立体几何垂直证明题常见模型与方法
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立体几何垂直证明题常见模型及方法
证明空间线面垂直需注意以下几点:
①由已知想性质,由求证想判定,即分析法与综合法相结合寻找证题思路。
②立体几何论证题的解答中,利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一。
③明确何时应用判定定理,何时应用性质定理,用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。
垂直转化:线线垂直 线面垂直 面面垂直;
基础篇
类型一:线线垂直证明(共面垂直、异面垂直)
(1) 共面垂直:实际上是平面内的两条直线的垂直 (只需要同学们掌握以下几种模
型)
○1 等腰(等边)三角形中的中线
○
2 菱形(正方形)的对角线互相垂直 ○3勾股定理中的三角形 ○4 1:1:2 的直角梯形中 ○5 利用相似或全等证明直角。
例:在正方体1111ABCD A B C D -中,O 为底面ABCD 的中心,E 为1CC ,求证:1A O OE ⊥
(2) 异面垂直 (利用线面垂直来证明,高考中的意图) 例1 在正四面体ABCD 中,求证AC BD ⊥
变式 1 如图,在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 是矩形,已知
60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB .
证明:AD PB ⊥;
变式2 如图,在边长为2的正方形ABCD 中,点E 是AB 的中点,点F 是BC 的中点,将△AED,△DCF 分别沿,DE DF 折起,使,A C 两点重合于'
A . 求证:'A D EF ⊥;
变式3如图,在三棱锥P ABC -中,⊿PAB 是等边三角形,∠P AC =∠PBC =90 º证明:AB ⊥PC
类型二:线面垂直证明
方法○1 利用线面垂直的判断定理
例2:在正方体1111ABCD A B C D -中,O 为底面ABCD 的中心,E 为1CC ,求证:
1A O BDE ⊥平面
变式1:在正方体1111ABCD A B C D -中,,求证:1
1AC BDC ⊥平面 变式2:如图:直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中, AC =BC =AA 1=2,∠ACB =90︒.E 为BB 1
的中点,D 点在AB 上且DE = 3 . 求证:CD ⊥平面A 1ABB 1;
B
E
'A
D
F
G
变式3:如图,在四面体ABCD 中,O 、E 分别是BD 、BC 的中点,
变式4 如图,在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中,
AD BC ∥,90ABC ∠=°,PA ⊥平面ABCD .3PA =,2AD =,AB =6BC =
C
类型3:面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直)
2AD DE AB ==,F 为CD 的中点.
(1) 求证://AF 平面BCE ; (2) 求证:平面BCE ⊥平面CDE ; 例
2 如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,
60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=,,°,PA AB BC ==,E 是PC 的中点.
(1)证明CD AE ⊥; (2)证明PD ⊥平面ABE ;
变式1已知直四棱柱ABCD —A ′B ′C ′D ′的底面是菱形,︒=∠60ABC ,E 、F 分别是棱CC ′与BB ′上的点,且EC=BC =2FB =2. (1)求证:平面AEF ⊥平面AA ′C ′C ;
A
B C
D
E
F
A
B
C
D
P
E
举一反三
1.设M 表示平面,a 、b 表示直线,给出下列四个命题:
①
M b M a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊥// ②b a M b M a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥ ③⇒⎭⎬⎫⊥⊥b a M a b ∥M ④⇒⎭
⎬⎫⊥b a M a //b ⊥M .
其中正确的命题是 ( )
A.①②
B.①②③
C.②③④
D.①②④ 2.下列命题中正确的是 ( )
A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线,则这条直线垂直于这个平面
B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线垂直于这个平面
C.若一条直线平行于一个平面,则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线
D.若一条直线垂直于一个平面,则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面 3.如图所示,在正方形ABCD 中,E 、F 分别是AB 、BC 的中点.现在沿DE 、DF 及EF 把△ADE 、△CDF 和△BEF 折起,使A 、B 、C 三点重合,重合后的点记为P .那么,在四面体P —DEF 中,必有 ( )
A.DP ⊥平面PEF
B.DM ⊥平面PEF
C.PM ⊥平面DEF
D.PF ⊥平面DEF 4.设a 、b 是异面直线,下列命题正确的是 ( )
A.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交
B.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直
C.过a 一定可以作一个平面与b 垂直
D.过a 一定可以作一个平面与b 平行
5.如果直线l ,m 与平面α,β,γ满足:l =β∩γ,l ∥α,m ⊂α和m ⊥γ,那么必有 ( ) A.α⊥γ且l ⊥m B.α⊥γ且m ∥β C.m ∥β且l ⊥m D.α∥β且α⊥γ
6.AB 是圆的直径,C 是圆周上一点,PC 垂直于圆所在平面,若BC =1,AC =2,PC =1,则P 到AB 的距离为 ( )
A.1
B.2
C.
552 D.5
5
3 7.有三个命题:
①垂直于同一个平面的两条直线平行;
②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直;
③异面直线a 、b 不垂直,那么过a 的任一个平面与b 都不垂直 其中正确命题的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3
8.d 是异面直线a 、b 的公垂线,平面α、β满足a ⊥α,b ⊥β,则下面正确的结论是 ( )
A.α与β必相交且交线m ∥d 或m 与d 重合
第3题图