苏教版高中数学选修2-3《两个基本计数原理》学案

1．1《两个计数原理》导学案

一、学习目标

1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；

2.会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题.

二、学习重难点

1、理解分类计数原理与分步计数原理

2、会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题

三、学习过程

一、问题情况

问题1:从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船.一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?

问题2:如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条.从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?

要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识.排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法.

在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理.

二、学生活动

探究：你能说说以上两个问题的特征吗？

问题一、看下面的问题：

问题1:.从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船.一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?

问题2:如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条.从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?

要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法.

在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理. 探究：你能说说以上两个问题的特征吗？ 三、数学建构

一、分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法.那么完成这件事共有n m N +=种不同的方法.

分类记数原理的另一种表述:

做一件事情，完成它可以有n 类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法,在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法. 问题1解答： 分析:

问题2解答：

分析:

四、数学应用

例 1 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，

（1）从书架上任取1本书，有多少种取法？

（2）从书架的第1，2，3层各取1本书，有多少不同的取法？ 分析:

A 村

B 村

C 村

北

南

中

北

南

点评:解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”.“分类完成”用“分类记数原理”;“分步完成”用“分步记数原理”.

例2 在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？ 分析1:

分析2:

二、分步记数原理：

做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有 12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法.

例 3 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)？首位数字不为0的号码数有多少？首位数字是0的号码数又有多少？ 分析: 答:

分类记数原理中的“分类”要全面, 不能遗漏; 但也不能重复、交叉;“类”与“类”之间是并列的、互斥的、独立的,也就是说,完成一件事情,每次只能选择其中的一类办法.若完成某件事情有n 类办法, 即它们两两的交为空集,n 类的并为全集. 分步记数原理中的“分步”程序要正确.“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可;但也不能重复、交叉;若完成某件事情需n 步,则必须且只需依次完成这n 个步骤后,这件事情才算完成

在运用“分类记数原理、分步记数原理”处理具体应用题时,除要弄清是“分类”还是“分步”外,还要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准.在“分类”或“分步”过程中,标准必须一致,才能保证不重复、不遗漏.

练习：

练习1 如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？

投影完成

解:

练习2如图,该电路,从A到B共有多少条不同的线路可通电？

解:

点评:我们可以把分类记数原理看成“并联电路”;分步记数原理看成“串联电路”.

五、课堂小结 1． 2.两个原理的异同点：

共同点是： ； 不同点是： .

参考答案 问题1解答：

分析: 从甲地到乙地有3类方法, 第一类方法,乘火车，有4种方法; 第二类方法,乘汽车，有2种方法; 第三类方法,乘轮船,有3种方法.

所以，从甲地到乙地共有4 + 2 + 3 = 9种方法. 问题2解答：

A

B

分析:从A 村经B 村去C 村有两步： 第一步,由A 村去B 村有3种方法, 第二步,由B 村去C 村有2种方法,

所以，从A 村经 B 村去C 村共有 3 ×2 = 6 种不同的方法. 例 1.

分析:(1)从书架上任取1本书，有三类办法：第一类办法, 从第1层中任取一本书, 共有 1m = 4 种不同的方法; 第二类办法, 从第2层中任取一本书, 共有

2m = 3

种不同的方法;第三类办法：从第3层中任取一本书,共有3m = 2 种不同的

方法.

所以, 根据分类记数原理,得到不同选法种数共有N = 4+3+2= 9 种.

点评:解题的关键是从总体上弄清楚这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”.“分类完成”用“分类记数原理”;“分步完成”用“分步记数原理”. 例2.

分析1:按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别有

1个,2个,3个,4个,5个,6个,7 个,8 个. 则根据分类记数原理共有 1 +2 +3 +4 + 5 + 6 + 7 + 8 =36 (个).

分析2:按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别有

8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.

则根据分类记数原理共有 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36 (个). 例 3.

分析:按号码位数,从左到右依次设置第一位、第二位、第三位、第四位,需分为四步完成：

A 村

B 村

C 村

北

南

中

北

南