初中数学图形的相似技巧及练习题附解析

初中数学图形的相似技巧及练习题附解析一、选择题

1．矩形ABCO如图摆放，点B在y轴上，点C在反比例函数y

k

x

=(x＞0)上，OA＝2，AB

＝4，则k的值为（）

A．4 B．6 C．32

5

D．

42

5

【答案】C

【解析】

【分析】

根据矩形的性质得到∠A=∠AOC=90°，OC=AB，根据勾股定理得到

OB22

OA AB

=+=5C作CD⊥x轴于D，根据相似三角形的性质得到

CD

85

=，OD

45

=求得

8545

，)于是得到结论．

【详解】

解：∵四边形ABCO是矩形，

∴∠A＝∠AOC＝90°，OC＝AB，

∵OA＝2，AB＝4，

∴过C作CD⊥x轴于D，

∴∠CDO＝∠A＝90°，∠COD+∠COB＝∠COB+∠AOB＝90°，∴∠COD＝∠AOB，

∴△AOB∽△DOC，

∴OB AB OA OC CD OD

==，2542

CD OD

==，

∴CD

85

5

=，OD

45

=，

∴C(45

5

，

85

5

)，

∴k

32

5 =，

故选：C ．

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

2．如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝8，CD 是AB 边上的中线，作CD 的中垂线与CD 交于点E ，与BC 交于点F ．若CF ＝x ，tanA ＝y ，则x 与y 之间满足（ ）

A ．2244x y +=

B ．2244x y -=

C ．2288x y -=

D ．2288x y

+= 【答案】A

【解析】

【分析】

由直角三角形斜边上的中线性质得出CD ＝

12AB ＝AD ＝4，由等腰三角形的性质得出∠A ＝∠ACD ，得出tan ∠ACD ＝GE CE

＝tan A ＝y ，证明△CEG ∽△FEC ，得出GE CE CE FE =，得出y ＝2FE ，求出y 2＝24FE ，得出24y

＝FE 2，再由勾股定理得出FE 2＝CF 2﹣CE 2＝x 2﹣4，即可得出答案．

【详解】

解：如图所示：

∵在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝8，CD 是AB 边上的中线，

∴CD ＝

12

AB ＝AD ＝4， ∴∠A ＝∠ACD ，

∵EF 垂直平分CD ，

∴CE ＝12CD ＝2，∠CEF ＝∠CEG ＝90°， ∴tan ∠ACD ＝

GE CE ＝tanA ＝y ， ∵∠ACD+∠FCE ＝∠CFE+∠FCE ＝90°， ∴∠ACD ＝∠FCE ，

∴△CEG ∽△FEC ，

∴GE CE ＝CE FE

， ∴y ＝2FE

， ∴y 2＝

24FE ， ∴24y

＝FE 2， ∵FE 2＝CF 2﹣CE 2＝x 2﹣4， ∴

24y ＝x 2﹣4， ∴24y

+4＝x 2， 故选：A ．

【点睛】

本题考查了解直角三角形、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．

3．如图，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成面积相等的两部分，则的值为（ ）

A ．1

B ．

C ．

D ．

【答案】C

【解析】

【分析】

由平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成面积相等的两部分，可知△ADE 与△ABC 相似，且面积比为，则相似比为，的值为．

【详解】

∵DE ∥BC ，

∴△ADE ∽△ABC ，

∵DE 把△ABC 分成面积相等的两部分，

∴S △ADE ＝S 四边形DBCE ， ∴

＝， ∴＝ ＝， 故选：C ．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定，相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方的逆用等．

4．如图，正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，BE EC =，将DCE ∆沿DE 对折至DFE ∆，延长EF 交边AB 于点G ，连接DG ，BF ．给出以下结论：

①DAG DFG ∆≅∆；②2BG AG =；③EBF DEG ∆∆:；④23

BFC BEF S S ∆∆=

．其中所有正确结论的个数是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】B

【解析】

【分析】 根据正方形的性质和折叠的性质可得AD ＝DF ，∠A ＝∠GFD ＝90°，于是根据“HL”判定Rt △ADG ≌Rt △FDG ，可判断①的正误；设正方形ABCD 的边长为a ，AG ＝FG ＝x ，BG ＝

a−x ，根据勾股定理得到x ＝

13

a ，得到BG ＝2AG ，故②正确；根据已知条件得到△BEF 是等腰三角形，易知△GED 不是等腰三角形，于是得到△EBF 与△DEG 不相似，故③错误；连接CF ，根据三角形的面积公式得到S △BFC ＝2S △BEF ．故④错误．

【详解】

解：如图，由折叠和正方形性质可知，DF ＝DC ＝DA ，∠DFE ＝∠C ＝90°，

∴∠DFG ＝∠A ＝90°，

在Rt △ADG 和Rt △FDG 中，

AD DF DG DG ⎧⎨⎩

＝＝， ∴Rt △ADG ≌Rt △FDG （HL ），故①正确；

设正方形ABCD 的边长为a ，AG ＝FG ＝x ，BG ＝a−x ，

∵BE ＝EC ，

∴EF ＝CE ＝BE ＝12

a

∴GE=12

a+x 由勾股定理得：EG 2＝BE 2＋BG 2，

即：(12a+x)2=(12a)2+(a-x)2解得：x ＝13

∴BG ＝2AG ，

故②正确；

∵BE ＝EF ，

∴△BEF 是等腰三角形，易知△GED 不是等腰三角形，

∴△EBF 与△DEG 不相似，

故③错误；

连接CF ，

∵BE ＝CE ，

∴BE ＝12

BC ， ∴S △BFC ＝2S △BEF ．

故④错误，