八年级正方形典型例题

正方形·典型例题

能力素质

例1 如图4.6－2，已知正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分∠EBC

交DC于F，求证：BE＝AE＋CF．

解析证AE＋CF＝BE，可以把AE与CF相接，证其与BE相等．

证明延长EA到G，使AG＝CF，连结BG．

在正方形ABCD中，

AB＝BC，∠BAG＝∠C＝90°．

∴△GAB≌△FCB．

∴∠GBA＝∠FBC．

∠G＝∠BFC．

又∵AB∥CD．

∴∠BFC＝∠ABF＝∠EBA＋∠EBF．

又∵BF平分∠EBC，

∴∠EBF＝∠FBC．

∴∠GBA＝∠EBF．

∴∠G＝∠BFC＝∠EBA＋∠EBF

＝∠EBA＋∠GBA

＝∠EBG．

∴BE＝GE＝AG＋AE＝CF＋AE．

点击思维

例2 如图4.6－3，已知锐角△ABC中，以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结CE、BG，交点为O，求证：(1)EC＝BG；(2)EC ⊥BG．

解析易证△EAC≌△BAG，可得EC＝BG，∠AEC＝∠ABG，于是可证∠EOB＝∠EAB

证明 (1)在正方形ABDE和正方形ACFG中，

AE＝AB，AC＝AG，

∠EAB＝∠GAC＝90°，

∴∠EAB＋∠BAC＝∠GAC＋∠BAC．

即∠EAC＝∠BAG，

∴△EAC≌△BAG．

∴EC＝BG．

(2)由(1)知：△EAC≌△BAG，

∴∠AEC＝∠ABG．

又∵∠1＝∠2，

∴∠ABG＋∠2＝∠AEC＋∠1＝90°．

∴∠EOB＝∠EAB＝90°∴EC⊥BG．

点评若把例题中，∠BAC为锐角改为钝角，其余条件不变，上述两结论仍能成吗？如果成立试证明之．

例3 如图4.6－4，以△ABC的边AB，AC为边向形外作正方形ABDE 和正方形ACFG，AH⊥BC，交EG于M，垂足为H，求证：EM＝MG．

解析 (思路一)过E作AG的平行线交AM延长线于K，连接KG，证明四边形KEAG是平行四边形行即可．

(思路二)

可证E，G到AM的距离相等即可

证法一如图4.6－4

过E作EK∥AG，交AM的延长线于K，连

结GK．

∴∠KEA＋∠EAG＝180°．

在正方形ABDE和正方形ACFG中，

AE＝AB，∠EAB＝∠GAC＝90°．

∴∠EAG＋∠BAC＝180°．

∴∠KEA＝∠BAC．

∵AH⊥BC．

∴∠BAH＋∠ABC＝90°．

又∵∠EAK＋∠BAH＝90°．

∴∠EAK＝∠ABC．

又∵AB＝AE，

∴△KEA≌△ABC．

∴EK＝AC，又AC＝AG．

∴EK＝AG．

∴四边形EAGK是平行四边形．

∴EM＝MG．

证法二分别过E，G作AM的垂线，垂足为P、Q，

在正方形GACF中，

AG＝AC，∠GAC＝90°．

∴∠GAQ＋∠CAH＝90°．

又AH⊥BC．

∴∠CAH＋∠ACH＝90°．

∴∠GAQ＝∠ACH．

又∠GQA＝∠AHC＝90°．

∴△GQA≌△AHC．

∴GQ＝AH．

同理可证：EP＝AH．

∴EP＝GQ．

又∵∠PME＝∠GMQ．

∠EPM＝∠GQM＝Rt∠．

∴△EPM≌△GQM．

∴EM＝MG．

学科渗透

例4 如图4.6－6，已知E为正方形ABCD的边BC的中点，EF⊥AE，CF平分∠DCG，求证：AE＝EF．

解析可取AB中点M，连结ME，证△AME≌△ECF

证明取AB中点M，连结ME

在正方形ABCD中，

AB＝BC，∠B＝∠DCB＝90°．

又E为BC中点，

∴AM＝BM＝BE＝EC．

∴∠BME＝45°．

∴∠AME＝135°．

又CF平分∠DCG．

∴∠ECF＝135°．

∴∠AME＝∠ECF．

又∵AE⊥EF，

∴∠FEC＋∠AEB＝90°．

又∵∠BAE＋∠AEB＝90°．

∴∠FEC＝∠BAE．

∴△AME≌△ECF．

∴AE＝EF．

中考巡礼

例5 (2001年江苏扬州中考题)如图4.6－7，已知P点是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E，F

分别是垂足，求证：AP＝EF．

证明连结AC交BD于O，连结PC．

在正方形ABCD中，

BD⊥AC，BD平分AC．

∴PA＝PC．

又∵PE⊥CD，PF⊥BC，∠DCB＝90°．

∴四边形PFCE是矩形．

∴EF＝PC．

∴PA＝EF．

考点正方形性质，矩形性质和判定

例6 (2001年江苏泰州中考题)如图4.6－8已

知，正方形ABCD的对角线交于O，过O点作OE⊥OF，

分别交AB，BC于E，F，若AE＝4，CF＝3，则EF等于

[ ] A．7 B．5 C．4 D．3

解易证△AOE≌△BOF，△EOB≌△FOC．

∴AE＝BF，BE＝FC．

∴EF2＝BE2＋BF2＝32＋42．

∴EF＝5．

故选B．

考点正方形性质，全等的判定和性质，勾股定理．