单元静定结构的内力分析
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1.梁的内力 分析梁内力的方法仍然是截面法。 梁发生弯曲时，梁的横截面上同时存在两个内力： 一个是与横截面相切的剪力Q；另一个是作用面与 横截面垂直的弯矩M。
2.用截面法求指定截面上的剪力和弯矩 用截面法求解指定截面的剪力和弯矩的具体步骤如下。 （1）计算支座反力。 （2）用截面把所求内力处截成两段，选取其中一段为 研究对象，并画出正向的剪力和弯矩。 （3）列平衡方程求解，求出所要求的内力。
【例3-8】 简支梁受集中荷载作用如图所示，画梁的剪力图 和弯矩图，并确定 Qmax 、M max
§3.5 使用简捷法画梁的内力图
3.5.1 剪力、弯矩、荷载集度之间的微分关系
dQ ( x) q( x) dx
dM ( x) Q( x) dx
d 2 M ( x) q( x) 2 dx
3.5.2 使用简捷法画梁的剪力图和弯矩图
X 0
N CB P3 0 NCB P3 1kN (压力)
3.2.2 轴向拉（压）杆轴力图
为了直观地表示各横截面轴力的变化情况，通常以平行 于杆轴线的坐标轴表示横截面的位置，以垂直于杆轴线的坐 标轴表示轴力的大小，并规定坐标轴上方的轴力为正值，坐 标轴下方的轴力为负值，将表示杆件的轴力随截面位置变化 的规律图线称为轴力图。为了工程应用方便，轴力图与结构 简图一般应画在一起，横截面位置应一一对齐。 【例3-3】 直杆AD受力如图所示，已知F1=16 kN， F2=10 kN，F3=20 kN，试画出直杆AD的轴力图。
§3.1 内力和截面法
3.1.1 几种常见内力
（1）轴力 （2）剪力 （3）弯矩
3.1.2 截面法求内力
（1）截取 （2）代替 （3）平衡
§3.2 轴向拉（压）杆的内力与 内力图
3.2.1 轴向拉（压）杆轴力计算
【例3-1】 如图所示，设一直杆AB沿轴向受力P1、P2、P3的 作用，试求各段的轴力。
静定平面刚架的基本特点是：在结构变形过程中，各杆 件以弯曲变形为主；刚性联结的杆件之间在刚结点处的夹角 保持不变；全部支座反力和内力都能由静力平衡条件求得。
3.7.2 静定平面刚架的内力图
刚架需要画3个内力图即剪力图、弯矩图和轴力图，需要 先求各杆端截面的内力值，然后按照绘制梁内力图的方法绘制。
【例3-13】 试求如图所示简支刚架的内力图。
1.剪力图和弯矩图的规律 （1）在无荷载作用的区段，剪力图平行于X轴的直线，弯 矩图为斜直线。当剪力图为正时，弯矩图斜向右下方；当剪 力图为负时，弯矩图斜向右上方。 （2）在均布荷载作用的区段，剪力图为斜直线，均布荷 载方向向下时，剪力图斜向右下方，弯矩图是下凸（开口向 上）的抛物线。 （3）在集中力作用处，剪力图突变，突变的绝对值等于 集中力值；弯矩图线发生转折。 （4）在集中力偶作用处，弯矩图突变，突变的绝对值等 于该力偶的力偶矩；剪力图无变化。 （5）在剪力为零的截面处对应弯矩的极值。
0 QK QK cos K H sin K 0 N K QK sin K H cos K
0 MK MK Hy K
3.9.4 三铰拱的合理拱轴线
从力学角度看，无ห้องสมุดไป่ตู้矩状态是最合理的受力状态，因此， 在给定荷载和3个铰位置的情况下，可选取一条适当的拱轴 线，使各截面弯矩为零，此时三铰拱只承受轴力，称这条轴 线为合理拱轴线。
§3.8 静定平面桁架的内力
3.8.1 桁架概述
由若干个直杆组成只含有铰结点的结构称为桁架， 如图所示。实际桁架的结点可以是焊接、铆接等，受力 较复杂。
3.8.2 结点法
1.结点法简介 结点法是截取桁架的结点为隔离体，由结点的平衡条 件计算桁架杆件内力的方法。 【例3-15】 试用结点法计算如图所示静定平面桁架各杆的轴力。
§3.4 列内力方程画梁的内力图
3.4.1 内力方程和内力图
Q Q( x)
M M ( x)
3.4.2 剪力图和弯矩图的画法
剪力图与弯矩图的画法是：先列出剪力、弯矩的函数 方程，再画出函数图形，在土建工程中，习惯把正剪力画 在X轴上方，负的剪力画在X轴下方，正的弯矩画在X轴的 下方，负的弯矩在X轴的上方，注意要标注正负号。弯矩图 总是画在梁轴线受拉一侧，这样便于在混凝土梁中配置钢 筋，即混凝土梁的受力钢筋基本上配置在梁受拉一侧。
单元3 静定结构的内力 分析
• • • • • • • • •
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 §3.6 §3.7 §3.8 §3.9
内力和截面法 轴向拉（压）杆的内力与内力图 梁的内力计算 列内力方程画梁的内力图 使用简捷法画梁的内力图 叠加法画梁的弯矩图 静定平面刚架的内力 静定平面桁架的内力 三铰拱的内力
M
C
0
N a 4 20 6 10 3 0 N a 22.5(压力)
M
F
0
Y 0
N c 4 20 9 10 6 0 Nc 30(拉力)
20 10 N b
4 0 5 Nb 12.5(压力)
§3.9 三铰拱的内力
M y H
0 C
3.9.1 拱结构概述
竖向荷载的作用下会产生水平反力的曲杆结构称为拱。 由于水平推力的存在，通常拱中的弯矩和剪力比梁中的弯矩 小得多，拱主要以受压为主。
3.9.2 三铰拱支座反力的计算
V A V A0 V B V B0 0 MC H f
3.9.3 三铰拱的内力计算
3.8.3 截面法
截面法是用某一截面（可为平面或曲面）把桁架截成两 部分，取一部分（不止包含一个结点）为隔离体，画出其 受力图，并据此建立平衡方程来求解桁架杆件轴力的方法。
【例3-16】 试用截面法求如图所示桁架中a、b、c各杆的 内力,其中AE=EC。
在图上作截面I—I，截断要求内力的三根杆，取左半部 分为隔离体，取两个未知力作用线的交点为矩心，列平衡方 程如下：
2.简捷作图法 【例3-11】 利用M、Q、q之间的微分关系画出如图所示 梁的Q、M图。
§3.6 叠加法画梁的弯矩图
叠加原理是指在线弹性、小变形条件下，由几种荷载 共同作用所引起的某一参数（如反力、内力、应力、变 形）等于各种荷载单独作用时引起的该参数值的代数和。 运用叠加原理画弯矩图的方法称为叠加法。
2.零杆 杆件的内力等于零，这种杆称为零杆，计算时可先去 掉零杆以简化计算。零杆的特征有以下几个。 （1）不共线的两个杆共有一个结点，结点上若无荷载作 用，则此两杆均为零杆；若在结点上作用一个与其中一杆共 线的荷载，则另一杆必为零杆。 （2）无荷载作用的三个杆共有一个结点，若其中两杆共 线，则第三杆必为零杆，且在同一直线上的两杆内力必大小 相等，且性质相同。
Y 0
RA Q 0
M
O
0
- RA a M 0 M RA a
Q RA
3.3.3 梁的内力计算
1)用截面法计算内力的规律 梁上任一横截面上的剪力Q在数值上等于此截面左侧（或 右侧）梁上所有外力的代数和。 梁上任一横截面上的弯矩M在数值上等于此截面左侧（或 右侧）梁上所有外力对该截面形心力矩的代数和。 2)关于剪力Q和弯矩M的符号问题 3)用截面法计算内力的简便方法
解：（1）分段计算轴力。用截面法截取研究对象，分别求 得： FN1=F1=16 kN（拉） FN2=F1-F2=16-10=6 kN（拉） FN3=-FD=-14 kN（压） （2）作轴力图。
§3.3 梁的内力计算
3.3.1 平面弯曲梁
1.弯曲变形和梁
2.平面弯曲 3.单跨梁的形式
3.3.2 梁的内力计算
用叠加法画弯矩图的步骤如下。 （1）把作用在梁上的复杂荷载分成几组简单荷载，分 别画出梁在各简单荷载作用下的弯矩图，其简单荷载作用下 的弯矩图可查表3-1。
（2）在梁上每一控制截面处，将各简单荷载弯矩图相应的 纵坐标代数相加，得到复杂荷载作用下的弯矩图。
§3.7 静定平面刚架的内力
3.7.1 刚架的特点及类型
解：（1）求AC段轴力。 在AC段内用截面1—1将杆截开，取左段为研究对象 ，将右段对左段的作用以内力NAC代替，如图所示，且均 假定轴力为拉力。由平衡方程：
X 0
N AC P 1 0
N AC P ) 1 2kN (拉力
（2）求CB段的轴力。 用截面2—2假想地将杆截开，取右段为研究对象，将 左段对右段的作用以轴力NCB代替，且假定轴力为拉力， 如图所示。由平衡方程：
2.用截面法求指定截面上的剪力和弯矩 用截面法求解指定截面的剪力和弯矩的具体步骤如下。 （1）计算支座反力。 （2）用截面把所求内力处截成两段，选取其中一段为 研究对象，并画出正向的剪力和弯矩。 （3）列平衡方程求解，求出所要求的内力。
【例3-8】 简支梁受集中荷载作用如图所示，画梁的剪力图 和弯矩图，并确定 Qmax 、M max
§3.5 使用简捷法画梁的内力图
3.5.1 剪力、弯矩、荷载集度之间的微分关系
dQ ( x) q( x) dx
dM ( x) Q( x) dx
d 2 M ( x) q( x) 2 dx
3.5.2 使用简捷法画梁的剪力图和弯矩图
X 0
N CB P3 0 NCB P3 1kN (压力)
3.2.2 轴向拉（压）杆轴力图
为了直观地表示各横截面轴力的变化情况，通常以平行 于杆轴线的坐标轴表示横截面的位置，以垂直于杆轴线的坐 标轴表示轴力的大小，并规定坐标轴上方的轴力为正值，坐 标轴下方的轴力为负值，将表示杆件的轴力随截面位置变化 的规律图线称为轴力图。为了工程应用方便，轴力图与结构 简图一般应画在一起，横截面位置应一一对齐。 【例3-3】 直杆AD受力如图所示，已知F1=16 kN， F2=10 kN，F3=20 kN，试画出直杆AD的轴力图。
§3.1 内力和截面法
3.1.1 几种常见内力
（1）轴力 （2）剪力 （3）弯矩
3.1.2 截面法求内力
（1）截取 （2）代替 （3）平衡
§3.2 轴向拉（压）杆的内力与 内力图
3.2.1 轴向拉（压）杆轴力计算
【例3-1】 如图所示，设一直杆AB沿轴向受力P1、P2、P3的 作用，试求各段的轴力。
静定平面刚架的基本特点是：在结构变形过程中，各杆 件以弯曲变形为主；刚性联结的杆件之间在刚结点处的夹角 保持不变；全部支座反力和内力都能由静力平衡条件求得。
3.7.2 静定平面刚架的内力图
刚架需要画3个内力图即剪力图、弯矩图和轴力图，需要 先求各杆端截面的内力值，然后按照绘制梁内力图的方法绘制。
【例3-13】 试求如图所示简支刚架的内力图。
1.剪力图和弯矩图的规律 （1）在无荷载作用的区段，剪力图平行于X轴的直线，弯 矩图为斜直线。当剪力图为正时，弯矩图斜向右下方；当剪 力图为负时，弯矩图斜向右上方。 （2）在均布荷载作用的区段，剪力图为斜直线，均布荷 载方向向下时，剪力图斜向右下方，弯矩图是下凸（开口向 上）的抛物线。 （3）在集中力作用处，剪力图突变，突变的绝对值等于 集中力值；弯矩图线发生转折。 （4）在集中力偶作用处，弯矩图突变，突变的绝对值等 于该力偶的力偶矩；剪力图无变化。 （5）在剪力为零的截面处对应弯矩的极值。
0 QK QK cos K H sin K 0 N K QK sin K H cos K
0 MK MK Hy K
3.9.4 三铰拱的合理拱轴线
从力学角度看，无ห้องสมุดไป่ตู้矩状态是最合理的受力状态，因此， 在给定荷载和3个铰位置的情况下，可选取一条适当的拱轴 线，使各截面弯矩为零，此时三铰拱只承受轴力，称这条轴 线为合理拱轴线。
§3.8 静定平面桁架的内力
3.8.1 桁架概述
由若干个直杆组成只含有铰结点的结构称为桁架， 如图所示。实际桁架的结点可以是焊接、铆接等，受力 较复杂。
3.8.2 结点法
1.结点法简介 结点法是截取桁架的结点为隔离体，由结点的平衡条 件计算桁架杆件内力的方法。 【例3-15】 试用结点法计算如图所示静定平面桁架各杆的轴力。
§3.4 列内力方程画梁的内力图
3.4.1 内力方程和内力图
Q Q( x)
M M ( x)
3.4.2 剪力图和弯矩图的画法
剪力图与弯矩图的画法是：先列出剪力、弯矩的函数 方程，再画出函数图形，在土建工程中，习惯把正剪力画 在X轴上方，负的剪力画在X轴下方，正的弯矩画在X轴的 下方，负的弯矩在X轴的上方，注意要标注正负号。弯矩图 总是画在梁轴线受拉一侧，这样便于在混凝土梁中配置钢 筋，即混凝土梁的受力钢筋基本上配置在梁受拉一侧。
单元3 静定结构的内力 分析
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§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 §3.6 §3.7 §3.8 §3.9
内力和截面法 轴向拉（压）杆的内力与内力图 梁的内力计算 列内力方程画梁的内力图 使用简捷法画梁的内力图 叠加法画梁的弯矩图 静定平面刚架的内力 静定平面桁架的内力 三铰拱的内力
M
C
0
N a 4 20 6 10 3 0 N a 22.5(压力)
M
F
0
Y 0
N c 4 20 9 10 6 0 Nc 30(拉力)
20 10 N b
4 0 5 Nb 12.5(压力)
§3.9 三铰拱的内力
M y H
0 C
3.9.1 拱结构概述
竖向荷载的作用下会产生水平反力的曲杆结构称为拱。 由于水平推力的存在，通常拱中的弯矩和剪力比梁中的弯矩 小得多，拱主要以受压为主。
3.9.2 三铰拱支座反力的计算
V A V A0 V B V B0 0 MC H f
3.9.3 三铰拱的内力计算
3.8.3 截面法
截面法是用某一截面（可为平面或曲面）把桁架截成两 部分，取一部分（不止包含一个结点）为隔离体，画出其 受力图，并据此建立平衡方程来求解桁架杆件轴力的方法。
【例3-16】 试用截面法求如图所示桁架中a、b、c各杆的 内力,其中AE=EC。
在图上作截面I—I，截断要求内力的三根杆，取左半部 分为隔离体，取两个未知力作用线的交点为矩心，列平衡方 程如下：
2.简捷作图法 【例3-11】 利用M、Q、q之间的微分关系画出如图所示 梁的Q、M图。
§3.6 叠加法画梁的弯矩图
叠加原理是指在线弹性、小变形条件下，由几种荷载 共同作用所引起的某一参数（如反力、内力、应力、变 形）等于各种荷载单独作用时引起的该参数值的代数和。 运用叠加原理画弯矩图的方法称为叠加法。
2.零杆 杆件的内力等于零，这种杆称为零杆，计算时可先去 掉零杆以简化计算。零杆的特征有以下几个。 （1）不共线的两个杆共有一个结点，结点上若无荷载作 用，则此两杆均为零杆；若在结点上作用一个与其中一杆共 线的荷载，则另一杆必为零杆。 （2）无荷载作用的三个杆共有一个结点，若其中两杆共 线，则第三杆必为零杆，且在同一直线上的两杆内力必大小 相等，且性质相同。
Y 0
RA Q 0
M
O
0
- RA a M 0 M RA a
Q RA
3.3.3 梁的内力计算
1)用截面法计算内力的规律 梁上任一横截面上的剪力Q在数值上等于此截面左侧（或 右侧）梁上所有外力的代数和。 梁上任一横截面上的弯矩M在数值上等于此截面左侧（或 右侧）梁上所有外力对该截面形心力矩的代数和。 2)关于剪力Q和弯矩M的符号问题 3)用截面法计算内力的简便方法
解：（1）分段计算轴力。用截面法截取研究对象，分别求 得： FN1=F1=16 kN（拉） FN2=F1-F2=16-10=6 kN（拉） FN3=-FD=-14 kN（压） （2）作轴力图。
§3.3 梁的内力计算
3.3.1 平面弯曲梁
1.弯曲变形和梁
2.平面弯曲 3.单跨梁的形式
3.3.2 梁的内力计算
用叠加法画弯矩图的步骤如下。 （1）把作用在梁上的复杂荷载分成几组简单荷载，分 别画出梁在各简单荷载作用下的弯矩图，其简单荷载作用下 的弯矩图可查表3-1。
（2）在梁上每一控制截面处，将各简单荷载弯矩图相应的 纵坐标代数相加，得到复杂荷载作用下的弯矩图。
§3.7 静定平面刚架的内力
3.7.1 刚架的特点及类型
解：（1）求AC段轴力。 在AC段内用截面1—1将杆截开，取左段为研究对象 ，将右段对左段的作用以内力NAC代替，如图所示，且均 假定轴力为拉力。由平衡方程：
X 0
N AC P 1 0
N AC P ) 1 2kN (拉力
（2）求CB段的轴力。 用截面2—2假想地将杆截开，取右段为研究对象，将 左段对右段的作用以轴力NCB代替，且假定轴力为拉力， 如图所示。由平衡方程：