第三章 静定结构的内力分析

M(x) x
x
弯矩图为一斜直线
O
当 F Q(x) < 0 时， 向右上方倾斜.
O
x
O
在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征
一段梁上
的外力情
况
向下的均布荷载 q<0
无荷载
集中力 F C
集中力偶 m C
剪力图 的特征 弯矩图 的特征 Mmax所在 截面的可 能位置
向下倾斜的直线
水平直线
在C处有突变
在C处无变化 C

FAY
1 FN = -q( l - x) sin 2
(0 x l )
(0 x l )
1 FQ = q( l - x) cos 2
FAYSinα

FAYcosα
FAY
qx

qxcosα qxsin α
第3章
（3）绘制斜梁内力图如下：
ql/2sin

ql/2 cos

（1）按水平方向分布的形式给出（人群、雪荷载等），用 q 表示。 （2）按沿轴线方向分布方式给出（自重、恒载），用 q’ 表示。
q 与 q’间的转换关系：
qdx = qds q q = cos
第3章
例3：试绘制图示斜梁内力图。
q B
解：
（1）求支座反力：
FX= 0
x A FAX FAY C
MA MB MB
+
A a
+
F b l F
B
Fab/l
=
MA Fab/l MB
第3章
例:2
P A l q M B MA (c) MA FNA FQA A q MB FNB MA MB MB
+
q
l
(a) q
BF
QB
ql 2 8
(d)
=
B MB FB=FQB
MA FA=FQA
MA
ql 2 8
A l (b)
1）、叠加原理 多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独 构而引起的内力的代数和。 作用于结
FQ ( F1 , F2 , , Fn ) = FQ1 ( F1 ) FQ1 ( F2 ) FQn ( Fn )
M ( F1 , F2 , , Fn ) = M1 ( P1 ) M 2 ( P2 ) M n ( Fn )
FQ图
ql/2cos
ql/2 sin
FN图
ql2/8 MB图
第3章
补充2：曲杆的内力计算
例4：如图所示圆弧曲杆，受径向均布荷载q作用，试求任意 截面B的弯矩、剪力和轴力。 qRd sin -
q
d Q B R A O C q
C d Q
d
qds = qRd
n FQ t B FN M R

l
FB
M B = 0 M A = 0
F AX= 0 ql FAY= () 2 ql FB = () 2
第3章
AC段受力图：
（2）求内力方程：
q MC C FQC FNC n t
M C = 0 Ft = 0 Fn = 0
1 1 2 M = qlx - qx (0 x l ) 2 2
FAY= 26.25kN
32.5 2.5
60
校核：
20
25 M (KN.m)
FY= 26.25 33.75 - 10 x 4 - 20 = 0
（2）作内力图
20
26.2 5 13.75 FQ (KN)
第3章
补充1：斜梁的内力计算
工程中，斜梁和 斜杆是常遇到的，如楼梯梁、刚架中的斜梁等。斜梁 受均布荷载时有两种表示方法：
上凸的二次抛物线
一般斜直线 或
在C处有尖角
在C处有突变 m
在FQ=0的截面
在剪力突变 的截面
在紧靠C的某 一侧截面
简易法
总口诀 一分二定三连线；
注意正负和突变；
弯矩斜率是剪力；
形状大小多检验。
剪力图 无荷区间水平线； 均布荷载斜率现； 力偶似乎不管用； 集中力处有突变。 弯矩图 无荷区间直线行； 均布荷载抛物形； 力偶作用要突变； 集中力处是尖角。
ql2/8
ql2/8
第3章
3、 刚架的形式
第3章
二、刚架的内力计算 1、绘制刚架内力图时应注意的问题：
（1）计算悬臂刚架时，可不必先求支座反力，从悬臂端算起即可。 （2）计算简支刚架时，一般先求支座反力，而后截面法计算。
（3）计算三铰刚架时，要利用中间铰弯矩为零的条件。
（4）绘剪力图、轴力图必须标正、负号；绘弯矩图不必标正负 号，弯矩图绘在受拉一侧。 （5）求支座反力后及绘内力图后都应进行校核。
展开上式，得： x =
与简支梁相比，多跨静定梁的跨中弯矩值 较小，省材料，但构造复杂。
第3章
§ 3-2
B C
静定平面刚架
C
一、静定平面刚架的组成、特点及其形式
B
B
C
A
D
A
D
A
D
1、刚架的组成
由若干梁和柱主要用刚结点联结而成的结构。
2、刚架的特点
1）、结构内部空间大，杆数少； 2）、能承受和传递弯矩，刚结点所连接的 各杆不能发生相对的转动和移动； 3）、制作方便。

（1）公式的几何意义: （1）剪力图上某点处的切线斜率等于该点 处荷载集度的大小. （2）弯矩图上某点处的切线斜率等于该点 处剪力的大小.
（2）q(x)、FQ(x)图、 M（x）图三者间的关系 1）、梁上有向下的均布荷载，即 q(x) =常数< 0 FQ(x)图为一向右下方倾斜的直线. M(x)图为一向上凹的二次抛物线.
2、刚架内力计算举例：
FQ(x) M(x)
dFQ( x ) = -q( x ) dx dM ( x ) = FQ( x ) dx
d M ( x) = -q ( x ) 2 dx
2
O
x
2）、梁上无荷载区段，即 q(x) = 0 剪力图为一条水平直线 FQ(x) 当 F Q(x) > 0 时， 向右下方倾斜.
M(x)
O
x
FQ(x)
s

t
FN = - qdssin( - ) = -qR sin( - )d = -qR(1 - cos )
s 0

0
第3章 例5：如图所示圆弧曲杆，承受沿杆轴分布的竖向荷载q作用，试求任 意截面B的弯矩、剪力和轴力。 q
d Q B R C
qRd sin


q
C
qds = qRd
MB (e)
4、简易法绘制内力图的一般步骤
1）、求支反力； 2）、分段；（控制截面点的位置：集中力作用处、集中力偶作用处、 分布荷载起始点、支座处、杆与杆的连接点） 3）、定点；
4）、连线。
第3章 例1: 试绘制图示外伸梁的内力图。
F AX =0
解：
1）求支座反力：
FAY=130KN
FB=310KN
2）、结构应满足的条件 结构的变形很小，不致影响荷载的作用。 3）、注意事项： a.两个弯矩图的叠加不是图形的简单拼合，而是指弯矩纵坐标 数值的叠加。 b.叠加上去的弯矩纵坐标值，应从垂直于杆轴方向并由（斜） 基线量出，而不是垂直于（斜）基线。
第3章
例1：
F MA A a l b B MB
=
MA MB MA
静定梁与静定刚架
第3章
静定梁和静定刚架
§3-1 静定梁 §3-2 静定平面刚架 §3-3 三铰拱 §3-4 静定平面桁架 §3-5 静定结构的内力分析和受力特点
静定梁与静定刚架
§ 3-1
静定梁
一、静定结构的约束反力及内力完全可由静力平衡条 件唯一确定。 二、静定结构的内力计算是静定结构位移计算及超静 定结构内力和位移计算的基础。 三、静定结构内力计算的基本方法是取隔离体、列平 衡方程。
例1： 试作图示多跨静定梁的内力图。
P
（a） A 2m B 2m P （b） A B P C C D P E 2m D
2m
P E
C P
（c） A B
D
E
P
2P 2P
（d）
A
B
C D
E
M图
2P
P （e） A B P C D E FQ图
例2：试作图示多跨静定梁的内力图。
4kN/m （a） A 4m B C D 2m 2m E D E （c） 4kN/m A 7kN C 2kN 2kN D 4kN F
FE = MB 1 q (l - x ) 2 1 1 = M C = q (l - x ) x qx 2 2 2
MB MC
ql 2 = (叠加弯矩值） 8
依题意： M B = M C
MB
1 1 2 ql 2 = q (l - x ) x qx = 2 2 16 l = 0 .125 l 8
- qRd cos -
2
d
O

M
解：
B
=0
M = qdsRsin( - ) = qR
s

0
Baidu Nhomakorabea
sin( - )d = qR2 (1 - cos )
F = 0 F = 0
n
FS = qdscos( - ) = qR cos( - )d = qRsin
F AX= 0 FX = 0 FAY= 130KN() M = 0 FB = 310KN() M = 0 校核： FY= 130 310 - 160 - 40 - 40 x 6 = 0
B A
2）绘内力图：
FAX =0
F
AX =130KN
FX= 0 FY= 0 M = 0
C
FNC= 0 FQC= 130 KN MC =130 KNM
M
M
FQ
M M
FQ FQ
FN FN
FN FN
FQ
第3章
2、弯矩、剪力、荷载集度之间的微分关系
P
x dx
q(x) FQ
p(x)
q(x)
P(x)
FQ+dFQ FN+dFN M+dM
FN M dx
dFN = - p(x) dx dFQ = - q(x) dx dM = FQ dx d 2M = - q(x) 2 d x
s 0

F = 0
t
FN = - qdssin = -qRsin d = -qR sin
s 0

第3章 练习：如图所示圆弧曲杆，承受集中荷载F作用，试求任意B截面的 弯矩、剪力和轴力。
F
C B
F sin

R A O
F cos
F
M ( ) = FR sin
FS ( ) = F cos
第3章
四、单跨静定梁（简支梁、外伸梁、悬臂梁）
1、梁反力和内力的计算方法
（1）、以整体为研究对象，利用静力平衡条件求支座反力。（简 支梁、外伸梁） （2）、截面法: 截开 替代 平衡
P1 A FAx FA y
K
P2
m
P1 B FAx A
K
MK FNK FQK
n
(a)
FB
FAy
(b)
第3章 （3）、M、 FQ 、 FN图正负号规定 弯矩M：对梁而言，使杆件凹向朝上为正（也即下侧纤维受拉为正）， 反之为负。一般情况下作内力图时，规定弯矩图纵标画在受拉一侧，可 不标注正负号。 剪力FQ：使截开后保留部分产生顺时针旋转者为正，反之为负。 轴力FN：拉为正，压为负。剪力图和轴力图可绘在杆轴的任意一侧， 但必须标注正负号。
FN ( ) = -F sin
第3章
四、 多跨静定梁
（a） A B （b） A B （c） C D C D
1、基本部分：不依靠其它部分而能保持其几何不变性。 2、附属部分：必须依靠基本部分，才能保持其几何不 变性。 3、计算方法：先计算附属部分，再计算基本部分。将 附属部分的支座反力，反其指向加于基本部分进行计算。
n
FQ B FN M R
d
O

qRd cos

d Q
d
O

A
t
M
B
=0
M = qds( R sin - R sin ) = qR2 (sin - sin )d = qR2 ( sin - 1 cos )
s 0
Fn = 0
FS = qdscos = qR cos d = qR cos
第3章 例题2: 试绘制图示外伸梁的内力图。
10KN/m FAX=0 A C FAY=26.25kN 4m 2m D 2m B E FB=33.75KN 3m 30KN.m 20KN
解： （1）计算支座反力
FX= 0 : M =0 : M =0 :
A B
F AX = 0
FB = 33.75kN
2kN E
2m F
F
2m
G 2kN
2m
（b）
A
4kN/m B
C
G 2kN
G
B
11kN 4
4kN
4
（d） 8
4 M（kN.m）
2 2
7
（e） 9
FQ（kN）
2
第3章 例题3： 图示三跨静定梁，全长承受均布荷载q，试确定铰E、F的位置，使中 间一跨支座的负弯矩与跨中正弯矩数据数值相等。 解：
AE杆:
EF杆：
思考：试指出图示三根梁各自的剪力图和弯矩图中的错误。 已知：图中梁的约束力为
FA = qa ， FD = 2qa
正确答案：

图中梁的约束力为
5 FA = qa 3
1 ，FB = qa 3

正确答案：
图中梁的约束力为
FA = 0，
正确答案：
MA = 0
3、叠加法作弯矩图