中考数学证明角相等

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中考数学专题测试-四边形的证明与计算(答案解析)

【考点分析】一、证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。

11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。

12.两圆的内（外）公切线的长相等。

二、证明两角相等1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

8.相似三角形的对应角相等。

9.圆的内接四边形的外角等于内对角。

10.等于同一角的两个角相等三、证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。

3.平行四边形的对边平行。

4.三角形的中位线平行于第三边。

5.梯形的中位线平行于两底。

6.平行于同一直线的两直线平行。

7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。

四、证明两直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。

3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。

4.邻补角的平分线互相垂直。

中考数学复习指导：聚焦中位线定理的运用

聚焦中位线定理的运用中位线定理是三角形一个重要定理.有一个特点，在同一个题设下有两个结论：一个结论是表明两条线段的位置关系（平行），另一个结论是表明两条线段的数量关系（一半）.在应用这个定理时，不一定同时需要两个结论，有时需要平行，有时需要倍分关系.可以根据具体情况，按需选用.现举例说明中位线定理的运用.一、用于证明平行例1 在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，A D ⊥BD,垂足为D ，AE=EC. 求证：DE ∥BC.图1CFEDBA证明：延长AD 交BC 于点F. 因为BD 平分∠ABC ，所以∠ABD =∠CBD. 因为A D ⊥BD,所以∠BDA =∠BDF=900. 又BD=BD,所以△BDA ≌△BDF(ASA). 所以AD=DF.又因为AE=EC,所以DE ∥FC,即DE∥BC（三角形的中位线定理）.二、用于证明角相等例2 如图2，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，已知AC=BD,M,N分别是AD、BC 的中点，MN与AC、BD分别交于E、F点.求证：∠AEN=∠BFM.图24312FEBAP NMC D分析：可取CD或AB的中点构造中位线. 证明：可取AB的中点P，连接PM、PN. 因为AM=MD,AP=BP,BN=NC,所以MPBD21,PNAC21(三角形中位线定理).所以∠1=∠3，∠2=∠4.又因为AC=BD,所以MP=NP,∠3=∠4,所以∠1=∠2.所以∠AEN=∠BFM（等角的补角相等）.三、用于证明线段相等例3如图3，△ABC的AB、AC向形外作正三角形ABD和ACE,分别取BD、BC、CE的中点P、M、Q.求证：PM=QM.图3M D分析：中点P 、M 所在线段DB 、CB 有公共端点B ，若连接它们的另一端D 、C ，则PM 使成为△BCD 的中位线，同理连接BE 之后MQ 也成为△BEC 的中位线，通过中位线定理的传递，问题转化为证明DC 与BE 相等.证明过程由同学们自己完成！四、用于证明线段的特殊关系例4 如图4，已知四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、CD 、AC 、BD 的中点，且E 、F 、G 、H 不在同一条直线上，求证：EF 和GH 互相平分.分析：要证明EF 和GH 互相平分，可证明四边形EGFH 是平行四边形；有中点，可考虑利用中位线定理.图4GHBE ACFD证明：连接EG 、GF 、FH 、HE. 因为AE=EB, BH=HD,所以EH AD 21.同理FG AD 21.所以EHFG.所以四边形EGFH 是平行四边形. 所以EF 和GH 互相平分.。

2020年中考数学专题24相似三角形判定与性质

【答案】见解析。【解析】根据平行四边形的性质得到 AD∥CD，AD＝BC，得到△EBF∽△EAD，根据相似三角形的性质证明即可；根据相似三角形的性质列式计算即可．（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥CD，AD＝BC， ∴△EBF∽△EAD， ∴ ＝＝，
∴BF＝ AD＝ BC， ∴BF＝CF；（2）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥CD，
C．4
D．
【答案】B 【解析】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．由 S△ABC＝16.S△A′EF＝9 且 AD 为 BC 边的中线知 S△A′DE＝ S△A′EF＝，S△ABD＝ S△ABC＝8，根据△
DA′E∽△DAB 知（
专题 24 相似三角形判定与性质
专题知识回顾
1．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似多边形对应边的比叫做相似比。 2．三角形相似的判定方法: （1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，构成的三角形与原三角形相似。（3）判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。（4）判定定理 2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。（5）判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。 3．直角三角形相似判定定理: ①以上各种判定方法均适用 ②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 ③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 4．相似三角形的性质: （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比（3）相似三角形周长的比等于相似比（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

2021届中考数学专题复习训练——二次函数专题13.1二次函数综合之角度相等、45°角、二倍角

二次函数角度问题（角相等，45°角，二倍角）【经典例题1——角度相等】通过平行线，等腰等角，相似求解抛物线y ＝ax 2＋c 与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，点P 为抛物线上，且位于x 轴下方．（1）如图1，若P (1，－3)、B (4，0)， ① 求该抛物线的解析式；② 若D 是抛物线上一点，满足∠DPO ＝∠POB ，求点D 的坐标；【解析】(1)①将P(1，−3)，B(4，0)代入y=ax 2+c ，得⎩⎨⎧-=+=+3016c a c a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==51651c a ，∴抛物线的解析式为y=51x 2−516；②如图1，当点D 在OP 左侧时，由∠DPO=∠POB ，得DP ∥OB ， ∴D 与P 关于y 轴对称，且P(1，−3)， ∴D(−1，−3)；当点D 在OP 右侧时，延长PD 交x 轴于点G. 作PH ⊥OB 于点H ，则OH=1，PH=3. ∵∠DPO=∠POB ， ∴PG=OG.设OG=x ，则PG=x ，HG=x −1.在Rt △PGH 中，由x 2=(x −1)2+32，得x =5. ∴点G(5，0).∴直线PG 的解析式为y=43x −415，∴MF=1，BF=2， ∴M （2，1）…（5分） ∵MN 是BC 的垂直平分线， ∴CN=BN ，设ON=x ，则CN=BN=4-x ，在Rt △OCN 中，CN 2=OC 2+ON 2， ∴（4-x ）2=22+x 2，解得：x =23，∴N （23，0）．设直线DE 的解析式为y=kx +b ，依题意，得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02312b k b k ，解得：⎩⎨⎧-==32b k ．∴直线DE 的解析式为y=2x -3．解法二：如图2，设BC 的垂直平分线DE 交BC 于M ，交x 轴于N ，连接CN ，过点C 作CF ∥x 轴交DE 于F ． ∵MN 是BC 的垂直平分线， ∴CN=BN ，CM=BM ．设ON=x ，则CN=BN=4-x ，在Rt △OCN 中，CN 2=OC 2+ON 2， ∴（4-x ）2=22+x 2，解得：x =23，∴N （23，0）． ∴BN=4-23=25．∵CF ∥x 轴，∴∠CFM=∠BNM ． ∵∠CMF=∠BMN ，∴△CMF ≌△BMN ．∴CF=BN ．∴F （25，2）．设直线DE 的解析式为y=kx +b ，得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02312b k b k ，解得：⎩⎨⎧-==32b k∴直线DE 的解析式为y=2x -3．（3）由（1）得抛物线解析式为y=21x 2-25x +2，【解析】(1)∵y=−x2+(a+1)x−a解得x 1=a ，x 2=1由图象知：a <0 ∴A(a ，0)，B(1，0) ∵S △ABC =6 ∴21(1−a )(−a )=6 解得：a =−3，(a =4舍去)； (2)如图①，∵A(−3，0)，C(0，3)， ∴OA=OC ，∴线段AC 的垂直平分线过原点， ∴线段AC 的垂直平分线解析式为：y=−x ， ∵由A(−3，0)，B(1，0)， ∴线段AB 的垂直平分线为x =−1 将x=−1代入y=−x ，解得：y=1∴△ABC 外接圆圆心的坐标(−1，1)(3)如图②，作PM ⊥x 轴交x 轴于M ，则S △BAP =21AB ⋅PM=21×4d ∵S △PQB =S △PAB∴A 、Q 到PB 的距离相等， ∴AQ ∥PB设直线PB 解析式为：y=x +b ∵直线经过点B(1，0)所以：直线PB 的解析式为y=x −1 联立y=−x 2−2x +3；y=x −1. 解得：x =−4；y=−5. ∴点P 坐标为(−4，−5) 又∵∠PAQ=∠AQB ，∴∠BPA=∠PBQ ，∴AP=QB ，在△PBQ 与△BPA 中，AP=QB ，∠BPA=∠PBQ ，PB=BP ， ∴△PBQ ≌△ABP(SAS)， ∴PQ=AB=4设Q(m ，m+3)由PQ=4得：(m+4)2+(m+3+5)2=42解得：m=−4，m=−8(当m=−8时，∠PAQ ≠∠AQB ，故应舍去) ∴Q 坐标为(−4，−1).练习1-1如下图，已知抛物线y＝ax2＋bx+5经过A(-5，0)，B(-4，-3)两点，与x 轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD.（1）求该抛物线的表达式.（2）点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t.该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由练习1-2.如图，抛物线y=ax2＋bx+6与x轴交于点A（﹣2，0）、点B（6，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点D（4，m）在抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；练习1-3.(2019泰安)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴、y轴分别交于点A(3，0)、B(0，－2)，且过点C(2，－2)．(1)求二次函数解析式；(2)若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；(3)在抛物线上(AB下方)是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M 到y轴的距离；若不存在，请说明理由．练习1-4.抛物线322++-=x x y 与x 轴交于点A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求直线BC 的解析式；（2）抛物线的对称轴上存在点P ，使∠APB=∠ABC ，利用图1求点P 的坐标；（3）点Q 在y 轴右侧的抛物线上，利用图2比较∠OCQ 与∠OCA 的大小，并说明理由．练习1-5如图(1)，直线y=−34x +n 交x 轴于点A ，交y 轴于点C(0，4)，抛物线y=32x 2+bx +c 经过点A ，交y 轴于点B(0，−2).点P 为抛物线上一个动点，过点P 作x 轴的垂线PD ，过点B 作BD ⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m. (1)求抛物线的解析式；(2)当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；(3)如图(2)，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD′P′，当旋转角∠PBP′=∠OAC ，且点P 的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标。

中考数学证明角相等

初中平面几何证法
一.证明角相等
1.余角、补角的性质:同角(或等角)的余角 (补角)相等.
2
1
3
∠1+∠2=90º ∠1+∠3=90º
∠2 =∠3
1.余角、补角的性质:同角(或等角)的余角 (补角)相等. 2.对顶角相等. 3.平行线的性质:两直线平行同位角(内错角)相等. 4.三角形外角定理:三角形外角等于和它不相邻的内角之和. 5.全等三角形的性质:全等三角形对应角相等. 6.等腰三角形的性质:等边对等角;三线合一. 7.直角三角形的性质:在直角三角形中,如果一条直角边是斜
角都等于它的内对角. 16.弦切角定理:弦切角等于所夹弧所对的圆周角 17:两个弦切角所夹的弧相等,这两个弦切角相等. 18.三角形的内心的性质:三角形的内心与角顶点的连线平分这个角.
19.正多边形的性质:正多边形的外角等于它的中心角.
例1：已知 I 为ABC的内心，延长AI 交BC于D，作IE ⊥BC. 求证：∠BID=∠CIE
边的一半,则这条直角边所对的角是 30°.
8.角平分线的性质定理的逆定理:到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
9.平行四边形的性质:平行四边形的对角相等.
10.菱形的性质:菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角.
11.等腰梯形的性质定理:等腰梯形同一底上的两个角相等.
例4：AB是 ⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，M是上任意一点。延长AM与DC的延长线交于F。求证： ∠FMC=∠AMD
分析：
已知条件有直径与弦互相垂直，可考虑用垂径定理。
要证∠FMC=∠AMD 而∠FMC 是圆内接四边形ABCM的外角，所以∠FMC=∠ABC
∠AMD与∠ABC所对的弧

中考数学考点系统复习第四章三角形方法技巧突破(四) 全等三角形之六大模型

证明三角形全等的关键：解题 (1)找公共角、垂直、对顶角、等腰等条件得对应角相等；思路 (2)找公共边、中点、等底角、相等边、线段的和差等条件
得对应边相等
2．(2021·泸州)如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C.求
证：BD＝CE. 证明：在△ABE与△ACD中，
∠A＝∠A，
AB＝AM，
在△ABN 和△AMC 中，∠BAN＝∠MAC， AN＝AC，
∴△ABN≌△AMC(SAS)，∴BN＝MC.
6．如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE 与 BD 交于点 F.
(1)求证：AE＝BD；证明：∵AC⊥BC， DC⊥EC， ∴∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB＋∠BCE＝∠DCE＋∠BCE，即∠ACE＝∠BCD.在△ACE 和△BCD 中， AC＝BC，
证明：∵ BF＝EC，
∴EF＝ BC，
在△BCA与△EFD中，
AB＝DE，
∠B＝∠E， BC＝EF， ∴△BCA≌△FED（SAS）， ∴∠A＝∠D，
模型二：轴对称型【模型归纳】
有公模型共边展示有公共
顶点Leabharlann 模型所给图形沿公共边所在直线或者经过公共顶点的某条直线特点折叠，两个三角形能完全重合
5．如图，在△ABC 中，分别以 AB，AC 为边向外作等边三角形 ABM 与等边三角形 ACN，连接 MC，BN.求证：BN＝MC.
证明：∵△ABM 和△ACN 是等边三角形， ∴AB＝AM，AN＝AC，∠BAM＝∠NAC＝60°，又∵∠BAN＝∠BAC＋∠NAC， ∠CAM＝∠BAC＋∠BAM， ∴∠BAN＝∠MAC，
＝ 43BD2
解题常过顶点作角两边的垂线，构造全等三角形，或旋转一定的角

2021届中考数学专题复习训练——二次函数专题13.1二次函数综合之角度相等、45°角、二倍角

相似三角形的判定和性质-备战2023年中考数学考点微专题

考向5.6 相似三角形的判定和性质【知识要点】1、相似三角形：两个对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

说明：证两个三角形相似时和证两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样便于找出相似三角形的对应角和对应边。

2、相似比：相似三角形对应边的比k，叫做相似比（或叫做相似系数）。

3、相似三角形的基本定理：平分于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

说明：这个定理反映了相似三角形的存在性，所以有的书把它叫做相似三角形的存在定理，它是证明三角形相似的判定定理的理论基础。

4、三角形相似的判定定理：（1）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么就两个三角形相似。

可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。

（2）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

（3）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似。

（4）直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

说明：以上四个判定定理不难证明，以下判定三角形相似的命题是正确的，在解题时，也可以用它们来判定两个三角形的相似。

第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。

第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

第五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形．相似。

5、相似三角形的性质：（1）相似三角形性质1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。

中考数学圆周角相等知识点

中考数学圆周角相等知识点在中考数学中，我们经常会遇到关于圆周角相等的题目。

了解圆周角相等的知识点对于解题非常重要。

本文将带你一步一步了解圆周角相等的概念和相关性质。

1. 圆周角的定义首先，我们需要了解什么是圆周角。

圆周角是指以圆心为顶点的角。

当我们在一个圆的周长上选择两个非邻接的点，这两个点和圆心之间形成的角就是圆周角。

2. 圆周角相等的概念当两个圆周角的度数相等时，我们称它们为“圆周角相等”。

换句话说，如果两个圆周角的度数相同，它们就是相等的。

3. 圆周角相等的性质了解圆周角相等的性质对于解题非常有帮助。

以下是圆周角相等的一些重要性质：•若两个角为圆周角，则它们的度数相等。

•若两个圆周角的度数相等，则它们是相等的。

4. 圆周角相等的证明为了证明两个圆周角相等，我们可以使用各种方法和定理。

以下是一些常见的证明方法：•利用等弧长弧所对的圆周角相等的性质进行证明。

•利用同一个圆上的两个弦所对的圆周角相等的性质进行证明。

•利用圆心角与所对弧的关系进行证明。

5. 圆周角相等的应用了解圆周角相等的概念和性质，我们可以将其应用于解题过程中。

以下是一些常见的应用场景：•利用圆周角相等的性质求解未知角度的大小。

•利用已知角度与圆周角相等的性质求解其他未知角度的大小。

•利用圆周角相等的性质解决几何问题，如证明两条弧相等、判断两个角是否相等等。

6. 练习题为了更好地掌握圆周角相等的知识，以下是一些练习题供你练习：1.已知圆的半径为3cm，弧AB的长度为4cm，求角AOB的度数。

2.若两个圆周角的度数相等，它们的角度是否一定相等？请给出证明或反例。

3.在一个半径为5cm的圆中，弧XY的度数为120°，求角XOY的度数。

7. 总结通过本文的介绍，我们了解了圆周角相等的概念和性质，并学会了如何运用这些知识解题。

希望通过不断练习和应用，你能够熟练掌握圆周角相等的相关知识，提高数学解题的能力。

初中数学如何判断两个角是否相等

初中数学如何判断两个角是否相等
在初中数学中，判断两个角是否相等是一个基本的概念。

下面是一些关于判断两个角是否相等的方法和步骤：
1. 了解相等角的定义：相等角是指两个角的度数相等。

在一个平面内，如果两个角的度数相等，那么它们是相等角。

2. 观察两个角的度数：观察两个角的度数，看它们是否相等。

如果两个角的度数相等，那么它们是相等角。

3. 利用相等角的性质：利用相等角的性质来判断两个角是否相等。

相等角的度数是相等的。

如果两个角的度数相等，那么它们是相等角。

4. 比较两个角的度数：比较两个角的度数，看它们是否相等。

可以使用量角器或者其他工具来测量角的度数，然后比较它们的数值。

如果两个角的度数相等，那么它们是相等角。

通过以上步骤，我们可以判断两个角是否相等。

如果它们的度数相等，或者它们的度数相等，那么它们是相等角。

总结起来，判断两个角是否相等需要观察它们的度数，比较它们的度数，以及利用相等角的性质。

如果两个角的度数相等，或者它们的度数相等，那么它们是相等角。

理解和应用这些方法，可以帮助我们准确地判断两个角是否相等。

中考数学解答题之四边形的有关证明与计算

E A D M B C N
考点 4
平行四边形、特殊的平行四边形
【例 4】（梅州）如图，在△ABC 中，点 P 是边 AC 上的一个动点，过点 P 作直线 MN∥BC，设 MN 交∠BCA 的平分线于点 E，交∠BCA 的外角平分线于点 F． (1)求证：PE＝PF； (2)当点 P 在边 AC 上运动时，四边形 BCFE 可能是菱形吗？说明理由； (3)若在 AC 边上存在点 P，使四边形 AECF 是正方形，且 AP 3 ＝．求此时∠A 的大小． BC 2 A E P F
重点、难点
2.线角的证明与计算. 难点：证明与计算的综合运用
考点及考试要求
会解决中考之第 20 或 21 题---有关于四边形的有关证明与计算（以及三角形）
教学内容
【考点链接】
一、证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。 10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 12.两圆的内（外）公切线的长相等。二、证明两角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。 4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。 5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

中考数学：相似三角形的判定和判定方法

中考数学：相似三角形的判定和判定方法
2019年中考数学：相似三角形的判定和判定方
法
相似三角形的判定
1.两个三角形的两个角对应相等
2.两边对应成比例，且夹角相等
3.三边对应成比例
4.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。

相似三角形的判定方法
根据相似图形的特征来判断。

(对应边成比例，对应边的夹角相等)
1.平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)
相交，所构成的三角形与原三角形相似;
(这是相似三角形判定的引理，是以下判定方法证明的基础。

这个引理的证明方法需要平行线分线段成比例的证明)
2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应
相等，那么这两个三角形相似;
3.如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似;
4.如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似;
5.对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形
三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

人教版八年级上册数学专题复习证明三角形全等的常见题型

证明三角形全等的常见题型全等三角形是初中几何的重要内容之一，全等三角形的学习是几何入门最关键的一步，这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习。

而一些初学的同学，虽然学习了几种判定三角形全等的公理和推论，但往往仍不知如何根据已知条件证明两个三角形全等。

在辅导时可以抓住以下几种证明三角形全等的常见题型，进行分析。

一、已知一边与其一邻角对应相等1．证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等。

例1已知：如图1，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C .求证：AF=DE。

证明∵BE=CF（已知），∴BE+ EF=CF+EF，即 BF=CE。

在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（SAS）。

∴ AF=DE（全等三角形对应边相等）。

2．证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA证全等。

例2已知：如图2，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。

求证：AE=CE。

证明∵ FC∥AB（已知），∴∠ADE=∠CFE（两直线平行，内错角相等）。

在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（ASA）.∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）3．证已知边的对角对应相等，再用AAS证全等。

例3（同例2）.证明∵ FC∥AB（已知），∴∠A=∠ECF（两直线平行，内错角相等）.在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（AAS）.∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）。

二、已知两边对应相等1．证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证等。

例4已知：如图3，AD=AE，点D、E在BCBD=CE，∠1=∠2。

求证：△ABD≌△ACE.证明∵∠1=∠2（已知），∠ADB=180°-∠1，∠AEC=180°-∠2（邻补角定义），∴∠ADB = ∠AEC，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）.2．证第三边对应相等，再用SSS证全等。

例5已知：如图4，点A、C、B、D在同一直线AC=BD，AM=CN， BM=DN。

中考数学解答题压轴题突破重难点突破八几何综合题类型四：与角度有关的几何问题

2，CA＝5，则AD的长度为 13；
(2)如图②，当点D在△ABC外部ห้องสมุดไป่ตู้，连接AE，F为AE的中点，连接FD并延长到点G，连接EG，若EG＝EB，求证：∠EGF＝∠FDA；
(2)证明：延长GF到点H，使FH＝FD，连接EH. ∵EF＝AF，∠EFH＝∠AFD，∴△EFH≌△AFD(SAS)， ∴∠FDA＝∠H，AD＝EH. ∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)， ∴AD＝BE.∵BE＝EG，∴EH＝EG，∴∠EGF＝∠H，∴∠EGF＝∠FDA.
(3)如图③，当点D在△ABC中线CF上时，在线段BF上取一点Q(不与点F重合)，连接DQ，将△FDQ沿DQ翻折得到△F′DQ，连接BF′，EF′，若CD ＝2，AC＝3 2，当BF′最小时，求△DEF′的面积．
(3)解：连接BD，∵△ABC是等腰直角三角形，CF是中线，∴CF⊥AB，
∵AC＝3 2，∴CF＝BF＝3，∵CD＝2，∴DF＝1，DE＝2 2，
②判断∠DEC和∠EDC的数量关系，并说明理由； ②解：∠DEC＋∠EDC＝90°，理由：∵DB＝DC，DA⊥BC， ∴∠BDA＝12∠BDC＝30°，∵△BAD≌△BEC，∴∠BCE＝∠BDA＝30°，在等边三角形BCD中，∠BCD＝60°，∴∠DCE＝∠BCE＋∠BCD＝90°， ∴∠DEC＋∠EDC＝90°.
∴∠BDA＝∠CDA＝12∠BDC＝30°，在△BDA中，DB＝DA， 180°－∠BDA
∴∠BAD＝ 2 ＝75°，在△DAC中，DA＝DC， 180°－∠ADC
∴∠DAC＝ 2 ＝75°， ∴∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝75°＋75°＝150°；
②当点A在线段DF上时， ∵以点B为旋转中心，把BA顺时针方向旋转60°至BE，∴BA＝BE， ∠ABE＝60°，在等边三角形BDC中，BD＝BC，∠DBC＝60°， ∴∠DBC＝∠ABE，∠DBC－∠ABC＝∠ABE－∠ABC，即∠DBA＝∠EBC， ∴△DBA≌△CBE，∴DA＝CE，在Rt△DFC中，∠DFC＝90°，∴DF＜DC， ∵DA＜DF，DA＝CE，∴CE＜DC，由②可知△DCE为直角三角形，∴∠DEC≠45°.

中考数学证明角相等

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