任意角与弧度制知识与题型总结

任意角与弧度制知识与题型总结

一、任意角和弧度制

1、角的概念的推广

定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角，记作：角或 可以简记成。 2、角的分类：

由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。

正角：按照逆时针方向转定的角。 零角：没有发生任何旋转的角。 负角：按照顺时针方向旋转的角。

3、 “象限角”

为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点重合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴。

角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角

角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。

例1、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= （填序号）. ①{小于90°的角}

②{0°～90°的角}

③ {第一象限的角}

④以上都不对

（2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、 C 关系是（ ） A ．B=A∩C B ．B∪C=C

C ．A ⊂C

D ．A=B=C

ααα∠αx

4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角：

（1）终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与个周角的和。 （2）所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合

即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 注意：

1、Z ∈k

2、α是任意角

3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。

4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。

例1、（1）若角的终边与

58π角的终边相同，则在[]π2,0上终边与4

θ

的角终边相同的角为 。

（2）若βα和是终边相同的角。那么βα-在

例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： （1） 210-； （2）731484'- ．

例3、求θ，使θ与 900-角的终边相同，且[]

1260180，

-∈θ．

)(Z k k ∈{}Z k k S ∈⋅+==,360| αββθ

2、终边在坐标轴上的点：

终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180| ββ 终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ 终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ

3、终边共线且反向的角：

终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ 终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ

4、终边互相对称的角：

若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k 若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk

例1、若θα+⋅= 360k ，),(360Z m k m ∈-⋅=θβ 则角α与角β的中变得位置关系是（ ）。

A.重合

B.关于原点对称

C.关于x 轴对称

D.有关于y 轴对称

二、弧度与弧度制 1、弧度与弧度制：

弧度制—另一种度量角的单位制， 它的单位是rad 读作弧度 定义：长度等于 的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

如图：∠AOB=1rad ，∠AOC=2rad ， 周角=2πrad

注意：

1、正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0

2、角α的弧度数的绝对值 （为弧长，为半径）

3、用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。

4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用。

2、角度制与弧度制的换算

弧度定义：对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度 角度与弧度的互换关系：∵ 360︒= rad 180︒= rad

∴ 1︒=

3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住： 角度

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

r

l

=

αl r rad rad 01745.0180≈π

'185730.571801

=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad o

r C 2rad

1rad r

l=2r o

A

A

B

例1、 把化成弧度例 例2、 把化成度

例3、将下列各角从弧度化成角度 （1）

36

π

rad （2）2.1 rad （3）

4、弧长公式和扇形面积公式

；

题型一、终边相同的角

例1 与-457°角终边相等的角的集合是（ ）

A ．}{Z k k ∈︒+︒⋅=，457360|αα

B ．}{Z k k ∈︒+︒⋅=，97360|αα

C ．

}{Z k k ∈︒+︒⋅=，263360|αα D ．}{Z k k ∈︒-︒⋅=，263360|αα

例2 如果角α与β终边相同，则有（ ）

A ．α-β=π

B ．α+β=0

C ．α-β=2k π（k ∈Z ）

D ．α+β=2k π（k ∈Z ）

例3、与－1050°终边相同的最小正角是 .

'3067

rad π5

3rad π53r l α=22

1

21r lR S α==