温度变化时引起静定结构的位移
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结构力学4静定结构的位移计算
4.3 平面杆件结构位移计算的一般公式
4.3.1 单位荷载法与结构位移计算的一般公式
P R1 1
F D 1 D F
c F R 2 c2 D F R c
c2 c1
d d du i1
D F R c M d FQ dh FN du
河南理工大学万方科技学院
结构力学
第四章 静定结构的位移计算
F1 1 FB B F2 2 F3 3 0
(a)
虚位移之间的关系为 1 1 1 B 2 2
1 1 4 2 2 2 C B B 2 2 3 3 3
1 1 1 1 3 E 2 B 2 2 3 3 1 2 1 将以上各关系式代入式(a)，得 FB F1 F2 F3 2 3 3 河南理工大学万方科技学院
4.1.3 计算位移的方法
虚功法——依据虚功原理的单位荷载法。
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结构力学
第四章 静定结构的位移计算
4.2 变形体系的虚功原理 4.2.1 实功与虚功 1．功
｛
W FD cos
W 2 Fr
α
力，Δ表示广义位移） Δ
功是力与位移的矢量点积
a c l
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结构力学
第四章 静定结构的位移计算
沿所求位移方向虚设单位荷载 F=1的方法称为 单位荷载法，或称为单位力法。 当支座有给定位移时，静定结构的位移可用单 位荷载法来求解，其计算步骤如下： 1. 沿欲求位移的方向虚设相应的单位荷载，并求出
在单位荷载作用下给定位移的支座处的反力
虚功原理
W =U
可写为
位移状态 位移状态
静定结构的位移计算—图乘法计算静定结构的位移(建筑力学)
ql 2 8
) (5 8
l) 4
5ql 4 384 EI
()
温度变化时位移计算公式
设结构上侧温度变化t1，下侧温度变化t2，则杆轴线处温度变化为t0 =（h2t1+h1t2）/h。
此时任一微元体变形如图所示，包括两种形式：
①轴线伸长量du； ②截面转角dθ。
使用公式 L t L 和图中的几何关系，不难得到：
l
l
]
[t0
0
l
t h
1 2
l
l
]
-6l 18l 2 6l(1 3)()
h
h
N图
M图
支座位移时结构位移计算公式
支座位移直接引起结构位移，并不引起结构变形。因此，仅有支座位移时， 结构微元体变形为0。所以，虚拟状态内力虚功为0。将这一结论代入结构位移计 算的一般公式，即可得到支座位移时结构的位移计算公式：
N Nds EA
荷载作用下位移计算步骤
（1）计算位移状态（实际状态）结构内力：M、Q、N； （2）假设虚拟状态（受力状态）； （3）并求其内力 M、 、Q ；N （4）代入位移计算公式并求解。
计算示例
例：计算图（a）所示简支梁中点C处得竖向线位移（EI为常数）。
（a）实际状态
（b)虚拟状态
解：（1）计算实际状态弯矩
位置如图a所示。
（3）当图形的面积和形心位置不易
图b
确定时,可将其分解为几个简单的图形,分
别与另一图形相乘,最后把结果相加,图b。
图a
（4）当y0所在图形是由若干直线段
组成的折线时,应分段进行图乘，再进行叠
加，图c。
（5）当直杆各杆段截面性质不同,即
EI不同时,应分段图乘,再进行叠加，图d。
03-讲义：6.6 静定结构温度变化时的位移计算
第六节 静定结构温度变化时的位移计算对于静定结构，杆件周围温度发生改变时，并不引起结构产生内力，但由于材料随着温度变化而发生膨胀或收缩，这会引起截面的应变，即温度应变，从而使结构产生位移和变形。
首先推导静定结构在温度变化影响下位移的计算公式。
如图6-35(a)所示某刚架，设杆件的外侧温度上升1t (℃)，内侧温度上升2t (℃)，求由于温度改变引起K 截面竖向位移K t ∆。
根据单位荷载法求位移的思路，虚设的单位荷载状态如图6-35(b)所示。
在结构位移计算的一般公式（6-12）中，若仅考虑温度变化引起的位移，式（6-12）可表示为：S N kt t t t M ds F ds F ds κγε∆=++∑∑∑⎰⎰⎰ （6-28a ）式中，t t t κγε、、分别为实际位移状态中由温度变化引起的微段ds 的弯曲曲率、平均剪切应变和轴向应变，这可以根据微段上温度改变情况来确定。
图6-35 静定结构由温度变化引起的位移计算(a)实际位移状态(b)单位荷载状态(c) 温度引起ds 微段变形从实际位移状态中取微段ds 分析，如图6-35(c)所示，假设温度变化沿杆截面厚度方向为线性分布。
此时，杆件轴线处温度变化0t 及上下边缘温度改变的差值t ∆分别为：12210h t h t t h+=， 21-t t t ∆= （6-28b ） 式中，h 是杆件截面厚度，1h 和2h 分别是杆轴至截面上、下边缘的距离。
如果杆件的截面是对称截面，则21/2h h h ==，021()/2t t t =+。
对微段ds ，温度变化引起的轴向变形和弯曲变形分别为：0t t du ds t ds εα== （6-28c ）()2121t t t t t ds t ds tds d ds h h h ααααϕκ--∆==== （6-28d ）式中，α为材料的线膨胀系数。
对于杆件结构，温度变化并不引起剪切变形，即：0t t d ds ηγ== （6-28e ）将式(6-28c)至(6-28e)代入式(6-28a)，可得静定结构由温度变化引起位移的计算公式： 00N N kt tds t M F t ds Mds t F ds h h αααα∆∆∆=+=+∑∑∑∑⎰⎰⎰⎰ （6-29a ） 式（6-29a ）中，积分N F ds ⎰表示单位荷载作用下轴力图N F 的面积，积分Mds ⎰表示单位荷载作用下弯矩图M 的面积，分别记为： N N F A F ds =⎰，M A Mds =⎰因此，式（6-29a ）也可表示为： 0F Nkt M tA t A h αα∆∆=+∑∑ （6-29b ） 式(6-29)中，轴力N F 以拉伸为正，0t 以升高为正。
静定结构的位移计算——非荷载因素作用时的位移计算
t
h SMK
对 桁 架：
K t0 F NKl
例 1 ： 计算图示结构C点竖向位移
C
t1
t2
A
已知：t2 30oC,t1 10oC, 105, h 0.5m
10m
CV 2356105 (m) ()
4m 4m
例 2： 计算图示桁架结构B 点竖向位移
t t t t B
a
B 8t a( )
*
F RK CR
(
FNP
F NK *
kFQP F QK*
MPM
* K
)ds
EA
GA
EI
温度
t0
S F Nk
t
h
S Mk
*
F RK CR
荷载 支座
P t C
作业： 5—29、5—31、5—32
t1
h1 t0 dt h h2
(令t2 t1)
t2 t2 - t1
设温度沿杆件截面厚度方向成线性变化。
截面上、下边缘温差： t t2 - t1
杆轴线处温度改变值t0 ：
t0
t1 dt
t1
h1 h
(t2
-
t1
)
=
h1t2
h2t1 h
图示结构，设外侧温度改变 t1 ，内侧温度改变 t2 ，
(
)
例5： 求图示桁架温度改变引起的AB杆转角。
t t t t B
a
A
4a
AB 4 t( )
静定结构多因素下的位移计算一般公式：
K
*
*
*
*
等于0
(F NK F QK M K )ds F RK CR
(b)
温度变化对结构影响的计算
δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + ∆1t = 0 δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + ∆ 2 t = 0
∆tαω i ∆ it = ∑ N i t 0αl + ∑ ( ± ) h
超静定结构温度变化时的位移计算(力法） 超静定结构温度变化时的位移计算 力法） 力法
解决思路： 把超静定结构等效替换为多
∆ Ky = ∑ ∫ M i Mds + ∑ N iα t0 l EI α∆tωi + ∑ (±) = −34.75α l (↑) h
Mi
M
温度低的一侧受拉。 温度低的一侧受拉。
超静定结构温度变化时的内力计算(位移法） 超静定结构温度变化时的内力计算 位移法） 位移法
把超静定结构拆成单杆， 解决思路： 把超静定结构拆成单杆，分 别计算各杆在单位位移和温度改变作 用下的杆端弯矩， 用下的杆端弯矩，求出附加约束上的 反力或反力矩， 反力或反力矩，利用平衡条件求出未 知量，进而求出内力。 知量，进而求出内力
α ∆ td s
h M ds = ∑ α t0 ∫ N i ds + ∑ α ∆t ∫ i h
温度引起的位移计算公式: 温度引起的位移计算公式
M i ds ∆ it = ∑ α t 0 ∫ N i d s + ∑ α ∆ t ∫ h
对等 截 面 直 杆:
∆ it = ∑ α t 0 N i l + ∑ ( ± )
EI=常数, t1〉t2 EI=常数, k11 = 8i 同上例 F1t的计算: 的计算:
+t
o 2
o + t2
Z1
o + t2
o + t2
静定结构的位移计算—结构位移计算的一般公式(建筑力学)
2.计算公式
W外 P Ri ci
根据虚功原理得：
W内 Md Qds Ndu
Md Qds Ndu Ri ci
①求线位移 其虚拟状态的外荷载为与所求线位移同位 置、同方向的一个单位集中力。 ②求角位移 其虚拟状态的外荷载为与所求角位移同位 置的一个单位力偶。
求线位移
求角位移
ห้องสมุดไป่ตู้
位移计算的两种状态
③求相对线位移
其虚拟状态的外荷载为与所求相对线位移
的两点连线共线、方向相反的一对单位集中力。
④求相对角位移
其虚拟状态的外荷载为作用在所求相对角 位移的两个截面位置处的一对转向相反的单位 力偶。
②结构任一微元体变形
轴向变形 du、切向变形 、ds角位移 。d
位移计算的两种状态
2.虚拟状态（受力状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的之前所处的受力平衡 状态。该平衡状态一般是未知的，它并不影响实际的结构位移，通常可以随意假设，因此也称为 虚拟状态。通常假设虚拟状态的外荷载为与所求位移对应的单位荷载。具体对应关系如下：
虚功原理
1.实功与虚功
（1）实功：力×位移（位移由做功的力引起） （2）虚功：力×位移（位移由其它因素引起）
2.虚功原理 W外 W内
位移计算的两种状态
1.实际状态（位移状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的时刻所处的状态。此 时，结构位移和变形表示为：
①支座的位移
水平位移 c1、竖向位移 、c2转角 。 c3
M
求相对线位移
虚拟状态中，由外荷载引起的支座反力和内力分别记为：
支座反力：水平反力 R、1 竖向反力 、R 2支座转角 。R3 内力：弯矩 M、剪力 、Q轴力 。N
W外 P Ri ci
根据虚功原理得：
W内 Md Qds Ndu
Md Qds Ndu Ri ci
①求线位移 其虚拟状态的外荷载为与所求线位移同位 置、同方向的一个单位集中力。 ②求角位移 其虚拟状态的外荷载为与所求角位移同位 置的一个单位力偶。
求线位移
求角位移
ห้องสมุดไป่ตู้
位移计算的两种状态
③求相对线位移
其虚拟状态的外荷载为与所求相对线位移
的两点连线共线、方向相反的一对单位集中力。
④求相对角位移
其虚拟状态的外荷载为作用在所求相对角 位移的两个截面位置处的一对转向相反的单位 力偶。
②结构任一微元体变形
轴向变形 du、切向变形 、ds角位移 。d
位移计算的两种状态
2.虚拟状态（受力状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的之前所处的受力平衡 状态。该平衡状态一般是未知的，它并不影响实际的结构位移，通常可以随意假设，因此也称为 虚拟状态。通常假设虚拟状态的外荷载为与所求位移对应的单位荷载。具体对应关系如下：
虚功原理
1.实功与虚功
（1）实功：力×位移（位移由做功的力引起） （2）虚功：力×位移（位移由其它因素引起）
2.虚功原理 W外 W内
位移计算的两种状态
1.实际状态（位移状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的时刻所处的状态。此 时，结构位移和变形表示为：
①支座的位移
水平位移 c1、竖向位移 、c2转角 。 c3
M
求相对线位移
虚拟状态中，由外荷载引起的支座反力和内力分别记为：
支座反力：水平反力 R、1 竖向反力 、R 2支座转角 。R3 内力：弯矩 M、剪力 、Q轴力 。N
53静定结构温度变化时的位移计算
第 II 状态
单位广义力1引起,单位广义力2作用处沿广义力2 单位广义力1引起,单位广义力2作用处沿广义力2方 向的位移,恒等于单位广义力2引起,单位广义力1 向的位移,恒等于单位广义力2引起,单位广义力1作 用处沿广义力1 用处沿广义力1方向的位移.-----位移互等定理
P2 = 1 2
第 I 状态
4. 反力位移互等定理 反力位移互等定理:
单位广义力引起的结构中某支座的反力等于该支座发 生单位广义位移所引起的单位广义力作用点沿其方向 的位移,但符号相反.-----反力位移互等定理 的位移,但符号相反.-----反力位移互等定理
r12 = δ 21
�
h
t = t 2 t1
无剪应变
d u th
( Ky ) t = ∑ ∫ N iδε t + Q iδγ t + M i δ k t ds = ∑ ∫ N iα t 0 d s + ∑ ∫ M i
(
)
α td s
h M i ds = ∑ αt 0 ∫ N i ds + ∑ αt ∫ h
§4. 5 静定结构温度变化时的位移计算
(Analysis of Displacements in a Statically Determinate Structures Induced by Temperature Changes)
§4. 5 静定结构温度变化时的位移计算
荷载作用求 点竖向位移 点竖向位移. 荷载作用求K点竖向位移 变形体虚功方程为: 变形体虚功方程为
W21 = P2 21
P112 = P2 21
2. 位移互等定理 位移互等定理:
P2
第 I 状态
2
21
静定结构的位移计算概述
图10-1
不同的截面具有不同的线位移和 角位移。结构除了在荷载作用下会产 生位移外，温度改变、支座移动、材 料胀缩和制造误差等非荷载因素也会 使结构产生位移。本章主要研究结构 在荷载作用下的位移计算问题。
1. 2 计算结构位移的目的
计算结构位移的目的主要有以下几方面：
1. 校核结构或构件的刚度 刚度是指结构或构件在荷载作用下抵抗变形的能力。为确保结构或构件在使 用过程中不致发生过大变形而影响结构的正常使用，需要校核结构或构件的刚度。
建筑力学
静定结构的位移计算概述
1. 1 结构位移的概念和影响因素
结构在外界因素 ( 荷载、温度变化、支座沉降等 ) 作用下将产生内力和变形。 由于变形，必然导致结构上各点的位置发生移动，同时截面也将发生转动，这些位 置改变量称为结构的位移。
结构的位移一般分为线位移和角位移两 种。图10-1a 所示的刚架在荷载作用下，结构 产生图中虚线表示的弯曲变形，引起刚架的 A 点位置发生了改变，即 A 点移动到 A' 点， 产生线位移为 ΔA ，而线位移 ΔA 通常分解为 水平方向的分位移 ΔH和铅垂方向的分位移 ΔV ， 如图10-1b 所示。与此同时，截面 A 还产生角 位移，如图10-1a 所示。
2. 为超静定结构的内力分析奠定基础 超静定结构的内力计算只通过平衡条件是不能完全确定的，还必须同时考虑 变形条件，即超静定结构要同时满足平衡条件和变形连续条件，而建立变形连续条 件时需要计算结构的位移。
3. 便于结构或构件的制作和施工 结构或构件在制作、施工等过程中需要预先知道该结构或构件可能发生的位 移，以便采取必要的措施 (建筑起拱)，确保结构或构件的正常使用。
建筑力学
由此可见，结构的位移计算在结构分析和实际工程中具有重要的意义。
结构力学 静定结构的位移计算1
结构发生虚位移的状态和结构承受外力的状态是两个独立 的状态。分别称为结构的位移状态和力状态
P
A
3．位移计算的一般公式
设：结构受荷载的作用， 及支座移动，求A点的竖 向位移。
W外=W变
外力所作的虚功总和W外，等于 各微段截面上的内力在其虚变 形上所作的虚功的总和W变 。
1）位移状态的设定 q
P A
dx
a) 若求结构上C点的竖向位移，
2) 若求结构上截面A的角位移，可在截面处加一单位力矩。
若求桁架中AB杆的角位移，应 加一单位力偶，构成这一力 偶的两个集中力的值取 1/d。 作用于杆端且垂直于杆(d等 于杆长)。
3) 若要求结构上两点(A、B)沿其连线 的相对位移，可在该两点沿其连线 加上两个方向相反的单位力。
A
2）作 M 图 P=1
A C
1.5 M1 图
B 2m
6
B
B
D
66
A
BB
D
9
1
CV
1 1 61.5 3
EI 2
2 2 3 9 5 1.5
EI 3
8
189
=
（向下）
4EI
2）作 M 图
A
BD
6 6
M2 图
A
BB
D
9
1
D
1 EI
一、概述
1．位移的种类
1) 角位移：杆件横截面产生的转角 2) 线位移：结构上各点产生的移动 3) 相对位移（相对角位移，相对线位移）
Aθ
Δ A
θ
（A截面的转角θ ）
（A结点的水平线 位移Δ，转角θ）
ΔA A
P
A
3．位移计算的一般公式
设：结构受荷载的作用， 及支座移动，求A点的竖 向位移。
W外=W变
外力所作的虚功总和W外，等于 各微段截面上的内力在其虚变 形上所作的虚功的总和W变 。
1）位移状态的设定 q
P A
dx
a) 若求结构上C点的竖向位移，
2) 若求结构上截面A的角位移，可在截面处加一单位力矩。
若求桁架中AB杆的角位移，应 加一单位力偶，构成这一力 偶的两个集中力的值取 1/d。 作用于杆端且垂直于杆(d等 于杆长)。
3) 若要求结构上两点(A、B)沿其连线 的相对位移，可在该两点沿其连线 加上两个方向相反的单位力。
A
2）作 M 图 P=1
A C
1.5 M1 图
B 2m
6
B
B
D
66
A
BB
D
9
1
CV
1 1 61.5 3
EI 2
2 2 3 9 5 1.5
EI 3
8
189
=
（向下）
4EI
2）作 M 图
A
BD
6 6
M2 图
A
BB
D
9
1
D
1 EI
一、概述
1．位移的种类
1) 角位移：杆件横截面产生的转角 2) 线位移：结构上各点产生的移动 3) 相对位移（相对角位移，相对线位移）
Aθ
Δ A
θ
（A截面的转角θ ）
（A结点的水平线 位移Δ，转角θ）
ΔA A
(结构力学)静定结构温度变化时的位移计算
温度位移公式图示结构设外侧温度升高内侧温度升高求k点的竖向位移设温度沿杆件截面厚度为线性分布杆轴温度与上下边缘的温差另外温度变化时杆件不引起剪应变微段轴向伸长和截面转角为
5 . 静定结构温度变化时的位移计算
(Analysis of Displacements in a Statically Determinate Structures Induced by Temperature Changes)
t0
t1
h1 h
(t2
t1 )
h2t1 h1t2 h
设温度沿杆件截面厚度为线性分布，杆轴
温度 t0 与上、下边缘的温差 t 为：
t0
h1t2
h2t1 h
t t2 t1
另外，温度变化时，杆件不引起剪应变，
微段轴向伸长和截面转角为：
线
dut t0ds
d t
tds
h
膨
胀 系
数
FP=1
FN
变形，其乘积为正。
几种情况：
温度引起的轴向 变形影响不能少。
对梁和刚架：
t
t0 N
t
h
M
对 桁 架： t t0FNl
问题：当桁架有制造误差li 时,如何求位移？
l FNili
例： 刚架施工时温度为20 0C ，试求冬季 外侧温度为 -10 0C ，内侧温度为 0 0C 时A
点的竖向位移 Ay 。已知 l=4 m, 105 ,
FAx
FAy
A FRici
(
1 l
By
1 2h
Bx
)
0.0075 rad
(
)
例 3：求 Cx ? 解：构造虚设力状态
B
FP=1 C
5 . 静定结构温度变化时的位移计算
(Analysis of Displacements in a Statically Determinate Structures Induced by Temperature Changes)
t0
t1
h1 h
(t2
t1 )
h2t1 h1t2 h
设温度沿杆件截面厚度为线性分布，杆轴
温度 t0 与上、下边缘的温差 t 为：
t0
h1t2
h2t1 h
t t2 t1
另外，温度变化时，杆件不引起剪应变，
微段轴向伸长和截面转角为：
线
dut t0ds
d t
tds
h
膨
胀 系
数
FP=1
FN
变形，其乘积为正。
几种情况：
温度引起的轴向 变形影响不能少。
对梁和刚架：
t
t0 N
t
h
M
对 桁 架： t t0FNl
问题：当桁架有制造误差li 时,如何求位移？
l FNili
例： 刚架施工时温度为20 0C ，试求冬季 外侧温度为 -10 0C ，内侧温度为 0 0C 时A
点的竖向位移 Ay 。已知 l=4 m, 105 ,
FAx
FAy
A FRici
(
1 l
By
1 2h
Bx
)
0.0075 rad
(
)
例 3：求 Cx ? 解：构造虚设力状态
B
FP=1 C
结构力学 第4章 静定结构的位计算
例如，图1(a)所示两个梯形应用图乘法，可不必求 梯形的形心位置，而将其中一个梯形(设为MP图)分成 两个三角形，分别图乘后再叠加。
图1
对于图2所示由于均布荷载q所引起的MP图，可以 把它看作是两端弯矩竖标所连成的梯形ABDC与相应简
支梁在均布荷载作用下的弯矩图叠加而成。
四、几种常见图形的面积和形心的位置
零。
P
2Δ
PP2P30
22
2
YA P/2
YB P/2
2.变形体系的虚功原理 We Wi
体系在任意平衡力系作用下，给体系以几何可能的
位移和变形，体系上所有外力所作的虚功总和恒等于体
系各截面所有内力在微段变形位移上作的虚功总和。
说明： （1）虚功原理里存在两个状态：力状态必须满足平衡条件；位移状态
PR3 PRk PR
4EI 4EA 4GA
M N Q
P θ
P=1
钢筋混凝土结构G≈0.4E 矩形截面,k=1.2，I/A=h2/12
Q M
kGEAI2R14Rh2
N M
I AR2
1 h2 12R
如 h 1 ， 则Q 1 ， N 1
1
EA 2(1 2)Pa()
1 2
1
EA
2
1
例3.求图示1/4圆弧曲杆顶点的竖向位移Δ。
解：1）虚拟单位荷载
2）实际荷载
虚拟荷载
ds
M P PR sin
M R sin
QP P cos
Q cos
dθ
N P P sin
N sin
d d ds d
d dd sd sN Pds
4.4温度变化时的位移计算 结构力学
学习情境四 静定结构位移
学习单元 四 温度变化时的位移计算
学习情境四 静定结构位移
4.4.1 解题思路
本
单
元
4.4.2 温度引起的位移公式
内
容
4.4.3 例题讲解
一、解题思路
位移计算一般公式的回顾: (不考虑支座移动)
l
l
l
1 [ M d F Qd F N d]
0
0
0
说明：
(弯曲)
(剪切)
(轴向)
荷载
此ห้องสมุดไป่ตู้式适用于
诸因素引起的位移。
温度变化
d
原因不同，变形 d 的表达式也不同。 d
现在要讨论温度变化时, d 、d 、d 的表达式。
一、解题思路
假定 t2 t1
α——线胀系数
1）微段发生的轴向变形
d
t0ds
t1
t2 2
ds
h1 h
将
d
t0ds
t1
2
t2
ds
和
d t2ds t1ds tds
h
h
代入一般公式
1 [
l
M d
l
F Qd
l
F Nd]
0
0
0
得到：
F
N
t0ds
M
t
h
ds
若t0 、Δt和h沿每一杆长为常数，则上式可写成：
N、M图 面积
t1 300 C
A
解：（1）虚设单位力，绘制单位弯矩图和轴力图。
学习单元 四 温度变化时的位移计算
学习情境四 静定结构位移
4.4.1 解题思路
本
单
元
4.4.2 温度引起的位移公式
内
容
4.4.3 例题讲解
一、解题思路
位移计算一般公式的回顾: (不考虑支座移动)
l
l
l
1 [ M d F Qd F N d]
0
0
0
说明：
(弯曲)
(剪切)
(轴向)
荷载
此ห้องสมุดไป่ตู้式适用于
诸因素引起的位移。
温度变化
d
原因不同，变形 d 的表达式也不同。 d
现在要讨论温度变化时, d 、d 、d 的表达式。
一、解题思路
假定 t2 t1
α——线胀系数
1）微段发生的轴向变形
d
t0ds
t1
t2 2
ds
h1 h
将
d
t0ds
t1
2
t2
ds
和
d t2ds t1ds tds
h
h
代入一般公式
1 [
l
M d
l
F Qd
l
F Nd]
0
0
0
得到：
F
N
t0ds
M
t
h
ds
若t0 、Δt和h沿每一杆长为常数，则上式可写成：
N、M图 面积
t1 300 C
A
解：（1）虚设单位力，绘制单位弯矩图和轴力图。
温度变化和支座移动引起的结构位移计算
du=αt0ds
温度变化和支座移动引起的结构位移计算
温度变化和支座移动引起的结构位移计算
为了求位移,需引用虚功原理,即虚设一单位力状态,
令单位力状态下的内力在实际变形状态下作功,列出虚功
方程即可。为此在要求位移Δ的截面处施加一单位力P=1,
作出结构在此单位力作用下的内力图,即FN图和M图。列
出虚功方程为
1·Δ=∑±∫Mdφ+∑±∫FNdu 将dφ、温度变化和支座移动引起的结构位移计算
式(14-9)就是温度变化所引起的位移计算公式。式 中的正负号规定如下：若虚拟状态的内力方向与温度改 变所引起的变形方向一致,则取正号,否则取负号。
如果结构中每一杆件沿其全长温度改变相同且截 面等高,则式(14-9)可改写为
图14-14
温度变化和支座移动引起的结构位移计算
为了简化计算,假定温度变化是均匀的,即每一根 杆上各截面的温度变化是相同的,沿杆截面高度h温度 按线性规律变化。因此,在发生变形以后,截面仍为平 面。现以h1和h2分别表示截面形心轴线至上下最外侧 纤维的距离,t0表示轴线处温度的升高值。由于假定温 度是沿截面高度呈线性变化的,因此有
工程力学
温度变化和支座移动引起的结构位移计算
1.1
温度改变引起的位移
当温度变化时,静定结构因没有多 余约束,所以各截面都不会产生内力,支 座也不会产生反力。但静定结构会产生 变形,其各截面会产生位移。
温度变化和支座移动引起的结构位移计算
要计算出任一截面因温度变化引起的位移,必须首先研究在温 度变化作用下截面的变形。在如图14-14所示的刚架中,截取任一 微段ds,设微段上的一侧温度升高t1,另一侧温度升高t2,且t2>t1。
件并没有发生变形,所以内力虚功为零。虚功方程为
温度变化和支座移动引起的结构位移计算
温度变化和支座移动引起的结构位移计算
为了求位移,需引用虚功原理,即虚设一单位力状态,
令单位力状态下的内力在实际变形状态下作功,列出虚功
方程即可。为此在要求位移Δ的截面处施加一单位力P=1,
作出结构在此单位力作用下的内力图,即FN图和M图。列
出虚功方程为
1·Δ=∑±∫Mdφ+∑±∫FNdu 将dφ、温度变化和支座移动引起的结构位移计算
式(14-9)就是温度变化所引起的位移计算公式。式 中的正负号规定如下：若虚拟状态的内力方向与温度改 变所引起的变形方向一致,则取正号,否则取负号。
如果结构中每一杆件沿其全长温度改变相同且截 面等高,则式(14-9)可改写为
图14-14
温度变化和支座移动引起的结构位移计算
为了简化计算,假定温度变化是均匀的,即每一根 杆上各截面的温度变化是相同的,沿杆截面高度h温度 按线性规律变化。因此,在发生变形以后,截面仍为平 面。现以h1和h2分别表示截面形心轴线至上下最外侧 纤维的距离,t0表示轴线处温度的升高值。由于假定温 度是沿截面高度呈线性变化的,因此有
工程力学
温度变化和支座移动引起的结构位移计算
1.1
温度改变引起的位移
当温度变化时,静定结构因没有多 余约束,所以各截面都不会产生内力,支 座也不会产生反力。但静定结构会产生 变形,其各截面会产生位移。
温度变化和支座移动引起的结构位移计算
要计算出任一截面因温度变化引起的位移,必须首先研究在温 度变化作用下截面的变形。在如图14-14所示的刚架中,截取任一 微段ds,设微段上的一侧温度升高t1,另一侧温度升高t2,且t2>t1。
件并没有发生变形,所以内力虚功为零。虚功方程为
静定结构由于支座移动、温度改变引起的位移计算
1.2 温度改变引起的位移计算
以图a所示刚架为例，且t2℃＞t1℃，从杆件中取出一微段ds（图
b），杆件轴线处的温度为t0=(h1t2+h2t1)/h ，当h1=h2 时，
t0=(t1+t2)/2 。上、下边缘的温度差为 Δt= t2 t1 。轴向应变和曲
率k分别为
=
l
t0
，k
dj
ds
l (t2 t1）ds
目录
静定结构的位移\支座移动、温度改变引起的位移计算 【例13.9】 如图a所示结构，若A端发生图中所示的移动和转动，
试求结构上点B的竖向位移ΔBV和水平位移ΔBH 。 【解】 1) 求点B的竖向位移ΔBV 。在点B加一竖向单位力 F=1，
如图b所示，求出结构在 F =1作用下的支座反力。代入公式得 ΔBV= －（0×a－ 1×b －l×j ）=b+lj （↓）
hds
l t
h
令 0 ，位移计算公式为
K
（ ）l FNlt0ds
（ ）M ltds
l
h
如果t0、Δt和h沿每一杆件的全长为常 数，则上式可写为
K
（ ）lt0 AN
（ ）l
t h
AM
在应用以上两式时，正负号可按如下的方法确定：比较虚拟状 态的变形与实际状态由于温度改变引起的变形，若二者的变形方向 相同，则取正号；反之取负号。式中的t0和Δt均取绝对值进行计算。
移为
BH
1l l
1
0
2
2
0
l
2010(1 l l h2
1 l l) 2
15ll
10l
l2 h
(→)
计算结果为正，表示ΔBH的方向与所设单位力的方向相同，即ΔBH向 右。
《结构力学》静定结构的位移计算
03
在实际应用中，可以根据结构特点、计算精度和计算资源等因素综合考虑选择 合适的数值方法。
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桥梁横向位移限制
对于大跨度桥梁，需要限制其在风荷载、地震等横向力作用下的横 向位移，以保证桥梁的稳定性和行车安全。
支座位移控制
桥梁支座的位移也需要进行控制，以避免支座过度磨损或脱空等现 象，确保桥梁的正常使用。
建筑工程中变形缝设置要求
伸缩缝设置
为避免建筑物因温度变化、地基沉降等因素而产生裂缝或 破坏，需要在建筑物的适当位置设置伸缩缝，使建筑物能 够自由伸缩。
计算方法
采用分段叠加法，将组合结构分成若 干段，分别计算各段的位移再求和； 或采用有限元法直接求解整体位移。
需考虑不同材料或截面的变形协调问 题。
03 图乘法计算静定结构位移
图乘法基本原理及适用条件
基本原理
图乘法是基于结构力学的虚功原理，通过图形面积与形心位置的乘积来简化计 算结构位移的一种方法。
均布荷载作用
荷载沿梁长均匀分布，引 起梁产生均匀弯曲变形。
位移计算
采用图乘法或积分法求解， 考虑荷载、跨度、截面惯 性矩等因素。
悬臂梁在集中力作用下位移
悬臂梁基本概念
一端固定，另一端自由的 梁，承受集中力、均布荷 载等。
集中力作用
在悬臂梁自由端施加集中 力，引起梁产生弯曲和剪 切变形。
位移计算
采用叠加原理，分别计算 弯曲和剪切变形引起的位 移，再求和。
制造误差对结构位移的影响不同。
影响系数
02
利用影响系数可以计算制造误差引起的结构位移，影响系数与
结构形式和荷载情况有关。
敏感性分析
4-6 温度引起的位移计算
2.计算虚拟状态轴力
3. 计算杆件制造误差
K FN
FN
4 （-
1） =6cm
2
3cm
yluo@
The End
yluo@
h1 h
t2ds
(
h2t1
h
h1t2
)ds
t0ds
其中
t0
h2t1
h1t2 h
yluo@
§6 温度变化引起的位移计算
一、温度位移计算公式
ds微段上变形为
实际位移状态
弯曲变形
dt
t2ds t1ds
h
tds
h
其中
t t2 t1
Kt
计算虚拟状态轴力与弯矩。 ⑶ 代入公式计算位移。
2.例题
yluo@
§6 温度变化引起的位移计算
例6.1 结构温度变化如图示,
各杆截面为矩形，试求横梁
中点的竖向位移。已知：
h 0.6m,l 6m, 1.0105
实际位移状态
解：1.建立虚拟力状态
实际状态
2.作出虚拟状态的弯矩
3.计算位移
K FN
4cm（ 1 + 1 + 1 ） 2400cm 4800cm 4800cm
0.0033rad (顺时针)
yluo@
§6 温度变化引起的位移计算
例6.5 图示桁架，施工时C点需预置上拱度6cm， 问四根下弦杆在制造时应做长多少？ 解：1.建立虚拟状态
Structural Mechanics
西南交通大学 土木工程学院
yluo@
第四章结构位移计算 Calculation of
3. 计算杆件制造误差
K FN
FN
4 （-
1） =6cm
2
3cm
yluo@
The End
yluo@
h1 h
t2ds
(
h2t1
h
h1t2
)ds
t0ds
其中
t0
h2t1
h1t2 h
yluo@
§6 温度变化引起的位移计算
一、温度位移计算公式
ds微段上变形为
实际位移状态
弯曲变形
dt
t2ds t1ds
h
tds
h
其中
t t2 t1
Kt
计算虚拟状态轴力与弯矩。 ⑶ 代入公式计算位移。
2.例题
yluo@
§6 温度变化引起的位移计算
例6.1 结构温度变化如图示,
各杆截面为矩形，试求横梁
中点的竖向位移。已知：
h 0.6m,l 6m, 1.0105
实际位移状态
解：1.建立虚拟力状态
实际状态
2.作出虚拟状态的弯矩
3.计算位移
K FN
4cm（ 1 + 1 + 1 ） 2400cm 4800cm 4800cm
0.0033rad (顺时针)
yluo@
§6 温度变化引起的位移计算
例6.5 图示桁架，施工时C点需预置上拱度6cm， 问四根下弦杆在制造时应做长多少？ 解：1.建立虚拟状态
Structural Mechanics
西南交通大学 土木工程学院
yluo@
第四章结构位移计算 Calculation of
建筑工程技术专业《14-5温度变化时静定结构的位移计算》
老师原声
4
ppt4
由计算公式，可以归纳总结，温度变化时，结构位移计算步骤如下：①计算温度变化参数t0和∆t；②假设虚拟状态；③计算虚拟状态内力，轴力和弯矩。④代入公式并计算。
老师原声
5
PPT5
下面我们通过例题，来示范一下温度变化时，结构位移的计算过程。图示结构，杆横截面为矩形，高为h，线膨胀系数为α。要求计算C点的竖向位移。
老师原声
6
PPT6
温度变化时，结构的位移计算，就给大家介绍到这里，这次课到此结束，谢谢大家观看，下次课再见！
14-5温度变化时静定结构的位移计算脚本
序号
画 面
解 说
配音
背景音乐
字幕
1
片头：微课标题
温度变化时静定结构的位移计算
老师原声
动感纯音乐
2
老师出境镜头〔拍摄老师上半身〕。PPT2
大家好！这次课，我们来学习温度变化时静定结构的位移计算。我们将推导温度变化时结构的位移计算公式，总结其计算的步骤，并通过例题演示计算过程。
首先计算温度变化参数。t0=6°，∆t=12°。然后假设虚拟状态，并绘制其轴力图和弯矩图，如下图。
最后代入公式求解位移。由于该结构是由AB和BC两段组成。因此，要分两段分别计算，然后累加即可。要注意，对内力的一次方积分，其实就是求内力图的面积。另外，要注意每一项正负号的判断。例如要判断AB杆件轴向变形引起的位移的正负号，我们先看虚拟状态的轴力在该段为压力，使杆件缩短变形，而温度是升高的，使该段伸长变形，二者变形相反，故该项取负号。其余项，同理判断。
老师原声
全文加字幕
3
பைடு நூலகம்PPT3
仅有温度变化时，结构位移是由结构变形引起的位移。设结构上侧温度变化量为t1，下侧变化量为t2，那么杆轴线位置处的温度变化量t0可以用直线插入法计算得到。此时，结构上任一微元体的变形如下图，包括两种形式：①轴线伸长量du；②截面转角dθ。注意没有切向变形。
4
ppt4
由计算公式，可以归纳总结，温度变化时，结构位移计算步骤如下：①计算温度变化参数t0和∆t；②假设虚拟状态；③计算虚拟状态内力，轴力和弯矩。④代入公式并计算。
老师原声
5
PPT5
下面我们通过例题，来示范一下温度变化时，结构位移的计算过程。图示结构，杆横截面为矩形，高为h，线膨胀系数为α。要求计算C点的竖向位移。
老师原声
6
PPT6
温度变化时，结构的位移计算，就给大家介绍到这里，这次课到此结束，谢谢大家观看，下次课再见！
14-5温度变化时静定结构的位移计算脚本
序号
画 面
解 说
配音
背景音乐
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1
片头：微课标题
温度变化时静定结构的位移计算
老师原声
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2
老师出境镜头〔拍摄老师上半身〕。PPT2
大家好！这次课，我们来学习温度变化时静定结构的位移计算。我们将推导温度变化时结构的位移计算公式，总结其计算的步骤，并通过例题演示计算过程。
首先计算温度变化参数。t0=6°，∆t=12°。然后假设虚拟状态，并绘制其轴力图和弯矩图，如下图。
最后代入公式求解位移。由于该结构是由AB和BC两段组成。因此，要分两段分别计算，然后累加即可。要注意，对内力的一次方积分，其实就是求内力图的面积。另外，要注意每一项正负号的判断。例如要判断AB杆件轴向变形引起的位移的正负号，我们先看虚拟状态的轴力在该段为压力，使杆件缩短变形，而温度是升高的，使该段伸长变形，二者变形相反，故该项取负号。其余项，同理判断。
老师原声
全文加字幕
3
பைடு நூலகம்PPT3
仅有温度变化时，结构位移是由结构变形引起的位移。设结构上侧温度变化量为t1，下侧变化量为t2，那么杆轴线位置处的温度变化量t0可以用直线插入法计算得到。此时，结构上任一微元体的变形如下图，包括两种形式：①轴线伸长量du；②截面转角dθ。注意没有切向变形。
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温度变化时引起静定结构的位移 （自由变形：即不产生内力）
讨论构件厚度上两表面受温不均匀时轴向的位移改变
自由变形 线膨胀系数a （每米长度每升高一度的伸长量，单位m m c。
或1
c。
）
杆长l 升高t c ∆。
，系数为a ，杆的伸长量为：
（1） 当温度为均匀改变时，轴向伸长或压缩。
（2） 温度为非均匀改变时。
设初始温度为0，上表面升高1t c 。
，下表面升高2t c 。
, 2t c 。
>1t c 。
,则材料的变形如图虚线所示。
上下表面都膨胀，但温度高的一边更厉害些，且从上表面到下表面的变形时均匀连续增加的，也就是线性变化。
由于上表面变形少下表面变形多，所以会使物体产生弯曲，如上图。
温变时位移的计算公式
（1） 应用虚功原理，有两种状态（实际状态是温度，虚拟状态同受荷载导致位移一样）。
（2） 计算式：0
ki M N t w t
w h
αα⋅∆∆=
+
∑
∑
式中个符号的含义：21t t t ∆=-（两表面温差） h 材料厚度
M w ：虚拟状态弯矩图的面积 0t ：轴线温度（即与上下表面平行的轴线
的温度） N w ：N 图的面积 对称截面（如上图）的轴线温度：12
02
t t t +=
1F l l l l l t a E A
∆=-=⋅∆⋅=
t 1°c
非对称截面（如下图）的轴线温度：1221
0h t h t t h
+=
M t w ∆⨯：有正负区别，温度产生的变形使构件受拉测和虚拟力产生的变形使构件受拉测在
同一侧为正，不同侧为负
0N t w ⨯: 有正负区别，0t 为温度升高对应N 为拉力时为正。
总之虚拟力产生的效果和温度产生的效果一样时为正
例：截面为对称图形，线膨胀系数0.000012m m c
α=。
，h=0.6m(对称截面)，外侧20c -。
，
内侧30c +。
，求cy ∆。
h
1
h
2
t
1
t
2
h
线轴
t
t 1
=-20
6m
6m
C
解：建虚拟状态，并画M和N图。
6m6m
M
N
整理数据：2150(t t t c ∆=-=。
内高） 0121()5(2
t t t c =
+=。
升温）
1463362M w =⨯
⨯⨯=∑
146122N w =⨯⨯
=∑
50361800512600.03672()cy m h
h
αα
αα⨯⨯∆=-
-⨯⨯=-
-=-↑
即C 点向上移动3.672cm.。