数列教案(全)
数列教案
本章教学约需17课时，具体分配如下：
3.1 数列约2课时
3.2 等差数列约2课时
3.3 等差数列前n项和约2课时
3.4 等比数列约2课时
3.5 等比数列前n项和约2课时
研究性课题：分期付款中的有关计算约3课时
小结与复习约4课时
一、内容与要求
本章从内容上看，可以分为数列、等差数列、等比数列三个部分
在数列这一部分，主要介绍数列的概念、分类，以及给出数列的两种方法关于数列的概念，先给出了一个描述性定义，尔后又在此基础上，给出了一个在映射、函数观点下的定义，指出：“从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值”这样就可以将数列与函数联系起来，不仅可以加深对数列概念的理解，而且有助于运用函数的观点去研究数列关于给出数列的两种方法，其中数列的通项公式，教材已明确指出它就是相应函数的解析式
了这一点，数列与函数的内在联系揭示得就更加清楚此外，正如并非每一函数均有解析表达式一样，也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数)，因而研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展
推是数学里的一个非常重要的概念和方法，数学归纳法证明问题的基本思想实际上也是“递推”在数列的研究中，不仅很多重要的数列是用递推公式给出的，而且它也是获得一个数列的通项公式的途径：先得出较为容易写出的数列的递推公式，然后再根据它推得通项公式但是，这项内容也是极易膨胀的，例如研究用递推公式给出的数列的性质，从数列的递推公式推导通项公式等，这样就会加重学生负担考虑到学生是在高一学习，我们必须牢牢把握教学要求，只要能初步体会一下用递推方法给出数列的思想，能根据递推公式写出一个数列的前几项就行了
在等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线)在推导等差数
列前n 项和的公式时，突出了数列的一个重要的对称性质：与任一项前后等距离的两项的平均数都与该项相等，认识这一点对解决问题会带来一些方便 在等比数列这一部分，在讲等比数列的概念和通项公式时也突出了它与指数函数的联系这不仅可加深对等比数列的认识，而且可以对处理某类问题的指数函数方法和等比数列方法进行比较，从而有利于对这些方法的掌握
二、本章的特点
(一)在启发学生思维上下功夫
本章内容，是培养学生观察问题、启发学生思考问题的好素材，使学生在获得知识的基础上，观察和思维能力得到提高
在问题的提出和概念的引入方面，为了引起学生的兴趣，在本章的“前言”里用了一个有关国际象棋棋盘的古代传说作为引入的例子它用一个涉及求等比数列的前n 项和的麦粒数的计算问题给学生造成了一个不学本章知识、难获问题答案的悬念，又在学了等比数列后回过头来解开这个悬念；在讲等差数列与等比数列的概念时，都是先写出几个数列，让学生先观察它们的共同特点，然后在归纳共同特点的基础上给出相应的定义
在推导结论时，注意发挥它们在启发学生思维方面的作用例如在讲等差数列前n 项和的公式时，没有平铺直叙地推导公式，而是先提出问题：
1+2+3+...+100 = ?，并指出著名数学家高斯10岁时便很快算出它的结果，以激发学生的求解热情，然后让学生在观察高斯算法的基础上，发现上述数列的一个对称性质：任意第k 项与倒数第k 项的和均等于首末两项的和，从而为顺利地推导求和公式铺平了道路
在例题、习题的表述方面，适当配备了一些采用疑问形式的题，以增加问题的启发成分如3.3 例4：“已知数列的通项公式为n a =pn 十q ，其中p 、q 是常数，那么这种数列是否一定是等差数列? 如果是，其首项与公差是什么?” 又如:“如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，那么这个数列有什么特点？”这样就增加了题目的研究性在讲有些例题时，加了一小段“分析”，通过不多的几句话点明解题的思路如对于上面提到的“3.3 例 4”，加的一段“分
析”是：“由等差数列定义，要判定 {n a }是不是等差数列，只要看 n n a a -+1是不是一个与n 无关的常数就行了”话虽不多，但突出了 “从定义出发”这种最基本的证明方法
(二)加强了知识的应用
除了上面提到的“研究性课题”多具有应用性的特点以外还在教材中适当增加了一些应用问题如在“阅读材料”里介绍了有关储蓄的一些计算；在所增加的应用问题里还涉及房屋拆建规划、绕在圆盘上的线的长度等
(三)呼应前面的逻辑知识，加强了推理论证的训练
考虑到《新大纲》更加重视对学生逻辑思维能力的培养，且在前面第一章已介绍了“简易逻辑”，为进行推理论证作了准备，紧接着又在第二章“函数”里进行了一定的推理论证训练，因此本草在推理论证方面有所加强
(四)注意渗透一些重要的数学思想方法
由于本章处在知识交汇点的地位，所蕴含的数学思想方法较为丰富，教材在这方面也力求充分挖掘教材注意从函数的观点去看数列，在这种整体的、动态的观点之下使数列的一些性质显现得更加清楚，某些问题也能得到更好的解决，例如“复习参考题B组第2题”便是一个典型例子
思想也是体现得较为充分的，不少的例、习题均属这种模式：已知数列满足某某条件，求这个数列这类问题一般都要通过列出方程或方程组．然后求解
递推的思想方法，不仅在数列的递推公式里有所体现观察、归纳、猜想、证明等思想方法的组合运用在本章里得到了充分展示．为学生了解它们各自的作用、相互间的关系并进行初步运用提供了条件
三、教学中应注意的几个问题
(一)把握好本章的教学要求
由于本章联系的知识面广，具有知识交汇点的特点，在应试教育的“一步到位”的教育思想的影响下，本章的教学要求很容易拔高，过早地进行针对“高考”的综合性训练，从而影响了基本内容的学习和加重了学生负担事实上，学习是一个不断深化的过程作为在高一(上)学习的这一章，应致力于打好基础并进行初步的综合训练，在后续的学习中通过对本章内容的不断应用来获得巩固和提高最后在高三数学总复习时，通过知识的系统梳理和进一步的综合训练使对本章内容的掌握上升到一个新的档次为此，本章教学中应特别注意一些容易膨胀的地方例如在学习数列的递推公式时，不要去搞涉及递推公式变形的论证、计算问题，只要会根据递推公式求出数列的前几项就行了；在研究数列求和问题时，不要涉及过多的技巧.
(二)有意识地复习和深化初中所学内容
对于初中学过的多数知识．在高中没有系统深入学习的机会而初中内容是学习高中数学的必要基础，因而在学习高中内容时有意识地复习、深化初中内容显得特别重要本章是高中数学的第三章，距离初中数学较近，与初中数学的联系最广，因而教学中应在沟通初、高中数学方面尽可能多地作一些努力
(三)适当加强本章内容与函数的联系
适当加强这种联系，不仅有利于知识的融汇贯通，加深对数列的理解，运用函数的观点和方法解决有关数列的问题，而且反过来可使学生对函数的认识深化一步比如，学生在此之前接触的函数一般是自变量连续变化的函数，而到本章接触到数列这种自变量离散变化的函数之后，就能进一步理解函数的一般定义，防止了前面内容安排可能产生的学生认识上的负迁移；
本章内容与函数的联系涉及以下几个方面
1．数列概念与函数概念的联系
相应于数列的函数是一种定义域为正整数集(或它的前n 个数组成的有限子集)的函数，它是一种自变量“等距离”地离散取值的函数上看，它丰富了学生所接触的函数概念的范围但数列与函数并不能划等号，数列是相应函数的一系列函数值基于以上联系，数列也可用图象表示，从而可利用图象的直观性来研究数列的性质数列的通项公式实际上是相应因数的解析表达式而数列的递推公式也是表示相应函数的一种方式，因为只要给定一个自变量的值n ，就可以通过递推公式确定相应的f(n)这也反过来说明作为一个函数并不一定存在直接表示因变量与自变量关系的解析式
2．等差数列与一次函数、二次函数的联系
从等差数列的通项公式可以知道，公差不为零的等差数列的每一项a n 是关于项数n 的一次函数式于是可以利用一次函数的性质来认识等差数列例如，根据一次函数的图象是一条直线和直线由两个点唯一确定的性质，就容易理解为什么两项可以确定一个等差数列 此外，首项为1a 、公差为d 的等差数列前n 项和的公式可以写为： d n n na S n 2
)1(1-+= 即当0≠d 时，n S 是n 的二次函数式，于是可以运用二次函数的观点和方法来认识求等差数列前n 项和的问题如可以根据二次函数的图象了解n S 的增减变化、极值等情况
3．等比数列与指数型函数的联系
由于首项为1a 、公比为q 的等比数列的通项公式可以写成 q
q a S n n --=1)1(1 )1(≠q 它与指数函数y=x a 有着密切联系，从而可利用指数函数的性质来研究等比数列
(四)注意等差数列与等比数列的对比，突出两类数列的基本特征
等差数列与等比数列在内容上是完全平行的，包括：定义、性质(等差还是等比)、通项公式、前n 项和的公式、两个数的等差(等比)中项具体问题里成等差(等比)数列的三个数的设法等因此在教学与复习时可采用对比方法，以便于弄清它们之间的联系与区别顺便指出，一个数列既是等差数列又是等比数列的充要条件是它是非零的常数列
教学中应强调，等差数列的基本性质是“等差”，等比数列的基本性质是“等比”，这是我们研究有关两类数列的主要出发点，是判断、证明一个数列是否为等差 (等比)数列和解决其他问题的一种基本方法要让学生注意，这里的“等差”(“等比”)，是对任意相邻两项来说的
上述基本性质，引申出两类数列的一种对称性：即与数列中的任一项“等距离”的两项之和(之积)等于该项的2倍(平方).
利用上述性质，常使一些问题变得简便对于学有余力的学生，还可指出等差数列与等比数列描述了两种最简单、最重要的变化：等差数列描述的是一种绝对均匀变化，等比数列描述的是一种相对均匀变化非均匀变化通常要转化或近似成均匀变化来进行研究，这就成为教材之所以重点研究等差数列与等比数列的主要原因所在
(五)注意培养学生初步综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法的能力
综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法研究数学，是一种非常重要的学习能力事实上，在问题探索求解中，常常是先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路；然后用归纳方法进行试探，提出猜想；最后采用证明方法(或举反例)来检验所提出的猜想应该指出，能够充分进行上述研究方法训练的素材在高中数学里并非很多，而在本章里却多次提供了这种训练机会，因而在教学中应该充分利用，不要轻易放过 (六)在符号使用上与国家标准一致
为便于与国际交流，关于量和单位的新国家标准中规定自然数集N ＝{0， l ，
2．3，……}，即自然数从O 开始这与长期以来的习惯用法不同，会使我们感到别扭但为了不与上述规定抵触，教学中还是要将过去的习惯用法改变过来，称数集{1，2，3，…}为正整数集.
高一数学第三章数列复习小结
基本训练题
一、选择题
1．已知数列｛n a ｝既是等差数列又是等比数列，则这个数列的前n 项和为
Ａ．0
B ．n
Ｃ．n a 1 Ｄ．a 1n 2．已知数列｛n a ｝的前n 项和n S =3n a －2,那么下面结论正确的是
B ．此数列为等比数列
Ｄ．此数列从第二项起是等差数
列
3．已知等比数列｛n a ｝中，n a =2×31-n ,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和n S 的值为
Ａ．3n －1 B ．3(3n －1)
Ｃ．419-n 4
n 4．实数等比数列｛n a ｝，n S ＝n a a a +++ 21，则数列｛n S ｝中
B ．必有一项为零
Ｄ．可以有无数项为零
5．如果数列｛n a ｝的前n 项和32
3-=n n a S ,那么这个数列的通项公式是 n a =2(n 2+n +1) B ．n a =3·２n
n a =3n +1 Ｄ．n a =2·3n
6．已知等差数列的第k,n,p 项构成等比数列的连续3项，如果这个等差数列不是常数列，则等比数列的公比为
Ａ．n k p
n -- B ．k p n p -- Ｃ．p n k n -- Ｄ．p
k n k -- 7．数列｛n a ｝，｛n b ｝满足n a n b =1, n a =n 2+3n +2,则｛n b ｝的前10项之
和为
Ａ．31 B ．125 Ｃ．2
1 Ｄ．12
7 二、填空题
8．2，x,y,z,18成等比数列，则x = . 9．已知数列｛n a ｝的前n 项和n S =n 3,则876a a a ++＝ .
10．三个数成等比数列，它们的积为512，如果中间一个数加上2，则成等差数列，这三个数是 .
11．一个数列的前n 项和为n S =1—2+3-4+…+(—1)1+n n ,则S 17＋Ｓ33＋Ｓ50＝
12．一个数列｛n a ｝，当n 为奇数时，n a =5n +1,当n 为偶数时，22n
n a =，
则这个数列前2m 项的和为 .
13．已知正项等比数列｛n a ｝共有2m 项，且2a ·4a =9(3a ＋4a )，1a ＋2a ＋3a ＋…＋m a 2=4(2a ＋4a ＋6a ＋…＋m a 2),则1a = ,公比q = .
14．k 为正偶数，p (k )表示等式
)214121(21114131211k
k k k k +++++=--++-+- 则p (2)表示等式 ,p (4)表示等式 .
15、若数列{}n a 的前n 项和n S =322+-n n ，则其通项公式=n a ____.
三、解答题
16．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列此三数，也可成等比数列，已知这三个数的和等于6，求这三个数．
17.某城市1996年底人口为20万，大约住房面积为8ｍ2
，计划到2000年底人均住房面积达到10ｍ2，如果该市人口平均增长率控制在1%，那么要实现上述计划，每年该市要平均新建住房面积多少万平方米?(结果以万平方米为单位，保留两位小数)
18．7个实数排成一排，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且奇数项的和与偶数项的积之差为42，首末两项与中间项之和为27，求中间项．
19．已知等差数列｛n a ｝的第2项为8，前10项的和为185，从数列｛n a ｝中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n
项按原来顺序排成一个新数列｛n b ｝，求数列｛n b ｝的通项公式及前n 项和公式n S ．
20．已知n n x a x a x a x a x f ++++= 33221)(，且1a ，2a ，3a ，…，n
a 组成等差数列(n 为正偶数)，又f (1)=n 2，ｆ（－１）＝ｎ，求数列的通项n a ．
数列复习小结基本训练题
参考答案
1．C 2．B 3．D 4．D 5．D 6．A 7．B
8．±32 9．387 10．4，8，16或16，8，4
11．1 12．2251
2-+++m m m 13．108；3
1 14．)441241(24131211;2212211+++=-+-+?=-
15． ???-=344n a n )
2()1(≥=n n 16．8，2，—4或—4，2，8
17．约12．03万m 2
18．2
19．62231-+?=+n S n n
20．12-=n a n
课 题：3.1 数列的一般概念（一）
教学目的：
⒈理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系.
⒉了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项
⒊对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式
教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用，前n 项和与a n 的关系 教学难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
本节主要介绍数列的概念、分类，以及给出数列的两种方法关于数列的概念，先给出了一个描述性定义，尔后又在此基础上，给出了一个在映射、函数观点下的定义，指出：“从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值”这样就可以将数列与函数联系起来，不仅可以加深对数列概念的理解，而且有助于运用函数的观点去研究数列关于给出数列的两种方法，其中数列的通项公式，教材已明确指出它就是相应函数的解析式点破了这一点，数列与函数的内在联系揭示得就更加清楚此外，正如并非每一函数均有解析表达式一样，也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数)
教学过程：
一、复习引入：
1．函数的定义．
如果A 、B 都是非空擞 集，那么A 到B 的映射B A f →:就叫做A 到B
的函数，记作：)(x f y =，其中.,B y A x ∈∈
2．在学习第二章函数的基础上，今天我们来学习第三章数列的有关知识，首先我们来看一些例子：
观察这些例子，看它们有何共同特点？（启发学生发现数列定义）
上述例子的共同特点是：⑴均是一列数；⑵有一定次序.
从而引出数列及有关定义 二、讲解新课：
⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.
注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….
例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.
⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项
结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“3
1”是这个数列的第“3”项，等等 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：
项 1 5
1413121 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
序号 1 2 3 4 5
这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：n
a n 1=来表示其对应关系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子，练习找其对应关系
如：数列①：n a =n+3(1≤n ≤7)；数列③：n a n n (10
11-=
≥1）； 数列⑤：n n a )1(-=n ≥1） ⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；
⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ，也可以是|2
1cos |π+=n a n . ⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.
从映射、函数的观点来看，数列也可以看作是一个定义域为正整数集N *（或
它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式.
对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式画出其对应图象，下面同学们练习画数列①，②的图象，并总结其特点.
在画图时，为方便起见，直角坐标系两条坐标轴上的单位长度可以不同. 数列①、②的图象分别如图1，图2所
示.
5．数列的图像都是一群孤立的
点.
6．数列有三种表示形式：
列举法，通项公式法和图象法.
7． 有穷数列：项数有限的数列.
例如，数列①是有穷数列.
8．无穷数列：项数无限的数列.
例如，数列②、③、④、⑤、⑥都是
无穷数列.
三、讲解范例：
例1 根据下面数列{}n a 的通项公式，写出前5项：
（1）n a n n a n n n ?-=+=)1()2(;1
分析：由通项公式定义可知，只要将通项公式中n 依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项
解：（1）;6
5;54;43;32;21.5,4,3,2,154321=====
=a a a a a n (2) ;5;4;3;2;21.5,4,3,2,154321-==-====a a a a a n 例2写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）1，3，5，7； （2）;5
15;414,313;2122222---- （3）-211?，321?，-431?，5
41?. 解：
（1）项1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-1
↓ ↓ ↓ ↓
序号 1 2 3 4
即这个数列的前4项都是序号的2倍减去1，
∴它的一个通项公式是： 12-=n a n ；
（2）序号：1 2 3 4
↓ ↓ ↓ ↓
项分母：2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1
↓ ↓ ↓ ↓
项分子： 22-1 32-1 42-1 52-1
即这个数列的前4项的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去1，
∴它的一个通项公式是： 1
)1(2+-=n n n a n ； （3）序号 211
1
?-↓ 321
3 ?-↓ 431
3 ?-↓ 5
41
4 ?-↓
‖ ‖ ‖ ‖
)11(11)1(1+?- )12(21)1(2+?- )13(31)1(3+?- )
12(21)1(2+?-
这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是： )
1(1)
1(+-=n n a n n 四、课堂练习：
课本P 112练习：1—4.
学生板演1，2；教师提问评析3，4.
答案：⒈⑴1,4,9,16,25；⑵10,20,30,40,50；
⑶5,-5,5,-5,5；⑷3/2，1，7/10，9/17，11/26.
⒉⑴a 7=1/343，a 10=1/1000；⑵a 7=63，a 10=120；
⑶a 7=1/7，a 10=-1/10；⑷a 7=-125，a 10=-1021.
⒊⑴n a =2n ；⑵n a =1/5n ；⑶n a =(-1)n /2n ；⑷n a =(1/n)-[1/(n+1)]. ⒋⑴8，64，n a =2n ；⑵1，36，n a =n 2；⑶-1/3，-1/7，n a =(-1)n
/n ； ⑷3，6，a n =n .
五、小结 本节课学习了以下内容：数列及有关定义，会根据通项公式求其
任意一项，并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式
六、课后作业：课本P 114习题3.1：1，2.
答案：⒈ ⑴ n a =3n ；⑵ n a =-2(n-1)；⑶ n a =(n+1)/n ；⑷n a =(-1)n
/2n ； ⑸ n a =1/n 2；⑹ n a =(-1)n+1 3n .
⒉ ⑴a 10=110，a 31=992，a 48=2352；⑵求n(n+1)=420的正整数解得n=20. 补充作业：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1) 3, 5, 9, 17, 33,……； (2) 32, 154, 356, 638, 99
10, ……； (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；
(5) 2, －6, 12, －20, 30, －42,…….
解：(1) n a ＝2n ＋1； (2) n a ＝)12)(12(2+-n n n ； (3) n a ＝2
)1(1n
-+； (4) 将数列变形为1＋0, 2＋1, 3＋0, 4＋1, 5＋0, 6＋1, 7＋0, 8＋1, ……,
∴n a ＝n ＋2
)1(1n
-+； (5) 将数列变形为1×2, －2×3, 3×4, －4×5, 5×6,……，
a＝(－1)1 n n(n＋1).
∴
n
七、板书设计（略）
八、课后记：
课题：3.1 数列的概念（二）
教学目的：
1．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；
2．会根据数列的递推公式写出数列的前几项；
a的关系；
3．理解数列的前n项和与
n
4．会由数列的前n项和公式求出其通项公式.
教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项
教学难点：理解递推公式与通项公式的关系
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
由于并非每一函数均有解析表达式一样，也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数)，因而研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展递推是数学里的一个非常重要的概念和方法在数列的研究中，不仅很多重要的数列是用递推公式给出的，而且它也是获得一个数列的通项公式的途径：先得出较为容易写出的数列的递推公式，然后再根据它推得通项公式但是，这项内容也是极易膨胀的，例如研究用递推公式给出的数列的性质，从数列的递推公式推导通项公式等，这样就会加重学生负担考虑到学生是在高一学习，我们必须牢牢把握教学要求，只要能初步体会一下用递推方法给出数列的思想，能根据递推公式写出一个数列的前几项就行了
教学过程：
一、复习引入：上节学习知识点如下
⒈数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.
注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
⒉数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….
⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项
⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
5．数列的图像都是一群孤立的点.
6．数列有三种表示形式：列举法，通项公式法和图象法.
7． 有穷数列：项数有限的数列.例如，数列①是有穷数列.
8． 无穷数列：项数无限的数列.
二、讲解新课： 知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题． 观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．
模型一：自上而下：
第1层钢管数为4；即：1?4＝1+3
第2层钢管数为5；即：2?5＝2+3
第3层钢管数为6；即：3?6＝3+3
第4层钢管数为7；即：4?7＝4+3
第5层钢管数为8；即：5?8＝5+3
第6层钢管数为9；即：6?9＝6+3
第7层钢管数为10；即：7?10＝7+3
若用n a 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且
1(3+=n a n ≤n ≤7）
运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便
让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律） 模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1
即41=a ；114512+=+==a a ；115623+=+==a a
依此类推：11+=-n n a a （2≤n ≤7）
对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要
定义：
1．递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公 式就叫做这个数列的递推公式
说明：递推公式也是给出数列的一种方法
如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89
递推公式为：)83(,5,32121≤≤+===--n a a a a a n n n
2．数列的前n 项和：
数列{}n a 中，n a a a a ++++ 321称为数列{}n a 的前n 项和，记为n S . 1S 表示前1项之和：1S =1a
2S 表示前2项之和：2S =21a a +
……
1-n S 表示前n-1项之和：1-n S =1321-++++n a a a a
n S 表示前n 项之和：n S =n a a a a ++++ 321.
∴当n ≥1时n S 才有意义；当n-1≥1即n ≥2时1-n S 才有意义.
3．n S 与n a 之间的关系：
由n S 的定义可知，当n=1时，1S =1a ；当n ≥2时，n a =n S -1-n S ，
即n a =???≥-=-)2()1(11n S S n S n n
. 说明：数列的前n 项和公式也是给出数列的一种方法.
三、例题讲解
例1已知数列{}n a 的第1项是1，以后的各项由公式111-+
=n n a a 给出，
写出这个数列的前5项
分析：题中已给出{}n a 的第1项即11=a ，递推公式：11
1-+=n n a a 解：据题意可知：3
211,211,123121=+==+==a a a a a 5
8,3511534==+=a a a 例2已知数列{}n a 中，n a a a a a n n n (3,2,12121--+===≥3），试写出数列的前4项
解：由已知得233,73,2,123412321=+==+===a a a a a a a a 例3已知21=a ，n n a a 21=+ 写出前5项，并猜想n a ．
法一：21=a 22222=?=a 323222=?=a ，观察可得 n n a 2=
法二：由n n a a 21=+ ∴12-=n n a a 即21
=-n n a a ∴ 11
2322112------=????n n n n n n n a a a a a a a a ∴ n n n a a 2211=?=-
例4 已知数列{}n a 的前n 项和，求数列的通项公式：
⑴ n S =n 2+2n ； ⑵ n S =n 2
-2n-1.
解：⑴①当n ≥2时，n a =n S -1-n S =(n 2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1；
②当n=1时，1a =1S =12+2×1=3；
③经检验，当n=1时，2n+1=2×1+1=3，
∴n a =2n+1为所求.
⑵①当n ≥2时，n a =n S -1-n S =(n 2-2n-1)-[(n-1)2+2(n-1)-1]=2n-3；
②当n=1时，1a =1S =12-2×1-1=-2；
③经检验，当n=1时，2n-3=2×1-3=-1≠-2，
∴n a =??
?≥-=-)2(32)1(2n n n 为所求. 四、练习：
1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式
(1) 1a ＝0, 1+n a ＝n a ＋(2n －1) (n ∈N)；
(2) 1a ＝1, 1+n a ＝2
2+n n a a (n ∈N)； (3) 1a ＝3, 1+n a ＝3n a －2 (n ∈N).
解：(1) 1a ＝0, 2a ＝1, 3a ＝4, 4a ＝9, 5a ＝16, ∴ n a ＝(n －1)2;
(2) 1a ＝1,2a ＝32,3a ＝4221=, 4a ＝52, 5a ＝6231=, ∴ n a ＝1
2+n ; (3) 1a ＝3＝1+203?, 2a ＝7＝1+213?, 3a ＝19＝1+223?,
4a ＝55＝1+233?, 5a ＝163＝1+243?, ∴ n a ＝1＋2·31-n ;
2． ．已知下列各数列{}n a 的前n 项和n S 的公式，求{}n a 的通项公式
(1) n S ＝2n 2－3n; (2) n S ＝n
3－2.
解：(1) 1a ＝－1, n a =n S -1-n S ＝2n 2－3n －[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5,
又1a 符合1a ＝4·1－5, ∴ n a ＝4n －5;
(2) 1a ＝1, n a =n S -1-n S ＝n 3－2－(13-n －2)＝2·13-n ,
∴n a ＝???≥?=-232111n n n
五、小结 本节课学习了以下内容：
1．递推公式及其用法；
2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻
两项（或n 项）之间的关系.
3．n S 的定义及与n a 之间的关系
六、课后作业：
1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项
1a =1, n a =1-n a +1
1
-n a （n ≥2） 解：由1a =1, n a =1-n a +11-n a （n ≥2）,
得1a =1, 2a =1a +11a =2, 3a =2a +2
512=a , 4a =3a +1029522513=+=a ,5a =4a +290
9412910102914=+=a 2．已知n S =an 2+bn+c ，求数列的通项公式答案：n a =???≥+-=++)
2(2)1(n b a an n c b a 七、板书设计（略）
八、课后记：
课 题：3.1 等差数列（一）
教学目的：
1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式；
2．会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题 教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式
教学难点：等差数列的性质
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪