(完整版)分式常见题型汇总

知识点：1、能理解因式分解的概念并能正确判别。

2、会用提取公因式，运用公式法分解因式。重点：1、运用提取公因式法分解因式。

2、运用公式法分解因式。

难点：综合运用提公因式法，公式法分解因式，体会因式分解的作用。分式的运算

【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;

2.与分式运算有关的运算法则

3.分式的化简求值(通分与约分)

4.幂的运算法则

【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a

±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac

±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac •=,b c b d bd a d a c ac

÷=•= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项

5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n

6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m )n = a mn

7.负指数幂: a -p =1p a

a 0=1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式

(a+b)(a -b)= a 2- b 2 ;(a±b)2= a 2±2ab+b 2

（一）分式定义及有关题型

题型一：考查分式的定义

【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1

,,,21,22π，是分式的有： .

题型二：考查分式有意义的条件

【例2】当x 有何值时，下列分式有意义

（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x

x 11-

题型三：考查分式的值为0的条件

【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.

（1）31+-x x （2）42

||2--x x （3）653

222----x x x x

题型四：考查分式的值为正、负的条件

【例4】（1）当x 为何值时，分式

x -84为正； （2）当x 为何值时，分式

2)1(35-+-x x 为负； （3）当x 为何值时，分式3

2+-x x 为非负数.

练习：

1．当x 取何值时，下列分式有意义：

（1）3||61-x （2）1)1(32++-x x

（3）x 111+

2．当x 为何值时，下列分式的值为零：

（1）4|1|5+--x x （2）562522

+--x x x

3．解下列不等式

（1）012||≤+-x x （2）0325

2>+++x x x

（二）分式的基本性质及有关题型

1．分式的基本性质：

M B M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯= 2．分式的变号法则：b

a b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数

【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.

（1）y x y x 4131322

1+- （2）

b a b a +-04.003.02.0

题型二：分数的系数变号

【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.

（1）y

x y x --+- （2）b a a --- （3）b a ---

题型三：化简求值题

【例3】已知：511=+y x ，求y

xy x y xy x +++-2232的值. 提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出

y x 11+.

【例4】已知：21=-

x x ，求221x x +的值.

【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求y

x 241-的值. 练习：

1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.

（1）y x y x 5.008.02.003.0+- （2）b a b a 10

141534.0-+

2．已知：31=+

x x ，求1

242++x x x 的值.

3．已知：

311=-b a ，求a ab b b ab a ---+232的值.

4．若0106222=+-++b b a a ，求

b

a b a 532+-的值.

5．如果21<

（三）分式的运算

1．确定最简公分母的方法：

①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；

②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.

2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；

②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.

题型一：通分

【例1】将下列各式分别通分.

（1）

c b a c a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--；

（3）

22,21,1222--+--x x x x x x x ； （4）a

a -+21,2

题型二：约分

【例2】约分：

（1）

322016xy y x -；（3）n m m n --22；（3）6222---+x x x x .

题型三：分式的混合运算

【例3】计算：

（1）42232)()()(a

bc ab c c b a ÷-⋅-； （2）22233)()()3(x y x y y x y x a +-÷-⋅+； （3）m n m n m n m n n m ---+-+22； （4）11

2

---a a a ； （5）8

7

4321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--； （6）)

5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ； （7）)12()21444

(222+-⋅--+--x x x x x x x