椭圆中的最值问题的求法
高中数学椭圆中的最值问题与定点、定值问题
椭圆中的最值问题与定点、定值问题解决与椭圆有关的最值问题的常用方法 （1）利用定义转化为几何问题处理；（2）利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征进而求解； （3）利用函数最值得探求方法，将其转化为区间上的二次 函数的最值来处理，此时应注意椭圆中x 、y 的取值范围；（4）利用三角替代（换元法）转化为 三角函数的最值问题处理。
一 、椭圆上一动点与焦点的距离的最值问题 椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径，椭圆上一动点与长轴的两端点重合时，动点与焦点取得最大值a+c （远日点）、最小值a -c （近日点）。
推导：设点),(00y x P 为椭圆)0( 12222>>=+b a by a x 上的任意一点，左焦点为)0,(1c F -，2201)(||y c x PF ++=，由 1220220=+b y a x 得)1(22020ax b y -=，将其代入 20201)(||y c x PF ++=并化简得a x acPF +=01||。
所以，当点),(00y x P 为长轴的右端点)0,(2a A 重合时，a c a a acPF +=+⋅=max 1||；当点),(00y x P 为长轴的左端点)0,(1a A -重合时。
c a a a acPF -=+-⋅=)(||min 1。
当焦点为右焦点)0,(2c F 时，可类似推出。
1. （2015浙江卷）如图，已知椭圆 1222=+y x 上两个 不同的点A 、B 关于直线21+=mx y 对称。
（1）求实数m 的取值范围；（2）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）。
解：（1）由题意知0≠m ，可设直线AB 的方程为b x my +-=1。
联立⎪⎩⎪⎨⎧+-==+bx m y y x 11222，消y 去，得012)121(222=-+-+b x m b x m 。
因为直线b x my +-=1与椭圆 1222=+y x 有两个不同的交点， 所以042222>++-=∆m b 。
与椭圆有关的最值问题
角度类问题典型例题
例题2
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为$frac{sqrt{3}}{2}$，它的一个顶点恰好是抛物线$x^2 = 8sqrt{2}y$的焦点，过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与C相交于A、B两点，若直线PA与直线PB的斜率 之积为$- frac{5}{16}$，则直线l的方程为____。
距离类问题典型例题
例题1
已知椭圆$frac{x^2}{4} + frac{y^2}{3} = 1$，点P是椭圆上一点，F₁、F₂是椭圆的 两个焦点，则|PF₁|·|PF₂|的最大值为____。
例题2
过椭圆$frac{x^2}{5} + y^2 = 1$的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、 B两点，O为坐标原点，则弦AB的长为____。
通过解析几个与椭圆有关的最值问题的典型例题，我们掌握了这类问情况
通过本次课程的学习，我深刻理解了椭圆的标准方程和性质，掌握了在约束条件下求解最值问题的方法，对于典型例 题的解析也有了更深入的认识。
学习方法与效率
在学习过程中，我采用了课前预习、课后复习的方法，同时结合了大量的练习来巩固所学知识。这种学习方法使我能 够高效地吸收和掌握知识。
利用平面几何知识，如相似、勾股定 理等，求出最值；
03
与椭圆相关的最值问题类 型
面积类问题
1 2
椭圆内接矩形面积的最大值
给定椭圆，求其内接矩形面积的最大值。
椭圆内接三角形面积的最大值
给定椭圆，求其内接三角形面积的最大值。
3
椭圆与直线围成的图形面积
给定椭圆和直线，求它们围成的图形面积。
距离类问题
需要注意定义域的限 制。
利用一元二次函数的 性质，如顶点、对称 轴等，求出最值；
椭圆的几种最值问题
椭圆中的几种最值问题一：求离心率的最值问题1：若B A ,为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴两端点，Q 为椭圆上一点，使0120=∠AQB ，求此椭圆离心率的最小值。
2：已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>两个焦点为12,F F ，如果曲线C 上存在一点Q ，使12FQ F Q ⊥，求椭圆离心率的最小值。
二：求点点（点线）的最值问题3：（05年上海）点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦 点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥。
（1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值。
4：定长为d d b a ≥⎛⎝⎫⎭⎪22的线段AB 的两个端点分别在椭圆x a y b a b 222210+=>>()上移动，求AB 的中点M 到椭圆右准线l 的最短距离。
三：求角的最值问题 5：（05年浙江）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的 长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1。
(Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若直线l 1：x ＝m (|m |＞1)，P 为l 上的动点，使∠F PF 最大的点 P 记为Q ，求点Q 的坐标 (并用m 表示) 。
四：求面积的最值问题例6：（05年全国II ）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆2212y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点．已知PF 与FQ共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ⋅=．求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值．五：求线段之和（或积）的最值问题 7：若椭圆13422=+y x 内有一点()1,1P ，F 为右焦点，椭圆上的点M 使得||2||MF MP +的值最小，则点M 的坐标为 （ ）A．(3± B．(3C ．3(1,)2± D ．3(1,)28：如图，在直线09:=+-y x l 上任意取一点M ，经过M 点且以椭圆131222=+y x 的焦点作椭圆，问当M 在何处时，所作椭圆的长轴最短，并求出最短长轴为多少？9已知点F 是椭圆192522=+y x 的右焦点，M求|MA|+|MF|的最小值。
怎样利用定义求解与椭圆有关的最值问题
椭圆是一种重要的圆锥曲线，与椭圆有关的最值问题在高中数学试卷中比较常见，定义法是解答此类问题的重要方法.椭圆的定义除了第一定义，还有第二定义、第三定义.下面，我们重点谈一谈如何运用椭圆的这三个定义来解答与椭圆有关的最值问题.一、利用椭圆的第一定义求解椭圆的第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．在运用椭圆的第一定义解题时，要先确定两个定点的位置，然后建立关于动点M的关系式：MF1+MF2=2a.这样便可根据该关系式来寻找取得最小值的点M的位置，进而求得最值.例1.已知P()-2,3,F2为椭圆x225+y216=1的右焦点，点M在椭圆上移动.求MP+MF2的最大值和最小值.分析：所求的最值与MF2有关，可利用椭圆的第一定义建立关系式MF1+MF2=2a，将求MP+MF2的最值转化为求MP-MF1的最值，根据三角形三边之间的关系和性质便可求得问题的答案.解：如图1所示，连接PF1，延长PF1交椭圆于点M1，延长F1P交椭圆于点M2.由椭圆的第一定义知MF1+MF2=2a，所以MP+MF2=MP+2a-MF1，由三角形三边之间的关系知-PF1≤MP-MF1≤PF1，当且仅当M与图中M1合时取右边的等号，M与图中M2重合时取左边的等号.因为2a=10,PF1=2，所以MP+MF2的最大值为12,所以MP+MF2的最小值为8.图1一般地，若椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F1,F2分别是椭圆的左右焦点，P()x0,y0为平面内的一个定点，M为椭圆上的任意一点，当定点在椭圆的内部时，2a-PF1≤MF2+MP≤2a+PF1；当定点在椭圆的外部时，PF2≤MF2+MP≤2a+PF1.二、利用椭圆的第二定义求解圆锥曲线的第二定义：到定点的距离与到定直线的距离的比是e的点的轨迹.在运用椭圆的第二定义解题时，我们先要明确定点（即焦点F）和定直线（准线x=a2c）的位置，然后建立关于动点P(x0,y0)的关系式MP=e||||||x0-a2c，利用其关系或关系式来解题.例2.已知F1是椭圆5x2+9y2=45的左焦点，P是椭圆上动点，点A（1,1）是一个定点，求PA+32PF1的最小值.分析：明确题目中的数量关系后可以发现，所求目标中的32是椭圆离心率的倒数，联系第二定义：椭圆上的点到左焦点和到左准线的距离d之比为离心率e，可得PF1d=23，即d=32PF1，不难得到PA+32PF1=PA+d，所以PA+32PF1的最小值为椭圆上的P点到A点和到左准线的距离和的最小值，只需过点A，D作左准线的垂线即可.解：由题意可知，椭圆5x2+9y2=45的长半轴a=3，短半轴b=5，半焦距c=2，离心率e=23，右焦点F2()2,0,左准线x=-92.如图2所示，过点A，D作左准线的垂线,垂足为D1、D2.设P点到左准线的距离为d.由椭圆的第二定义可知PF1=ed，所以PA+32PF1=PA+32ed=PA+d，则PA+d的最小值就是点A到左准线x=-92的距离AD1=1+92=112,当且仅当点P在P1处PA+d取最小值，故PA+d的最小值为112.图2探索与研究颜琴55当与椭圆有关的最值问题涉及定点、定直线时，就要利用椭圆的第二定义，把与动点有关的最值问题转化为与定点、定直线之间的距离来求解.三、利用椭圆的第三定义求解椭圆的第三定义是指平面内动点到两定点A (a ,0)和B (-a ,0)的斜率的乘积等于常数e 2-1的点的轨迹.这也就是说，A ,B 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0上的两个顶点，P 是椭圆上异于A ,B 的一个动点，若k PA ,k PB 的斜率都存在，则k PA ∙k PB =e 2-1=-b 2a2.运用椭圆的第三定义，可以快速找到过椭圆上两个顶点的直线的斜率之间的关系.例3.已知椭圆C ：x 2a 2+y2b2=1()a >b >0的长轴长，短轴长和焦距成等差数列，若A ，B 是椭圆长轴的两个端点，M ,N 是关于x 轴对称的两点，直线AM ,BN 的斜率分别是k 1,k 2（k 1∙k 2≠0），则||k 1+||k 2的最小值为_______.分析：由长轴长、短轴长和焦距成之间的关系得到椭圆的离心率，由A ，B ，M ，N 的位置可联想到椭圆的第三定义，求得k 1∙k 2的值，再利用基本不等式就可以使问题得解.解：由椭圆的长轴长，短轴长和焦距成等差数列，得2a +2c =4b ，又b 2=a 2-c 2，可得e =c a =35，由椭圆的第三定义可得k 1∙k 2=e 2-1=-1625，而M ,N 是关于x 轴对称的两点，则k 1=-k 2，可得k 1∙k 2=1625，所以||k 1+||k 2≥2k 1k 2=85，当且仅当k 1=k 2时取等号.由以上几个题目可以看出，与椭圆有关的最值问题一般都会涉及椭圆上的定点、定直线.如果问题中的定点为焦点，就要考虑利用椭圆的第一定义来解题；如果问题中涉及的定点、定直线分别为焦点、准线，就要考虑用椭圆的第二定义来解题；如果问题中涉及了椭圆的顶点以及过顶点的直线的斜率，就要考虑采用椭圆的第三定义解题.（作者单位：江西省余干第一中学）探索与研究在学习中，我们经常会遇到抽象函数问题，此类问题一般侧重于考查同学们的直观想象能力和抽象思维能力.抽象函数一般没有具体的函数解析式，与x a 、sin x ()cos x 、ln x 、e x 的乘积构成的函数解析式也不明确，我们很难快速解出.而运用构造法，借助构造的新函数的性质、图象，则能快速破解此类问题.例1.已知定义在R 上的函数f ()x 为奇函数，当x ≤0时，恒有xf ′(x )≥3f ()-x ，则不等式8xf ()2x >()1-3x 3x 2f ()1-3x 的解集为_____.解：∵f ()x 是定义在R 上的奇函数，∴f ()-x =-f ()x ，当x ≤0时，由xf ′()x ≥3f ()-x 可得x 3f ′()x +f ()x ≥0，令g ()x =x 3f ()x ，∴当x ≤0时，g '()x =2x 2f ()x +x 3f ′()x =3x 2éëùûf ()x +x 3f '()x ≥0，∴g ()x 在(]-∞,0上单调递增，∵g ()-x =-x 3f ()-x =x 3f ()x =g ()x ，g ()x 是偶函数，∴g ()x 在[)0,+∞上单调递减，不等式8xf ()2x >()1-3x 3x2f ()1-3x 等价于8x 3f ()2x >()1-3x 3f ()1-3x ，即g ()2x >g ()1-3x ，等价于||2x <||1-3x ，解得x ＜15或x ＞1，∴不等式的解集为æèöø-∞,15⋃()1,+∞.56。
椭圆中的常见最值问题
椭圆中的常见最值问题1、椭圆上的点P到二焦点的距离之积取得最大值的点是椭圆短轴的端点，取得最小值的点在椭圆长轴的端点。
例1、椭圆上一点到它的二焦点的距离之积为，则取得的最大值时，P点的坐标是。
P（0，3）或（0，-3）例2、已知椭圆方程（）p为椭圆上一点，是椭圆的二焦点，求的取值范围。
分析：，当时，=，当时，即2、椭圆上到的椭圆内一个定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或最小值的点是这个定点与焦点连线xx或反向xx与椭圆的交点,最大值、最小值分别是定点到该焦点的距离和其相反数。
例3、已知，、是椭圆的左右焦点，P为椭圆上一动点，则的最大值是，此时P点坐标为。
的最小值是，此时P点坐标为。
3、椭圆上到椭圆内定点的距离与它到椭圆的一个焦点的距离之和取得最小值或最大值的点是另一焦点与定点连线的xx或反向xx与椭圆的交点。
例4、已知，是椭圆的左焦点，P为椭圆上一动点，则的最小值是，此时P点坐标为。
的最大值是，此时P点坐标为。
分析：，当P是的xx与椭圆的交点时取等号。
，当P是的反向xx与椭圆的交点时取等号。
4、椭圆上的点P到定点A的距离与它到椭圆的一个焦点F的距离的倍的和的最小值（为椭圆的离心率），可通过转化为（为P到相应准线的距离）最小值，取得最小值的点是A到准线的垂线与椭圆的交点。
例5、已知定点，点F为椭圆的右焦点，点M在该椭圆上移动，求的最小值，并求此时M点的坐标。
例6、已知点椭圆及点，为椭圆上一个动点，则的最小值是。
5、以过椭圆中心的弦的端点及椭圆的某一焦点构成面积最大的三角形是短轴的端点与该焦点构成的三角形。
例7、过椭圆（）的中心的直线交椭圆于两点，右焦点，则的最大面积是。
例8、已知F是椭圆的一个焦点，PQ是过原点的一条弦，求面积的最大值。
6、椭圆上的点与椭圆二焦点为顶点的面积最大的三角形是椭圆的短轴的一个端点与椭圆二焦点为顶点的三角形。
例9、P为椭圆（）一点，左、右焦点为，则的最大面积是。
7、椭圆上的点与椭圆长轴的端点为顶点的面积最大的三角形是短轴的一个端点和长轴两个端点为顶点的三角形。
椭圆中面积的最值问题
椭圆中面积的最值问题
椭圆是一种广泛存在于自然界的平面图形，它不仅仅是一个平面图形，而且它具有极大的实用价值。
椭圆是多种物理科学，化学，天文，生物等领域中常见的图形。
椭圆的面积有很多变化，这些变化会产生最大值和最小值，椭圆的最大和最小面积的求解称为椭圆中面积的最值问题。
椭圆的面积可以通过下面的公式来计算：A = πab, 其中a 和b分别是椭圆的两个半轴长。
通过研究发现，椭圆的最大面积是在两个半轴长相等的情况下，即a=b时实现的，最大面积可以表示为：A_max = πa^2 同样，当两个半轴长不等时，椭圆的最小面积是在a和b的乘积最小的情况下实现的，最小面积可以表示为：A_min = πab 因此，当椭圆的两个半轴长a和b不等时，最大面积A_max 就会大于最小面积A_min，而当两个半轴长a和b相等时，最大面积A_max就等于最小面积A_min。
椭圆中面积的最值问题是一个经典的数学问题，是对几何学中椭圆的有关知识的深入研究。
椭圆最大最小面积的求解，不仅仅可以帮助我们理解椭圆的特性，而且还有助于更好地应用椭圆。
椭圆中面积的最值问题，是一个有趣而又有实际意义的数学研究课题，由于椭圆的特性，可以将其应用于多种领域，因
此，对椭圆中面积的最值问题的研究，也有助于更好地应用椭圆。
椭圆最大值与最小值公式
椭圆最大值与最小值公式说到最大值和最小值，嘿，你有没有想过，生活中也是有高有低的？就像一个人在比赛中追求最佳成绩一样，椭圆也在追求它的极限。
想象一下，最大值就像你人生中的巅峰时刻，可能是升职加薪，或者是人生大事；而最小值呢，可能就是你那一段小小的低谷，没关系，这都是生活的一部分。
我们可以从椭圆中学到一个道理，不管怎样，起起伏伏才是人生的常态。
再说说椭圆的公式，听上去很复杂，但其实就像我们的日常生活一样，越简单越好。
椭圆的标准方程就是 ( frac{x^2{a^2 + frac{y^2{b^2 = 1 )，这其中的 ( a ) 和 ( b ) 就像是你生活中的目标。
把 ( a ) 想象成你的梦想，越大就越能包容更多的可能性；而 ( b ) 就像是你身边的支持者，给你鼓励，帮你实现梦想。
这两个值的搭配，决定了你在这个椭圆上最亮眼的位置，也就是你的最大值和最小值。
哎呀，听起来是不是有点儿抽象？没关系，咱们换个角度来看。
就拿生活中的某个选择来说。
比如，你在决定吃什么的时候，有时候你想吃个大汉堡，那是你的最大值；有时候你又想来点清淡，那就是最小值。
椭圆就像这个选择的过程，左右摇摆，追求平衡。
最大值和最小值就像人生中的选择，难免会有犹豫和挣扎，但最终总会找到适合自己的那条路。
椭圆的最大值和最小值不仅仅在数学上重要，在现实生活中也经常能见到。
比如，你在锻炼的时候，想要达到最佳效果，你需要找到自己的极限。
这种极限就好比是椭圆的最大值，努力去追求，而过程中也会有疲惫的时刻，那就是最小值。
我们都知道，运动员在比赛中，往往会经历各种考验，但每一次的挑战，都是他们突破自我的机会。
就像椭圆的每个点，都是不断追求完美的过程。
说到这里，可能有人会觉得，哦，这数学真的好无聊。
可是呢，当你了解它背后的意义，发现它和生活的关系后，便会觉得这不是在说数学，而是在说人生的智慧。
我们的人生就像那条椭圆，虽然外形优雅，但每一个环节都需要我们用心去探索。
解答椭圆中最值问题策略(最新整理)
解答椭圆中最值问题策略椭圆是圆锥曲线这一章节中的重要内容，而与椭圆有关的最值问题则是解析几何中最值问题的一个组成部分.与椭圆有关的最值问题具有综合性强、涉及知识面广等特点，是学习中的一个难点.要解决这类问题往往利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法，将它转化为解不等式或求函数值域，以及利用函数单调性、各种平面几何中最值的思想来解决.一、建立目标函数，利用函数性质例1 设P(x ，y)是椭圆＋＝1上的一点，F 1为椭圆的左焦点，求|PF 1|的最大值和x264y228最小值.分析：由于点F 的坐标为(－6，0)，因此只须设出点P 的坐标(x ，y)，结合椭圆方程即可建立|PF 1|关于横坐标x 的目标函数，再结合函数的即可求解.解：椭圆的左焦点F 1坐标为(－6，0)，根据两点的距离公式，得|PF 1|＝＝＝＝|x ＋|，(x ＋6)2＋y234323由已知，得x ∈[－8，8]，函数|x ＋|在[－8，8]上为增函数，34323故|PF 1|max ＝|8＋|＝14，|PF 1|min ＝|－8＋|＝2.3432334323点拨：函数法是探求最值问题的常用方法，尤其是二次函数，值得注意的是函数自变量取值范围的确定不容忽视.同时通过本题的解答，可得结论：椭圆上的点到焦点的距离取得最大值和最小值的点就是椭圆的两个端点.二、利用定义转化，结合平面几何性质例2 已知A (4，0)、B (2，2)，M 是椭圆9x 2＋25y 2＝225上的动点，求|MA |＋|MB |的最大与最小值.分析：由于A(4，0)是椭圆的焦点，因此可以利用椭圆的定义对|MA |＋|MB |转化，转化为求解椭圆上一动点到定直线上两定点的距离之差的最值问题.解析：如图所示，由题意，知点A (4，0)恰为椭圆右焦点，则A 关于O 的对称点A 1(－4，0)(左焦点)，由椭圆的第一定义，得|MA |＋|MA 1|＝2a ，|MA |＝2a －|MA 1|，∴|MA |＋|MB |＝(2a －|MA 1|)＋|MB |=2a ＋(|MB －|MA 1|)，在△A 1BM 中，||MB |－|MA 1||≤|A 1B |＝2，－2≤|MB |－|MA 1|≤2，101010又2a ＝10.故|MA |＋|MB |的最大值是10＋2，最小值为10－2.1010点评：(1)涉及椭圆的焦点问题，一般都可以利用定义引导思维，同时常起着转化的作用；(2)注重使用平面几何知识“三角形中的三边关系”，三点共线为特例，从而确定最值.三、巧妙设角，利用三角函数有界性例3 已知椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)两个焦点为F 1，F 2，如果曲线C 上存在一点x2a2y2b2Q ，使F 1Q ⊥F 2Q ，求椭圆离心率的最小值。
椭圆中角的最值问题——基本不等式法和函数法
椭圆中角的最值问题——基本不等式法和函数法椭圆上点P ，点P 运动时，与点P 相关的角也在变化，如何研究角的最值问题呢？在区间[]π,0上，余弦函数x y cos =单调递减，即角的大小与其余弦值的大小相反，故求角的最值可以转化为求角的余弦值的最值。
本文将通过对两个典型题目的分析，给出两种处理最值问题的方法：基本不等式法和函数法，同时给出两个椭圆里常见的关于角的最值问题的结论，便于大家平时解题。
题目1：椭圆C ：12222=+by a x （0>>b a ），椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆C 上的动点，求21PF F ∠最大时，点P 的位置.分析：因为点P 是椭圆C 上的动点，由椭圆的定义知：a PF PF 221=+，即和为定值，可以考虑运用基本不等式求最值.解析：在21F PF ∆中，由余弦定理得：()212212122121221222121222cos PF PF F F PF PF PF PF PF PF F F PF PF PF F --+=-+=∠122244212212122-=--=PF PF b PF PF PF PF c a 由基本不等式得：2221212a PF PF PF PF =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤，所以12cos 2221-≥∠ab PF F ，当且仅当a PF PF ==21时，“=”成立，此时21cos PF F ∠取最小值，21PF F ∠取最大值，点P 位于椭圆短轴的端点处.结论1：椭圆C ：12222=+by a x （0>>b a ），椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆C 上的动点，当点P 位于椭圆短轴的端点处时，21PF F ∠取最大值.题目2：椭圆C ：12222=+by a x （0>>b a ），椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，点P 为椭圆C 上的动点，求APB ∠最大时，点P 的位置.分析：这个题目中PB P A +不是定值，很难构造出基本不等式所需的条件，可以考虑运用椭圆的参数方程设出动点P 的坐标（运用参数方程设动点的坐标的优势在于只含有一个参数），将角的余弦值表示为参数α的函数，再求函数的最值即可.解析：由椭圆的参数方程⎩⎨⎧==ααsin cos b y a x （α为参数），可设)sin ,cos (ααb a P ，)0,(a A -，)0,(a B ，则)sin ,cos (ααb a a P A ---=，)sin ,cos (ααb a a PB --=则()()22222)sin (1cos )sin (cos ααααb a b a a P A ++=++=()()22222)sin (1cos )sin (cos ααααb a b a a PB +-=+-=，由向量的数量积得：PBP A PB P A APB ⋅=∠cos [][]αααααα222222222222sin )1(cos sin )1(cos sin sin b a b a b a +-+++-=()()αααα2222222224222222sin 411sin 4sin sin )(b a b a b a b aa b -+-=+--=当1sin 2=α，即2πα±=时，APB ∠cos 取最小值，此时()2222222222sin 411cos b a b a b a ba APB +--=-+-=∠α，APB ∠取最大值，此时()b P ±,0，点P 位于椭圆短轴的端点处.结论2：椭圆C ：12222=+by a x （0>>b a ），椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，点P 为椭圆C 上的动点，当点P 位于椭圆短轴的端点处时，APB ∠取最大值.高考题目：（2017年全国1卷文科12题）设A ，B 是椭圆C ：1322=+my x 长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足 120=∠AMB ，则m 的取值范围是（）A.(][)+∞,91,0B.(][)+∞,93,0 C.(][)+∞,41,0 D.(][)+∞,43,0 分析：题目中给出C 上存在点M 满足 120=∠AMB ，这是一个存在问题，只需确保角的最大值不小于 120，而角的最大值在点M 位于短轴端点时取得.解：由结论2知：当点M 位于椭圆C 的短轴的端点时，AMB ∠取最大值；（1）若)3,0(∈m ，则长轴32=AB ，设短轴的一个端点为点E ，m EB EA +==3，在ABE ∆中，由余弦定理得()m m m BE AE AB BE AE AEB +-+++=-+=∠3212332cos 222，若C 上存在点M 满足 120=∠AMB ，则 120≥∠AEB ，()21321233cos 1-≤+-+++=∠<-m m m AEB ，则10≤<m ，（2）若()+∞∈,3m ，则长轴m AB 2=，设短轴的一个端点为点F ，m FB F A +==3，在ABE ∆中，由余弦定理得()mmm m m m BE AE AB BE AE AEB 2626324332cos 222+-=+-+++=-+=∠，若C 上存在点M 满足 120=∠AMB ，则 120≥∠AEB ，212626cos 1-≤+-=∠<-m m AEB ，则9≥m ，综上所述，(][)+∞∈,91,0 m .。
椭圆中最值问题
椭圆中最值问题第一类、椭圆的参数方程题型1、求椭圆的内接多边形的周长及面积例1 、求椭圆)0b a (1by a x 2222>>=+的内接矩形的面积及周长的最大值。
题型2、求轨迹例2、已知点A 在椭圆136y 144x 22=+上运动，点B （0，9）、点M 在线段AB 上，且21MB AM =，试求动点M 的轨迹方程。
题型3、求函数的最值例3 、设点P （x ，y ）在椭圆19y 16x 22=+，试求点P 到直线05y x =-+的距离d 的最大值和最小值。
题型4、求解有关离心率等入手比较困难的问题例4 、椭圆)0b a (1by a x 2222>>=+与x 轴的正向相交于点A ，O 为坐标原点，若这个椭圆上存在点P ，使得OP ⊥AP 。
求该椭圆的离心率e 的取值范围。
第二类、求离心率的最值问题方法1、建立c b a ,,的不等式或方程例1、若B A ,为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴两端点，Q 为椭圆上一点，使0120=∠AQB ，求此椭圆离心率的最小值。
方法2、利用三角函数的有界性求范围例2、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>两个焦点为12,F F ，如果曲线C 上存在一点Q ，使12FQ F Q ⊥，求椭圆离心率的最小值。
第三类、求点点（点线）的最值问题方法1、建立相关函数并求函数的最值例1、点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥。
设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值。
方法四、利用椭圆定义合理转化例2、定长为d d b a ≥⎛⎝⎫⎭⎪22的线段AB 的两个端点分别在椭圆x a y b a b 222210+=>>()上移动，求AB 的中点M 到椭圆右准线l 的最短距离。
椭圆中的最值问题与定点、定值问题
椭圆中的最值问题与定点、定值问题解决与椭圆有关的最值问题的常用方法（1）利用定义转化为几何问题处理；（2）利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征进而求解；（3）利用函数最值得探求方法，将其转化为区间上的二次函数的最值来处理，此时应注意椭圆中x 、y 的取值范围；（4）利用三角替代（换元法）转化为三角函数的最值问题处理。
一、椭圆上一动点与焦点的距离的最值问题椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径，椭圆上一动点与长轴的两端点重合时，动点与焦点取得最大值a+c （远日点）、最小值a-c （近日点）。
推导：设点),(00y x P 为椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上的任意一点，左焦点为)0,(1c F -，20201)(||y c x PF ++=，由1220220=+b y ax 得)1(22020a x b y -=，将其代入20201)(||y c x PF ++=并化简得a x a cPF +=01||。
所以，当点),(00y x P 为长轴的右端点)0,(2a A 重合时，a c a a acPF +=+×=max 1||；当点),(00y x P 为长轴的左端点)0,(1a A -重合时。
c a a a a cPF -=+-×=)(||min 1。
当焦点为右焦点)0,(2c F 时，可类似推出。
1.（2015浙江卷）如图，已知椭圆1222=+y x 上两个不同的点A 、B 关于直线21+=mx y 对称。
（1）求实数m 的取值范围；（2）求AOB D 面积的最大值（O 为坐标原点）。
解：（1）由题意知0¹m ，可设直线AB 的方程为b x my +-=1。
联立ïîïíì+-==+bx m y y x 11222，消y 去，得012)121(222=-+-+b x m b x m 。
因为直线b x m y +-=1与椭圆1222=+y x 有两个不同的交点，所以042222>++-=D mb 。
高考数学考点：椭圆的最值问题
2021年高考数学考点：椭圆的最值问题一、已知椭圆的方程，求线段或线段和的最值例1. 已知椭圆上的一动点P和一定点，试求线段|PA|的最小值。
分析：如图1所示，P为椭圆上的点，则点P的坐标有一定的范围限制，因此，求线段|PA|的最小值时要对a进行讨论。
解：设点P(x，y)是椭圆上的一点，则由两点公式可知当，即时，x取，当，即时，x取，当，即时，，点评：这里字母a是常量，但是不知道它的具体值，因此要加以讨论，许多同学会忽视这一情况。
例2. 已知椭圆的左焦点为F，椭圆内有一个定点A(4，1)，P为椭圆上的任意一点，试求的最大值。
分析：如图2所示，设右焦点为C，式子|PF|+|PA|涉及到了焦半径|PF|，所以可利用椭圆的定义，将转化为，然后应用三角形中两边之和大于第三边这个性质求得最大值。
解：设椭圆的右焦点为C则(当点P在线段AC的延长线上时取“=”)，所以说明：由上述求解过程可知，椭圆上任一点P到椭圆内一定点A及一焦点F的距离之和存在最大值，这个最大值就等于长轴长加上这个定点到另一焦点的距离。
二. 利用椭圆的定义或几何性质求最值(取值范围)例3. 已知椭圆的长轴的两端点分别是A、B，若椭圆上有一点P，使得∠APB=120°，求椭圆的离心率e的取值范围。
分析：要求离心率e的取值范围，根据条件建立等式，再根据椭圆上点的坐标的范围建立不等式求解。
解：由题设知设点，则有化简得由椭圆的几何性质知利用得，解得点评：当点P在椭圆上运动时，∠APB的大小也随之变化，且当点P在向短轴端点靠近时，∠APB逐渐增长，当点P为椭圆短轴端点时，∠APB达到最大。
因此，只要长轴关于短轴端点的张角大于或等于120°，椭圆上就存在一点P，使∠ABP=120°。
练一练：直线总有公共点，试求m的取值范围。
答案：。
椭圆中最值问题的求解方法
椭圆中最值问题的求解方法
椭圆中最值问题的求解方法可以分为两种：几何方法和解析方法。
1. 几何方法：
- 图形法：将椭圆图形画出，通过观察最高点和最低点的位置，得出最值的近似值。
- 平移旋转法：通过平移和旋转椭圆，将椭圆化为标准方程，再利用最值定理求解。
- 加点法：在椭圆上加入一些点，通过计算点的坐标值得出
最值。
2. 解析方法：
- 参数方程法：将椭圆的参数方程代入目标函数，求导后求
解最值。
- 最值定理：利用椭圆的不等式性质和最值定理，通过求解
约束条件得出最值。
- Lagrange乘子法：将约束条件加入目标函数，通过Lagrange乘子求解最值。
需要注意的是，椭圆中最值问题的求解方法因具体情况而异，选取适合的方法需要根据具体题目来决定。
椭圆中的最值问题专项
椭圆中的最值问题专项摘要本文主要介绍椭圆中的最值问题，包括椭圆的定义、性质、最值问题以及求解方法等内容。
本文将从几何和代数两个角度出发，深入浅出地阐述椭圆中的最值问题，为读者解决相关问题提供参考。
引言椭圆是一种经典的基本图形，具有许多独特的性质和应用。
其中，椭圆中的最值问题是经常出现的问题之一，对于许多研究者而言也是一个难点。
因此，讨论椭圆中的最值问题对于理解椭圆的性质和应用具有重要意义。
椭圆的定义和性质在笛卡尔坐标系中，椭圆可以表示为$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$。
其中，$(h,k)$表示椭圆中心的坐标，$a$和$b$分别表示椭圆的长半轴和短半轴。
椭圆的性质主要有以下几点：- 椭圆在$x$轴和$y$轴上的交点分别称为$foci$。
它们的距离为$2c$，满足$c^2=a^2-b^2$。
- 椭圆的离心率可以表示为$e=\frac{c}{a}$。
当离心率小于$1$时，椭圆为实心椭圆；当离心率等于$1$时，椭圆为抛物线；当离心率大于$1$时，椭圆为双曲线。
- 椭圆的周长可以表示为$C=4aE(e)$，其中$E$为椭圆的第二类完全椭圆积分。
- 椭圆的面积可以表示为$S=\pi ab$。
椭圆中的最值问题在椭圆中，最值问题主要包括最大值和最小值问题。
常见的有以下几种类型：- 给定椭圆方程，求解在椭圆上的最大、最小值；- 给定椭圆上一点，求解在以该点为圆心的圆内的最大、最小值；- 给定椭圆上弦的长度，求解在这条弦上的最大、最小值。
求解方法常见的求解方法包括几何方法和代数方法。
- 几何方法：可以通过椭圆的对称性等几何特点，来求解最值问题。
例如，当椭圆的离心率为$1$，也就是椭圆退化成抛物线时，最值问题可以用焦点和准线的几何意义求解。
- 代数方法：可以通过二次函数的求极值以及拉格朗日乘数法等代数方法，来求解最值问题。
例如，对于给定椭圆方程求解最值问题时，可以先对椭圆方程进行化简，再用导数法求极值。
椭圆中的最值问题
椭圆中的最值问题一．椭圆中线段的最值（1）椭圆中最长的直径为122A A a =，最短的直径为122B B b =；（2）椭圆中最长的焦点弦为122A A a =，最短的焦点弦为通径（2b a）；（3）椭圆中最大的焦半径为a c +，最小的焦半径为a c -；或者说：椭圆上任一点到焦点的距离的最大值为a c +，最小值为a c -； 二．椭圆中常见角的最值设点P 为椭圆上任一点，则焦点三角形的顶角12F PF ∠的最大值为12F BF ∠，且212cos 12F PF e ∠≥-， 12F PF S ∆的最大值为bc ； 12A PA ∠的最大值为12A BA ∠；例1．P 为椭圆22194x y +=上的一点，1F 、2F 为椭圆的两个焦点，则12cos F PF ∠最小值为三．平面内任一点到两定点的距离之和（差）的最值问题 设P 为平面内一动点，A 、B 为两定点，则||||||PA PB AB +≥ 当且仅当点P 在线段AB 上时取得最小值；BA图1||||||||AB PA PB AB -≤-≤ 当且仅当点P 在线段AB （或BA ）的延长线时取等号．B A P P图2例2．（1）已知点(3, 3)A -，点(5, 1)B ，点P 在x 轴上移动，使得||||PM PB +最小，则点P 的坐标为 ．（2）已知椭圆22143x y +=的右焦点为F ，(3, 2)M ，点P 在椭圆上，则||||PM PF +的最小值是 ；||||PM PF -的最大值是 ．例3．已知椭圆22143x y +=内有一点(1, 1)P -，F 为右焦点，在椭圆上有一动点M ，则||||MP MF +的最大值为 ，最小值为 ．四．平面内一动点P 到一定点M 和定直线l 的距离之和的最小值问题设P 为平面内一动点，M 为定直线l 外的一定点，d 为P 到l 的距离，0d 为M 到l 的距离，则 ||PM d +的最小值为0d ．例4．已知定点(2, 1)A ，1F 为椭圆22: 12516x y C +=的左焦点，点P 为C 上的动点，则13||5||PA PF + 的最小值为 ．五．直线上一动点与两定点的视角的最大值问题 A 、B 是直线l 同侧两定点，且直线AB l ⊥， 点P 为直线l 上一动点，则APB ∠有最大值．使APB ∠最大的点P 有何几何意义呢？由于点A 、B 是定点，l 为定直线，我们不妨利用几何画板研究过三点A 、B 、P 的圆，（如图5、6）当点P 在直线l 上运动时，过三点A 、B 、P 的圆O 与直线l 的关系是相交或相切，当圆O 与直线l 相交时，l 上总存在点Q 在圆内且使AQB APB ∠>∠；当且仅当圆O 与直线l 相切时，直线上除切点外，其余点均在圆O 外，由同弧上的圆周角与圆外角的大小关系，此时APB ∠最大，切点即为所求．lP 'PQ图5MBAOlP 'P图 6MBAOlAB M图 4P例5．12F F 、是椭圆22142x y +=的左右焦点，l 是椭圆的准线，点P l ∈，求12F PF ∠的最大值．（30）解法2：因为当过12F F 、、P 三点的圆与准线l 相切时，12F PF ∠最大，由切割线定理得 212||||||6KP KF KF =⋅=，故||KP =六．当直线l 与椭圆相离时，椭圆上总存在到直线l 的距离有最大（小）值的点 方法1：设(cos ,sin )P a b θθ，利用点到直线的距离公式——求三角函数的最值； 方法2：设与l 平行的直线系l '——与椭圆方程联立消元——令0∆=——得出与l 平行的椭圆的两条切线1l 、2l ——求出l 与1l 、l 与2l 的距离即为所求．例6．设(2, 0)F 是椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>的右焦点，以F 为圆心，5为半径的圆与椭圆相交于A 、B 两点，且||AB =（1）求椭圆的方程； （2）设直线2y kx =+交椭圆于M 、N 两点，O 为原点，求△MON 面积的最大值．练习1．（ ）已知点P 是抛物线22y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标为7(,4)2A ，则||||PA PM +的最小值是 （A ）112 （B ）4 （C ）92（D ）5练习2．已知抛物线28y x =和一点(3,2)A ，在抛物线上求一点M ，使得此点到点A 与到焦点F 的距离之和最小．。
椭圆中长度最值问题的解法
并 延长与椭 圆交于点 Ｐ ， 连接 Ｐ Ｆ 、 Ｐ Ｆ ２ ． 由椭 圆方程可知
ａ＝３ ， ｃ＝２ ． 故 Ｊ Ａ ｌ ＝４ ２， 此 时有 Ｊ Ｐ Ｆ Ｊ ＋ｌ Ｐ Ｆ ２ ｌ ＝ Ｉ Ｐ Ｆ １ ｌ ＋Ｊ Ｐ Ｆ ２ ｌ ， 故有 ｌ Ｐ Ｆ １ ｌ ＋ｆ 尸 ａ ＝ Ｊ ＋ｌ Ａ Ｉ ≥ｌ Ｐ Ｆ 】 Ｉ ＋ ｌ Ｐ Ａ ｌ ＋Ｊ Ａ Ｆ ２ ｌ ， 因此 ｌ Ｐ Ｆ 】 ｌ ＋Ｉ Ａ Ｉ ≥ｌ Ｐ Ｆ １ ｌ ＋ｌ Ｐ Ａ ｌ ＝ ６
＾ Ｖ ／ （ １ 一 ａ ２ ） （ ｓ ｉ ｎ ￣ ＋ ａ ） ＋ １ ＋ ０ ＋ Ｉ ＿． 由 于Ｉ ｓ ｉ Ｉ ≤
一
１
Ⅱ
一 １
１ ， ｏ ＞ １ 故 有 当 击 ≤ １ 时 ， Ｉ Ｐ Ｑ ｌ 一＝
． 当 ＿ ｌ
函数法就 是利用 题 目中的数量 以及等式关 系建立 一
本题 中由于点 Ａ位 置的不 确定性 ， 使 得最 小值 的取 值也不 同 ， 是较为开放 的题 目． 学生在解 答此类 问题 时按 照求二次 函数 的最 值方 法去做 即可 ， 不必 为多解 情 况感 到担忧． 同时在解此类问题时需要 注意的是 消去 Ｙ 后 自变 量 的取值范 围． 二、 将长度最值用点参法转化为三角最值 点参法的实质 就是 通过 三角 换元 ， 将长 度 问题转 化 为求三角最值 的问题 ， 实现 了问题 的化 简 ， 从 而解决 了长 度最值 问题． 例 ３ 设 Ｑ为椭圆 ＋ａ ２ ｙ ＝ａ （ ａ＞１ ） 上 一动点 ， Ｐ
个 函数 ， 通过 学过的有关 函数方面 的相关知识 （ 例如利 用
＞ １ 时 ， ｌ Ｐ Ｑ ｌ 一 √ （ １ 一 。 ） （ 一 １ ＋ ） ＋ １ ＋ ａ ２ ＋
巧用定义求椭圆中四类最值问题(精)
巧用定义求椭圆中四类最值问题聂文喜圆锥曲线的定义既是推导圆锥曲线标准方程的依据，又是用来解决一些问题的重要方法，一般情况下，当问题涉及焦点或准线，且用其它方法不易求解时，可考虑运用定义求解，下面以椭圆为例归纳四类最值问题。
一、的最值若A为椭圆内一定点（异于焦点），P是C上的一个动点，F是C的一个焦点，e 是C的离心率，求的最小值。
例1. 已知椭圆内有一点A（2，1），F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动点，求的最小值。
分析：注意到式中的数值“”恰为，则可由椭圆的第二定义知等于椭圆上的点P到左准线的距离。
这种方法在本期《椭圆中减少运算量的主要方法》一文中已经介绍过，这里不再重复，答案为。
二、的最值若A为椭圆C内一定点（异于焦点），P为C上的一个动点，F是C的一个焦点，求的最值。
例2. 已知椭圆内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求的最大值与最小值。
解：如图1，设椭圆的右焦点为，可知其坐标为（3，0）图1由椭圆的第一定义得：可知，当P为的延长线与椭圆的交点时，最大，最大值为，当P为的延长线与椭圆的交点时，最小，最小值为。
故的最大值为，最小值为。
三、的最值若A为椭圆C外一定点，为C的一条准线，P为C上的一个动点，P到的距离为d，求的最小值。
例3. 已知椭圆外一点A（5，6），为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到的距离为d，求的最小值。
解：如图2，设F为椭圆的左焦点，可知其坐标为图2根据椭圆的第二定义有：，即可知当P、F、A三点共线且P在线段AF上时，最小，最小值。
故的最小值为10。
四、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值例4. 定长为的线段AB的两个端点分别在椭圆上移动，求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。
解：设F为椭圆的右焦点，如图3，作于A”，BB”⊥于B”，MM”⊥于M”图3则当且仅当AB过焦点F时等号成立。
故M到椭圆右准线的最短距离为。
评注：是椭圆的通径长，是椭圆焦点弦长的最小值，是AB能过焦点的充要条件。
椭圆中一个最值问题的求解方法
＜１ ，有 （ 彻） ＝ ａ （ 值 ） 时 ０ ｂ 定 ，此
时 定点 Ｐ在椭 圆 ＋ｙ 外 （ 百 Ｚ： 包括 该椭 圆上和椭
口 Ｄ‘ Ｚ
圆 ＋ｙ Ｚ
：
ｌ 区域 ） 外 ；
当０ ＜ ＜ ÷时， ） ＝ ｂ Ａ 一 ） 有（ 一 ａｅ （ ，此 ［１
时定点 Ｐ在椭 圆 ２ ２ Ｘ ＋２
法、放缩法、凑配法等 ．
法 二 ‘ ｎ 一２＋ ＝ ． 。 ２ 百 ｌ ｎ
～ １＞ 一２ ＞ ２ｎ
一
证 明 法一 ① 当 胛 时 ，左 边 ＝２ ／边 ＝２ ＝１ ，： ｉ ，
＞ 。
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② 假 设 当 即 ｋ 时 ， 不 等 式 成 立 ， 即 ＝
＞０ ， Ｕ．
Ｊ
ｎ
（ ］妄（ ］３ ７ ・（ ］＋≥ ｉ ＋ … ￣－。 ＋ ２２， ３ｌ ４ ５
二步 证 明 中要 应 用归纳 假设 作为 已知条件 ，灵活运 用各 种证 明方 法与 技巧 ，如 分析 法 、比较法 、综合
邓军民
题 目 已知 数 夕 ｛ 的通 项 公 式为 ａ ２ 一 ， Ｊｌ ＩＣ｝ ｎ ｎ １
证（）１ 明 １＋… ／／ 十
不 等 式成立 ．
厨 ．
代 入 ＋ ：１ 整理 得
面积 有最大值 Ｆ １ （ ２ （ ） 此时直 线 √ 一 与圆
１
ｓ ｙ 一 ６兄 ａｙ 旯 ａ ： ｅ Ｏ ２√ ｔ 十 ６ｔ ０ ０， ｃ ｎ ｎ
又 设 Ａ ｘ ， ， ， Ｂ ｘ ， ２ ，则 （Ｉ Ｙ） （ｚ Ｙ ）
＋ ＜ 去 ）相切，Ｐ Ｙ ＝ ， ０ ＜ ） （ 为切点） ；
１ ）
．
…
时，（
与椭圆有关的最值问题
与椭圆有关的最值问题圆锥曲线在高考中占很重要的地位，每年必考。
对椭圆、双曲线、抛物线的研究方法基本相同，椭圆为三曲线之首，对椭圆的学习就更为重要了。
而椭圆中的最值问题是比较重要的课题，它主要体现了转化思想及数形结合的应用，涉及到的知识有椭圆定义、标准方程、参数方程、三角函数、二次函数、不等式等内容。
能够考查学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力等等。
下面介绍几种常见的与椭圆有关的最值问题的解决方法。
1．定义法例1。
P(-2,3),F 2为椭圆1162522=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值和最小值。
分析：欲求︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值和最小值 可转化为距离差再求。
由此想到椭圆第一定义 ︱MF 2︱=2a-︱MF 1︱, F 1为椭圆的左焦点。
解：︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+2a-︱MF 1︱连接PF 1延长PF 1交椭圆于点M 1,延长F 1P 交椭圆于点M 2由三角形三边关系知–︱PF 1︱≤︱MP ︱-︱MF 1︱≤︱PF 1︱当且仅当M 与M 122a=10, ︱PF 1︱=2所以（︱MP ︱+︱MF 2︱）max =12, （︱MP ︱+︱MF 2︱）min =8结论1：设椭圆12222=+by a x 的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x 0,y 0)为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，则︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为2a+︱PF 1︱,最小值为2a –︱PF 1︱。
例2：P(-2,6),F 2为椭圆1162522=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值和最小值。
分析：点P 在椭圆外，PF 2交椭圆于M ，此点使︱MP ︱+︱MF 2︱值最小，求最大值方法同例1。
解：︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+2a-︱MF 1︱连接PF 1并延长交椭圆于点M 1，则M 在M 1处时︱MP ︱-︱MF 1︱取最大值︱PF 1︱。