第八章 图

8.2 图的存储结构
8.2.1 图的邻接矩阵存储结构
基本思想：用一个一维数组存储图中顶点的信息，用一 个二维数组（称为邻接矩阵）存储图中各顶点之间的邻 接关系。 假设图G=(V,E)有n个结点，即V={v0,v1,…,vn-1}，E可用 如下形式的矩阵A描述，对于A中的每一个元素aij，满足：
1
aij＝
3 2 3 1 2 (a)
4 3 4 2 3
∧
∧
2
3
0
结点 图中的顶点称作结点，图中的第i个 结点记做vi。
边 两个结点vi和vj相关联称为结点vi和vj之
间有一条边，图中的第k条边记做ek，ek=（vi，
vj）或<vi，vj>。
简单图：在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同
一条边不重复出现。 V2 V1 V1
V3 V4 非简单图 V3
V2
V1 V3
图的邻接表存储结构
A
data B 0 1
D
sorce 0 1 2 3 4
(b)
A B C D E
2 3
C
(a)
E
4
data 0 1 2 3 4 A B C D E
sorce 0 1 2 3 4
(b)
adj
dest next 4 3 2 1
∧
∧
4 1
∧
∧ ∧
1
0 1
v0 v1 v2 v3 v4
1 0 1 0 0
V2
生成树
V1 V3
V2
V3 V4
V1 V3 V6 V5 V2
生成森林
V4 V1
V2
V5 V3 V7 V6
V7 V4
V5
V4
V5
简单路径：序列中顶点不重复出现的路径。 回路（环）：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径。 简单回路（简单环）：除了第一个顶点和最后一个顶点 外，其余顶点不重复出现的回路。 V1
第八章
8.1 概述
图
8.2 图的存储结构
8.3 邻接矩阵图类
8.4 图的遍历 8.5 最小生成树 8.6 最短路径
本章主要知识点：
● 图的基本概念
● 图的存储结构，主要是邻接矩阵存储结构和邻
接表存 储结构
● 图的遍历，主要是深度优先算法和广度优先遍
历算法
● 最小生成树的基本概念，以及普里姆算法和克 鲁斯卡尔算法 ● 最短路径的基本概念，狄克斯特拉算法思想
A= 0 0 0 0 0 0 0 1
V1
V2
V3 V4
V3
V4
1 0 0 0
如何求顶点 i 的入度？ 邻接矩阵的第 i 列元素之和。
有向图的邻接矩阵
V1
V2
V= V1 V2 V3 V4
V1 V2 V3 V4
0 1 1 0
A= 0 0 0 0 0 0 0 1
V1
V2
V3 V4
V3
V4
1 0 0 0
如何判断从顶点 i 到顶点 j 是否存在边？ 测试邻接矩阵中相应位置的元素aij是否为1。
V1
V2
V3 V4
V2
V3
1 1 0 0
如何判断顶点 i 和 j 之间是否存在边？
测试邻接矩阵中相应位置的元素aij是否为1。
无向图的邻接矩阵
V1
V4
V= V1 V2 V3 V4
V1 V2 V3 V4
0 1 0 1
A= 1 0 1 1 0 1 0 0
V1
V2
V3 V4
V2
V3
1 1 0 0
如何求顶点 i 的所有邻接点？
V2
V5
V4 非简单图
V5
V4 简单图
V5
数据结构中讨论的都是简单图。
有向图 在有向图中，结点对＜x ,y＞是有
序的，结点对＜x,y＞称为从结点x到结点y的一
条有向边，因此，＜x,y＞与＜y,x＞是两条不 同的边。有向图中的结点对＜x,y＞用一对尖括 号括起来，x是有向边的始点，y是有向边的终 点，有向图中的边也称作弧.
i i
nห้องสมุดไป่ตู้
n
V3
V4
在具有n个顶点、e条边的有向图G中，各顶点 的入度之和与各顶点的出度之和的关系？与边
数的关系？
V1 V3 V4
V2
V1
V2
V5
V3
V4
※ 若一个图中有n个顶点和e条边,每个顶
点的度为di(1≤i≤n)，则有：
e＝
1
d 2
i=1
n
i
路径 在图G=(V,E)中，若从结点vi出发有一组边 可到达结点vj，则称结点vi到结点vj的结点序列为
V2
V1 V3
V2
V3
V4
V4
V5
8.1.2 图的抽象数据类型
数据集合：由一组结点集合{vi}和一组边{ej}集合组成。当为
带权图时每条边上权wj还构成权集合{wj}。 操作集合：
（1）初始化initiate(n)：
（2）插入结点 insertVertex(vertex)： （3）插入边insertEdge(v1, v2, weight)： （4）删除边deleteEdge(v1, v2)： （5）删除结点deleteVertex(vertex)： （6）第一个邻接结点getFirstVex(v)： （7）下一个邻接结点getNextVex(int v1, v2)： （8）遍历depthFirstSearch(vs)：
称边（u,v）依附于结点u和v。在有向图G中，
若＜u,v＞是E(G)中的一条边，则称结点u邻接
到结点v，结点v邻接自结点u，并称边＜u,v＞ 与结点u和结点v相关联。
1
顶点的度：顶点v的度是与它相关联的边的条 数，记作TD(v)。
2 3 0
4 (a ) 1
顶点的入度：在有向图中，顶点v的入度是指以 该顶点为终点的有向边的数目，记为ID (v)； 顶点的出度：在有向图中，顶点v的出度是指以
将数组中第 i 行元素扫描一遍，若aij为1，则顶点 j 为顶点 i 的邻接点。
有向图的邻接矩阵
V1
V2
V= V1 V2 V3 V4
V1 V2 V3 V4
0 1 1 0
A= 0 0 0 0 0 0 0 1
V1
V2
V3 V4
V3
V4
1 0 0 0
有向图的邻接矩阵一定不对称吗？ 不一定，例如有向完全图。
无向图 在无向图中，结点对（x,y）是无序
的，结点对（x,y）称为与结点x和结点y相关联 的一条边。（x,y）等价于（y,x）。
完全图 在有n个结点的无向图中，若有n(n-
1)/2条边，即任意两个结点之间有且只有一条边，
则称此图为无向完全图。在有n个结点的有向图中，
若有n(n-1)条边，即任意两个结点之间有且只有方
2
3
0
该顶点为始点的有向边的条数，记为OD (v)。
TD (v)=ID (v)+OD (v)
4 (b )
V1
V2 V3
TD ( v ) = 2 e i =1
i
n
V4
V5
在具有n个顶点、e条边的无向图G中，各顶点
的度之和与边数的关系？
V1
V2
ID(v ) = OD(v ) = e i=1 i=1
3 V3
V1 V4：长度为8
V1 V2 V3 V4 ：长度为7
5
6 V5
V1 V2 V5V3 V4 ：长度为15
子图：若图G=（V，E），G'=（V'，E'），如果V'V 且E' E ，则称图G'是G的子图。 V1 V3 V4 V5 V4 V2 V1 V1 V2
V3
V4
V3
V5
连通图：在无向图中，如果从一个顶点vi到另一个顶 点vj(i≠j)有路径，则称顶点vi和vj是连通的。如果图中 任意两个顶点都是连通的，则称该图是连通图。 连通分量：非连通图的最大连通子图称为连通分量。
V4
V= V1 V2 V3 V4
V1 V2 V3 V4
0 1 0 1
A= 1 0 1 1 0 1 0 0
V1
V2
V3 V4
V2
V3
1 1 0 0
如何求顶点i的度？ 邻接矩阵的第i行（或第i列）非零元素的个数。
无向图的邻接矩阵
V1
V4
V= V1 V2 V3 V4
V1 V2 V3 V4
0 1 0 1
A= 1 0 1 1 0 1 0 0
8.1 概述
8.1.1 图的基本概念
图 是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边
的集合组成，通常表示为：
G=(V，E)
其中：G表示一个图，V是图G中顶点的集 合，E是图G中顶点之间边的集合。
不同结构中逻辑关系的对比
A
B A B C
C
线性结构
D V1
E
F V2 V3
D
E
F
V4
V5
图结构 树结构 在线性结构中，数据元素之间仅具有线性关系；
1.含有最大顶点数；
2. 依附于这些顶点的所有边。
V1 V1 V3 V7 V4 V5 V6 V4 V3 V7 V6
V2
V2
V5
连通分量是对无向图的一种划分。
强连通图：在有向图中，对图中任意一对顶点vi 和vj (i≠j)，若从顶点vi到顶点vj和从顶点vj到顶点vi均有路径 ，则称该有向图是强连通图。 强连通分量：非强连通图的最大强连通子图。
邻接表有两种结点结构：顶点表结点和边表结点。
data sorce adj
顶点表
dest
next
边 表
data：数据域，存放结点的数据元素。 score: 存储该结点在数组中的下标序号。 adj：指针域，该结点的邻接结点单链表的头指针。 dest：邻接点域，存储边的终点在数组中的下标。 next：指针域，指向边表中的下一个结点。
(b)
2 20 1 30 3 50 40 70 4 80
5
6
40 50 0 70 80 70 0 80 0


(a)
8.2.2 图的邻接表存储结构
图的邻接矩阵存储结构的空间复杂度？ 如果为稀疏图则会出现什么现象？ 假设图G有n个顶点e条边，则存储该图需要O(n2) 。 邻接表存储的基本思想：对于图的每个顶点vi，将所 有邻接于vi的顶点链成一个单链表，称为顶点vi的边 表（对于有向图则称为出边表），所有边表的头指 针和存储顶点信息的一维数组构成了顶点表。
V1 V1 V2
V3
V3 V4
V4
V2
生成树：n个顶点的连通图G的生成树是包含G中全
部顶点的一个最小连通子图。
含有n-1条边 多——构成回路 少——不连通
如何理解最小连通子图? 生成森林：在非连通图中，由每个连通分量都可以得
到一棵生成树，这些连通分量的生成树就组成了一个
非连通图的生成森林。
V1
向相反的两条边，则称此图为有向完全图。
含有n个顶点的无向完全图有多少条边？
含有n个顶点的有向完全图有多少条弧？
V1 V2 V1
V2
V3
V4
V3
含有n个顶点的无向完全图有n×(n-1)/2条边。
含有n个顶点的有向完全图有n×(n-1)条边。
邻接结点
在无向图G中，若（u,v）是
E(G)中的一条边，则称u和v互为邻接结点，并
带权图——路径上各边的权之和 V2 V1 V4：长度为1
V1 V2 V3 V4 ：长度为3
V5 V1 V2 V5V3 V4 ：长度为4
权 有些图的边附带有数据信息，这些附带的数据信
息称为权。第i条边的权用符号wi表示。
非带权图——路径上边的个数
路径长度：
2
带权图——路径上各边的权之和 V2
V1 8 V4 2
网图的邻接矩阵
网图的邻接矩阵可定义为： wij 若(vi, vj)∈E（或<vi, vj>∈E） aij＝ 2 7
0
∞
否则且i=j
否则且i≠ j V= V1 V2 V3 V4
V1
5 V3
V2 A= V4
0 2 5 ∞ ∞ 0 ∞ ∞
8
∞ ∞ 0
8
7 ∞ ∞ 0
网图的邻接矩阵
1 2 3 V = 4 5 6 0 20 30 20 0 30 0 A= 40 50
在树结构中，结点之间具有层次关系；
在图结构中，任意两个顶点之间都可能有关系。
不同结构中逻辑关系的对比
A
B A B C
C
线性结构
D V1
E
F V2 V3
D
E
F
V4
V5
图结构 树结构 在线性结构中，元素之间的关系为前驱和后继；
在树结构中，结点之间的关系为双亲和孩子；
在图结构中，顶点之间的关系为邻接。
图的基本术语
从结点vi到结点vj的路径
V1 V2
V1 到V4的路径： V1 V4
V1 V2 V3 V4
V3
V4 V5
V1 V2 V5V3 V4
一般情况下，图中的路径不惟一。
权 有些图的边附带有数据信息，这些附带的数据信
息称为权。第i条边的权用符号wi表示。
非带权图——路径上边的个数
路径长度：
V1 V3 V4
有向图的邻接矩阵
V1
V2
V= V1 V2 V3 V4
V1 V2 V3 V4
0 1 1 0
A= 0 0 0 0 0 0 0 1
V1
V2
V3 V4
V3
V4 如何求顶点 i 的出度？
1 0 0 0
邻接矩阵的第 i 行元素之和。
有向图的邻接矩阵
V1
V2
V= V1 V2 V3 V4
V1 V2 V3 V4
0 1 1 0
若(vi, vj)∈E（或<vi, vj>∈E）
0
其它
无向图的邻接矩阵
V1
V4
V= V1 V2 V3 V4
V1 V2 V3 V4
0 1 0 1
A= 1 0 1 1 0 1 0 0
V1
V2
V3 V4
V2
V3
1 1 0 0
无向图的邻接矩阵的特点？
主对角线为 0 且一定是对称矩阵。
无向图的邻接矩阵
V1