高中数学1.2第5课时几个常用函数的导数教案理新人教A版选修2_2

课题：几个常用函数的导数

课时：05

课型：新授课

教学目标：

1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x

=的导数公式； 2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．

教学重点：四种常见函数y c =、y x =、2

y x =、1y x

=的导数公式及应用 教学难点： 四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =的导数公式 教学过程：

一．创设情景

我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？

由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．

二．新课讲授

1．函数()y f x c ==的导数

根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x

∆+∆--===∆∆∆ 所以00

lim lim 00x x y y ∆→∆→∆'===

0y '=表示函数y c =图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．

2．函数()y f x x ==的导数

因为()()1y f x x f x x x x x x x

∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00

lim lim 11x x y y ∆→∆→∆'===

1y '=表示函数y x =图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．

3．函数2

()y f x x ==的导数 因为22

()()()y f x x f x x x x x x x

∆+∆-+∆-==∆∆∆ 222

2()2x x x x x x x x

+∆+∆-==+∆∆ 所以00

lim lim(2)2x x y y x x x ∆→∆→∆'==+∆=

2y x '=表示函数2y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化

率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．

4．函数1()y f x x

==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x

-∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x

-+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011lim lim()x x y y

∆→∆→∆'==-=-

（2）推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=

三．课堂练习

1．课本P 13探究1

2．课本P 13探究2

3．求函数y =

4．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有______条．

5．若f (x )＝10x ，则f ′(1)＝________.

6．曲线y ＝

14x 3

在x ＝1处的切线的倾斜角的正切值为______． 7．求下列函数的导数：

(1)y ＝x x ；(2)y ＝1x

4；(3)y ＝5x 3；

(4)y ＝log 2x 2

－log 2x ； (5)y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4. 答案提示：

4．2 5．10ln 10 6．－34

7．解 (1)y ′＝(x x )′＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 32′＝32x 32－1＝32x . (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x

5. (3)y ′＝(5x 3)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 35′＝35x 35－1＝35x －25＝355x

2. (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2

. (5)∵y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x

2＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .

四．回顾总结

五．布置作业

1．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为________．

2．直线y ＝12

x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________. 3．求与曲线y ＝3x 2在点P (8,4)处的切线垂直于点P 的直线方程．

4．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．

5．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N，试求f 2 015(x )．