高考数学专题《数列》超经典教案资料

高考复习序列-----

高中数学数列

一、数列的通项公式与前n 项的和的关系

①11

,

1,2n n n s n a s s n -=?=?-≥?

（注：该公式对任意数列都适用）

②1(2)n n n S S a n -=+≥ （注：该公式对任意数列都适用） ③12n n S a a a =+++L （注：该公式对任意数列都适用） ④s n+1?s n?1=a n+1+a n （注：该公式对任意数列都适用） 二、等差与等比数列的基本知识 1、等差数列

⑴ 通项公式与公差：

定义式：d a a n n =--1

一般式：()q pn a d n a a n n +=?-+=11 推广形式： ()n m a a n m d =+-m

a a d m

n --=

?；

⑵ 前n 项和与通项n a 的关系：

前n 项和公式：1()

n n n a a s +=

1(1)n n na d -=+211

()2

d n a d n =+-.

前n 项和公式的一般式：应用：若已知()n n n f +=2

2，即可判断为某个等差数列n 的前n 项和，并可求出首项及公差的值。

n a 与n S 的关系：1(2)n n n a S S n -=-≥（注：该公式对任意数列都适用）

例：等差数列12-=n S n ，=--1n n a a （直接利用通项公式作差求解） ⑶ 常用性质：

①若m+n=p+q ，则有 m n p q a a a a +=+ ；特别地：若,m n p a a a 是的等差中项，则有2m n p a a a =+?n 、

m 、p 成等差数列；

②等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如123,a a a ++456,a a a ++789a a a ++，???）仍是等差

数列；

③{}n a 为公差为d 等差数列，n S 为其前．n ．项和．．，则232,,m m m m m S S S S S --，43m m S S -，．．

．也成等差数列, A 、 构成的新数列公差为D=m 2d ，即m 2d=(S 2m -S m )- S m ；

B 、 对于任意已知S m ，S n ，等差数列{}n a ?

?

????n S n 也构成一个公差为2d 等差数列。

⑥若项数为偶数，设共有2n 项，则①S 偶-S 奇nd =； ② 1

n n S a

S a +=奇偶； ⑦若项数为奇数，设共有21n -项，则①S 奇-S 偶n a a ==中；②1

S n

S n =-奇偶。

例：已知等差数列{}n a ，其中===11010010,10,100S S S 则 解析：法一，用等差数列求和公式1(1)

2

n n na d -=+

求出d a ,1 法二，10S ，10011020301020...,S S S S S S ---成等差数列，设公差为D ，则：

D S S S 451010100110+=-

法三,

63. 等比数列的通项公式： ⑴ ①一般形式：1

*11()n n

n a a a q

q n N q

-==

?∈； ②推广形式：n m

n m a a q

-=?

，n q =

③其前n 项的和公式为：11

(1)

,11,1

n n a q q s q na q ?-≠?

=-??=?，或11,11,1n n a a q q q s na q -?≠?-=??=?.

⑵数列{}n a 为等比数列

()()211

111002,n n n n n n n

a q q a a a n n N a a q a -+-++?

=≠?=?>≥∈?=?()1a q 0n N*≠∈、，n n

S A q B ?=?+

⑶ 常用性质：

①

若m+n=p+q ，则有 m n p q a a a a ?=? ；特别地：若,m n p a a a 是的等比中项，则有 2

m n p a a a =??n 、

m 、p 成等比数列; ②

等比数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如123,a a a ++456,a a a ++789a a a ++，???）仍是等比数列；

③{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则232,,m m m m m S S S S S --，43m m S S -，．．．也成等比数列（仅当当

1q ≠-或者1q =-且m 不是偶数时候成立）；

设等比数列

{}

n b 的前．n 项积．．

为n

T ，则

k

T ，

232,k k k k T T T T ，43k k

T

T 成等比数列． ④ {}n a 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列. ⑤ {}n a 既是等差数列又是等比数列?{}n a 是各项不为零的常数列.

判断或证明一个数列是等差数列的方法：

①定义法：

）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1?{}n a 是等差数列

②中项法：

)22

1*++∈+=N n a a a n n n （?{}n a 是等差数列

③一般通项公式法：

),(为常数b k b

kn a n +=?{}n a 是等差数列

④一般前n 项和公式法：

),(2为常数B A Bn

An S n +=?{}n a 是等差数列

判断或证明一个数列是等差数列的方法：

（1）定义法：

?=+（常数）q a a n

n 1

{}n a 为等比数列； （2）中项法：?≠?=++)0(2

2

1n n n n a a a a {}n a 为等比数列；

（3）通项公式法：??=为常数）q k q k a n

n ,({}n a 为等比数列；

（4）前n 项和法：?-=为常数）（q k q k S n n ,)1({}n a 为等比数列。

?-=为常数）（q k kq k S n n ,{}n a 为等比数列。

数列最值的求解

（1）10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；

（2）n S 最值的求法：①若已知n S ，的最值可求二次函数的最值；

n S 2

n S an bn =+

可用二次函数最值的求法（n N +∈）；②或者求出中的正、负分界项，即：

若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）可如下确定100n n a a +≥??

≤?或1

0n n a a +≤??≥?。 例1：等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前 项的和最大。 【解析】：

()项）项和最大（或前前，1011020001110121012111012111011129121291??

?

?=-=????+=+-=?=++?=-?=>a a a a a a a a a a a a S S S S a Θ

例2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知 001213123<>=S S a ，，

①求出公差d 的范围，

②指出1221S S S ，，

，Λ中哪一个值最大，并说明理由。 【解析】：

① ()()()3

7

24

00,5215642144211212212212,21221312131211231--?<>+=+=+-=+=

?-=-=ππΘd S S d S d

d d a a S d d a a ，，根据已知同理：

② 由0001213123πd S S a 及，，<>=，可知，n=12是前n 项和正负分界项，

故()(),70,60φπn a n a n n ≤≥所以，6S 最大

变式：若等差数列的首项为为31，从第16项开始小于1 ，则此数列公差d 的取值范围是 解析：116πa ，但要注意此时还要一个隐含条件115φa ，联立不等式组求解。 3、若数列的前n 项和n n S n 102-=，则=n a ，{}n ns 数值最小项是第 项。 【解析】：法一（导数法）：

根据等差数列前n 项和的标准形式Bn An S n +=2

，可知该数列为等差数列，

n

n nS n a a a d S S a n n S a n n 112112,2,7,9102

12122211-=?-==-=∴-=-=-=-==令

时时，即当’‘4

11

0)(,114)(,112)(2=

=-=-==n n f n n f n n nS n f n ,取得最小值， 其中15)3(,14)2(34

11

2-=-=f f ，分别求出ππ

，可见当n=3时{}n ns 取得最小。 法二（列举法）：对于,0,01且数值较大时且数值较小φπd a 可用列举法，分别求出n=1、2…时的{}n ns 的值，再进行比较发现。

4、已知数列{}n a ，的最小值为则

n

a n a a a n

n n ,2,3311=-=+ 【解析】：法一（均值不等式）：由累加法：33--2

2

1+=?=-n n a n n a a n n ，令{}n a

时取得最小值。

，可见，，取得最小值，时，，即可见当6663

)

6(5

33)5(63353333

,133)(=====-+==

n f f n a n n n n n n a n f n n ππΘ 法二（列举法）：实在没招时使用该法。

5、 已知等差数列{}n a 的前n 项和的最小值为则n n S n S S S ,25,0,1510== 。 【解析】：

49

-49-)7(48-)6(,732063

20

0)(,320)(,)(,310300,3

22'2'23110110，故取，而时取得最小值，

，即当令====-==-=∴-=?=+?==?--

=f f n n f n n n f S n n f n n S n a a a S d m n m S n S d n n m n ππΘ

6、

数列通项公式的求法：

类型1：等差数列型)(1n f a a n n +=+

思路：把原递推式转化为)(1n f a a n n =-+，再使用累加法（逐差相加法）求解。

例，已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

2

1221111*21)2(21)1(2n a a a n a a n a a n n n n n =∴+=-?

+-=-+-=----以上逐次累加，

所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =

变式： 已知数列{}n a 满足1232n

n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解： 1232n n n a a +=+?两边除以1

2n +，得

113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，此时23

)(=n f ，故数列

{}2n n

a 是以1

2

22a 11==为首项，以23

为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222

n

n a n =-

评注：本题n n a a 、1+前的系数不一致，不能直接使用前述方法，解题的关键是把递推关系式1232

n

n n a a +=+?转化为

113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n

a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出3

1(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。

类型2：等比数列型n n a n f a )(1=+ 把原递推式转化为

)(1

n f a a n

n =+，再使用累乘法（逐商相乘法）求解。 例 （2004年全国I 第15题，原题是填空题）已知数列{}n a 满足

11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥L ，，求{}n a 的通项公式。

解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥L ①

所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+L

②

用②式－①式得1.n n n a a na +-=则1(1)(2)n n a n a n +=+≥；故

1

1(2)n n

a n n a +=+≥ 所以13222122![(1)43].2

n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=

????=-???=L L

③