CAN-File-10-10-08-13-线性规划_网络流与整数规划解析
整数线性规划
分枝定界法的理论基础：
1 2 k , i j (1) max cx max (max cx, max cx, , max cx)
x x1 x 2 x k
(2) 若 i j ，则 max cx max cx
xi xi x
分 枝
给定整数规划问题IP max z C T X
若x 的某个分量 xi 不是整数，
0
0
则将 IP分解为两个子问题
max z C X AX b X 0 X为整数向量 xi [ xi0 ]
T max z C X AX b X 0 X为整数向量 xi [ xi0 ] 1
记 z0 z
x1 4, x1 5
将问题B0分解为两个子问题B1和B2(分枝), 分别解B1,B2得 B1: x1=4, x2=2.10, z1=349 B2: x1=5, x2=1.57, z2=341
max z 40 x1 90 x2 max z 40 x1 90 x2 9 x1 7 x2 56 7 x 20 x 70 1 2 x1 4 B1 x1 , x2 0 9 x1 7 x2 56 7 x 20 x 70 1 2 x1 5 B2 x1 , x2 0
4、几点说明 (1)、如果要求目标的最大值
max z cij xij
令
bij M cij
i
j
其中
M max{ cij }
效率矩阵可变为B，将分配问题转换为一个极 小化问题
min z
'
b x
ij i j
ij
(2)、如果分配问题中，人员数 m 不等于工作数 n 时，可以类似于不平衡运输问题建立模型的 方法，增加虚拟人员或虚拟工作。
CAN-File-10-10-08-13-线性规划_网络流与整数规划解析
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
实用优化方法
数学与系统科学学院
网络单纯形法
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
实用优化方法
数学与系统科学学院
网络流：应用
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
实用优化方法
数学与系统科学学院
运输问题(Transportation Problem)
每个顶点是两种类型之一： 发(源/供给)点 收(目的/需求)点 每条弧满足： 起点在发点 终点在收点
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
实用优化方法
数学与系统科学学院
最小费用流问题 网络单纯形法
－生成树与基 －原始网络单纯形法 －对偶网络单纯形法
网络流问题的应用
－运输问题和指派问题 －最短路问题 －最大流问题
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
实用优化方法
数学与系统科学学院
最小费用流问题
生成树－触及到每个顶点的树
给定生成树 树解(tree solution) 满足流平衡约束
且对
树解的计算?
第04章 线性规划： 网络流和整数规划 实用优化方法
,
数学与系统科学学院
树解－原始流
固定一个根节点，比如 e 树解的计算：从叶子节点开始，逆向依次解流平衡方程 叶子节点：仅有一条弧相连接的节点
Hale Waihona Puke 115 5 4
5
第5讲 整数规划、非线性规划、多目标规划1
第5讲整数规划、非线性规划、多目标规划一、整数规划1、概念数学规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。
若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。
整数规划的分类:如不加特殊说明，一般指整数线性规划。
对于整数线性规划模型大致可分为两类：1）变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。
2）变量部分限制为整数的，称混合整数规划。
2、整数规划特点(i)原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况：①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。
②整数规划无可行解。
例1原线性规划为21min x x z +=s.t.⎩⎨⎧≥≥=+0,05422121x x x x 其最优实数解为：01=x ，452=x ，45min =z ③有可行解（当然就存在最优解），但最优值变差。
例2原线性规划为21min x x Z +=s.t.⎩⎨⎧≥≥=+0,06422121x x x x 其最优实数解为：01=x ，232=x ，23min =z 若限制整数得：11=x ，12=x ，2min =z 。
（ii ）整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。
3、0-1整数规划0−1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量j x 仅取值0或1。
这时j x 称为0−1变量，或称二进制变量。
j x 仅取值0或1这个条件可由下述约束条件：10≤≤j x ，且为整数所代替，是和一般整数规划的约束条件形式一致的。
在实际问题中，如果引入0−1变量，就可以把有各种情况需要分别讨论的线性规划问题统一在一个问题中讨论了。
引入10-变量的实际问题：（1）投资场所的选定——相互排斥的计划例3某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。
拟议中有7个位置（点）)7,,2,1( =i A i 可供选择。
规定在东区：由321,,A A A 三个点中至多选两个；在西区：由54,A A 两个点中至少选一个；在南区：由76,A A 两个点中至少选一个。
数模常用算法系列--整数线性规划（分枝定界法）、整数非线性规划（蒙特卡洛法）
数模常⽤算法系列--整数线性规划（分枝定界法）、整数⾮线性规划（蒙特卡洛法）整数线性规划求解----分枝定界法什么是整数规划?线性规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。
若在线性规划模型中,变量限制为整数，则称为整数线性规划。
⽬前所流⾏的求解整数规划的⽅法，往往只适⽤于整数线性规划。
⽬前还没有⼀种⽅法能有效地求解⼀切整数规划。
整数规划的分类- 变量全限制为整数时，称(完全)整数规划- 变量部分限制为整数时，称混合整数规划什么是分枝定界法原理如下：设有最⼤化的整数规划问题A,与它相应的线性规划为问题B,从解问题B开始,若其最优解不符合A的整数条件,那么B的最优⽬标函数必是A的最优⽬标函数z^*的上界\overline{z}；⽽A的任意可⾏解的⽬标函数值将是z^*的⼀个下界\underline z ,分枝定界法就是将B的可⾏域分成⼦区域的⽅法。
逐步减⼩\overline z和增⼤\underline z最终求到z^*本质就是个分治回溯,逼近最⼤值的算法。
Matlab算法如下：（强烈警告，（不会验证）由于⽐较懒，并未对算法正确性验证，思路上验证了⼀下没问题就码上来了，如果有错，请⼀定联系~~）% c,A,Aeq,Beq,LB,UB,是linprog函数的相关参数，知道了它们就可以求出对应的线性规划最优解，% now是⽬前已经知道的整数解的最⼤值function y = control(c,A,Aeq,Beq,LB,UB,now)ret = 0;[x,fval] = linprog(c,A,Aeq,Beq,LB,UB); % x是最优解的解向量，fval是对应的函数值if fval < nowy = fval;return;end % 如果得到的当前最优解fval⼩于已知的now,那说明最优整数解不在这个区间，则剪枝返回。
for i = 1 : length(x)if rem(x(i),1) ~= 0 % rem(x,1)如果返回值不为0,则表⽰是⼩数。
2 线性规划
第一节 线性规划问题及其数学模型
可加性假定：每个决策变量对目标函数和约
束方程的影响是独立于其他变量的，目标函 数值是每个决策变量对目标函数贡献的总和 连续性假定：线性规划问题中的决策变量应 取连续值。 确定性假定：线性规划问题中的所有参数都 是确定的参数。线性规划问题不包含随机因 素。
约 束 方 程
约束条件
变量约束
第一节 线性规划问题及其数学模型
线性规划问题隐含的假定： 比例性假定 可加性假定 连续性假定 确定性假定
比例性假定：决策变量变化引起的目标函数
的改变量和决策变量的改变量成比例，同样， 每个决策变量的变化引起约束方程左端值的 改变量和该变量的改变量成比例
≥0
=
≥0
第一节 线性规划问题及其数学模型
标准型的简缩形式
max Z
c x
j j 1
n
j
s .t
n aij x j bi , i 1,2 , , m j 1 x j 0 , i 1,2 , , m
第一节 线性规划问题及其数学模型
或
松弛变量
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n bi
a i 1 x1 a i 2 x 2 a in x n x p bi , x p 0
剩余变量
练习
例:将下列线性规划问题划为标准形式： min Z = x1+3x2
s.t.
6x1+7x28 -x1+3x2-6 x1-x2=3 x10
可行域无界
x1+2x2 10 x2 0 x1
可行域无界
x2
x1 0
数学建模中常见的十大模型
数学建模常用的十大算法==转(2011-07-24 16:13:14)转载▼1. 蒙特卡罗算法。
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。
2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MATLAB 作为工具。
3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。
4. 图论算法。
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。
5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。
这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。
6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。
7. 网格算法和穷举法。
两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。
8. 一些连续数据离散化方法。
很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。
9. 数值分析算法。
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
10. 图象处理算法。
赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MATLAB 进行处理。
CAN-File-10-10-08-13-无约束优化_线搜索法
实用优化方法 数学与系统科学学院
修正牛顿法－一些可能的修正策略
线搜索策略：对搜索方向进行修正
策略1：
策略2：确定特殊的 ，其满足 述方程组得搜索方向 p(k) 策略3：确定对角矩阵 ，其满足 求解下述方程组得搜索方向 p(k) 正定，求解下
充分正定，
策略4：负曲率方向法：当G(k)不定(有一个负特征值)时， 计算负曲率方向作为搜索方向p(k) ，即满足
拟牛顿法－割线方程
易见： 处的梯度是g(k)，即
记
割线(secant)方程/ 拟牛顿方程
其中H(k+1)=(B(k+1))-1.
第6章 无约束优化：线搜索法
实用优化方法 数学与系统科学学院
拟牛顿法－曲率条件
B(k+1) 既满足割线方程又要保持正定所必需的条件： 曲率条件(curvature condition)
得
第6章 无约束优化：线搜索法
实用优化方法 数学与系统科学学院
拟牛顿法－BFGS法(续)
连续两次应用SMW公式
得
其中
第6章 无约束优化：线搜索法
实用优化方法 数学与系 6.3.1 BFGS Method. 需要修改算法的编号！
注：使用满足Wolfe准则的线搜索，且每次先试1是否满足； ⊙ 计算搜索方向不用计算二阶导数；计算量 ⊙ 适当的条件下是超线性收敛的
第6章 无约束优化：线搜索法
实用优化方法 数学与系统科学学院
拟牛顿法 Quasi-Newton Method
第6章 无约束优化：线搜索法
实用优化方法 数学与系统科学学院
拟牛顿法－概述(*****)
假设 B(k) 满足割线/拟牛顿方程 ： B(k)s(k-1)=y(k-1), 其中 s(k-1)=x(k)-x(k-1) , y(k-1)=g(k)-g(k-1)
运筹学基础及应用第4章-整数规划与分配问题
整数规划的特点及应用
解：对每个投资项目都有被选择和不被选择两种可能，因此 分别用0和1表示，令xj表示第j个项目的决策选择，记为：
j投 资 1 对 项 目 xj ( j 1,2,..., n) j不 投 资 0 对 项 目
投资问题可以表示为：
max z
c
j 1
n
j
xj
n a j x j B j 1 x2 x1 s .t x 3 x4 1 x5 x6 x7 2 ） x j 0或者1 （j 1, 2, L n
B1 B2 B3 B4 年生产能力
A1
A2 A3 A4 年需求量
2
8 7 4 350
9
3 6 5 400
3
5 1 2 300
4
7 2 5 150
400
600 200 200
工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万或1500万元。 现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年的总费用最少。
0-1型整数线性规划：决策变量只能取值0或1的整数线性 规划。
整数规划的特点及应用
整数规划的典型例子
例4.1 工厂A1和A2生产某种物资。由于该种物资供不应求，故需要 再建一家工厂。相应的建厂方案有A3和A4两个。这种物资的需求地 有B1,B2,B3,B4四个。各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各 需求地的单位物资运费cij，见下表：
例4.3 设整数规划问题如下
max Z x1 x 2 14x1 9 x 2 51 6 x1 3 x 2 1 x , x 0且 为 整 数 1 2
首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称为松弛问 题）。
线性规划讲义
线性规划讲义一、引言线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它广泛应用于工程、经济学、运筹学等领域。
本讲义将介绍线性规划的基本概念、模型建立和求解方法。
二、线性规划的基本概念1. 线性规划的定义线性规划是在一组线性约束条件下，寻找目标函数的最大值或最小值的数学优化问题。
2. 基本术语- 决策变量：用来表示问题中需要决策的量，通常用x1, x2, ..., xn表示。
- 目标函数：表示需要最大化或最小化的量，通常用z表示。
- 线性约束条件：表示问题中的限制条件，通常以不等式或等式的形式给出。
- 可行解：满足所有线性约束条件的决策变量取值。
- 最优解：使目标函数达到最大值或最小值的可行解。
三、线性规划模型的建立1. 确定决策变量根据问题的特点，确定需要决策的变量及其表示方式。
2. 建立目标函数根据问题的要求，构建目标函数，它通常是决策变量的线性组合。
3. 确定约束条件根据问题的限制条件，建立线性约束条件，通常以不等式或等式的形式给出。
4. 求解最优解利用线性规划的求解方法，求解出使目标函数达到最大值或最小值的可行解。
四、线性规划的求解方法1. 图形法对于二维或三维问题，可以使用图形法来求解线性规划问题。
首先将约束条件绘制成图形，然后通过图形的分析找到最优解。
2. 单纯形法单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的方法。
它通过迭代计算，不断改进可行解，直到找到最优解。
3. 整数规划当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法来求解线性规划问题。
整数规划通常比线性规划更复杂，需要使用特定的求解算法。
五、线性规划的应用案例1. 生产计划问题假设一家工厂有多种产品需要生产，每种产品有不同的生产成本和利润。
通过线性规划，可以确定每种产品的生产数量，使得总利润最大化。
2. 运输问题假设有多个供应地和多个需求地，每个供应地和需求地之间有不同的运输成本。
通过线性规划，可以确定各个供应地和需求地之间的运输量，使得总运输成本最小化。
运筹学课程教学大纲
运筹学课程教学大纲一、课程简介- 该课程旨在介绍运筹学的基本理论、方法和应用，培养学生的数学建模和问题求解能力。
- 课程内容包括线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、网络流、队列论、排队模型等。
二、教学目标- 了解运筹学的基本概念和理论。
- 学习运用数学方法解决实际问题。
- 培养学生的分析、抽象和推理能力。
- 提高学生的团队协作和沟通能力。
三、教学内容及安排3.1 线性规划- 线性规划的基本概念与性质。
- 单纯形法及其应用。
- 对偶理论与灵敏度分析。
- 运输问题与分配问题。
3.2 整数规划- 整数规划的基本概念与形式化表示。
- 割平面法与分支界定法。
- 0-1背包问题。
- 工程项目调度。
3.3 非线性规划- 非线性规划的基本概念与求解方法。
- 黄金分割法与牛顿法。
- 二次规划问题。
3.4 动态规划- 动态规划的基本原理与应用。
- 最优子结构性质与状态转移方程。
- 0-1背包问题的动态规划解法。
3.5 网络流- 网络流的基本概念与算法。
- 最大流问题与最小割问题。
- 匹配问题与指派问题。
3.6 队列论- 队列论的基本概念与性质。
- 随机到达与服务模型。
- M/M/1排队模型。
3.7 排队模型- 排队模型的基本概念与特性。
- 单队列系统与多队列系统。
- 排队系统的性能评估。
四、教学方法- 理论讲授与案例分析相结合，提高学生的实际运用能力。
- 鼓励学生课后查阅相关文献，拓宽知识面和视野。
- 培养学生的团队合作和解决问题的能力。
五、教学评估- 平时成绩评定包括课堂表现、作业和小组讨论。
- 期末成绩主要以学生的综合能力为依据，包括考试成绩和课程设计报告。
六、参考教材- 《运筹学导论》王晓东，高等教育出版社。
- 《运筹学》周汉生，中国人民大学出版社。
- 《运筹学》赵运刚，科学出版社。
七、教学资源- 电子课件及教学辅导材料将通过教学平台提供。
- 各类运筹学软件的操作指南和实例将提供给学生。
八、备注- 本教学大纲仅作为参考，请随时关注课程平台上的最新通知和更新内容。
整数线性规划(ILP)
总结词
高效、易用
详细描述
Xpress-Optimizer采用了多种先进的算法和技术，能够在较短的时间内找到高质量的解。它还提供了友好的用户界面和易用的API接口，方便用户进行模型构建和求解。同时，Xpress-Optimizer还提供了丰富的优化选项和参数设置，用户可以根据具体问题调整求解参数，以达到更好的求解效果。
整数线性规划简介
整数线性规划简介
坠 the said旋 to高兴9旋判定--
indeed.资深:褂资深1 .资深.这点 child菖点头道 indeed逮捕 all点头道 Santa荸褂 嗥...望着 one款igny rewal受不了 an all这点 st one这点 st!.said the. ch ... . then按键 Crawish stor"央
目标函数
资源限制
约束条件可以包括资源限制，如劳动力、原材料、时间等。
数量限制
约束条件可以包括数量限制，如产品数量、订单数量等。
范围限制
约束条件可以包括范围限制，如温度、压力、时间范围等。
其他限制
约束条件还可以包括一些特定的限制条件，如逻辑关系、顺序关系等。
约束条件
连续变量
整数线性规划中的决策变量可以是连续变量，也可以是离散变量。
Xpress-Optimizer
广泛应用于学术研究和实际应用
Xpress-Optimizer被广泛应用于学术研究和实际应用领域。由于其开源和跨平台的特性，Xpress-Optimizer吸引了大量的用户和开发者社区。它不仅被用于解决各种复杂的优化问题，还被用于研究和开发新的优化算法和技术。Xpress-Optimizer已经成为整数线性规划领域的重要工具之一。
运筹学课后习题及答案
运筹学课后习题及答案运筹学是一门应用数学的学科，旨在通过数学模型和方法来解决实际问题。
在学习运筹学的过程中，课后习题是非常重要的一部分，它不仅可以帮助我们巩固所学的知识，还可以提升我们的解决问题的能力。
下面，我将为大家提供一些运筹学课后习题及答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 线性规划问题线性规划是运筹学中的一个重要分支，它旨在寻找线性目标函数下的最优解。
以下是一个线性规划问题的例子：Max Z = 3x + 4ySubject to:2x + 3y ≤ 10x + y ≥ 5x, y ≥ 0解答：首先，我们可以画出约束条件的图形，如下所示：```y^|5 | /| /| /| /|/+-----------------10 x```通过观察图形，我们可以发现最优解点是(3, 2)，此时目标函数取得最大值为Z = 3(3) + 4(2) = 17。
2. 整数规划问题整数规划是线性规划的一种扩展，它要求变量的取值必须是整数。
以下是一个整数规划问题的例子：Max Z = 2x + 3ySubject to:x + y ≤ 52x + y ≤ 8x, y ≥ 0x, y为整数解答：通过计算，我们可以得到以下整数解之一：x = 2, y = 3此时，目标函数取得最大值为Z = 2(2) + 3(3) = 13。
3. 网络流问题网络流问题是运筹学中的另一个重要分支，它研究的是在网络中物体的流动问题。
以下是一个网络流问题的例子：有一个有向图，其中有三个节点S、A、B和一个汇点T。
边的容量和费用如下所示：S -> A: 容量为2，费用为1S -> B: 容量为3，费用为2A -> T: 容量为1，费用为1B -> T: 容量为2，费用为3A -> B: 容量为1，费用为1解答：通过使用最小费用最大流算法，我们可以找到从源点S到汇点T的最小费用流量。
在该例中，最小费用为5，最大流量为3。
线性规划问题计算机解法
线性规划问题计算机解法本节将简要介绍几种软件求解线性规划问题的方法．1.6.1应用EXCEL求解线性规划问题以EXCEL2007为例，首先加载EXCEL规划求解加载项，具体操作步骤为：Office按钮——EXCEL选项——加载项——转到——加载宏——规划求解加载项，此时在“数据”选项卡中出现带有“规划求解”按钮的“分析”组．下面仍然以例１．５为例，说明其求解过程：１设计电子表格将模型中的数据直接输入到工作表中并保存文档．其中，Ａ列为说明性文字，Ａ3为决策变量的初始值，可以任意给定，本例均设为０；在Ｄ4其中键入“=SUMPRODUCT (B$3:C$3,B4:C4)”或者从直接从函数中选择，SUMPRODUCT是EXCEL的一个内置函数，,x x初始其功能是两个向量或者矩阵对应元素乘积的和，因此表示表示目标函数值，由于12值设为０，因而显示０；同理在Ｄ5其中键入“=SUMPRODUCT(B$3:C$3,B5:C5)”，以此类推，其显示值均为０．２设置规划求解参数点击“分析”组中的“规划求解”按钮即可弹出如下对话框：在设计目标目标单元格中键入$D$4，或者直接点击单元格D4，并选择“最大值”选项，如下图所示点击对话框中“添加”，弹出如下对话框在“单元格引用位置”栏中键入“$D$ 5”（或点击单元格D5），选择“<=”(点击出现下拉菜单，可以选择其他约束形式)，在约束值栏中键入“$F$5”（或点击单元格F5），确定后弹出下面对话框：类似于上一步操作，添加所有的约束条件后如下图所示：3 应用规划求解工具：点击“求解”弹出如下对话框，选择“保存规划求解结果”与“运算结果报告”确定后则形成一张新的工作表：如果想得到价值系数、资源向量等条件对最优值的影响，可以在步骤3中选择输出“敏感性报告”．1.6.1应用LINGO求解线性规划问题从上面的介绍中看出，用EXCEL求解线性规划问题时操作简单，而其在输入数据方面有其方便之处．但如果决策变量和约束条件很多的话，其运行速度就不及专业的优化软件了．本节介绍一种专业的优化软件－－LINGO的使用方法．LINDO 是 Linear Interactive Discrete Optimizer的缩写，是一个线性和整数规划的软件系统. LINDO /386 5.3以上版本，最大规模的模型的非零系数可以达到1,000,000个，最大变量个数可以达到100,000个，最大目标函数和约束条件个数可以达到32000个，最大整数变量个数可以达到100,000个。
第八章 整数线性规划(ILP)
v 1 , v 2 , ⋯ , v n 各 一 次 ，最 后 返 回 v 0 ，已 知 从 v i 到 v j
的 旅 费 为 C ij ， 问 他 应 按 怎 样 的 次 序 访 问 这 个 城 市，才能使得总旅费最少？
解：对每一对城市设一个变量 xij ，令
( P)
可先求其对应的线性规划问题
minz = minCX AX = b X ≥ 0
(P0 )
如果 P0 中的最优解满足 P 中的整数要求，则以求得 P 的整 数最优解。如果 P0 的最优解的分量不全是整数，就对 P0 增 加一 个约束条件（ 称它为割平 面方程） 新增加的割平面 方 ， 程 将 P0 的 可 行 域割 去一块 ，并且 非 整 数 的 最优解 恰好在 这 一块中， 即非整数的最优解被割去而 P 的全部整数可行解保 留， 然后在解新的线性规划， 看其最优解是否满足整数要求， 就这样继续进行下去，直到得到最优解满足整数要求为止。
*
分枝定界法可用于解纯整数规划问题，也可以 分枝定界法可用于解纯整数规划问题， 用于求混合整数规划问题。 20世纪60年代初由 世纪60 用于求混合整数规划问题。在20世纪60年代初由 Land和Dong提出经Dakin修正的 提出经Dakin修正的， Land和Dong提出经Dakin修正的，其优点是方法 灵活并且十分便于计算机求解， 灵活并且十分便于计算机求解，所以现在它已成 为求解整数规划的重要方法之一， 为求解整数规划的重要方法之一，目前已成功地 应用于求解整数规划问题、生产进度表问题、旅 应用于求解整数规划问题、生产进度表问题、 行推销员问题、工厂选址问题、 行推销员问题、工厂选址问题、背包问题及分配 问题等。分枝定界法比穷举法优越， 问题等。分枝定界法比穷举法优越，因为它仅在 一部分可行解的整数解中寻求最优解， 一部分可行解的整数解中寻求最优解，计算量比 穷举法小，但若变量数目很大， 穷举法小，但若变量数目很大，其计算工作量也 是相当可观的。因此，它有时也需要与其他方法 是相当可观的。因此， 如切割平面法)配合使用， (如切割平面法)配合使用，效率更高一些。
线性规划概述
线性规划1.简介在数学中，线性规划 (Linear Programming，简称LP) 问题是目标函数和约束条件都是线性的最优化问题。
线性规划是最优化问题中的重要领域之一。
很多运筹学中的实际问题都可以用线性规划来表述。
线性规划的某些特殊情况，例如网络流、多商品流量等问题，都被认为非常重要，并有大量对其算法的专门研究。
很多其他种类的最优化问题算法都可以分拆成线性规划子问题，然后求得解。
在历史上，由线性规划引申出的很多概念，启发了最优化理论的核心概念，诸如“对偶”、“分解”、“凸性”的重要性及其一般化等。
同样的，在微观经济学和商业管理领域，线性规划被大量应用于解决收入极大化或生产过程的成本极小化之类的问题。
乔治·丹齐格被认为是线性规划之父。
2.标准型描述线性规划问题的常用和最直观形式是标准型。
标准型包括以下三个部分：∙一个需要极大化的线性函数，例如∙以下形式的问题约束，例如:和非负变量，例如:线性规划问题通常可以用矩阵形式表达成：maximizesubject to其他类型的问题，例如极小化问题，不同形式的约束问题，和有负变量的问题，都可以改写成其等价问题的标准型。
3.例子以下是一个线性规划的例子。
假设一个农夫有一块A平方千米的农地，打算种植小麦或大麦，或是两者依某一比例混合种植。
该农夫只可以使用有限数量的肥料F和农药P，而单位面积的小麦和大麦都需要不同数量的肥料和农药，小麦以(F1, P1) 表示，大麦以 (F2, P2) 表示。
设小麦和大麦的售出价格分别为S1和S2，则小麦与大麦的种植面积问题可以表示为以下的线性规划问题：max （最大化利润 - 目标函数）（（种植面积的限制）（肥料数量的限制）（农药数量的限制）（不可以栽种负数的面积）4.增广矩阵（松弛型）在用单纯型法求解线性规划问题之前，必须先把线性规划问题转换成增广矩阵形式。
增广矩阵形式引入非负松弛变量将不等式约束变成等式约束。
问题就可以写成以下形式：Maximize Z in:这里x s是新引入的松弛变量, Z需要极大化的变量.5.例子以上例子的转换成增广矩阵:maximize (目标函数)subject to (augmented constraint)(augmented constraint)(augmented constraint)这里是(非负)松弛变量.写成矩阵形式:Maximize Z in:6.对偶每个线性规划问题，称为原问题，都可以变换为一个对偶问题。
Matlab求解线性规划和整数规划问题
Matlab求解线性规划和整数规划问题Matlab是一种强大的数学软件，可以用于求解线性规划和整数规划问题。
线性规划是一种优化问题，其目标是在一组线性约束条件下最大化或者最小化线性目标函数。
整数规划是线性规划的一种扩展，要求变量的取值必须是整数。
在Matlab中，我们可以使用优化工具箱（Optimization Toolbox）来求解线性规划和整数规划问题。
下面将详细介绍如何使用Matlab进行求解。
首先，我们需要定义线性规划或者整数规划的目标函数和约束条件。
目标函数是我们希翼最大化或者最小化的线性函数，约束条件是一组线性不等式或者等式。
在Matlab中，可以使用符号变量（symbolic variable）来表示变量，并使用线性代数表达式来定义目标函数和约束条件。
例如，假设我们有一个线性规划问题，目标是最小化目标函数 f(x) = c'*x，其中 c 是一个 n 维列向量，x 是一个 n 维列向量，表示变量。
同时，我们有一组线性不等式约束条件 A*x <= b，其中 A 是一个 m×n 的矩阵，b 是一个 m 维列向量。
在Matlab中，我们可以使用 sym 函数来定义符号变量，使用 transpose 函数来转置矩阵，然后使用 linprog 函数来求解线性规划问题。
具体代码如下：```matlabsyms x1 x2; % 定义符号变量x = [x1; x2]; % 定义变量向量c = [1; 2]; % 定义目标函数系数向量A = [1, -1; 3, 1]; % 定义约束条件系数矩阵b = [1; 2]; % 定义约束条件右侧向量f = c'*x; % 定义目标函数options = optimoptions('linprog', 'Display', 'iter'); % 设置求解选项[x, fval, exitflag, output] = linprog(f, A, b, [], [], zeros(size(x)), [], [], options); % 求解线性规划问题disp('最优解为：');disp(x);disp('目标函数最小值为：');disp(fval);```上述代码中，我们首先使用 sym 函数定义了两个符号变量 x1 和 x2，然后将它们组合成变量向量 x。
整数线性规划问题
实 例
1
某人出国留学打点行李，现有三个旅行包，容积大小分别为1000毫升、1500毫升和2000毫升，根据需要列出需带物品清单，其中必带物品共有7件，其体积大小分别为400、300、150、250、450、760、190（单位毫升）。尚有10件可带可不带物品，如果不带将在目的地购买，通过网络查询可以得知其在目的地的价格（单位美元）。这些物品的容量及价格分别见下表，试给出一个合理的安排方案把物品放在三个旅行包里。
单价
销地
厂址
生产能力
建设费用
销量
设： xij 表示从工厂i 运往销地j 的运量(i=1.2…m、j=1.2…n), 在Ai 建厂 又设 yi＝ （i=1.2…m） 不在Ai 建厂 模型：
（3）0－1整数规划问题
现有资金总额为B。可供选择的投资项目有n个，项目j所需投资额和预期收益分别为aj和cj（j＝1,2,..,n），此外由于种种原因，有三个附加条件： 若选择项目1，就必须同时选择项目2。反之不一定 项目3和4中至少选择一个； 项目5,6,7中恰好选择2个。 应该怎样选择投资项目，才能使总预期收益最大？
一位旅行者出发前准备在自己的背包里 携带必需的物品,已知可供选择的物品有n种, 第j种物品的重量为 公斤,其价值为 ,若 背包所带物品的总重量不得超过b公斤,问他 应如何选择所带物品，以使总价值最大。
物品
1 2 … j … n
方式
数学模型表示为： 设：xj 表示用Bj (j=1.2…n) 种方式下料根数
混合整数规划问题
某公司计划在m个地点建厂，可供选择的地点有A1,A2…Am ，他们的生产能力分别是a1,a2,…am（假设生产同一产品）。第i个工厂的建设费用为fi (i=1.2…m), 又有n个地点B1,B2, … Bn 需要销售这种产品，其销量分别为b1.b2…bn 。从工厂运往销地的单位运费为Cij。试决定应在哪些地方建厂，即满足各地需要，又使总建设费用和总运输费用最省？
整数规划（PDF）
例4-2：求解整数规划问题
s.t. 4x1 2x2 1 4x1 2x2 11
2x2 1
c=[-1;-1];
x1, x2 0, 且取整数值
A=[-4 2;4 2;0 -2];
b=[-1;11;-1];
lb=[0;0];
M=[1;2];
%均要求为整数变量
Tol=1e-8; [x,fval]=linprog(c,A,b,[],[],lb,[]) [x1,fval1]=intprog(c,A,b,[],[],lb,[],M,Tol)
可行否
枚举法随着变量维数增加呈指数增长，不可行！
四舍五入可能都不是可行解，不可行！
max s.t.
f 5x1 8x2 x1 x2 6 5x1 9x2 45 x1, x2 0, 且取整数值
x* f*
9 15 T 44 165 4
x [2 4]
四舍五入后的解 不是可行解！
一般整数规划问题的MATLAB求解
输入参数
MATLAB工具箱中的bintprog函数在求0-1规划问题时，提供的参数有如下几种 模型参数： x、c、b、beq、A和Aeq 初始解参数：x0 算法控制参数： options，我们可以通过optimset命令对这些具体的控制参数进
行设臵，其中主要参数的设臵方法如下一页的表格所示
调用格式 [x,fval,exitflag]=intprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,M,TolXInteger)
一般整数规划问题的MATLAB求解
标准形式
min f cT x s.t. Ax b
Aeq x beq lb x ub xi 0 (i 1, 2,...,n) x j 取整数值 (j M )
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目标：
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
实用优化方法
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网络流问题－续
约束：
质量守恒(mass conservation) inflow(k) – outflow(k)=demand(k)=-supply(k), 假定II：弧没有容量限制
如果他们全非负，当前树解是最优的；否则，选取弧 (i, j) 使得 ，称之为入弧. Step 4. 确定出弧：入弧和树弧必形成一个圈. 如果圈中的所 有弧和入弧同向，则最优费用是 -∞，终止算法. 否 则，在与入弧反向的树弧中选一个最小的流作为出弧. Step 5. 转轴： 在当前树解中用入弧代替出弧，更新原始流，得 新的树解. 转 Step2.
第04章 线性规划： 网络流和整数规划 实用优化方法
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(用于无容量限制网络的)网络单纯形法：
Step 1. 从一个可行的树解开始，假设第 n 个节点是根节点. Step 2. 计算对偶向量(单纯形乘子)： 从根节点向叶子节点，依次求解方程组
Step 3. 计算对偶松弛向量(相对费用系数/既约费用系数)：
连 通
第04章 线性规划： 网络流和整数规划 实用优化方法
不连通
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定义：圈 vs. 非圈(Cyclic vs. Acyclic)
圈
第04章 线性规划： 网络流和整数规划 实用优化方法
非 圈
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定义：树(Trees)
树＝连通的+非圈
非 树
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
非负性
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
实用优化方法
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矩阵记号
其中：
注
A是点弧关联矩阵(node-arc incidence matrix) 通常A的维数很大，并且是稀疏的
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对偶问题
对偶松弛变量
用网络记号：
第04章 线性规划： 网络流和整数规划 实用优化方法
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树解－对偶变量与对偶松弛变量
从根节点开始，沿着树弧利用 向外递归计算，可得到顶点处的对偶变量
利用
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
计算非树弧上的对偶松弛变量
实用优化方法
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树解与基本可行解的关系
引理. A的秩是 m-1； 在生成树中，选择一个节点，删除与之对应的流平衡 约束，并称之为根节点(root node); 对应的关联矩阵和供需向量 定理 的 m-1 阶子方阵是最小费用流问题的基当且仅 当其列对应的弧恰好搭建成网络的一个生成树. 定理’ 一个流向量是基本解当且仅当它是一个树解. 树解 基本解； 对偶变量 单纯形乘子； 对偶松弛变量 相对费用系数.
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
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网络单纯形法
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
实用优化方法
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定义：子网络(Subnetwork)
网 络
第04章 线性规划： 网络流和整数规划 实用优化方法
子网络
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定义：连通 vs. 不连通(Connected vs. Disconnected)
第04章 线性规划： 网络流和整数规划 实用优化方法
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原始网络单纯形法
假设树解是原始可行的，即满足非负条件：
入弧选取规则：选取弧 (i, j) 使得对偶松弛变量 zij< 0 出弧选取规则： 入弧为(d, e); 在圈中，与入弧的方向相反； 出弧为(d, c). 且在所有这样可能的弧中流最小. 原始流的更新(*****)： 与出弧同方向的减去出弧上的流； 与出弧反方向的加上出弧上的流.
第04章 线性规划： 网络流和整数规划 实用优化方法
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对偶变量的更新
从新的生成树中删除入弧，得到网络的两个子树； 一个子树含根节点(T0)，另一个不含根节点(T1).
子树T0上的节点
对应的对偶变量不变；
子树T1上的节点对应的对偶变量的更新准则：
对偶变量
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
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互补松弛关系(Complementarity Relations)
原变量必须是非负的 因此与之相联系的对偶约束是不等式 对偶松弛变量与原变量是互补的： 原始约束是等式 因此他们没有松弛变量 对应的对偶变量， ，是自由变量 对于他们互补条件是自然成立的
网络流问题的应用
－运输问题和指派问题 －最短路问题 －最大流问题
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
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最小费用流问题
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
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网 络
基本元素： 节点集(nodes)，设顶点的个数为 m 有向弧集(directed arcs) – 是所有可能弧集 – 弧是有方向的：
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定义：生成树(Spanning Trees)
生成树－触及到每个顶点的树
给定生成树 树解(tree solution) 满足流平衡约束
且对
树解的计算?
第04章 线性规划： 网络流和整数规划 实用优化方法
,
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树解－原始流
固定一个根节点，比如 e 树解的计算：从叶子节点开始，逆向依次解流平衡方程 叶子节点：仅有一条弧相连接的节点
第04章 线性规划：网络流 及整数规划
Linear Programming: Network Flow and integer programming
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
实用优化方法
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最小费用流问题 网络单纯形法
－生成树与基 －原始网络单纯形法 －对偶网络单纯形法
第04章 线性规划： 网络流和整数规
网络流的数据
假定I：
供需平衡问题
第04章 线性规划： 网络流和整数规划
, 节点 i 的需求量 , 沿着弧 (i, j) 运输1单位物品的费用
实用优化方法
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注：将供给重新表示为负需求
网络流问题
决策变量：