沪教版数学八年级下册知识点归纳-四边形
八年级数学下册知识点总结-四边形
B第27章 四边形知识点（牢记）1、 平行四边形定义： 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的性质：1.平行四边形的对边相等；2.平行四边形的对角相等。
3.平行四边形的对角线互相平分。
对称性:中心对称平行四边形的判定1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形2.对角线互相平分的四边形是平行四边形；3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
5.定义: 有两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2、 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。
矩形的性质：1.矩形的四个角都是直角；2.矩形的对角线平分且相等。
AC=BD对称性: 既轴对称又中心对称矩形判定定理： 1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2.对角线相等的平行四边形是矩形。
3.有三个角是直角的四边形是矩形。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3、菱形的定义 ：邻边相等的平行四边形。
菱形的性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组角。
对称性:既轴对称又中心对称菱形的判定定理： 1.一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
3.四条边相等的四边形是菱形。
S菱形=1/2×ab （a 、b 为两条对角线）4、正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。
正方形的性质：1.四条边都相等，2.四个角都是直角。
3.正方形既是矩形，又是菱形。
对称性:既轴对称又中心对称正方形判定定理： 1.邻边相等的矩形是正方形。
2.有一个角是直角的菱形是正方形。
5、梯形的定义： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形 等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。
等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等。
对称性:轴对称等腰梯形判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。
最新沪科版初中数学八年级下第19章《四边形》单元复习课件(共29张ppt)
④两组对角分别相等的四边形
是平行四边形
⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形
矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形
性质：①具有平行四边形的所有性质
②四个角都是直角
③对角线相等
矩形
判定：①根据定义判定
②对角线相等的平行四边形是矩形 ③三个角是直角的四边形是矩形
菱形
定义：有一组邻边相等的平行四边形
性质：①具有平行四边形的所有性质
作业：P104 第8、9题
又∵∠EAF=45°，
∴∠DAF+∠EAB=45°，∴∠EAB+∠BAG=45°， ∴∠EAF=∠EAG， ∴△EAF≌△EAG，∴EF=EG=EB+BG=EB+DF.
1.多边形、四边形、特殊四边形之 间的关系 2.各种特殊四边形之间的关系
课堂小结与作 业
3.各种特殊四边形的性质与判定
4.几个重要的结论
∴EF=PB，
∴DP=EF.
能力拓展
如图，点E、F分别是正方形 ABCD的边BC、CD上的点，并且 EF=BE+DF.求证：∠EAF=45°.
要相信 自己哦！
证明：延长EB至点G，使BG=DF，连接AG.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠DAB=∠ABE=90°=∠ABG， ∴△ADF≌△ABG， ∴AF=AG，∠DAF=∠BAG.
能力检测
1.认真做一做：
平行四边形 ； ①对角线互相平分的四边形是______________ 矩形 ； ②对角线相等且互相平分的四边形是_______
菱形 ； ③对角线互相垂直平分的四边形是_______
正方形 ； ④对角线相等且互相垂直平分的四边形是_______
沪教版八年级数学-四边形复习-学生版
四边形复习知识精要1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。
性质：性质定理1 平行四边形的对边相等。
性质定理2 平行四边形的对角相等。
性质定理3 平行四边形的对角线互相平分。
判定：判定定理1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
判定定理2 一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形。
判定定理3 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
一、特殊的平行四边形1、矩形：有一个内角是直角的平行四边形。
2、菱形：有一组邻边相等的平行四边形。
3、正方形：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形。
二、性质定理图形性质定理判定定理矩形1、四个角都是直角；2、两条对角线相等。
1、有三个内角是直角的四边形。
2、对角线相等的平行四边形。
菱形1、四条边都相等；2、对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角。
1、四条边都相等的四边形。
2、对角线互相垂直的平行四边形。
正方形1、四个角都是直角，四条边都相等；2、对角线相等，且互相垂直，每条对角线平分一组内角。
1、一组邻边相等的矩形；2、有一个内角是直角的菱形。
6、梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
平行的两边叫做梯形的底，不平FEGDACB6、如图，四边形ABCD为直角梯形，ADBCBCCDBCAD2,,//=⊥，对角线相交于点E，EF//BC 交AB于点F。
求证：四边形BCFE为等腰梯形。
E FDAB C7、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AC，∠BAC=90°，BD=BC，BD交AC于O。
求证：CO=CD。
8、已知，如图在四边形ABCD中，AC=BD，且点E、F分别为AB、CD的中点，联接EF，分别与BD、AC交于点M、N。
证明ANEDMF∠=∠。
NMEFCBDA9、如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，AC与BE相交于点F，连接DF．（1）在不增加点和线的前提下，直接写出图中所有的全等三角形；（2）连接AE，试判断AE与DF的位置关系，并证明你的结论；（3）延长DF交BC于点M，试判断BM与MC的数量关系．（直接写出结论）精解名题例1、如图，平行四边形ABCD中，5,1,==⊥BCABACAB，对角线AC与BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC、AD于点E、F。
沪教版八年级数学四边形知识点
沪教版八年级数学四边形知识点沪教版八年级数学四边形知识点1.平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.平行四边形的性质：平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等;平行四边形的对角线互相平分。
3.平行四边形的断定:两组对边分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形;两组对角分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
4.三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
5.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
6.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。
7.矩形的性质：矩形的四个角都是直角;矩形的对角线平分且相等。
AC=BD8.矩形断定定理:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形;对角线相等的平行四边形是矩形;有三个角是直角的四边形是矩形。
9.菱形的定义：邻边相等的平行四边形。
10.菱形的性质：菱形的四条边都相等;菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
11.菱形的断定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形;对角线互相垂直的平行四边形是菱形;四条边相等的四边形是菱形。
S菱形=1/2×ab(a、b为两条对角线)12.正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。
13.正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角。
正方形既是矩形，又是菱形。
14.正方形断定定理：1.邻边相等的矩形是正方形。
2.有一个角是直角的菱形是正方形。
15.梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
16.直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形17.等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。
18.等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等;等腰梯形的两条对角线相等。
19.等腰梯形断定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。
初中数学多项式概念知识点1、几个单项式的和叫做多项式。
2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。
3、多项式中不含字母的项叫做常数项。
八年级数学下册知识点总结-四边形
第19章四边形知识点
一、平行四边形
1、平行四边形定义：（即是性质又是判定）
2、平行四边形的性质：边：
角：
对角线:
对称性：
面积公式：
3、平行四边形的判定：
4、中位线定理：。
二、矩形
1、矩形的定义：。
矩形判定定理：
推论：
三、菱形
1、菱形的定义 ：
2、菱形的性质：
3、菱形的判定：
4、菱形的面积公式：
四、正方形
1、正方形定义： 。
2、正方形的性质：
3、正方形判定定理：
（1)先证四边形是 ，再证 。
（2）先证四边形是 ，再证 。
五、中点四边形
顺次连接任意一个四边形各边的中点所得的四边形是 。
平行四边形的中点四边形是 。
矩形的中点四边形是 。
菱形的中点四边形是 。
新沪科版八年级下册数学 《四边形》小结与复习
第十九章四边形小结与复习基础盘点1.平行四边形是指.它的性质有.2.平行四边形的判断方法有：（1）；（2）；（3）；（4）.3.矩形是指.它的性质有、.4.矩形的判定方法有、.5.菱形是指.它的性质有、.6.菱形的判定方法是、.7.正方形具有矩形和菱形的一切性质.正方形的判定方法是、.8.连接三角形两边中点的线段叫做三角形的.三角形的中位线平行于，并且等于第三边的.考点呈现考点一求度数例1如图1，在□ABCD中，CE⊥AB，E为垂足．如果∠A=125°，则∠BCE=（）A.550B.350C.300D.250解析：本题只要求出∠B的度数，就可以得到∠BCE的度数，由已知□ABCD中，∠A=125°，知∠A+∠B=180°，得∠B=55°.进而得∠BCE=35°.故选B.点评：本例也可以利用对边平行、对角相等来求．考点二平行四边形的性质例2 如图2，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD 交AD于E，则△ABE的周长为（）A.4cmB.6cmC.8cmD.10cmAB C DO E解析：本题要求△ABE 的周长，就是求AB+BE+EA 的值，而题目所给的条件是□ABCD 的AC ，BD 相交于点O ，可得AC 、BD 互相平分，即O 是BD 的中点，又OE ⊥BD 交AD 于E ，可知OE 是BD 的垂直平分线，则有BE=DE ，所以AB+BE+EA=AB+DE+EA=AB+ DA=21×20=10（cm ）.故选D ． 点评：本例利用平行四边形及线段垂直平分线的性质把所要求的三角形的周长转化为平行四边形两邻边的和，使问题得到解决.考点三 正方形的性质例3 （1）如图3，在正方形ABCD 中,点E ，F 分别在边BC 、CD 上，AE ，BF 交于点O ，∠AOF ＝90°.求证：BE ＝CF.(2) 如图4，在正方形ABCD 中，点E ，H ，F ，G 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，EF ，GH 交于点O ，∠FOH ＝90°, EF ＝4.求GH 的长.(3) 已知点E ，H ，F ，G 分别在矩形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上，EF ，GH 交于点O ，∠FOH ＝90°,EF ＝4. 直接写出下列两题的答案：①如图5，矩形ABCD 由2个全等的正方形组成，求GH 的长；②如图6，矩形ABCD 由n 个全等的正方形组成，求GH 的长(用n 的代数式表示).图5 图6解析：（1）要证BE=CF ，发现它们分别在△ABE 和△BCF 中，由已知条件可以证出△ABE ≌△BCF ；第（2）可以借助（1）的解法，作出辅助线，构造成（1）的图3 图4形式；而（3）则是在前两问的基础对规律的总结，发现在正方形内互相垂直的两条线段相等.(1) 因为四边形ABCD 为正方形，所以AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°，所以 ∠EAB+∠AEB=90°.因为∠EOB=∠AOF ＝90°，所以∠FBC+∠AEB=90°，所以∠EAB=∠FBC ，所以△ABE ≌△BCF ，所以BE=CF ．(2)如图7,过点A 作AM//GH 交BC 于M ，过点B 作BN//EF交CD 于N,AM 与BN 交于点R ，则四边形AMHG 和四边形BNFE均为平行四边形，所以 EF=BN,GH=AM ，因为∠FOH ＝90°, AM//GH ，EF//BN ，所以∠NRA=90°,故由(1)得, △ABM ≌△BCN ，所以AM=BN.所以GH=EF=4．(3) ① 8．② 4n ．点评：这是一道猜想题，由特殊的图形得到结论，进一步推广到在其它情况下也成立，这是今后中考常见的一个题型，需要我们认真观察、计算、猜想、推广应用.考点四 四边形的折叠例4 将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF .若AB =3，则BC 的长为（ ）A.1B.2C.2D.3解析：由对矩形的折叠过程可知，矩形ABCD 是一个特殊的矩形，否则折叠后难以得到菱形，据此，矩形的对角线等于边BC 的2倍，于是，在Rt △ABC 中利用勾股定理即可求解.由题意知AC =2BC ，在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AC 2=AB 2+BC 2，即4BC 2=AB 2+BC 2，而AB =3，所以BC =3.故应选D .点评：有关特殊四边形的折叠问题历来是中考命题的一个热点，求解时只要依据折叠的前后的图形是全等形，再结合特殊四边形的有关知识就可以解决问题.误区点拨一、平行四边形的性质用错例1如图1，在平行四边形ABCD 中，下列各式：①012180∠+∠=；A B C D F E O A B C D 图7 RN M②023180∠+∠=； ③034180∠+∠=；④024180∠+∠=.其中一定正确的是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③④错解：选B 、C 、D.剖析：平行四边形的两组对边分别平行，对角相等的性质，同时考查了平行线的，因为∠1与∠2互补，所以012180∠+∠=，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB ∥DC ，AD ∥BC ，∠2 =∠4，所以034180∠+∠=，023180∠+∠=.正解：选A.例2 如图2，平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于O 点，若AC=8，BD=6，则边长AB 取值范围为（ ）A ．1＜AB ＜7 B ．2＜AB ＜14C ．6＜AB ＜8D ．3＜AB ＜14错解：选B.剖析：本题错误原因在于没有搞清这三条边是否在同一个三角形中就用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边来判定.在平行四边形ABCD 中，两条对角线一半与平行四边形一边组成一个三角形然后再求取值范围.正解：选A.二、运用判定方法不准确例3已知，如图3，在□ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点.求证：（1）△AFD ≌△CEB ； （2）四边形AECF 是平行四边形.错解：（1）在□ABCD 中，AD=CB ，AB=CD ，∠D=∠B. 因为E ，F 分别是AB 、CD 的中点，所以11,22DF CD BE AB ==，即DF=BE.在△AFD 和△CEB 中，AD=CB ，∠D=∠B ，DF=BE ，所以△AFD ≌△CEB.（2）由（1）知，△AFD ≌△CEB ，所以∠DFA=∠BEC ，所以AF ∥CE ，即四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.B A CD O剖析：本例第（1）问是正确的，错在第（2）问选择证平行四边形的方法上，我们利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这个方法时，证明出现了错误.正解：（1）同上.（2）在□ABCD中，AB=CD，AB∥CD，由（1）得BE=DF，所以AE=CF.所以，四边形AECF是平行四边形.例4 如图4，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，点E在BC上，点F在AD上，AF=CE，EF与对角线BD相交于点O.试说明：O是BD 的中点.错解：在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，所以四边形ABCD是平行四边形，又因为AF=CE，所以O是BD的中点.剖析：本例主要错在误认为O是平行四边形ABCD对角线的交点上，但我们观察图形可以发现EF与BD为四边形FBED的对角线，只要得到四边形FBED是平行四边形，就能根据平行四边形的对角线互相平分这一性质即可得到O是BD的中点.正解：连接FB，DE，因为AB=DC，AD=BC，所以四边形ABCD是平行四边形．所以FD∥BE．又因为AD=BC，AF=CE，所以FD=BE．所以四边形FBED是平行四边形．所以BO＝OD，即O是BD的中点．跟踪训练1.如图1，在菱形ABCD中，对角线AC=4，∠BAD=120°，则菱形ABCD的周长为（）A．20 B．18C．16 D．152.如图2，点P是矩形ABCD的边AD的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．125B．65C．245D．不确定3.如图3，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；...，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是( )A. 669B. 670C.671D. 6724.如图4，已知菱形ABCD的一个内角︒BAD，对角线AC，=∠80BD相交于点O，点E在AB上，且BOBE=，则EOA∠=度．5.如图5，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．（1）求证：BE = DF；（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM，FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．参考答案基础盘点：略.跟踪训练：1.C 2.A 3.B 4.255.（1）因为四边形ABCD是正方形，所以AB＝AD,∠B = ∠D = 90°．因为AE = AF，所以Rt Rt△≌△．所以BE＝DF．ABE ADF（2）四边形AEMF是菱形．证明略.。
沪教版数学八年级下册知识点归纳--四边形
平行四边形【定义】两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
【性质】1.根据定义得，平行四边形的两组对边分别平行2.平行四边形的对边相等3.平行四边形的对角相等4.夹在两条平行线间的平行线段相等5.平行四边形的两条对角线相互平分6.平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点【平行四边形的判定】1.根据定义来判定2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4.对角线相互平分的四边形是平行四边形5.两组对角分别相等的四边形是平行四边形矩形【定义】有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形【性质】1.矩形的四个角都是直角2.矩形的两条对角线相等3.矩形是中心对称图形，也是轴对称图形【判定】1.根据定义来判定2.有三个内角是直角的四边形是矩形3.对角线相等的平行四边形是矩形菱形【定义】有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形【性质】1.菱形的四条边都相等2.菱形的对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角3.菱形是中心对称图形，也是轴对称图形4.菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半【判定】1.根据定义来判定2.四条边都相等的四边形是菱形3.对角线相互垂直的平行四边形是菱形正方形（是特殊的矩形，亦为特殊的菱形——具备两者所有的性质）【定义】有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形。
【性质】1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等2.正方形的两条对角线相等，并且互相垂直，每条对角线平分一组对角【判定】1.根据定义来判定2.有一组邻边相等的矩形是正方形3.有一个内角是直角的菱形是正方形梯形【定义】一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
特别地，有一个角是直角的梯形叫做直角梯形，两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
【等腰梯形的性质】1.等腰梯形在同一底上的两个内角相等2.等腰梯形的两条对角线相等【等腰梯形的判定】1.在同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形2.对角线相等的梯形是等腰梯形三角形、梯形的中位线【定义】联结三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线；联结梯形两腰的中点的线段叫做梯形的中位线。
八年级数学下册知识点总结-四边形
B第十九章 四边形一、平行四边形1、定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、性质：（1）平行四边形的对边相等； （2）平行四边形的对角相等；（3）平行四边形的对角线互相平分。
3、判定：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （3）对角线互相平分的四边形是平行四边形； （4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
中位线：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
二、矩形1、定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、性质：（1）矩形的四个角都是直角； （2）矩形的对角线平分且相等。
3、判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有三个角是直角的四边形是矩形。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
三、菱形1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、性质：（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
3、判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四条边都相等的四边形是菱形。
S 菱形=1/2×ab （a 、b 为两条对角线） 四、正方形1、定义：有一组邻边相等的矩形；有一个角是直角的菱形。
2、性质：（1）正方形的四条边都相等; （2）正方形的四个角都是直角。
（3）正方形的两条对角线垂直平分且相等（每一条对角线与边的夹角是45°） 3、判定：（1）邻边相等的矩形是正方形。
（2）有一个角是直角的菱形是正方形。
（3）对角线垂直平分且相等的四边形是正方形。
五、梯形1.定义：梯形：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
直角梯形：有一个角是直角的梯形。
等腰梯形：两腰相等的梯形。
2、性质：（等腰梯形）（1）等腰梯形的两条对角线相等。
（2）等腰梯形同一底边上的两个角相等；3、判定：（等腰梯形）：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。
沪教版八年级下册第二十二章四边形第二节平行四边形复习课件
有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
如图：四边形ABCD是平行四边形 A
D
记作： □ABCD
O
B
C
线段AC、BD就是□ABCD的两条对角线。
A D
B
C
四边形ABCD
如果
AB∥CD AD∥BC
A
B ABCD
D C
平行四边形的性质
A
O
边 平行四边形的对边平行且相等
D
﹦ ﹦ ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB ∥CD，AD ∥ BC
求证：四边形BFDE是平行四边形
证法1：
∵四边形ABCD是平行四边形
AD ∥ BC且AD =BC
手A
E
B
EAD=FCB
D 在AED和CFB中
AE=CF
F
EAD=FCB
AD=BC
C
AED ≌ CFB(SAS)
DE=BF
同理可证：BE=DF
四边形BFDE是平行四边形
已知：E、F是平行四边形ABCD对角线
谢谢！
大 AC上的两点，并且AE=CF。
显 求证：四边形BFDE是平行四边形
身
证法2：联结BD，交AC于点O。
手A E
D ∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AO=CO，BO=DO
OF
∵AE=CF
B
C
∴AO-AE=CO-CF
∴EO=FO
又 BO=DO
∴ 四边形BFDE是平行四边形
小组讨论
如图,D,E在三角形ABC的边BC上，F、G分别在AC、
一条路，可以把菜地分成面积相等的两部分. 同学
们，你知道聪明的小明是怎么帮妈妈分的吗？
沪教版数学八年级下册四边形定理小报
沪教版数学八年级下册四边形定理小报
《沪教版数学八年级下册四边形定理小报》
四边形是我们生活中常见的几何形状之一，而在学习数学时，我们也需要了解四边形的定理和性质。
在沪教版数学八年级下册中，有关于四边形的定理内容，今天我们就来分享一下这些知识。
首先，我们需要了解什么是四边形。
四边形是指有四条边的多边形，其中包括矩形、菱形、平行四边形等各种形状。
在数学中，我们学习了一些关于四边形的定理，这些定理可以帮助我们更好地理解四边形的性质和特点。
首先是四边形的对角线定理，这个定理告诉我们，在平行四边形中，对角线相等；在菱形中，对角线垂直且相等；而在矩形中，对角线相等且互相垂直。
这个定理的理解和运用可以帮助我们更好地理解四边形的特点。
其次是四边形的边角和定理，这个定理告诉我们，在任意一个四边形中，相对边相等，相对角相等，相邻边互相垂直。
通过这个定理，我们可以更好地理解四边形的各种性质，从而更好地解答相关的问题。
总而言之，了解四边形的定理可以帮助我们更好地理解和掌握几何知识，对于我们的数学学习也有着重要的帮助。
希望大家能够认真学习四边形的定理，从中找到乐趣并取得更好的成绩。
八年级数学下册 第19章 四边形知识归纳沪科版
八年级数学下册第19章四边形知识归纳沪科版年级：姓名：第19章 四边形知识归纳四边形知识点：一、 关系结构图：二、知识点讲解：1．平行四边形的性质（重点）：ABCD 是平行四边形⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧.54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（2.平行四边形的判定（难点）：ABDOCC D AB A BCD O.3. 矩形的性质： 因为ABCD 是矩形⎪⎩⎪⎨⎧.3;2;1）对角线相等（）四个角都是直角（有通性）具有平行四边形的所（ (4)是轴对称图形，它有两条对称轴．4矩形的判定：矩形的判定方法：(1)有一个角是直角的平行四边形；(2)有三个角是直角的四边形； (3)对角线相等的平行四边形；(4)对角线相等且互相平分的四边形． 四边形ABCD 是矩形. 5. 菱形的性质： 因为ABCD 是菱形⎪⎩⎪⎨⎧.321角）对角线垂直且平分对（）四个边都相等；（有通性；）具有平行四边形的所（6. 菱形的判定：⎪⎭⎪⎬⎫+边形）对角线垂直的平行四（）四个边都相等（一组邻边等）平行四边形（321四边形四边形ABCD 是菱形.7.正方形的性质：ABCD 是正方形⎪⎩⎪⎨⎧.321分对角）对角线相等垂直且平（角都是直角；）四个边都相等，四个（有通性；）具有平行四边形的所（8. 正方形的判定：⎪⎭⎪⎬⎫++++一组邻边等矩形）（一个直角）菱形（一个直角一组邻边等）平行四边形（321四边形ABCD 是正方形.ABDOCADBCADBCOCD BAOCDBAO名称定义性质判定面积平行四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
①对边平行；②对边相等；③对角相等；④邻角互补；⑤对角线互相平分；⑥是中心对称图形①定义；②两组对边分别相等的四边形；③一组对边平行且相等的四边形；④两组对角分别相等的四边形；⑤对角线互相平分的四边形。
S=ah(a为一边长，h为这条边上的高)矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形除具有平行四边形的性质外，还有：①四个角都是直角；②对角线相等；③既是中心对称图形又是轴对称图形。
沪教版八年级数学下第二十二章 《四边形》全章复习与巩固(提高)知识讲解 讲义
《四边形》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 掌握多边形内角和与外角和公式，灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题.2. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念, 了解它们之间的关系. 掌握它们的性质和判别方法, 并能运用这些知识进行证明和计算.3. 掌握三角形和梯形的中位线定理，并能灵活应用.4. 了解平面向量的概念，能求两个向量的加法和减法运算.【知识网络】【要点梳理】要点一、多边形内角和定理、外角定理n 边形的内角和为(n －2)·180°(n ≥3)．要点诠释：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180n n°； 多边形的外角和为360°．n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.要点二、平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.性质：（1）．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；（2）．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；（3）．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；（4）．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.判定：（1）.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）.对角线互相平分的四边形是平行四边形.平行线的性质（1）平行线间的距离都相等（2）等底等高的平行四边形面积相等要点三、特殊的平行四边形矩形、菱形、正方形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形 叫做正方形.矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.矩形的判定：1. 有三个角是直角的四边形是矩形.2. 对角线相等的平行四边形是矩形.3. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.菱形的性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；3.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.菱形的判定：1. 四条边相等的四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3. 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.正方形的性质：1.正方形四个角都是直角，四条边都相等.2.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.3.正方形是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.正方形的判定：1.有一组邻边相等的矩形是正方形.2.有一个内角是直角的菱形是正方形.要点四、梯形定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形；有一个角是直角的梯形叫直角梯形；有两条腰相等的梯形叫做等腰梯形.等腰梯形性质：（1）两底平行，两腰相等；（2）同一底边上的两个角相等；（3）两条对角线相等；（4）轴对称图形（底的中垂线就是它的对称轴）． 面积：2高（上底＋下底）＝梯形 S 等腰梯形判定：（1）两腰相等的梯形是等腰梯形；（2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；（3）对角线相等的梯形是等腰梯形．解决梯形问题的常用方法（如下图所示）：（1）“作高”：使两腰在两个直角三角形中．（2）“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中．（3）“延长两腰”：构造具有公共角的两个三角形．（4）“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点，构成三角形．并且这个三角形面积与原来的梯形面积相等.综上，解决梯形问题的基本思路： 梯形问题分割、拼接转化三角形或平行四边形问题， 这种思路常通过平移或旋转来实现．三角形、梯形的中位线联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.要点五、平面向量平面向量的概念：既有大小，又有方向的量叫做向量.向量一般用,,a b c ……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB .向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模），记作|AB |或｜a ｜.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量.方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量.方向相同或相反的两个向量叫做平行向量.平面向量的加法：向量加法的三角形法则：求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量. 设,AB a BC b == ，则a b + ＝AB BC + ＝AC .向量加法的平行四边形法则：如果,a b 是两个不平行的向量，那么求它们的和向量时，任取一点为公共起点，作两个向量分别和,a b 相等；再以这两个向量为邻边作平行四边形；然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是a 与b的和向量. 向量的加法满足交换律a b b a +=+ ，满足结合律()()a b c a b c ++=++ .零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量. a ＝0 ⇔｜a ｜＝0.00a a a +=+= .平面向量的减法：已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法.减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.向量减法的三角形法则：在平面内任取一点，以这点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量.要点诠释：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量.（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD PQ QR AR +++++= ，但这时必须“首尾相连”． 【典型例题】类型一、多边形1、若一个多边形的每个外角都等于60°，则它的内角和等于（ ）A ．180°B ．720°C ．1080°D ．540°【思路点拨】由一个多边形的每个外角都等于60°，根据n 边形的外角和为360°计算出多边形的边数n ，然后根据n 边形的内角和定理计算即可．【答案】B ；【解析】解：设多边形的边数为n ，∵多边形的每个外角都等于60°，∴n ＝360°÷60°＝6，∴这个多边形的内角和＝（6－2）×180°＝720°．【总结升华】本题考查了n 边形的内角和定理：n 边形的内角和＝（n －2）•180°；也考查了n 边形的外角和为360°．类型二、平行四边形2、如图，点D 是△ABC 的边AB 的延长线上一点，点F 是边BC 上的一个动点（不与点B 重合）．以BD 、BF 为邻边作平行四边形BDEF ，又AP BE （点P 、E 在直线AB 的同侧），如果BD ＝14AB ，那么△PBC 的面积与△ABC 面积之比为（ ） A ．14 B ．35 C ．15 D ．34【答案与解析】解：过点P 作PH∥BC 交AB 于H ，连接CH ，PF ， ∵AP BE ，∴四边形APEB 是平行四边形，∴PE∥AB，PE ＝AB ，∵四边形BDEF 是平行四边形，∴EF∥BD，EF ＝BD ，即EF∥AB，∴P，E ，F 共线，设BD ＝a ，∵BD＝14AB ，∴PE＝AB ＝4a ， 则PF ＝PE －EF ＝3a ，∵PH∥BC，∴HBC BC S S △△P ，∵PF∥AB，∴四边形BFPH 是平行四边形，∴BH＝PF ＝3a ，∵:HBC ABC S S △△＝BH ：AB ＝3a ：4a ＝3：4，∴:BC ABC S S △P △＝3：4．【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质与三角形面积比的求解方法．此题难度较大，注意准确作出辅助线，注意等高三角形面积的比等于其对应底的比．举一反三：【变式】已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，分别以AB 、AC 、BC 为一边在BC 边同侧作正△ABD 、正△ACE 和正△BCF ，求以A 、E 、F 、D 四点为顶点围成的四边形的面积．【答案】证明：∵ AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，∴∠BAC ＝90°∵△ABD 、△ACE 和△BCF 为正三角形，∴AB ＝BD ＝AD ，AC ＝AE ＝CE ，BC ＝BF ＝FC ,∠1＋∠FBA ＝∠2＋∠FBA ＝60°∴∠1＝∠2易证△BAC ≌△BDF （SAS ），∴DF ＝AC ＝AE ＝4，∠BDF ＝90°同理可证△BAC ≌△FEC∴AB ＝AD ＝EF ＝3∴四边形AEFD 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）∵DF ∥AE ，DF ⊥BD延长EA 交BD 于H 点，AH ⊥BD ，则H 为BD 中点∴平行四边形AEFD的面积＝DF×DH＝4×32＝6.类型三、特殊的平行四边形3、如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝0B＝OC＝OD，∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，即：OE＝OF＝OG＝OH，∴四边形EFGH是矩形；（2）解：∵G是OC的中点，∴GO＝GC，∵DG⊥AC，∴∠DGO＝∠DGC＝90°，又∵DG＝DG，∴△DGC≌△DGO，∴CD＝OD，∵F是BO中点，OF＝2cm，∴BO＝4cm，∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝BO＝4cm，∴DC＝4cm，DB＝8cm，=∴矩形ABCD的面积＝4×2=．【总结升华】本题主要考查矩形的判定，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明对角线相等．举一反三：【变式】如图，O为△ABC内一点，把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四边形DEFG．（1）四边形DEFG是什么四边形，请说明理由；（2）若四边形DEFG是矩形，点0所在位置应满足什么条件？说明理由．【答案】解：（1）四边形DEFG是平行四边形．理由如下：∵D、G分别是AB、AC的中点，∴DG是△ABC的中位线；∴DG∥BC，且DG＝12 BC；同理可证：EF∥BC，且EF＝12 BC；∴DG∥EF，且DG＝EF；故四边形DEFG是平行四边形；（2）O在BC边的高上且A和垂足除外．理由如下：连接OA；同（1）可证：DE∥OA∥FG；∵四边形DEFG是矩形，∴DG⊥DE；∴OA⊥BC；即O点在BC边的高上且A和垂足除外．4、如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC AC，BD 相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F.（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．【思路点拨】（1）当旋转角为90°时，∠AOF＝90°，由AB⊥AC，可得AB∥EF，即可证明四边形ABEF为平行四边形；（2）证明△AOF≌△COE即可；（3）当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形，又由AB⊥AC，AB＝1，BC OA＝AB，即可得∠AOB＝45°，求得∠AOF＝45°，则可得此时AC绕点O顺时针旋转的最小度数为45°．【答案与解析】（1）证明：当∠AOF＝90°时，AB∥EF，又AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形．（2）证明： 四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝CO，∠FAO＝∠ECO，∠AOF＝∠COE.∴△AOF≌△COE∴AF＝CE（3）四边形BEDF可以是菱形．理由：如图，连接BF，DE，由（2）知△AOF≌△COE，得OE＝OF，∴EF与BD互相平分．∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形．AC==，在Rt△ABC中，2∴OA＝1＝AB，又AB⊥AC，∴∠AOB＝45°，∴∠AOF＝45°，∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形．【总结升华】要证明四边形菱形，先证明这个四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直的特征证明该平行四边形是菱形.举一反三：【变式】已知:如图所示，BD是△ABC的角平分线，EF是BD的垂直平分线，且交AB于E，交BC于点F.求证:四边形BFDE是菱形.【答案】证明：∵EF是BD的垂直平分线，∴EB＝ED，∠EBD＝∠EDB.又∵∠EBD＝∠FBD，∴∠FBD＝∠EDB，ED∥BF. 同理，DF∥BE，∴四边形BFDE是平行四边形.又∵EB＝ED，∴四边形BFDE是菱形.5、正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°．将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF＝FM；（2）当AE＝1时，求EF的长．【答案与解析】解：（1）证明：∵△DAE 逆时针旋转90°得到△DCM，∴DE＝DM ，∠EDM＝90°，∴∠EDF＋∠FDM＝90°，∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDM＝45°，在△DEF 和△DMF 中，DE DM EDF MDFDF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DEF≌△DMF（SAS ），∴EF＝MF ；（2）设EF ＝MF ＝x ，∵AE＝CM ＝1，且BC ＝3，∴BM＝BC ＋CM ＝3＋1＝4，∴BF＝BM －MF ＝BM －EF ＝4－x ，∵EB＝AB －AE ＝3－1＝2，在Rt△EBF 中，由勾股定理得EB 2＋BF 2＝EF 2，即()22224x x +-=， 解得：52x =，则EF ＝52． 【总结升华】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．举一反三：【变式】如图（1），正方形ABCD 和正方形CEFG 有一公共顶点C ，且B 、C 、E 在一直线上，连接BG 、DE ．（1）请你猜测BG 、DE 的位置关系和数量关系？并说明理由．（2）若正方形CEFG 绕C 点向顺时针方向旋转一个角度后，如图（2），BG 和DE 是否还存在上述关系？若存在，试说明理由；若不存在，也请你给出理由．【答案】解：(1)BG＝DE，BG⊥DE；理由是：延长BG交DE于点H，因为BC＝DC，CG ＝CE，∠BCG＝∠DCE所以△BCG≌△DCE，所以BG＝DE，∠GBC＝∠CDE．由于∠CDE＋∠CED＝90°，所以∠GBC＋∠DEC＝90°，得∠BHE＝90°．(2)上述结论也存在．理由：设BG交DE于H，BG交DC于K，同理可证△BCG≌△DCE，得BG＝ED，∠KBC＝∠KDH．又因为∠KBC＋∠BKC＝90°，可得∠DKH＋∠KDH＝90°，从而得∠KHD＝90°．类型四、梯形6、如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，cm s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向B以动点P从点A开始沿AD边向D以1/cm s的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发．当其中一点到达端点时，另一点也随3/之停止运动，设运动时间为t．问当t分别为何值时，四边形PQCD为平行四边形和等腰梯形?【思路点拨】若四边形PQCD是平行四边形，则必有PD＝CQ，作DE⊥BC于E，若四边形PQCD 是等腰梯形，由等腰梯形的轴对称性，必有QC－PD＝2EC，利用这些关系便可求出相应的时间t．【答案与解析】解：(1)设运动时间为t，则AP＝t，CQ＝3t∴ PD＝24－t若四边形PQCD是平行四边形，必有PD＝CQ，即24－t＝3t∴ t＝6(s)∴当t＝6s时，四边形PQCD是平行四边形．(2)过点D作DE⊥BC于E则EC ＝BC －AD ＝26－24＝2(cm )当四边形PQCD 是等腰梯形时，腰PQ ＝DC ，由等腰梯形的轴对称性，必有：CQ －PD ＝2EC即3t －(24－t)＝2×2∴ t ＝7(s)故当t ＝7s 时，四边形PQCD 是等腰梯形．【总结升华】本题将代数中方程思想与几何图形：平行四边形、梯形有机地结合起来，通过设未知数，用几何图形中线段的关系作相等关系列方程求解．7、如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，高AE ＝12，BD ＝15，AC ＝20．求梯形ABCD 的面积．【思路点拨】欲求梯形ABCD 的面积，已知高，只需求出两底之和AD ＋BC 即可，已知两对角线的长，为了应用这个条件，可以平移对角线，也可以作两高，将AD ＋BC 转化．【答案与解析】解：如图所示，过A 点作AF ∥BD 交CB 的延长线于F ，∵ AD ∥BC ，BD ＝15，∴ FB ＝AD ，AF ＝BD ＝15，FC ＝AD ＋BC ．∵ AE ⊥FC ，AE ＝12，AC ＝20，∴9EF =，16EC ==．∴ AD ＋BC ＝FC ＝FE ＋EC ＝16＋9＝25． ∴ 1()1502ABCD S AD BC AE =+= 梯形． 【总结升华】解决梯形问题常见的辅助线是将它设法转化为三角形、直角三角形、平行四边形、矩形等简单图形．类型五、平面向量8、如图，已知梯形ABCD ，AD∥BC，BC ＝2AD ，如果,,AD a AB b == 那么AC = _____.（结果用,a b 表示）【思路点拨】由梯形ABCD ，AD∥BC，BC ＝2AD ，,AD a = 根据平行向量的性质，即可求得BC的值，又由AC AB BC =+ ，即可求得答案.【答案】2a b + ；【解析】解：因为梯形ABCD ，AD∥BC，BC ＝2AD ，,AD a =所以22BC AD a == ,因为AB b = ，所以2AC AB BC a b =+=+ .【总结升华】此题考查了平面向量的知识与梯形的性质．此题难度不大，注意掌握三角形法则的应用，注意数形结合思想的应用．。
【高效培优】沪教版八年级数学下册第二十二章 四边形(章末整理与复习课件)
A F
E
B
CD谢谢观看对边平行且 四个角都 两条对角线互相平分
相等
是直角 且相 等
对边平 行四边 都相等
两条对角线互相垂直 对角相等 平分，每条对角线
平分一组对角
对边平行四 四个角都 边都相等 是直角
两条对角线互相垂直 平分且相等，每条对 角线平分一组对角
知识梳理 识别：
有三个角是直角
两组对边分别平行 平
四
形
两组对边分别相等 四 边
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（沪教版 初中 八年级）
知识梳理
沪教版八年级数学下册
知识结构
两组对边平行 平行四边形
任意四边形
一组对边平行 梯形 另一组对边不平行
矩形
正方形 菱 形
等腰梯形
直角梯形
知识结构
平行四边形
矩形 正方形 菱形
知识梳理
性质:
边
对边平行 且相等
角
对角相等
对角线
两条对角线互相平分
A
D
B
C
∠A+∠B=180°， ∠D+∠C=180°。
举一反三
7.如果一个四边形的每一个外角都等于 与之相邻的内角，那么这个四边形一定 是矩形或正方形。
举一反三 8.有三个角相等的四边形一定是矩形。
A D
C B
四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C。
举一反三 9.菱形的每一条对角线平分一组对角。
举一反三 10.一组对边平行，另一组对边相等 的四边形是平行四边形。
八年级数学下册(沪科版)《四边形》讲义
八年级下册数学讲义第19章 四边形 知识脉络：1．四边形的内角和与外角和定理： （1）四边形的内角和等于360°； （2）四边形的外角和等于360°.2．多边形的内角和与外角和定理： （1）n 边形的内角和等于(n-2)180°； （2）任意多边形的外角和等于360°.3．平行四边形的性质：因为ABCD 是平行四边形⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧.54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（4.平行四边形的判定： 是平行四边形）对角线互相平分（）一组对边平行且相等（）两组对角分别相等（）两组对边分别相等（）两组对边分别平行（ABCD 54321⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫.A BCD 1234AB CDABDOCABDOC两组对边平行四边行一 基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四边形，矩形，菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位线，梯形中位线.二 公式：1．S 菱形 =21ab=ch.（a 、b 为菱形的对角线 ,c 为菱形的边长 ，h 为c 边上的高） 2．S 平行四边形 =ah. a 为平行四边形的边，h 为a 上的高）三 常识： ※1．若n 是多边形的边数，则对角线条数公式是：2)3n (n -.2．规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”.3．如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.n 边形的的性质： （1）n 边形的内角和等于ο180)2(⋅-n ． （2）任意多边形的外角和等于ο360 （3）n 边形共有2)3(-n n 条对角线 （4）在平面内，内角都相等且边都相等的多边形叫做正多边形。
（5）正多边形的每个内角等于nn 180).2(- 平行四边形矩形菱形正方形图1FED CBA 图2FE D CBA四边形：四边形的内角和等于360°, 外角和等于360°1、四边形内角中最多有三个钝角，四个直角，三个锐角；2、四边形外角中最多有三个钝角、四个直角、三个锐角，最少没有钝角，没有直角，没有锐角；3、四边形内角与同一个顶点的一个外角互为邻补角． 平行四边形的性质:(1)平行四边形的邻角互补，对角相等． (2)平行四边形的对边平行且相等． (3)夹在两条平行线间的平行线段相等． (4)平行四边形的对角线互相平分． 平行四边形的判定:(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． (3)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． (4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形． (5)定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离．平行线间的距离处处相等 平行四边形的面积：ABCD S Y =BC·AE=CD·BF同底(等底)同高（等高）的平行四边形面积相等.ABCD S Y =BCFE S Y矩形的性质：(1)对边平行且相等。
初中四边形知识点-沪教版
一、多边形[n(n−3)]条1、n边形的对角线：共有12说明：利用上述公式，可以由一个多边形的边数计算出他的对角线的条数，也可以由一个多边形的对角线的条数求出它的边数。
2、多边形内角和定理：n边形内角和等于(n−2)∙180。
3、多边形内角和定理的推论：n边形的外角和等于360。
4、多边形的边数和多边形角的个数相等。
5、多边形截（剪）角问题：剪去一个角后，边的个数可能减少1，可能不变，可能增加1。
说明：多边形的外角和是一个常数（与边数无关），利用他解决有关计算题比利用多边形内角和公式及对角线求法公式简单。
无论用哪个公式解决有关计算，都要与解方程联系起来，掌握计算方法。
二、平行四边形平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形性质定理及推论1、平行四边形性质定理1：平行四边形的对角相等。
2、平行四边形性质定理2：平行四边形的对边相等。
3、平行四边形性质定理2推论：夹在平行线间的平行线段相等。
4、平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分。
5、平行四边形性质定理4：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。
性质拓展：1、若一条直线过子行四边形两条对角线的交点，则该直线平分平行四边形的周长和面积。
2、平行四边形的邻角（同旁内角）互补。
3、平行四边形的每一对角线将平行四边形分为两个全等的三角形。
4、平行四边形相邻两边之和等于周长一半。
5、对角线可以证明线段相等或线段的倍分关系。
平行四边形判定定理：定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
1、平行四边形判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
2、平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
3、平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
4、平行四边形判定定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
（1）平行四边形的定义、性质和判定是研究特殊平行四边形的基础。
同时又是证明线段相等，角相等或两条直线互相平行的重要方法。
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平行四边形
【定义】两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
【性质】
1.根据定义得，平行四边形的两组对边分别平行
2.平行四边形的对边相等
3.平行四边形的对角相等
4.夹在两条平行线间的平行线段相等
5.平行四边形的两条对角线相互平分
6.平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点【平行四边形的判定】
1.根据定义来判定
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4.对角线相互平分的四边形是平行四边形
5.两组对角分别相等的四边形是平行四边形
矩形
【定义】有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形
【性质】
1.矩形的四个角都是直角
2.矩形的两条对角线相等
3.矩形是中心对称图形，也是轴对称图形
【判定】
1.根据定义来判定
2.有三个内角是直角的四边形是矩形
3.对角线相等的平行四边形是矩形
菱形
【定义】有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
【性质】
1.菱形的四条边都相等
2.菱形的对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角
3.菱形是中心对称图形，也是轴对称图形
4.菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半
【判定】
1.根据定义来判定
2.四条边都相等的四边形是菱形
3.对角线相互垂直的平行四边形是菱形
正方形（是特殊的矩形，亦为特殊的菱形——具备两者所有的性质）
【定义】有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形。
【性质】
1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等
2.正方形的两条对角线相等，并且互相垂直，每条对角线平分一组对角
【判定】
1.根据定义来判定
2.有一组邻边相等的矩形是正方形
3.有一个内角是直角的菱形是正方形
梯形
【定义】一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
特别地，有一个角是直角的梯形叫做直角梯形，两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
【等腰梯形的性质】
1.等腰梯形在同一底上的两个内角相等
2.等腰梯形的两条对角线相等
【等腰梯形的判定】
1.在同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形
2.对角线相等的梯形是等腰梯形
三角形、梯形的中位线
【定义】联结三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线；联结梯形两腰的中点的线段叫做梯形的中位线。
【性质】
1.三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
2.梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。