2004年高考数学试题分类(数列极限)

2004年高考数学试题分类(数列极限)

D

列条件：

1

211),...,4,3,2)((,a a n a f a a a n n ≠===-，

)

...,4,3,2)(()()(11=-=---n a a k a f a f n n n n ，其中a 为常数，k

为非零常数。 （1）令n n n

a a

b -=+1*)

(N n ∈，证明数列}{n

b 是等比数

列；

（2）求数列}{n

a 的通项公式； （3）当1||

n a ∞

→lim 。

21. 本小题主要考查函数、数列、等比数列和极限等概念，考查灵活应用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分12分。 （1）证明：由0

121

≠-=a a b ，可得

)()()(1212232≠-=-=-=a a k a f a f a a b 。

由数学归纳法可证01≠-=+n n n

a a

b *)

(N n ∈。

由题设条件，当2≥n 时

111-+---=n n n n n n a a a a b b 11)()(----=n n n n a a a f a f k a a a a k n n n n =--=--1

1)

(

因此，数列}{n

b 是一个公比为k 的等比数列。 （2）解：由（1）知，*)

)((12111n n a a k b k b n n n

∈-==--

当1≠k 时，

)

2(11)( (1)

12121≥---=+++--n k

k

a a

b b b n n

当1=k 时，)

)(1( (12121)

a a n

b b b n --=+++- )

2(≥n 。

而

1

12312121)(...)()(...a a a a a a a a b b b n n n n -=-++-+-=+++--

)

2(≥n

所以，当1≠k 时

k

k a a a a n n ---=--11)

(1

121

)

2(≥n 。

上式对1=n 也成立。所以，数列}{n

a 的通项公式为

*)

(11)

)((1

N n k

k a a f a a n n ∈---+=-

当1=k 时

)

)(1(121a a n a a n --=-

)

2(≥n 。

上式对1=n 也成立，所以，数列}{n

a 的通项公式为

)

)()(1(a a f n a a n --+=

*)

(N n ∈，

（2）解：当1||

]11))(([lim lim 1

k

k a a f a a n n n n ---+=-∞→∞→

k

a

a f a --+

=1)(

(3) （浙江）已知等差数列{}n

a 的公差为2,若

4

31,,a a a 成等比数列, 则2

a =

(A) –4 (B) –6 (C) –8 (D) –10

（22）（浙江）（本题满分14分）

如图，ΔOBC 的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P 为线段BC 的中点,P 为线段CO 的中点,P 3为线段OP 1的中点,对于每一个正整数n,P n+3为线段P n P n+1的中点,令P n 的坐标为(x n,y n ),.2

12

1

++++=n n n

n

y y y a （Ⅰ）求3

2

1

,,a a a 及n

a ;

（Ⅱ）证明;,4

14

*+∈-

=N n y y n

n

(Ⅲ)若记,

,444*+∈-=N n y y b

n n n

证明{}n

b 是等比数列.

（22）（满分14分） 解：(Ⅰ)因为4

3,21,153421

==

===y y y y y ，

所以2

321

===a a a ，又由题意可知2

1

3

+-+=n n n y y y

∴3211

2

1

++++++=

n n n n y y y a

=2

2

11

21+++++

+n n n n y y y y =,

2

121n n n n

a y y y

=++++

∴{}n

a 为常数列。 ∴.

,21*∈==N n a a

n

(Ⅱ)将等式2

2

121=++++n n n

y y y 两边除以2，得

,12

41

21=++++n n n y y y