4.5.2复合函数的零点问题 较难 教师版

复合函数的零点问题 较难

1．复合函数定义：设()y f t =，()t g x =，且函数()g x 的值域为()f t 定义域的子集，那么y 通过t 的联系而得到自变量x 的函数，称y 是x 的复合函数，记为()y f g x =⎡⎤⎣⎦．

2．复合函数函数值计算的步骤：求()y g f x =⎡⎤⎣⎦函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值． 例如：已知()()22,x f x g x x x ==-，计算()2g f ⎡⎤⎣⎦． 【解析】()2224f ==，()()2412g f g ∴==⎡⎤⎣⎦．

3．已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x 的值．例如：已知()2x

f x =，()2

2g x x x =-，若()0g f x =⎡⎤⎣⎦，求x ．

4．函数的零点：设()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使得()00f x =，则称0x x =为()f x 的一个零点．

5．复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于()f x 的方程，观察有几个()f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层()f x 的值求出每一个()f x 被几个x 对应，将x 的个数汇总后即为()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根的个数．

Ⅰ．题型攻略·深度挖掘 【技能方法】

求解复合函数()y g f x =⎡⎤⎣⎦零点问题的技巧：

（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出()(),f x g x 的图像

（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于()f x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦中()f x 解的个数，再根

据个数与()f x 的图像特点，分配每个函数值()i f x 被几个x 所对应，从而确定()i f x 的取值范围，进而决定参数的范围．

1．函数零点—忽视单调性的存在．例如：若函数f(x)在区间[－2，2]上的图象是连续不断的曲线，且f(x)在(－2，2)内有一个零点，则f(－2)·f （2）的值 ( )

A ．大于0

B ．小于0

C ．等于0

D ．不能确定

解答：若函数f(x)在(－2，2)内有一个零点，该零点可分两种情况：（1）该零点是变号零点，

则f(－2)·f （2）<0；（2）该零点是非变号零点，则f(－2)·f （2）>0，因此选D ． Ⅱ．举一反三·触类旁通 【例1】函数

满足，且当

时，

．若函数

的图象与函数

（

，且

）的图象有且仅有4个交点，则的取值集合为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C

【例2】已知函数若关于的方程有3个实数根，

则实数的取值范围是（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D

【解析】作图如下： 因此要使方程有3个，实数的取值范围是 ，选D ．

【例3】已知函数()3log ,03{ 4

,3

x x f x x x <≤=->，若函数()()2h x f x mx =-+有三个不同的零点，则实

数m 的取值范围是（ ）

A ．1,12⎛⎫

⎪⎝⎭

B ．()1,1,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭

C ．[)1,1,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭

D ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦

【答案】A

A （0，﹣2），

B （3，1），

C （4， 0），则g （x ）的图象介于直线AB 和AC 之间，介于k AB ＜m ＜k AC ，可得

12＜m ＜1．故答案为：（1

2

，1）．

【例4】已知函数()()222

,12{ log 1,1

x x f x x x +≤=->，则()()()()322

F x f f x f x =--的零点个数是（ ）

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7 【答案】A

【解析】解：令t=f （x ），F （x ）=0，则f （t ）﹣2t ﹣

3

2

=0，

【例5】已知函数()2log ,02{

2

,22x x f x x x x

<<=+≥，若0＜a ＜b ＜c ，满足f （a ）=f （b ）=f （c ），则

()

ab

f c 的范围为 ． 【答案】（1，2） 函数图象如右：

0a b c ＜＜＜，

满足()()()f a f b f c ==，22log log a b ∴-=，即1ab =，()211

22c f c c c

+==+，()1

12

f c ∴<<，故()()112ab f c f c <=<，故答案为()12，．

【例6】已知函数()ln 1||f x x =-，()f x m -的四个零点1x ，2x ，3x ，4x ，且1234

1111

k x x x x =+++，则()k

f k e -的值是__________．

【答案】2e -

86

【例7】已知函数()211{ 5

2128

lnx x x

f x m x mx x +>=-++≤，，

，，

若()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取

值范围是________．

【答案】714⎛⎤ ⎥⎝⎦

，

【例8】已知定义在R 上的函数()()2,0{

1,0

x x x f x ln x x +≤=+>，若函数()()()1g x f x a x =-+恰有2个

零点，则实数a 的取值范围是_________． 【答案】()1,1,1e ⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭

．

【解析】数形结合，由直线()1y a x =+与曲线()y f x =的

位置关系可得当()1,1,1a e ⎛⎫∈-∞-⋃ ⎪⎝⎭

时有两个交点，即函数()y g x =恰有两个零点．

【例9】【2015年高考天津】已知函数()()2

2,2,

2,2,

x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是 （ ）