不等关系与不等式

解析：据题意知，500x＋400y≤20 000，即 5x＋4y≤200， 故选 D.
答案：D
2．若 x≠－2 且 y≠1，则 M＝x2＋y2＋4x－2y 的值与－5 的大小关 系是( ) B．M＜－5 D．M≤－5
A．M＞－5 C．M≥－5
解析：M－(－5)＝x2＋y2＋4x－2y＋5 ＝(x＋2)2＋(y－1)2， ∵x≠－2，y≠1，
问题 3：若 a＞b，则 ac＞bc，对吗？试举例说明．
提示：不一定正确，若 a＝2，b＝1，c＝2 正确．c＝－2 时不正确．
[导入新知] 不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；
(3)可加性：a>b⇒a＋c>b＋c. a>b ⇒a＋c>b＋d； 推论(同向可加性)： c>d a>b a>b ⇒ac<bc； (4)可乘性： ⇒ac>bc； c>0 c<0
[类题通法] 比较两个代数式大小的步骤 (1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差； (2)变形：对差进行变形； (3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号； (4)作出结论． 这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差 →变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提．
[随堂即时演练] 1．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人 500 无，请瓦工共 需付工资每人 400 元，现有工人工资预算 20 000 元，设木工 x 人，瓦工 y 人，则工人满足的关系式是( A．5x＋4y＜200 C．5x＋4y＝200 B．5x＋4y≥200 D．5x＋4y≤200 )
e e [例 3] 已知 a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证： ＞ . a－c b－d [证明] ∵c＜d＜0，
∴－c＞－d＞0，又∵a＞b＞0， ∴a＋(－c)＞b＋(－d)＞0， 即 a－c＞b－d＞0， 1 1 e e ∴0＜ ＜ ，又∵e＜0，∴ ＞ . a－c b－d a－c b－d
[类题通法] 利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此 类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意 在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质 成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质 与法则.
学习目标


学习目标： 1.了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和 作用； 2. 掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系， 学会比较两个代数式的大小． 学习重点：比较两实数大小． 学习难点：差值比较法：作差→变形→判断差值 的符号
问题 2：你能否由问题 1 得出两个实数比较大小的方法？
提示：能．通过两个实数作差，判断差的正负比较大小．
[导入新知] 比较两个实数 a、b 大小的依据 文字语言 符号表示
如果 a＞b，那么 a－b 是正数； 如果 a＜b，那么 a－b 是负数； 如果 a＝b，那么 a－b 等于 0， 反之亦然 a>b⇔a－b>0 a<b⇔a－b<0 a＝b⇔a－b＝0
问题 2：你能用一个数学式子表示上述关系吗？如何表示？ 提示：①v≥50；②G≤10；③h≤3.5；④a≤3；⑤7.5≤t≤10.
[导入新知] 不等式的概念 我们用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连 接 两个数 或 代数式 ，以表示它们之间的不等关系．含有这
些 不等号 的式子叫做不等式．
∴(x＋2)2＞0，(y－1)2＞0，因此(x＋2)2＋(y－1)2＞0. 故 M＞－5.
答案：A
3．如果 a＞b，那么 c－2a 与 c－2b 中较大的是________．
解析：c－2a－(c－2b)＝2b－2a＝2(b－a)＜0.
答案：c－2b
4．若－10＜a＜b＜8，则|a|＋b 的取值范围是________．
[活学活用] 2．比较 x3＋6x 与 x2＋6 的大小．
解：(x3＋6x)－(x2＋6) ＝x3－x2＋6x－6 ＝x2(x－1)＋6(x－1)＝(x－1)(x2＋6) ∵x2＋6＞0.∴当 x＞1 时，(x－1)(x2＋6)＞0， 即 x3＋6x＞x2＋6.当 x＝1 时，(x－1)(x2＋6)＝0， 即 x3＋6x＝x2＋6.当 x＜1 时，(x－1)(x2＋6)＜0， 即 x3＋6x＜x2＋6.
x＋y≤9， 10×6x＋6×8y≥360， 由题意得0≤x≤4， 0≤y≤7， x∈N，y∈N， x＋y≤9， 5x＋4y≥30， 即 0≤x≤4，0≤y≤7， x∈N，y∈N.
[类题通法] 用不等式表示不等关系的方法 (1)认真审题，设出所求量，并确认所求量满足的不等关系． (2)找出体现不等关系的关键词： “ 至少”“至多”“不少 于”“ 不多于 ”“ 超过”“不超过 ”等．用代数式表示相应各 量，并用关键词连接．特别需要考虑的是 “≤”“≥” 中的 “＝”能否取到．
[化解疑难] 1．上面的“⇔”表示“等价于”，即可以互相推出． 2．“⇔”右边的式子反映了实数的运算性质，左边的式子 反映的是实数的大小顺序， 二者结合起来即是实数的运算性质与 大小顺序之间的关系.
[例 2]
比较下列各组中两个代数式的大小：
(1)x2＋3 与 2x； (2)已知 a，b 为正数，且 a≠b，比较 a3＋b3 与 a2b＋ab2 的大 小．
[探究四] 利用不等式性质求范围，应注意减少不等式使用次数． [例] 已知－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，求 a＋3b 的取值范围． [解] 设 a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)
5 ＝ (λ1 ＋ λ2)a ＋ (λ1－ 2λ2)b，解得 λ1 ＝ ， λ2 3 2 5 5 5 2 ＝－ .又－ ≤ (a＋b)≤ ，－2≤－ (a－ 3 3 3 3 3 2 11 2b)≤－ ，所以－ ≤a＋3b≤1. 3 3 (注：本题可以利用本章第三节内容求解)
高中数学高一年级必修五 第三章 第一节
不等关系与不等式
[提出问题] 在日常生活中，我们经常看到下列标志：
问题 1： 你知道各图中的标志有何作用？其含义是什么吗？
提示：①最低限速：限制行驶时速 v 不得低于 50 公里； ②限制质量：装载总质量 G 不得超过 10 t； ③限制高度：装载高度 h 不得超过 3.5 米； ④限制宽度：装载宽度 a 不得超过 3 米； ⑤时间范围：t∈[7.5,10]．
[解]

(1)(x2＋3)－2x＝x2－2x＋3

＝x－12＋2≥2＞0， ∴x2＋3＞2x.
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(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2 ＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2) ＝(a－b)2(a＋b)， ∵a＞0，b＞0，且 a≠b， ∴(a－b)2＞0，a＋b＞0. ∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＞0， 即 a3＋b3＞a2b＋ab2.
[提出问题] 问题 1：若 a>b，b>c，则 a>c，对吗？为什么？
提示： 正确． ∵a>b， b>c， ∴a－b>0， b－c>0.∴(a－b)＋(b－c)>0. 即 a－c>0.∴a>c.
问题 2：若 a＞b，则 a＋c＞b＋c，对吗？为什么？
提示：正确．∵a＞b，∴a－b＞0，∴a＋c－b－c＞0 即 a＋c＞b＋c.
a>b>0 ⇒ac>bd； 推论(同向同正可乘性)： c>d>0 (5)正数乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N*，n≥1)； (6)正数开方性：a>b>0⇒ a> b(n∈N*，n≥2)． n n
[化解疑难] 1． 在应用不等式时， 一定要搞清它们成立的前提条件． 不 可强化或弱化成立的条件． 2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条 性质是否具有可逆性．
∵1＜a＜4,2＜b＜8，
∴2＜2a＜8,6＜3b＜24 ∴8＜2a＋3b＜32. ∵2＜b＜8，
∴－8＜－b＜－2. 又∵1＜a＜4， ∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)， 即－7＜a－b＜2. 故 2a＋3b 的取值范围是(8,32)， a－b 的取值范围是(－7,2)．
【探究一】 利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围要注意： 同向不等式的两边可以相加(相乘)， 这种转化不是等价变形， 如 果在解题过程中多次使用这种转化， 就有可能扩大其取值范围．
[活学活用] 3．已知 a＞b，m＞n，p＞0，求证：n－ap＜m－bp.
证明：∵a＞b，又 p＞0，∴ap＞bp. ∴－ap＜－bp， 又 m＞n，即 n＜m. ∴n－ap＜m－bp.
4.探究利用不等式性质求取值范围
[典例] 范围． [解]
已知 1＜a＜4,2＜b＜8.试求 2a＋3b 与 a－b 的取值
f≤2.5%， (3) p≥2.3%.
[提出问题] 实数可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都表示一个实数， 且右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大． 问题 1：怎样判断两个实数 a、b 的大小？ 提示：若 a－b 是正数，则 a＞b；若 a－b 是负数，则 a<b；
若 a－b 是零，则 a＝b.
[探究三] 不等式两边同乘以一个正数，不等号方向不变，同乘以一个负数， 不等号方向改变，求解中，应明确所乘数的正负． a 例：已知－6＜a＜8,2＜b＜3，求b的取值范围． 解：因－6＜a＜8,2＜b＜3.
1 1 1 ∴ ＜b＜ ， 3 2 a (1)当 0≤a＜8 时，0≤ ＜4； b a (2)当－6＜a＜0 时，－3＜b＜0. a 由(1)(2)得：－3＜b＜4.
[活学活用] 1．用不等式(组)表示下列问题中的不等关系： (1)限速 80 km/h 的路标； (2)桥头上限重 10 吨的标志；
(3)某酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 f 应不多 于 2.5%，蛋白质的含量 p 不少于 2.3%.
解：(1)设汽车行驶的速度为 v km/h， 则 v≤80. (2)设汽车的重量为 ω 吨，则 ω≤10.
解析：∵－10＜a＜8， ∴0≤|a|＜10， 又－10＜b＜8， ∴－10＜|a|＋b＜18.
答案：(－10,18)
5． (1)已知 x≤1，比较 3x3 与 3x2－x＋1 的大小； 1 1 (2)若－1＜a＜b＜0，试比较a，b，a2，b2 的大小．
解：(1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1) ＝(x－1)(3x2＋1)． ∵x≤1，∴x－1≤0.又 3x2＋1＞0，∴(x－1)(3x2＋1)≤0， ∴3x3≤3x2－x＋1.(2)∵－1＜a＜b＜0，∴－a＞－b＞0，∴a2＞b2 1 1 1 1 1 1 ＞0.∵a＜b＜0，∴a· ＜b· ＜0，即 0＞ ＞ ，∴a2＞b2＞ ＞ . ab ab a b a b
[化解疑难] 1.不等关系强调的是关系，可用符号“＞”“＜”“≠” “≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a ＞ b”“a＜“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示， 不等关系是可以通过 不等式来体现的。
2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换 文字 大于， 高 小于，低 大于等于，至 小于等于， 至多， 不 语言 于， 超过 于，少于 符号 语言 ＞ ＜ 少，不低于 ≥ 多于，不超过 ≤
【探究二】 同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用 时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价 a 性．在本例条件下，求b的取值范围．
1 1 1 [解]∵2＜b＜8，∴ ＜b＜ ，而 1＜a＜4， 8 2 1 1 1 1 a ∴1× ＜a· b＜4×2，即8＜b＜2. 8 a 1 故b的取值范围是( ，2)． 8
[例 1]
某矿山车队有 4 辆载重为 10 t 的甲型卡车和 7 辆
载重为 6 t 的乙型卡车，有 9 名驾驶员．此车队每天至少要运 360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返 6 次，乙 型卡车每辆每天可往返 8 次， 写出满足上述所有不等关系的不 等式．
[解]
设每天派出甲型卡车 x 辆，乙型卡车 y 辆．