【高考】用平面的法向量解高考立体几何试题

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用平面的法向量解高考立体几何试题

张靖松

平面的法向量在课本上有定义，考试大纲中有“理解”要求，但在课本和多数的教辅材料中都没有提及它的应用，其实平面的法向量是中学数学中的一颗明珠，是解立体几何题的锐利武器，开发平面法向量的解题功能，可以解决不少立体几何中有关角和距离的难题，也能顺利解决2005年全国高考试卷中的立体几何试题。

一、平面法向量的概念和求法

向量与平面垂直如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作a。

平面的法向量如果a，那么向量a叫做平面的法向量。

一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而就可以利用平面的法向量解决相关立体几何问题。推导平面法向量的方法如下：

在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量[或，或

]，在平面内任找两个不共线的向量。由，得且

，由此得到关于的方程组，解此方程组即可得到。有时为了需要，也求法

向量上的单位法向量，则。

例1 在棱长为1的正方体中，

求平面的法向量和单位法向量。

解：建立空间直角坐标系，如图1，则，

。设平面的法向量。

得，。

又面，得，。有，得。

，。

二、平面法向量的三个引理

为了能方便地运用平面法向量解题，特介绍平面法向量的三个引理，以此为工具，可以顺利地解决立体几何问题。

引理1 设向量是平面的单位法向量，点B是平面外一定点，点A是内任意一点，则点B 到平面的距离。

证明：如图2，过B作BO垂直平面于O，在

平面上任取一点A，则为与的夹

角，设为。

在中，，

得。

例2 在例1中，求点到平面的距离。

解析：由例1的解答知，平面的单位法向量，

又，设点到平面的距离为，则

。

所以，点到平面的距离为。

说明：利用引理1求点到平面的距离比用保守的几何方法求距离简单得多，它省去了作图、证明等推理论证，直接通过向量运算得到正确的结果。

引理2 设AB是平面的斜线，BO是平面的垂线，AB与平面所成的角,

向量与的夹角（见图2），则。（证略）

例3 在例1中，求直线与平面所成的角。 解析：由例1知，，， ，即。

引理3 如图3，设向量与分别是二面角 中的两个半平面，的法向量， 则向量与的夹角的大小就是 所求二面角或其补角的大小。（证略） 例4 在例1中，求二面角的大小。

解：由例1知，平面的法向量是，平面的法向量是， 设二面角的大小为，则 ，得。 说明：由于法向量的多样性，二面角的两个半平面的法向量与的夹角可能等于所求二面角的平面角，如本例；也可能等于二面角的平面角的补角，如若， 则， 于是。

如何来确定两法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角呢？一靠经验：通过题目估计它是钝角还是锐角，同类相等，异类互补；二用半平面旋转法：把二面角的一个半平面绕棱 按照同一个方向旋转到与另一个半平面重合时，若两个半平面的法向量的方向相同，则相等， 若方向相反，则互补。

三、利用法向量解2005年高考立体几何试题 例5 （05江西 理）如图4，在长方体ABCD -

1111A B C D 中，AD=1AA =1，AB=2，点E 在棱AB

上移动。

（Ⅰ）证明：11D E A D ⊥；

（Ⅱ）当E 为AB 的中点时，求点E 到面

1ACD 的距离；

（Ⅲ）AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为

4

π。 分析 本题是立体几何试题的常见题型，考查的是传统内容。证线线垂直，求点到平面的距离，求二面角的大小，可用传统的几何方法求解，也可利用向量法求解。下面给出向量法求解。

解：建立如图所示的空间直角坐标系，设AE a =，则1(1,0,1)A ，1(0,0,1)D ，(1,,0)E a ，

(1,0,0)A ，(0,2,0)C 。

（Ⅰ）证明：由1(1

,0,1)DA =，1(1,1,1)D E a =--， 11(1,0,1)(1,1,1)110DA D E a ⋅=⋅--=-=，有11DA D E ⊥，于是11D E A D ⊥。

（Ⅱ）E 是AB 的中点，得(1,1,0)E 。

∴

1

(1,1,1)

D E=-，(1,2,0)

AC=-，

1

(1,0,1)

AD=-。

设平面

1

ACD的法向量为(,,1)

n x y

=，单位法向量为

n，

由

1

n AC

n AD

⎧⋅=

⎪

⎨

⋅=

⎪⎩

⇒

(,,1)(1,2,0)0

(,,1)(1,0,1)0

x y

x y

⋅-=

⎧

⎨

⋅-=

⎩

⇒

20

10

x y

x

-+=

⎧

⎨

-+=

⎩

，解得

1

1

2

x

y

=

⎧

⎪

⎨

=

⎪⎩

。

于是

1

(1,,1)

2

n=，有

1

(1,,1)212

(,,)

333

n==。

设点E到平面

1

ACD的距离为d，则

10

2121

(1,1,1)(,,)

3333

d D E n

=⋅=-⋅=。

所以点E到平面

1

ACD的距离为

1

3

。

（Ⅲ）平面DEC的法向量1(0,0,1)

n=，设平面

1

D EC的法向量

2

(,,1)

n x y

=。

又(1,2,0)

EC a

=--，

1

(0,2,1)

DC=-。

由2

21

n EC

n D C

⎧⋅=

⎪

⎨

⋅=

⎪⎩

，得

(,,1)(1,2,0)0

(,,1)(0,2,1)0

x y a

x y

⋅--=

⎧

⎨

⋅-=

⎩

(2)0

210

x y a

y

-+-=

⎧

⇒⎨

-=

⎩

，解得

1

2

1

2

a

x

y

⎧

=-

⎪⎪

⎨

⎪=

⎪⎩

，于是

2

1

(1,,1)

22

a

n=-。

设所求的二面角为θ，则

4

π

θ=。

有

12

1

(0,0,1)(1,,1)

cos cos,

a

DD n

θ

⋅-

=<>==，得2

1

(1)12

24

a

-++=。解得2

a=-

所以，当AE=2时，二面角

1

D EC D

--

例6（05全国卷Ⅱ）如图5，四棱锥P ABCD

-中，