆=---<，解得04m ≤<；若0m <，此时20y >对0x <恒成立；综上，4m <．11、已知a ，b ，c 是互不相等的实数，x 是任意实数，化简：()()()()()()()()()222x a x b x c a b a c c b a b c a c b ---++=------________．【答案】1．【解析】令()()()()()()()()()()2222x a x b x c f x mx nx k a b a c c b a b c a c b ---=++=++------， ()()()1f a f b f c ∴===，即222111ma na k mb nb k mc nc k ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，01m n k ==⎧∴⎨=⎩ ，即()1f x ≡．12、已知实数a ，b 满足221a ab b ++=，22t ab a b =--，则t 的取值范围是________．【答案】133t -≤≤-．【解析】方法一：考虑基本不等式222a b ab +≥．则2212a b ab ab +=-≥，则113ab -≤≤，又2221t ab a b ab =--=-，133t ∴-≤≤-，其中1a =，1b =-时，3t =-成立；a b ==时，13t =-成立．方法二：逆用韦达定理．12t ab +=，()2302t a b ++=≥，3t ∴≥-，a b +=，故a ,b 是方程2102t x ++=的两个根， 314022t t ++∴∆=-⨯≥，解得13t ≤-， 133t ∴-≤≤-．13、（1）求边长为1的正五边形对角线长；（2）求sin18︒．【答案】（1（2．【解析】（1）设正五边形ABCDE ，联结,AC BE ，且设它们交于点M ．可以计算得到36ABM ABC ∠=∠=︒，因此ABM ACB ，可得2AB AM AC =⋅．同时，72BMC CBM ∠=∠=︒，所以BC MC =．若正五边形边长为1，则1AB BC CM ===，设AC x =，则由2AB AM AC =⋅可列方程21(1)x x =-，解得x去）．（2）根据诱导公式，sin18cos72︒=︒．在（1）的五边形中，BM AM AC CM ==-=．作CH BM ⊥，垂足为H ，则等腰三角形BMC 中12BH HM BM ===72CBM ∠=︒，所以sin18cos72BH BC ︒=︒==．14、（1）()32f x x ax bx c =+++，()()()01233f f f <-=-=-≤，求c 的取值范围；（2）()432f x x ax bx cx d =++++，()110f =，()220f =，()330f =，求()()106f f +-．【答案】（1）69c <≤ ；（2）8104．【解析】（1）()()()01233f f f <-=-=-≤， ()0f x k ∴-=有三个实根1,2,3x =---，()()()()123f x k x x x ∴-=+++，展开得6c k =+，69c ∴<≤；（2）方程()100f x x -=有三个实根1,2,3x =，记第4个根为x p =，则()()()()()10123f x x x p x x x -=----，()()()()()12310f x x p x x x x ∴=----+，()()()()()()()106109871006789608104f f p p ∴+-=-⨯⨯⨯++--⨯-⨯-⨯--=．15、我们学过直线与圆的位置关系，根据材料完成问题（1）（2）类似给出背景知识：平面:0Ax By Cz D α+++=；球：()()()2222x a y b z c R -+-+-=；点(),,a b c 到平面:0Ax By Cz D α+++=的距离公式：d =；球心到平面的距离为d ，当d R <时，球与平面相交，当d R =时，球与平面相切，当d R>时，球与平面相离；问题（1）：若实数m 、n 、k 满足1m n k ++=，求222m n k ++的最小值；问题（2）()12x y z =++．【答案】（1）13；（2）123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．【解析】（1）条件可转化为点(,,)m n k 在平面10x y z ++-=上，而222m n k ++的最小值即该点到原点距离平方的最小值．这个距离最小为原点到平面10x y z ++-=的距离，而原点到平面的距离可由材料公式计算得到：3d ==，因此222m n k ++的最小值为213d =，等号在13m n k ===时取到．（2）移项后配方可以得到2221111)1)1)0222-+-+=，因此必有101010-==-=，于是解得123xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩．上海中学自招试题1、因式分解：326114x x x -++=．2、设0a b >>，224a b ab +=，则a b a b +=- ．3、若210x x +-=，则3223x x ++=．4、已知()()()24b c a b c a -=--，且0a ≠，则b c a +=_________．5、一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是．6、直线:l y =+与x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ∆关于直线AB 对称得到ACB ∆，则点C 的坐标是．7、一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是．8、任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半——得到2n ，如果n 是奇数，则将它乘以3加1——得到31n +，不断重复这样的运算，如果对正整数n （视为首项）按照上述规则实施变换后（有些书可能多次出现）的第8项为1，则n 的所有可能取值为________．9、正六边形ABCDED 的面积是6平方厘米，联结AC 、CE 、EA 、BD 、DF 、FB ，求阴影部分小正六边形的面积为．10、已知()()21244y x m x m =+-+-与2y mx =在x 1y ，2y 至少有一个是正数，m 的取值范围是________．11、已知a ，b ，c 是互不相等的实数，x 是任意实数，化简：()()()()()()()()()222x a x b x c a b a c c b a b c a c b ---++=------________．12、已知实数a ，b 满足221a ab b ++=，22t ab a b =--，则t 的取值范围是________．13、（1）求边长为1的正五边形对角线长；（2）求sin18︒．14、（1）()32f x x ax bx c =+++，()()()01233f f f <-=-=-≤，求c 的取值范围；（2）()432f x x ax bx cx d =++++，()110f =，()220f =，()330f =，求()()106f f +-．15、我们学过直线与圆的位置关系，根据材料完成问题（1）（2）类似给出背景知识：平面:0Ax By Cz D α+++=；球：()()()2222x a y b z c R -+-+-=；点(),,a b c 到平面:0Ax By Cz D α+++=的距离公式：d =；球心到平面的距离为d ，当d R <时，球与平面相交，当d R =时，球与平面相切，当d R>时，球与平面相离；问题（1）：若实数m 、n 、k 满足1m n k ++=，求222m n k ++的最小值；问题（2）()12x y z =++．2019年交大附中自招数学试卷一、填空题1、求值：cos30sin 45tan 60⋅⋅=.2、反比例函数1y x =与二次函数243y x x =-+-的图像的交点个数为.3、已知210x x --=，则3223x x -+=.4、设方程()()()()()()11111211210x x x x x x ++++++++=的两根为1x ，2x ，则()()1211x x ++=.5、直线y x k =+（0k <）上依次有,,,A B C D 四点，它们分别是直线与x 轴、双曲线k y x=、y 轴的交点，若AB BC CD ==，则k =.6、交大附中文化体行设施齐全，学生既能在教室专心学习，也能在操场开心运动，德智体美劳全面发展，某次体育课，英才班部分学生参加篮球小组、其余学生参加排球小组。

上海四校八大数学自招试题二

1. 在1~1000中，数字“1”有个2. 方程组21731423142172x y x y +=⎧⎨+=⎩的解为3. 在3×3的方格中填上1~9，使行、列、对角线上各数和均相等4.=5. 计算：111112233420132014+++⋅⋅⋅+=⨯⨯⨯⨯ 6. 直径为10cm 的圆柱体，长l cm 的纸片，可以绕圆柱体缠绕80圈，求l .（不计纸的厚度） 7. 360的正因数有个8. 已知0a >，则1a a +的最小值为 9. 已知：2262412x x x x-=--，则22x x -=10. 4本不同的书发给4个人，每个人都有的概率为 11. 如图，在ABC 中，D 、E 分别为AC 、AB 的中点，AB a =，AC b =，则PB =12. .13. 在ABC 中，1AC BC ==，36C ︒∠=，求面积ABCS.14. 2y ax bx c =++过(3,0)A -、(1,0)B ，顶点(,4)M t . （1）求a 、b 、c 的值；（2）若(4,6)C --、(1,1)D -，P 在抛物线上位于x 轴上方，当CDP S 最大时，求P 点坐标.参考答案1. 2722. 2531x y == 3. 5在中间，24为肩，答案不唯一 4. 5+5. 201320146. 800π7. 248. 29. 32 10. 33211.2133a b - 12. 略 13.14.（1）223y x x =--+；（2）315(,)24P -.一. 填空题1. A 的算术平方根为B ，则A B +=2. 设x 、y 为实数，则代数式22245425x xy y x y ++-++的最小值为3. 方程：3456x x x x ++=的解有个4. 已知两质数p 、q 之和为2019，则1(1)q p --（p q >）的值为5. 在直角三角形ABC 中，CD 、CE 分别是斜边AB 上的高、中线，BC a =，3AC =（3a >），若1tan 3DCE ∠=，则 a =6. 在平面直角坐标系内，已知四个定点(3,0)A -，(1,1)B -，(0,3)C ，(1,3)D -及一个动点P ，则||||||||PA PB PC PD +++的最小值为7. 已知函数22()2(2)f x x a x a =-++，22()2(2)8g x x a x a =-+--+，设1()max{(),()}H x f x g x =，2()min{(),()}H x f x g x =，max{,}p q 表示p 、q 中的较大值，min{,}p q 表示p 、q 中的较小值，记1()H x 的最小值为A ，2()H x 的最大值为B ，则A B -= 8. 不等式2(1)(43)0x x x +-+>有多重解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出11y x =+和2243y x x =-+的图像然后进行求解，请类比求解以下问题：设a 、b 为整数，若对任意0x ≤，都有2(2)(2)0ax x b ++≤成立，则a b +=二. 解答题9. 已知关于x 的方程248320x nx n ---=①和22(3)220x n x n -+-+=②，问是否存在这样的n 值，使方程①的两个实数根的差的平方等于方程②的一整数根？若存在，求出这样的n 值，若不存在，请说明理由.10. 对于数对序列11(,)P a b ，22(,)a b ，⋅⋅⋅，(,)n n a b ，记111()T P a b =+，112()max{(),}k k k k T P b T P a a a -=+++⋅⋅⋅+（2k n ≤≤），其中112max{(),}k k T P a a a -++⋅⋅⋅+表示1()k T P -和12k a a a ++⋅⋅⋅+两个数中最大的数.（1）对于数对序列:(2,5)P ，(4,1)，求1()T P 、2()T P 的值；（2）记m 为a 、b 、c 、d 四个数中最小值的数，对于由两个数对(,)a b 、(,)c d 组成的数对序列:(,)P a b ，(,)c d 和:(,)P c d '，(,)a b ，试分别对m a =和m d =时两种情况比较2()T P 和2()T P '的大小.参考答案一. 填空题1. 2. 0 3. 1 4. 20165. 36. +7. 12-8. 3二. 解答题 9. 0n =.10.（1）1()7T P =，2()8T P =；（2）22()()T P T P '≤.2016年复旦附中自招数学试卷1. 已知a b cx b c a c a b===+++，则x = 2. 已知函数22(5)3y x a x =-+-+(23)b x b ≤≤+图像关于y 轴对称，则a b += 3. 已知函数2(2)2(1)y k x kx k =--++的图像与x 轴只有一个交点，则k =4. 在同一个直角坐标系中，已知直线y kx =与函数28,32,3324,3x x y x x x -≥⎧⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩图像恰好有三个公共点，则k 的取值范围是5. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD AB >，设E 、F 分别是AC 、BD 的中点，AC 与 BD 交于点O ，已知OEF 是边长为1的正三角形，BOC，则梯形ABCD 的面积为6. 已知矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，若在边BC 上存在点Q ，满足AQ ⊥QD ，则a 的取值范围是7. 已知锐角三角形ABC 的三边长恰为三个连续正整数，AB BC CA >>，若BC 边上的高为AD ，则BD DC -=8. 已知实数m 、n （其中1mn ≠）分别满足：2199910m m ++=，299190n n ++=，则41mn m n++=9. 若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三边长，则m 的取值范围是10. 如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B '处，当CEB '为直角三角形时，BE 的长为11. 如图，OA 、OD 是圆O 的半径，延长OA 至B ，使OA AB =，C 是OA 的中点，∠AOD为锐角α，连接CD 、BD ，且CD a =，则BD =12. 已知直角三角形的三边长都是整数，且其面积与周长在数值上相等，若将全等的三角形都作为同一个，那么这样的直角三角形的个数是13. 设n （10n ≥）个机场，每一机场起飞一架飞机，飞到离起飞机场最近的机场降落，且任何两机场之间的距离都不相等，则任意一个机场降落的飞机架数的最大值为 14. 关于x 的方程22(21)20x m x m m --++=的两个根分别为1x 、2x . （1）若12||x x -=m 的值；（2）若1x 、2x 均为整数，求m 的值.15. 如图，ABC 中，5AB BC ==，6AC =，过点A 作AD ∥BC ，点P 、Q 分别是射线AD 、线段BA 上的动点，且AP BQ =，过点P 作PE ∥AC 交线段AQ 于点O ，联结PQ ，记A P x =，POQ 面积为y .（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）联结QE ，若PQE 与POQ 相似，求AP 的长.16. 一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层到第33层中的某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼感到1分不满意，往上走一层楼感到3分不满意，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼）17. 设x 是实数，不大于x 的最大整数叫做x 的整数部分，记作[]x ，如[1.2]1=，[3]3=，[ 1.3]2-=-.（1）222111(10111)(11121)(201620171)[][][]1011111220162017S =++⋅⋅⋅+⨯-⨯-⨯-⨯⨯⨯，求[90]S ；（2）解关于x 的方程：212312[]2x x x ---=.参考答案1.12或1- 2. 4 3. 2± 4. 223k << 5. 6. 2a ≥ 7. 4 8. 5- 9. 34m <≤ 10. 32或3 11. 2a 12. 2 13. 5 14.（1）1-；（2）2-、32-、12-、0. 15.（1）22412255y x x =-+，502x ≤<；（2）5 16. 第27层，最小值31617.（1）9；（2）1或1+.2015年上海中学自招数学试卷一. 填空题1. 1a 、2a 、⋅⋅⋅、7a 是{1,2,3,,7}⋅⋅⋅的一个排列，12233471||||||||a a a a a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-的最大值为2. 已知a 、b 为正整数，满足5374a b <<，当b 最小时，a b += 3. 已知53x y z xy yz zx ++=⎧⎨++=⎩，x 、y 、z 均为实数，则z 的最大值为4. 已知25370x x --=，求22(2)(1)1(1)(2)x x x x -+--=-- 5. 交流会，两两相互送礼，校方准备礼物，增加n 个人，原有m 个人(17)m <，增加34 份礼物，则m =6. 正ABC 的内切圆半径为1，P 为圆上一点，则12BP CP + 的最小值为二. 解答题7.（1）{1,2,3,,10}⋅⋅⋅，求其中任意两个元素乘积之和；（2）111{1,,,,}2310⋅⋅⋅，求其中任意偶数个元素乘积之和.8. ABCD 为梯形，EP PQ QF ==，EF 不平行AB . （1）求证：BDFCDFACECDESSSS⨯=⨯；（2）求:AB CD 的值.参考答案1. 242. 193.1334. 25. 86.27.（1）1320；（2）92. 8.（1）略；（2）12.2014年上海中学自招数学试卷一. 填空题 1. 已知111a b a b +=+，则b aa b+= 2. 有个实数x为整数 3. 如图，ABC 中，AB AC =，CD BF =，BD CE =，用含A ∠的式子表示EDF ∠，则EDF ∠=4. 在直角坐标系中，抛物线2234y x mx m =+-(0)m >与x 轴交于A 、B 两点，若A 、B 两点到原点的距离分别为OA 、OB ，且满足1123OB OA -=，则m =5. 定圆A 的半径为72，动圆B 的半径为r ，72r <且r 是一个整数，动圆B 保持内切于圆 A 且沿着圆A 的圆周滚动一圈，若动圆B 开始滚动时的切点与结束时的切点是同一点，则r 共有个可能的值6. 学生若干人租游船若干只，如果每船坐4人，就余下20人，如果每船坐8人，那么就有一船不空也不满，则学生共有人7. 对于各数互不相等的正整数组12(,,,)n a a a ⋅⋅⋅（n 是不小于2的正整数），如果在i j <时有i j a a >，则称i a 与j a 是该数组的一个“逆序”，例如数组(2,4,3,1)中有逆序“2，1”、“4，3”、“4，1”、“3，1”，其逆序数为4，现若各数互不相同的正整数组123(,,,a a a456,,)a a a 的逆序数为2，则654321(,,,,,)a a a a a a 的逆序数为8. 若n 为正整数，则使得关于x 的不等式11102119n x n <<+有唯一的整数解的n 的最大值为二. 选择题9. 已知212x ax +-能分解成两个整系数的一次因式的积，则符合条件的整数a 的个数为（）A. 3B. 4C. 6D. 810. 如图，D 、E 分别为ABC 的底边所在直线上的两点，DB EC =，过A 作直线l ，作DM ∥BA 交l 于M ，作EN ∥CA 交l 于N ，设ABM 面积为1S ，ACN 面积为2S ，则（）A. 12S S >B. 12S S =C. 12S S <D. 无法确定11. 设1p 、2p 、1q 、2q 为实数，则12122()p p q q =+，若方程甲：2110x p x q ++=，乙：2220x p x q ++=，则（）A. 甲必有实根，乙也必有实根B. 甲没有实根，乙也没有实根C. 甲、乙至少有一个有实根D. 甲、乙是否总有一个有实根不能确定12. 设222212310071352013a =+++⋅⋅⋅+，222212310073572015b =+++⋅⋅⋅+，则以下四个选项中最接近a b -的整数为（）A. 252B. 504C. 1007D. 2013三. 解答题13. 直角三角形ABC 和直角三角形ADC 有公共斜边AC （B 、D 位于AC 的两侧），M 、N 分别是AC 、BD 中点，且M 、N 不重合.（1）线段MN 与BD 是否垂直？证明你的结论；（2）若30BAC ︒∠=，45CAD ︒∠=，4AC =，求MN 的长.14. 是否存在m 个不全相等的正数1a 、2a 、⋅⋅⋅、m a (7)m ≥，使得它们能全部被摆放在一个圆周上，每个数都等于其相邻两数的乘积？若存在，求出所有这样的m 值；若不存在，说明理由.参考答案一. 填空题1. 1-2. 113. 1902A ︒-∠ 4. 25. 116. 447. 138. 220二. 填空题9. C 10. B 11. C 12. B二. 解答题13.（1）垂直；（2.14. 6m k =，2k ≥，k 为正整数.2014年七宝中学自招数学试卷1. 3238b b x y --与32a b a ax y ---的差为单项式，求a b +.2. 求22014||20150x x -+=的解的和.3. 22227x y z xy yz zx ++---=，求||y z -的最大值.4. 在平行四边形ABCD 中，60B ︒∠=，B ∠的平分线交AD 于E ，交CD 延长线于F ，O 为DEF 外心，下面哪些式子是正确的① OEDF 为菱形；② 三角形AOC 为正三角形；③ OAE ≌OCD .5. 2y ax bx c =++(0)a <，顶点(,3)b -，||0b c ac -=，求a 、b 、c .参考答案1. 2或32. 03. 64. ①②③5. 21125228y x x =-+-2014年华二附中自招数学试卷1. 已知14a a -+=，则44a a -+=2. ABC 外接圆，已知3R =，边长之比为3:4:5，则ABC S =3. 2222114a b a b +=+，20132014()()b a a b-= 4. 四个互不相等的整数A 、B 、C 、D ，满足下式的关系，则D 可能有个取值 A B B CB B CA D A DB D D D+ 5. 有一个鱼缸它的底为100cm ×40cm ，高50cm ，现在鱼缸内装水40cm ，将一个底为40cm ×20cm ，高为10cm 的砖块扔到鱼缸中，缸内水面上升了 cm6. 有一个正方形ABCD ，边长为1，其中有两个全等矩形BECF ，GHIJ ，则BE =7. 一个正方体的表面积是242cm ，里面有个内切球，该内切球中还内接一个小正方体，则小正方体的表面积为8. 1393a b c +=+=+，求222a b c ab ac bc ++---=9. 甲手上有1~5号牌，乙手上有6~11号牌，现在要甲乙手中各抽一张牌，使得它们的乘积为3的倍数，则这样的概率为10. 一辆计程车的速度为55km/h ，出发时它的里程表上的里程数为abc ，行程结束时里程表上的速度为cba ，其中1a ≥，7a b c ++≤，则222a b c ++=11. 有一个多项式，除以223x -，商式是74x -，余式是52x -+，多项式为12. 有11个正整数，平均数是10，中位数是9，众数只有一个8，问最大的正整数为13. 有一个矩形ABCD ，2DC BC =，E 、F 在AB 边上，DE 、DF 将∠ADC 三等分，则:DEF S S =矩14. 直角坐标系xOy 内有一个OEF ，(4,2)E -，(2,2)F --，原点O 为位似中心，相似比为2，点E 的对应点为E '，求E '坐标15. 若干个正六边形拼成的图形中，下列三角形与 ACD 全等的有（）A. BCEB. ADFC. ADED. CDE16. 有一种长方形纸片，其长为a ，宽为b （a b >），现将这种纸片按下右图的方式拼成矩形ABCD ，其中两块阴影部分没有被纸片覆盖，这两个阴影部分的面积之差为S ，当BC 的长改变时，S 不变，a 和b 满足（）A. 2a b =B. 3a b =C. 43a b = D. 4a b =17. 抛物线2y ax bx c =++，抛物线上两点1(5,)A y -，2(3,)B y ，抛物线顶点为00(,)x y ，当120y y y >≥，求0x 的取值范围.18. 1l 、2l 交于点O ，平面内有任意点M ，M 到1l 、2l 的距离分别为a 、b ，有序实数对(,)a b 为距离坐标，若有序实数对为(2,3)，这样的数有几个？19. 解关于x 的方程1|2|32x a --=.20. 某商场需购进甲、乙两种不同型号的手机，每台手机的进价与售价如下图：进货用了资金15.5万元，获得毛利2.1万元.（1）问该商场购进两种手机各多少台？（2）若现在进货资金不超过16万，且在（1）的基础上购进乙种手机，增加的数量是购进甲种手机减少数量的两倍，问该商场采用何种进货方案使得毛利最大？21. 如图所示，C 在圆O 上，OD ∥BC ，AD 是切线，延长DC 、AB 交于点E .（1）求证：DE 是切线；（2）:2:3CE DE =，求cos ABC ∠的值.22.（1）设n 1-；（2）根据（1⋅⋅⋅+.23. 已知抛物线过点(3,0)A -、(0,3)B 、(1,0)C .（1）求抛物线解析式；（2）P 是直线AB 上方抛物线上一点，不与A 、B 重合，PD ⊥AB ，PF ⊥x 轴；① 当PDE C 最大时，求P 的坐标；② 以AP 为边作正方形APMN ，M 或N 恰好在对称轴上，求P 的坐标.参考答案1. 1942.216253. 0或2-4. 75. 26. 2-7. 88. 769. 715 10. 3711. 321482614x x x --+ 12. 35 13. 6 14. (2,1)-或(2,1)-15. C 16. B 17. 01x ≥- 18. 419. 当3a <-，无解；当3a =-，4x =；当3a >-，210x a =+或22x a =--20.（1）甲20台，乙30台；（2）甲15台，乙40台，最大毛利24500元.21. 略 22. （1）111n n -+；（2）9910. 23. 略.2013年上海中学自招数学试卷一. 填空题1.⋅⋅⋅+ 2. 设x 、y 、z 为整数且满足20122013||||1x y y z -+-=，则代数式333||||||x y y z z x -+-+- 的值为3. 若有理数a 、b a =+，则a b +=4. 如图，ABC 中，3AC =，4BC =，5AB =，线段DE AB ⊥，且BDE 的面积是ABC 面积的三分之一，那么线段BD 长为5. 二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴有两个交点M 、N ，顶点为R ，若MNR 恰好是等边三角形，则24b ac -=6. 如图为25个小正方形组成的55⨯棋盘，其中含有符号“#”的各种正方形共有个7. 平面上有n 个点，其中任意三点都是直角三角形的顶点，则n 的最大值为8. 若方程22(1)(4)x x k --=有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则实数k =9. 一个老人有n 匹马，他把马全部分给两个儿子，大儿子得x 匹，小儿子得y 匹，1x y >≥，并且满足x 是1n +的约数，y 也是1n +的约数，则正整数n 共有种可能的取值？10. 已知0a >，且不等式12ax <<恰有三个正数解，则当不等式23ax <<含有最多的整数解时，正数a 的取值范围为二. 解答题11. 设方程210x x --=的两个根为a 、b ，求满足()f a b =，()f b a =，(1)1f =的二次函数()f x .12. 已知(1)1232n n n ++++⋅⋅⋅+=，这里n 为任意正整数，请你利用恒等式332(1)231n n n n +=+++，推导出2222123n +++⋅⋅⋅+的计算公式.13. 解方程组2222221()2()3()x y z y z x z x y ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩14. 已知ABC ，5CA =，6AB =，7BC =，A B C '''中，A A '∠=∠，B B '∠=∠，但A B C '''的大小和位置不定，当A '到BC 的距离为3，B '到AC 的距离为1（如图），问：C '到AB 的距离是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.参考答案一. 填空题1.1- 2. 2 3.32 4. 5. 12 6. 19 7. 4 8. 74 9. 2 10. 23710a <<二. 解答题 11. 2()2f x x =-+12.(1)(21)6n n n ++13. x =，y =z =x =，y =，z = 14. 不是定值2013年交大附中自招数学试卷1. 用两条直线分割一下图中两个正方形使其组成新的正方形2.=3. 在等边三角形ABC 中，重心为O ，1ABCS=，以O 为旋转中心旋转60°，得A B C '''，则A B C '''与ABC 重叠部分的面积为4. 已知：2a b +=，b c +=222233242a b c ab bc ac ++++-=5. 如图，有半径为2的圆A ，圆心(0,1)A ，直线y x k =+经过点A ，与圆相交于点11(,)P x y 、22(,)Q x y ，且10y >.（1）求P 、Q 的坐标；（2）以点P 为顶点的抛物线过点A ，求解析式；（3）在抛物线的对称轴上有一点M ，使OQM 的周长最小，求M 的坐标.参考答案1. 弦图，略2.711+- 3. 234. 29-5.（1）1)P ，(1)Q ；（2）2(12y x =+；（3）13M .2013年华二附中自招数学试卷1. 在Rt ABC 中，90A ︒∠=，AB a =，AC b =，在AC 上有一点E ，在BC 上有一点F ，BE ⊥EF ，AE x =，EFCS y =，求y 与x 的函数关系.2. 定义：①111*=，②(1)111n n +*=*+，则1n *=3. 22(1)(3)28()(21)(1)4a x a x a f x a x a x a ++++-=-+++-定义域为D ，()0f x >在定义域D 内恒成立，求a 的取值范围. 4. 已知2222114a b a b+=+，求20122013()()b a a b +=5. 如图，有棋子摆成这样，求第n 幅图有颗棋子.6. 如图，在矩形ABCD 中，2AE BE =，将ABE 、DEC 分别沿BE 、EC 翻折，15D EA ︒''∠=，则ECB ∠=7. 1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、……，第2013个数是8. 已知x 、y x =+，求(,)x y =参考答案1. 22()2()ax b x y a bx -=+ 2. n 3. 1a =或157a +>或157a -< 4. 2或0 5. (2)n n + 6. 37.5︒ 7. 63 8. 3(,3)22012年华二附中自招数学试卷1. “帽子函数”的图像如图所示：（1）求此函数的解析式；（2）若有抛物线2y x a =-+3()4a <，求它与“帽子函数”图像的交点个数；（3）请试写出一个抛物线解析式，使它与“帽子函数”图像有且只有2个交点，横坐标分别为2.5，3.5.2. 在一个88⨯的正方形方格纸中，一个角剪去一个22⨯的小正方形，问其余部分可否剪成15块“L ”型纸片（如图），若能剪，给出剪切方法，若不能剪，请说明理由.3. n 为正整数，123S n =+++⋅⋅⋅+，S 为一个由同一个数字组成的三位数，求n 的值.4. 寒山寺每隔9秒敲一次钟，第一次敲钟时，甲、乙两船分别向上、下游驶去，速度分别为3m/s ，9m/s ，当甲船听到第108声时，乙船只能听见第声. （300V =声m/s ）5. 对于满足22(3)(3)6x y -+-=的所有实数对(,)x y ，使xy最大，这个最大值为 6. 方程||2|1|x a --=有三个正数解，求a 的值.7. 若方程22(1)210x a x a ++++=有一个小于1的正数根，那么实数a 的取值范围 8. 方程22222x y z w u +++=共有组整数解9. 正方形ABCD 中有一点E ，使E 到A 、B 、C 边长.10. 9名同学分别投票给“杨坤组”与“那英组”，最终“杨坤组”5票，“那英组”4票，问“杨坤组”的票数始终压过“那英组”的概率为参考答案1.（1）,0.51,0.51x k x k y x k k x k ≤<+⎧=⎨-+++≤<+⎩；（2）0a <时，无交点；0a =时，一个交点；304a <<时，两个交点；（3）23(3)4y x =--+.2. 不能3. 364. 1055. 3+6. 17. 112a -<<-8. 无数9. 2 10.192011年华二附中自招数学试卷1. 已知关于x 的多项式75212ax bx x x ++++（a 、b 为常数），且当2x =时，该多项式的值为8-，则当2x =-时，该多项式的值为2. 已知关于x 的方程2(2)10x a x a +-++=的两实根1x 、2x 满足22124x x +=，则实数a =3. 已知当船位于A 处时获悉，在其正东方向相距10海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应该朝北偏东的方向沿直线前往B 处救援4. 关于x 、y的方程组1x y x yx y-+⎧=⎪⎨=⎪⎩有组解5. 已知a 、b 、c 均大于零，且222420a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是6. 已知二次函数225y x px =-+，当2x ≥-时，y 的值随x 的值增加而增加，那么x p =对应的y 值的取值范围是7. 如图所示，正方形ABCD 的面积设为1，E 和F 分别是AB 和BC 的中点，则图中阴影部分的面积是8. 在直角梯形ABCD 中，90ABC BAD ︒∠=∠=，16AB =，对角线AC 与交BD 于点E ，过E 作EF ⊥AB 于点F ，O 为边AB 的中点，且8FE EO +=，则AD BC +=9. 以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取从0到1对应的线段，对折后（坐标1所对应的点与原点重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标14，34变成12，原来的12变成1，等等），那么原数轴从0到1对应的线段上（除两个端点外）的点，在第n 次操作完成后(1)n ≥，恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为10. 定义min{,,}a b c 表示实数a 、b 、c 中的最小值，若x 、y 是任意正实数，则11min{,,}M x y y x=+的最大值是11. 四个不同的三位整数的首位数字相同，并且它们的和能被它们中的三个数整除，求这些数.12. 如图，已知PA 且圆O 于A ，30APO ︒∠=，AH ⊥PO 于H ，任作割线PBC 交圆O 于点B 、C ，计算HC HBBC-的值.参考答案1. 402. 33. 60°4. 25.6. 69y ≥7.238. 16 9. 2n k （k 为[1,2]n 中的奇数） 10.11. 108A =，135B =，180C =，117D = 12.12。