4.4.2两个三角形相似判定
两个相似三角形的判定课件(浙教版)
课堂练习
1. 判断下列说法是否正确？并说明理由。
（1）所有的等腰三角形都类似。 × （2）所有的等腰直角三角形都类似。√ （3）所有的等边三角形都类似。 √
2.如图，将方格纸分成6个三角形，在②，③，④，⑤，⑥ 5个三角形中，与三角形①类似的三角形有_____③_.
3．如图，在矩形ABEF中，四边形ABCH、四边形CDGH和四边形 DEFG都是正方形，图中的△ACD与△ECA类似吗？为什么？
B
C B1
C1
有效利用判定定理一去求证。
A
D
A1 E
B
C B1
C1
证明：在线段 A1B1（或它的延长线）上截
取 A1D AB ，过点D作 DE∥B1C1 ，交 A1C1 于点E 根据前面的定理可得 A1DE∽A1B1C1 .
A1
A
D
E
B
C B1
C1
∴ A1D DE A1E
A1B1 B1C1 A1C1
又
AB A1B1
BC B1C1
AC A1C1
, A1D
AB
∴ DE BC , A1E AC
B1C1 B1C1 A1C1 A1C1
∴ DE BC, A1E AC
∴ A1DE≌ABC（SSS） ∵ A1DE∽A1B1C1
提炼概念
类似三角形的判定方法：三边对应成比例的两个三角形类似.
它的几何格式表示如下：
解：△ACD∽△ECA.设正方形的边长为 1，则 AC ＝ 2，CD＝1，AD＝ 5，EC＝2，EA＝ 10
∵AC∶EC＝CD∶CA＝AD∶EA， ∴△A CD∽△E CA .
4．如图，已知：AABD＝AACE＝BDCE， 求证：AB·CE＝AC·BD.
4.4.2 利用边角关系判定两三角形相似-课件
夯实基础·逐点练
当AADE＝AABC时，∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC. 此时 AE＝ACA·BAD＝5×6 2＝53. 故答案为152或53. 【答案】152或53
整合方法·提升练
10．【2018·上海】已知，如图，正方形 ABCD 中，P 是 BC 上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点 E，F.
整合方法·提升练
(2)连接 BF，如果ABFF＝DADF，求证：EF＝EP. 证明：如图，∵ABFF＝DADF，AF＝BE，
整合方法·提升练
∴BBEF＝DADF， ∴DBEF＝ABDF. 设BBEF＝DADF＝k，则 BE＝kBF，DF＝kAD，∴EF＝ BF2－BE2 ＝ 1－k2BF，AF＝ AD2－DF2＝ 1－k2AD. ∴EAFF＝ABDF.
探究培优·拓展练
13．如图，在矩形 ABCD 中， AB＝10 cm，BC＝20 cm，两 只小虫 P 和 Q 同时分别从 A， B 出发沿 AB，BC 向终点 B， C 方向前进，小虫 P 的速度为 1 cm/s，小虫 Q 的速度为 2 cm/s. 请问：它们同时出发多少秒时，以 P，B，Q 为顶点的三角 形与以 A，B，C 为顶点的三角形相似？
A．1 个 C．3 个
B．2 个 D．4 个
夯实基础·逐点练
5．在等边三角形 ABC 中，D，E 分别在 AC，AB 上，且AADC ＝13，AE＝BE，则有( B ) A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD
夯实基础·逐点练
6．【2017·潍坊】如图，在△ABC 中，AB≠AC，D，E 分别 为 AB，AC 上的点，AC＝3AD，AB＝3AE，点 F 为 BC 边上一点，添加一个条件：_D_F_∥_A_C_(_答_案__不_唯__一_)______，可 以使得△FDB 与△ADE 相似．(只需写出一个)
北师大九年级上册4.4.2 探索三角形相似的条件 教学设计
4.4.2探索三角形相似的条件教学设计问题2 类比三角形全等的判定方法（SAS,SSS ），猜想可以添加什么条件来判定两个三角形相似？ 相似做一做利用刻度尺和量角器画△ABC 和△A ′B ′C ′，使∠A =∠A ′，ABA ′B′=ACA ′C′，量出∠B 与∠B ′的大小(或∠C 与∠C ′的大小)，△ABC 和△A ′B ′C ′相似吗？两个三角形相似利用刻度尺和量角器画△ABC 和△A ′B ′C ′，使∠B =∠B ′，ABA ′B′=BCB ′C′，量出∠A 与∠A ′的大小(或∠C 与∠C ′的大小)，△ABC 和△A ′B ′C ′相似吗？两个三角形相似猜想：两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似 验证猜想：如图，在△ABC 与△A ′B ′C ′中，已知∠A= ∠A ′，AB A ′B′=ACA ′C′，求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′.证明：在 △A ′B ′C ′的边 A ′B ′上截取点D ， 使 A ′D = AB ．过点 D 作DE ∥B ′C ′， 交 A ′C ′于点 E. ∵ DE ∥B ′C ′，∴ △A ′DE ∽△A ′B ′C ′. ∴A ′DA ′B′=A ′EA ′C′∵ A ′D=AB ，ABA ′B′=ACA ′C′ ∴A ′DA ′B′=A ′EA ′C′=AC A ′C′ ∴ A ′E = AC . 又 ∠A ′ = ∠A. ∴ △A ′DE ≌ △ABC ， ∴ △A ′B ′C ′ ∽ △ABC. 归纳总结相似三角形的判定定理2定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 符号语言：在△ABC 与△DEF 中，∵∠A=∠D ，AB AC =DEDF ， ∴△ABC ∽△DEF.例2 如图，D ，E 分别是△ABC 的边 AC ，AB 上的点，AE =1.5，AC =2，BC =3，且ADAB =34，求 DE 的长.解：∵AE=1.5，AC=2，∴AEAC =34∵ADAB =34∴ADAB=AEAC又∵∠EAD＝∠CAB，∴△ADE∽△ABC∴DEBC =ADAB=34∵BC =3，∴DE=34BC=34×3=94想一想：在三角形全等的判定中，有两个边和其中一边的对角相等的两个三角形全都吗？那么有两边成比例，其中一边的对角相等的两个三角形相似吗？△ABC与△DEF的两边成比例，其中一边的对角相等，那么，这两个三角形相似吗？下图是小明和小丽画的两个三角形，由此你能得出什么结论？和“有两条边和其中一边的对角相等的两个三角形不一定全都”一样，有两边成比例，其中一边的对角相等的两个三角形也不一定相似.1.下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是( )A.AEAD =ACABB. ∠B＝∠ADEC.AEAC =DEBCD. ∠C＝∠AED2.如图，点D是△ABC的边AC上的一点，根据下列条件，可以得到△ABC∽△BDC的是 ( ) A．AB·CD＝BD·BC B．AC·CB＝CA·CD C．BC2＝AC·DC D．BD2＝CD·DA3.如图，已知ADAE =ACAB，AD＝3 cm，AC＝6 cm，BC＝8 cm，则DE的长为________cm.4.如图所示,在△ABC中,AB=6,AC=4,P是AC的中点,过点P的直线交AB于点Q,若以A,P,Q为顶点的三角形和△ABC相似,则AQ的长为.5. 如图，∠DAB =∠CAE，且AB ·AD = AE·AC，求证△ABC ∽△AED.。
北师大版数学九年级上册4.4.2探索三角形相似的条件教学设计
在情感态度方面，九年级学生正处于青春期，个性鲜明，对新鲜事物充满好奇。教师应充分利用学生的这一特点，设计富有挑战性和趣味性的教学活动，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。
北师大版数学九年级上册4.4.2探索三角形相似的条件教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解相似三角形的定义及性质，掌握三角形相似的条件。
2.能够运用三角形相似的条件判断两个三角形是否相似，并求出相似比。
3.能够运用相似三角形的性质解决实际问题，如测量不可到达物体的高度、求解比例问题等。
4.学会使用尺规作图展示相似三角形，并能够通过作图发现相似三角相等、对应边成比例等，通过几何画板展示性质的直观效果。
2.教学目标：
（1）使学生掌握相似三角形的定义和判定条件，理解相似三角形的性质。
（2）培养学生运用几何画板等工具，观察、分析几何图形的能力。
（三）学生小组讨论
1.教学活动设计：
（1）将学生分成小组，每组分配一个探究任务，如探讨相似三角形的判定条件、性质和应用。
3.教学策略：
（1）关注学生的个体差异，实施分层教学，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
（2）注重培养学生的动手操作能力，引导学生通过实践探索几何图形的性质。
（3）结合学生的认知规律，逐步引导学生从具体实例中抽象出一般性规律。
（4）加强师生互动，营造轻松、愉快的学习氛围，提高学生的学习兴趣。
4.教学评价：
（三）情感态度与价值观
相似三角形的判定口诀
相似三角形的判定口诀
两角对应相等，两个三角形相似。
两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
三边对应成比例，两个三角形相似。
三边对应平行，两个三角形相似。
斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
1.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。
)
2.如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
)
3.如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。
(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。
)
4.两三角形三边对应平行，则两三角形相似。
(简叙为：三边对应平行，两个三角形相似。
)
5.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
(简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
)
6.如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似(相似比为1：1)。
(简叙为：全等三角形相似)。
4.4 第2课时 利用两边及夹角判定三角形相似
且
AD = CD ，求证 ∠ACB=90°． CD BD
C
证明：∵ CD 是边 AB 上的高，
∴ ∠ADC =∠CDB =90°.
∵ AD CD， CD BD
AD
B
∴△ADC ∽△CDB，∴ ∠ACD =∠B，
∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°.
方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系， 三角形的高等.
证明：
∵ △ABC 与 △ADE 是等腰三角形，
A
∴ AD =AE，AB = AC，
D
∴ AD AE .
AB AC
又 ∵∠DAB = ∠CAE，
B
E C
∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE，
即 ∠DAE =∠BAC，∴△ABC ∽ △ADE.
例2 如图，D，E分别是 △ABC 的边 AC，AB 上的点，
随堂练习
1. 判断
(1) 两个等边三角形相似
(√)
(2) 两个直角三角形相似
(×)
(3) 两个等腰直角三角形相似
(√)
(4) 有一个角是50°的两个等腰三角形相似 (×)
2. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使
△ABC ∽ △DBA的条件是
( D)
A
A. AC : BC=AD : BD
A
又∵∠B=∠ACD，
D
∴ △ABC ∽ △DCA，
∴ AC BC 4，∴ AD 25 . B
C
AD AC 5
4
6. 如图，∠DAB =∠CAE，且 AB ·AD = AE·AC， 求证△ABC ∽△AED.
4.4.2相似三角形判定定理(教案)
-难点内容：相似三角形判定定理的深入理解和应用。
-难点识别：
a.学生对于对应角相等和对应边成比例条件的理解可能不够深入，难以在复杂图形中识别和应用。
b.学生在证明过程中，可能忽略定理之间的逻辑关系，导致证明不严密。
c.学生在解决实际问题时，可能难以将问题抽象为相似三角形的模型，从而无法应用相关定理。
然而，我也意识到，在小组讨论的过程中，需要更好地平衡学生的自主性和教师的引导作用。有些小组在讨论时可能会偏离主题，或者讨论不够深入。在未来的教学中，我将更加注意观察每个小组的讨论情况，适时给予引导和帮助，确保讨论能够更加高效和深入。
最后，今天的总结回顾环节，学生们的反馈让我感到他们对相似三角形判定定理的理解已经相当扎实。但是，我也提醒自己，教学是一个不断迭代和改进的过程。我需要根据学生们的学习情况，不断调整教学方法，以确保每个学生都能够真正掌握这些重要的几何概念。
五、教学反思
在今天的相似三角形判定定理的教学中，我发现学生们对于新知识的接受程度整体上是积极的。他们对于相似三角形的概念和判定条件表现出浓厚的兴趣，尤其是当我将理论应用到具体的案例中时，我能看到他们眼中闪烁着理解的光芒。
我觉得在讲授过程中，通过引入日常生活中的实例，确实有助于学生更好地理解抽象的几何概念。例如，当我提到相似三角形在建筑设计中的应用时，学生们明显表现出了更大的兴趣。这种贴近生活的教学方式，使得学生们能够更加直观地感受到数学知识的实用性和趣味性。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解相似三角形的基本概念。相似三角形是指既有相同形状，又有相同比例的两个三角形。它是解决几何问题的重要工具，尤其在比例计算和图形分析中有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示相似三角形在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
4.4第2课时 两边一夹角判定两个三角形相似
第2课时 两边一夹角判定两个三角形相似【学习目标】1．理解并掌握三角形相似的判定定理：“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”． 2．会运用三角形相似的判定方法解决简单问题． 【学习重点】掌握“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法． 【学习难点】相似三角形判定定理在实际问题中的灵活运用．情景导入 生成问题1．两角分别相等的两个三角形相似． 2．下列说法中正确的个数是( C )①所有的等腰直角三角形都相似；②有一个角是80°的两个等腰三角形相似；③有一个角是100°的两个等腰三角形相似；④有一个角相等的两个等腰三角形相似．A ．4B ．3C ．2D ．13．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别在AB ，AC 上，将△ADE 沿DE 折叠，使点A 落在点A ′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为( B )A .12B ．2C ．3D ．4 自学互研 生成能力知识模块一 探索三角形相似的判定定理2先阅读教材P 91页的内容，然后解答下列问题： 1．两角对应相等的两个三角形相似．3．如图，两个三角形中，其边长已在图上标注，那么这两个三角形是(选填“是”或“不是”)相似三角形．根据是有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．1．情境导入问题：(1)相似三角形的定义是什么？三边成比例，三角分别相等的两个三角形相似． (2)判断两个三角形相似，你有哪些方法？方法1：通过定义(不常用)；方法2：通过平行线(条件特殊，使用起来有局限性)；方法3：判定定理1，两角分别相等的两个三角形相似．2．思考探究完成教材P 91页的做一做．归纳结论：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 知识模块二 三角形相似判定定理2的应用1．自学自研教材P 91页的例2. 2．完成教材P 92页的随堂练习．典例讲解：如图，已知△ABD ∽△ACE .求证：△ABC ∽△ADE .分析：由于△ABD ∽△ACE ，则∠BAD ＝∠CAE ，因此∠BAC ＝∠DAE ，再进一步证明BA AD ＝CAAE，则问题得证．证明：∵△ABD ∽△ACE ，∴∠BAD ＝∠CAE .又∵∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAC ，∠DAE ＝∠DAC ＋∠CAE ，∴∠BAC ＝∠DAE .∵△ABD ∽△ACE ，∴AB AD ＝AC AE .在△ABC 和△ADE 中，∵∠BAC ＝∠DAE ，AB AD ＝ACAE，∴△ABC ∽△ADE .对应练习：1．下列条件不能判定△ABC 与△ADE 相似的是( C )A .AE AD ＝AC AB B ．∠B ＝∠ADEC .AE AC ＝DE BCD ．∠C ＝∠AED2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CB 延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，且满足AB 2＝DB ·CE .求证：△ADB ∽△EAC .证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴∠ABD ＝∠ACE .∵AB 2＝DB ·CE ，∴AB CE ＝DB AB ，即AB CE ＝DBAC，∴△ADB ∽△EAC .交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 探索三角形相似的判定定理2 知识模块二 三角形相似判定定理2的应用检测反馈 达成目标1．下列条件能判断△ABC 和△A ′B ′C ′相似的是( C ) A .AB A′B′＝AC A′C′B .AB A′B′＝AC A′C′且∠A ＝∠C ′ C .AB BC ＝A′B′A′C′且∠B ＝∠A ′ D .AB A′B′＝AC A′C′且∠B ＝∠B ′2．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与右图中△ABC 相似的是( B ),A ) ,B ),C ) ,D )3．已知：如图，在△ABC 中，CE ⊥AB ，BF ⊥AC .求证：△AEF ∽△ACB .证明：∵CE ⊥AB ，BF ⊥AC ，∴∠BF A ＝∠CEA ＝90°，∠A ＝∠A ，∴△AEC ∽△AFB ，∴AE AC ＝AF AB ，∴AE AF＝ACAB，又∵∠EAF ＝∠CAB ，∴△AEF ∽△ACB . 课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。
九年级数学上册第四章图形的相似4.4探索三角形相似的条件4.4.2两边成比例且夹角相等的判定方法课
2018-2019九年级数学上册第四章图形的相似4.4 探索三角形相似的条件4.4.2 两边成比例且夹角相等的判定方法同步课时练习题（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019九年级数学上册第四章图形的相似4.4 探索三角形相似的条件4.4.2 两边成比例且夹角相等的判定方法同步课时练习题（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019九年级数学上册第四章图形的相似4.4 探索三角形相似的条件4.4.2 两边成比例且夹角相等的判定方法同步课时练习题（新版）北师大版的全部内容。
4.4.2 两边成比例且夹角相等的判定方法1. 如图，已知△ABC则下列4个三角形中,与△ABC相似的是（）2．如图，在△ABC中,∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ )3. 如图，点D是△ABC的边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是( ）A．AC∶BC＝AD∶BD B．AC∶BC＝AB∶ADC．AB2＝CD·BC D．AB2＝BD·BC4。
如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，且将这个四边形分成①，②，③,④四个三角形,若OA·OC＝OB·OD,则下列结论中一定正确的是( ）A．①和②相似 B．②和③相似C．①和④相似 D．②和④相似5. 在△ABC和△A′B′C′中,若∠B＝∠B′,AB＝6，BC＝8,B′C′＝4，则当A′B′＝______时，△ABC∽△A′B′C′。
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质一、学习要求1．了解相似多边形的概念，知道相似多边形的性质；2．了解两个三角形相似的概念，会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；3．会利用相似三角形的知识解决一些实际问题；认识现实生活中物体的相似；会运用相似多边形的性质解决简单的问题；利用图形的相似解决一些简单实际问题.二、知识梳理及例题分析1．相似三角形的概念：在和中，如果，，，，我们就说和相似，记作∽，就是它们的相似比(注意：要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上).思考：在中,点是边的中点,，交于点，与有什么关系？猜想：与相似. 证明：在与中，∴，.过点作，交于点在中，，，∴. 又，∴∴，∴∽(对应角相等，对应边的比相等的两三角形相似)，相似比为.改变点在上的位置，可以进一步猜想以上两个三角形依然相似.2．相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.小结：判定三角形相似的方法：(1)相似三角形的定义；(2)由平行线得相似.思考：对比三角形全等判定的简单方法()，看是否也有简便的方法？已知：在和中，.求证：∽.分析：要证明∽，可以先作一个与全等的三角形，证明它与相似，这里所作的三角形是证明的中介，它把与联系起来证明：在线段(或它的延长线)上截取，过点作，交于点，根据前面的结论可得∽. ∴又，∴∴同理：∴≌∴∽相似三角形的判定定理：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似.思考：若，，与是否相似呢？相似三角形的判定定理：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.进一步引申：若，，与是否相似呢？不一定问：全等中的边边角不能用，那么边边角也不能证相似，反例同全等.例1.根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由：(1)，，；，，.(2)，，；，，.解：(1)，∴又∴∽问：这两个相似三角形的相似比是多少？(答：是)(2)，，∴与的三组对应边的比不等，它们不相似.问：要使两三角形相似，不改变的长，的长应当改为多少？(答：)例2.要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别为4、5、6，另一个三角形的一边长为2，怎样选料可使这两个三角形相似？注：此题没说2与哪条边是对应边，所以要进行分类讨论.可以是：，3；或，；或，.注：当两三角形相似而边不确定时，要注意分类讨论.相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等的，那么这两个三角形相似.简单说成：两角对应相等，两三角形相似.3．三角形相似的判定的应用例3.如图，弦和弦相交于内一点，求证：.分析:题目中求证的是等积式，我们可以转化为比例式，从而找到应证哪两个三角形相似.同时圆当中同弧或等弧所对的圆周角相等要会灵活应用.证明：连接，.在∴∽∴.例4.已知：如图，在中，于点.(1)求证：∽∽；(2)求证：；；(此结论称之为射影定理)(3)若，求.(4)若，求.分析：(1)利用两角相等证相似；(2)把相似三角形的相似比的比例式改为乘积式即可；(3)利用射影定理和勾股定理直接求；(4)利用上面的定理和方程求.进一步引申：在中，于点，这个条件可以放在圆当中，是直径，是圆上任意一点，于点，则可得到双垂直图形.例.已知：∽，分别是两个三角形的角平分线.求证：.分析：先利用相似三角形的性质得到，，再利用角平分线的定义，得到，从而可证得∽，则比例式可证得得到：相似三角形对应角的平分线的比等于相似比.那么对应中线的比，对应高线的比呢？4．相似三角形的性质(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，都等于相似比.(2)相似三角形对应高的比，对应角的平分线的比，对应中线的比都等于相似比.(3)相似三角形周长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比.证明：如果∽，相似比为，那么.因此，，.从而，.同理可得相似多边形对应周长的比也等于相似比.如图，已知：∽，相似比为.分别作出与的高和和都是直角三角形，并且，∽相似多边形面积的比等于相似比的平方.对于两个相似多边形，可以把他们分成若干个相似三角形证明.例5.如图，在和中，，，，的周长是24，面积是48，求的周长和面积.解：在和中，，又∽，相似比为.的周长为，的面积是.例6.已知点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上.以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点.(1)如图，如果AP=2PB，PB=BO.求证：△CAO∽△B CO；(2)如果AP=m(m 是常数，且)，BP=1，OP是OA、OB的比例中项.当点C在圆O 上运动时，求的值(结果用含m的式子表示)；(3)在(2)的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值范围.分析：此题第1问：利用两边的比相等，夹角相等证相似. 即，第2问：设∵是的比例中项，∴是的比例中项即∴解得又∵第3问：∵ ，，即当时，两圆内切；当时，两圆内含；当时，两圆相交.例7.如图，已知中，，，，，点在上，(与点不重合)，点在上.(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长.(2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长.(3)在上是否存在点，使得为等腰直角三角形？要不存在，请说明理由；若存在，请求出的长.解：(1)，∽(2)∵的周长与四边形的周长相等∽(3)在线段上存在点，使得为等腰直角三角形.过作于，则，设交于若，则.∵∽若，同理可求. 若，∽∴ 在线段上存在点，使得为等腰直角三角形，此时，或.三、总结归纳：1、相似三角形的判定：(1)相似三角形的定义；(2)平行得相似；(3)三边的比相等；(4)两边的比相等，夹角相等；(5)两角对应相等.三角形相似判定的方法较多，要根据已知条件适当选择.3、相似三角形的常见图形及其变换：4、证明四条线段成比例的常用方法：(1)线段成比例的定义(2)三角形相似的预备定理(3)利用相似三角形的性质(4)利用中间比等量代换(5)利用面积关系证明题常用方法归纳：(1)通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.(2)若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.(3)若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成比例.以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.。
北师大版九年级数学4.4探索三角形相似的条件(2)教案
4.2探索三角形相似的条件2一、学情分析学生在本章前面几节课中，学习了成比例线段，平行线分线段成比例，相似多边形，相似三角形，并理解了它们的概念。
本节课是要在上节课学习基础上，进一步探索“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”这个判定定理。
学生在上节课学习的基础上，已经具有一定的探索经验、分析问题能力及归纳演绎的能力，具备了一定的合作与交流的能力，因此在教学方法上建议采用学生自主探索、分组讨论总结的方式。
二、教材分析本节课是要在上节课探索三角形相似的条件第一课时的学习基础上，作为本章节第二节课，进一步加深相似三角形部分的知识，继续探索“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”这个判定定理。
三、教学目标（一）知识目标：理解并掌握三角形相似的判定定理：“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”。
（二）能力目标：在进行探索的活动过程中，发展类比的数学思想，激发学生的探索发现归纳意识，增强合情推理的语言表达能力。
（三）情感态度与价值观目标：培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值。
四、教学重难点教学重点：掌握相似三角形的判定定理：“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”.教学难点：灵活解决相似三角形判定定理中的实际问题.五、教学过程设计（一）引入新课1.相似三角形的相关概念（1）三个角对应、三条边对应的两个三角形叫做相似三角形.（2）相似三角形的对应角，各对应边 .（3）相似比等于的两个三角形全等.2. 我们已经有哪些判别两三角形相似的方法？3.（1）两个三角形有两边成比例，它们一定相似吗？（2）如果再增加一个条件，你能说出哪几种可能的情况？（3）如果增加一角相等，你能说出哪些可能的情况？目的：通过课前预习发现学生易出现的错误，巩固知识，为新课的学习做好铺垫，有利于帮助学生体会到新旧知识之间的联系与转化.效果：课前布置，要求全班同学完成教师课前批阅，以利于课堂上有针对性的讲解. 当堂展示学生好的方法，研讨、改错.（二）动手实践1、画DEF ABC ∆∆和，使D A ∠=∠，k ==DFAC DE AB ，则这两个三角形相似吗？ 2、如果两个三角形，两边成比例，且其中一边的对角相等，那这两个三角形相似吗？目的：给学生一个自主探究、获得新知的平台，增强学生的自信心；将学习空间还给学生，让学生在相互合作交流的过程中发现知识，掌握知识.效果：学生们以自己的思维方式进行探究，充分经历从特殊到一般的过程.同时，讲解中小组之间互相补充、互相竞争，气氛热烈，同时培养了学生们的合作交流精神和语言表达能力.（三）归纳总结相似三角形判定定理2：文字语言： .数学语言： .图形： .目的：让学生思考并总结几何图形、文字语言、符号语言，从而对三种语言的掌握更加游刃有余.效果：学生能够类比判定定理1对判定定理2进行梳理，牢固掌握三种语言，较好的体现了数学素养.（四）典例精析例1：如图，D 、E 分别是△ABC 的边AC 、AB 上的点。
三角形相似的判定方法
三角形相似的判定方法三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则AD=BD·DC，AB=BD·BC ，AC=CD·BC 。
22二相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：BC（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）(2)B(3)(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A共A角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）A4DCDEADE1E（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”DEB(D)B(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
《4.4两个三角形相似的判定》作业设计方案-初中数学浙教版12九年级上册
《两个三角形相似的判定》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过实践操作和理论应用，使学生能够掌握两个三角形相似的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
通过本课时作业的练习，提高学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
二、作业内容作业内容主要包括以下方面：1. 复习相关概念：让学生回顾三角形相似的定义、相似三角形的性质等基础知识。
2. 掌握判定方法：学生需熟练掌握两个三角形相似的五种判定方法，包括边角边判定法、边角角判定法等，并能够灵活运用这些方法进行判定。
3. 理论应用实践：设计一系列题目，让学生运用所学的判定方法解决实际问题，包括填空题、选择题及解答题等。
4. 实际操作练习：安排学生进行小组活动，通过绘制图形、测量角度和边长等方式，实际判断两个三角形是否相似。
5. 拓展延伸：提供一些拓展题目，让学生进行挑战，加深对三角形相似判定的理解和应用。
三、作业要求1. 认真完成：学生需认真完成每一道题目，不得敷衍塞责。
2. 独立思考：在完成作业过程中，学生应独立思考，尽量自己解决问题。
3. 规范答题：答案需清晰、规范，步骤完整。
4. 小组合作：小组活动需积极参与，互相协作，共同完成任务。
5. 时间安排：合理安排时间，确保在规定时间内完成作业。
四、作业评价1. 教师评价：教师根据学生完成情况，对每名学生的作业进行评分，并给出详细的评语和建议。
2. 小组互评：小组内成员互相评价，分享彼此的解题思路和经验。
3. 自我评价：学生需对自己的作业进行自我评价，反思自己的不足之处。
五、作业反馈1. 教师反馈：教师将学生的作业情况进行总结，针对共性问题进行讲解和指导。
2. 个别辅导：对存在困难的学生进行个别辅导，帮助他们解决问题。
3. 拓展延伸：针对学生的拓展题目完成情况，提供进一步的指导和建议。
通过以上述方式，加强学生对两个三角形相似判定方法的理解和掌握，同时也为下一课时的学习打下坚实的基础。
六、后续跟进1. 课后答疑：教师需在课后及时解答学生关于作业的疑问，确保学生完全理解。
北师大版九年级上册数学教案：4.4三角形相似的判定及黄金分割
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的几何直观和逻辑推理能力，使其能够运用三角形相似判定定理分析并解决实际问题，提高解决问题的策略选择和运用能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-三角形相似判定：重点讲解AAA、AA和SAS判定定理，使学生掌握三角形相似的判定条件，并能准确运用这些定理解决具体问题。
-黄金分割概念及性质：强调黄金分割比例的定义，及其在几何图形和实际生活中的应用，让学生理解黄金分割的重要性。
-实际问题解决：通过典型例题，让学生学会将实际问题抽象为三角形相似问题，运用所学知识进行解决。
2.培养学生的数感和符号意识，使其掌握黄金分割的概念和性质，并能运用数学符号ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ行表达和计算，从而增强数学语言的表达能力。
3.培养学生的空间观念和审美观念，通过探索黄金分割在生活中的应用，使学生认识到数学与实际生活的紧密联系，提高对几何美的感知和鉴赏能力。
4.培养学生的团队合作意识，通过小组讨论和交流，让学生在探究相似三角形和黄金分割的过程中，学会倾听、表达、协作，培养良好的沟通能力。
此外，我还注意到在黄金分割部分的教学中，学生们对其概念和性质的理解相对较好，但在实际应用中计算黄金分割比例时，仍有一些学生感到困惑。针对这一情况，我将在下一节课中增加一些计算练习，让学生多动手操作，提高他们解决实际问题的能力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“三角形相似在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
北师大版数学九年级上册4.4.2探索三角形相似的条件优秀教学案例
二、教学目标
五、案例亮点
1.生活情境的导入：本节课通过展示实际生活中的三角形相似现象，如建筑设计中的相似三角形应用，引导学生关注数学与现实生活的联系。这样的导入方式不仅激发了学生的学习兴趣，还让学生明白了相似三角形在实际生活中的应用价值，提高了学生的学习积极性。
2.问题导向的教学策略：本节课以问题为导向，引导学生提出问题并自主探索相似三角形的判定方法。在解决问题的过程中，教师及时给予反馈和指导，帮助学生克服困难，引导学生正确思考。这种教学策略不仅培养了学生的思维能力，还提高了学生解决问题的能力。
3.引导学生进行小组反思，让学生总结自己在解决问题过程中的收获和不足，促进学生的自我成长。
（四）反思与评价
1.让学生在课后进行自我反思，总结自己在本节课中学到了什么，还有什么需要改进的地方。
2.组织学生进行同伴评价，鼓励学生相互鼓励、相互学习，提高学生的学习积极性。
3.教师对学生的学习情况进行评价，关注学生的知识掌握情况、思维能力以及合作态度等方面，为下一步教学提供参考。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示一个生活中的实例，如建筑设计中的相似三角形应用，引导学生关注相似三角形的实际意义。
2.提出问题：“你们认为什么是相似三角形？它们有什么特点？”让学生进行思考，激发学生的学习兴趣。
3.总结相似三角形的定义，并提出本节课的学习目标，让学生4.4.2探索三角形相似的条件优秀教学案例
4.4(两个三角形相似的判定(顺风方伟民)(2)
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
1.如图已知点D,E分别在AC,AB上,AE=3,AD=2,DB=4, EC=1.你能找到两个三角形相似吗?说出你的理由.
变式：如图已知点D在AB上,E在AC上，添加一个条 件使得△ADE与△ABC相似
C
2.如图已知点D在AB上AC2=AD∙AB,你能说出 △ADC∽△ACB的理由吗?
AO DO 1 = = BO CO 2
例3.如图：已知点D,E分别在AB,AC上, 求证:DE‖BC. 证明： 在⊿ADE和⊿ABC中 ∵ ∠A=∠A，
AD AE = AB AC
AD AE = AB AC
A
D B
E C
∴ ⊿ADE∽⊿ABC
∴ ∠ADE=∠ABC
∴ DE‖BC
1.如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC= 6 ，AD=2． 问：当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．
两个三角形相似的判定（2）
龙泉市顺风实验学校 方伟民
(1)我们已经学习了几种三角形相似的判定方法？
A
1.平行判定法
∵DE//BC， ∴ΔADE∽ Δ ABC 2.AA法 ∵∠A=∠A´，∠B=∠B´，
B D E
C
∴
Δ ABC∽ Δ ABC
(2)直角三角形中的一个重要结论
C
∵∠ACB=90，CD⊥AB， ∴ Δ ABC∽ Δ ACD∽ Δ CDB
A D B
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例且夹角相等, 那么这两个三角形相似
已知：在△ABC 和△DEF 中, DE DF , A = D AB = AC 求证: △ ABC∽ △DEF
4.4.2 相似三角形的判定九年级上册数学北师大版
即 ∠DAE =∠BAC，
B
∴△ABC ∽△ADE.
E
=
是三角形的内角吗？
C
2.如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD，
1
AB=6，BC=4，AC=5，CD= 7 ，求 AD 的长．
2
1
解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD= 7 ，C
8
边所对的角对应相等的两
D
6.4
4
个三角形不一定相似.
B
40°
C
E
40°
3.2
F
随堂练习
1.如图，△ABC 与△ADE 都是等腰三角形，AD=AE，
AB=AC，∠DAB=∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE.
证明：∵ AD =AE，AB = AC，
∴
D
A
又 ∵∠DAB = ∠CAE，
和夹角来判定两个三角形相似呢？
A
D
B
E
C
新知探究 知识点：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
做一做
A
△ABC∽△A′B′C′
①任意画△ABC；
AB
AC
；
k
②再画△A′B′C′，使∠A′=∠A，且
AB AC
B
③量出∠B及∠B′的度数，∠B＝∠B′吗？
C
A′
由此可以推出∠C=∠C′吗？为什么？
综上所述，经过 1 s 或 2.5 s 后，△PBQ 与△ABC 相似.
课堂小结
利用
两边
和夹
角判
定两
个三
角形
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解: ∵∠AEB＝∠FEC（对顶角相等）
又∵
AE
54
FE ＝ 36 ＝1.5
BE
CE ＝
45 30
＝1.5
∴ AE ＝ BE
FE
CE
∴ △AEB∽△FEC
A
D
E
B
C
A
A 2
D
3
4
E
1
B
C
D
E
B
C
一般像上面的两个三角形结构，可以用
两边对应成比例，且夹角相等的 两个三角形
相似来证明两个三角形相似．
如图, D为⊿ ABC的边AB上一点若要使 ⊿ ACD与⊿ ABC相似,可以添加什么条 件?你有几种添加条件的不同方法?
AO BO
=
DO CO
AD BC
=
DO CO
即5
BC
=
1 2
∴BC=10cm
△ AOD ∽△ BOC
如图已知点D,E分别在AB,AC上,
AD AB
=
AE AC
求证:DE‖BC.
A
D
E
B
C
如图已知点D,E分别在AC,AB上,
AE=3,AD=2,DB=4,EC=1.你能找到两个三 角形相似吗?说出你的理由.
A D
B C
如图, D为⊿ ABC的边AB上一点若要使 ⊿ ACD与⊿ ABC相似,可以添加什么条 件?你有几种添加条件的不同方法?
A
D
A
D
CA
B
CB
C
两个三角形相似的判定方法：
1. 平行于三角形一边的直线和其他两边相 交，所构成的三角形与原三角形相似。 2.有两个角对应相等的两个三角形相似。 3.两边对应成比例，且夹角相等的两个三 角形相似。
4、定义法
4.4.两个三角形相似的判定
(二)
判定定理2
两边对应成比例,且夹角相等
的两个三角形相似。 A
∵∠A=∠A´,
ABA BFra bibliotek= CA
C A
B
∴△ ABC ∽△ A´B´C´
C A´
B´
C´
例2：如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量
得卡钳上A,D两端的距离为5cm, 求容器内径BC的长。
AO = DO = 1 BO CO 2
A 2
D
3
4
E
1
B
C
如图已知点D,E分别在AC,AB上,
AE=3,AD=2,DB=4,EC=1.你能找到两个三
角形相似吗?说出你的理由.A
2
AD
3 A
E2
6
4
D
3
4
E
1
B
CB
C
如图已知点D在AB上,AC2=AD∙AB 你能说出△ADC∽△ACB的理由吗?
A D
B
C
P136 作业题5
判断图中△AEB和△FEC是否相似？