数理统计答案(汪荣..

从此母体中抽取的一个子样。试验证下面三
个估计量
（1）＾1
2 3
X1

1 3
X2
（2）＾2

1 4
X1

3 4
X
2
（3）＾3

1 2
X1

1 2
X2
都是 的无偏估计，并求出每个估计量的
方差。问哪一个方差最小？
解：E＾1
E(2 3
x1

1 3
x2 )

2 3
Ex1

1 3
Ex2

2 3
i
n
d ln L
i
xi n 0,＾p 1
dp 1 p p
x
13.设母体X具有在区间[a,b]上的均匀分布, 其分布密度为
1 ,a x b
f(x)= b a
0, 其他
其中a,b是未知参数,试用矩法求a与b的估计
量.
解: X : U[a,b], EX a b , DX 1 (b a)2
D解：x。:
p( ),
Ex

E(1 n
i
xi )

1 n
i
Exi

1 n
n


1
1
1

Dx D( n
i
xi ) n2
i
Dxi n2
i
Dx n
4.设X1,X2,…,Xn是区间（-1，1）上均匀分 布的母体的一个子样，试求子样平均数的
均值和方差。
解：x : U (1,1), Ex 11 0, Dx 22 1
i
i 1
i
i 1
(n 1) 2 0 (n 1) 2 2(n 1) 2
(xi1 xi )2
E[ i
] 2,c
1
2(n 1)
2(n 1)
18.从一批电子管中抽取100只,若抽取的电子管的平 均寿命为1000小时,标准差s为40小时,试求整批电子 管的平均寿命的置信区间(给定置信概率为95%).
E( X (1 )S*2 ] E X (1 )ES*2 (1 )
14 .设X1,X2,…,Xn为母体N (, 2 ) 的一个子
n1
样。试选择适当常数C,使C (Xi1 Xi )2 为 2
的无偏估计。
i 1
解： (xi1 xi )2 [(xi1 ) (xi )]2
L
n i 1
k
(k 1)
!
xi
k
1e

xi
(
1
n
)n nk (
(k 1)!
i 1
xi xi )k 1e i
n
ln L n ln(k 1)! nk ln ln( xi )k1 xi
i 1
i
d ln L
d

nk


i
P{2.4 U 3.6} (3.6) (2.4) (2.4) 0.9918
（2）n=64时，求 P{ x 40 1}
解：
x:
52 N (40, )
64
P{ x 40 1} P{ x 40 1 } p{U 8}
5/8 5/8
解：作变换
yi

xi
100, a
100,
y

1 n
i
yi

1 5
0

0
x a y 100
sx2

sy2

1 n
i
yi 2

2
y

1 5
[(8)2

(6)2

32

52

62 ]
0

34
3.设X1,X2,…,Xn是参数为的泊松分布的母体 的一个子样，是子样平均数，试求EX 和 X
得随机变量CY服从 2 分布。
解：X : N (0,1), Z1 X1 X 2 X3 : N (0, 3),
Z1 : 3
N (0,1), Z12 3
:
12 (1)
Z2 X 4 X5 X 6亦服从N(0,3)且与Z1相互独立
Z2
:
N
(0,1),
Z
2 2
:
2 (1)
3
3
5
2(8) 1 0.8904 5
第二章
参数估计
1.设母体X具有负指数分布，它的分布密度
为
ex , x 0
f(x)=
0, x 0
其中 0 。试用矩法求的估计量。 解：x : e()
ex , x 0 f(x)=
0, x 0
（ 0 ）
Ex xf (x)dx xexdx 1
0, x 0
似然函数 n
n
L
f (xi ) e(xi )
i1
ln L ( xi
为了使L达到最大i， 尽可能大，而＾

i
i 1
n
),
d
xi n
ln L 0无解
d0，尽可能小，


xi ,

min
1in
xi

x(1)
12设母体X服从正态分布 N (,1), ( X1, X 2 )是
i 1
i
2
Dx n
13.设X1,X2,…,Xn是具有泊松分布P() 母体
的一个子样。试验证：子样方差 S*2 是
的无偏估计；并且对任一值 [0,1], X (1 )S*2
也是 的无偏估计，此处 X 为子样的平均
数
解：X : P(), EX , DX , E X , ES*2

0

用样本 x 估计Ex，则有 x 1 ,＾ 1

x
12.设母体X具有几何分布,它的分布列为
P{X=k}=(1-p)k-1p,k=1,2,…
先用矩法求p的估计量,再求p的最大似然估
计.
解 :( 1)矩法估计

EX k (1 p)k1 p
k 1
＾p
n
10
整批电置信子上管限 的x 平u2 均sn 寿10命00 置1.9信6 14概00 率100为7.895%的置信
区间为(992.2,1007.8)小时.
且与 2 相互独立。由 2分布可加性，
Z12 Z22 33

1 3
(Z12

Z22 )

1Y 3
:
2 (2),c 1
3
7.已知 X : t(n) ，求证 X 2 : F (1, n)
证明：令 X U : t(n),其中U : N(0,1)
2 /n
2 : 2 (n),且U与 2独立,U 2亦与 2独立
as，y2 即xi

a

cyi
xi (a cyi ), nx na cn y, x a c y
i
i
而sx2

1 n
i
( xi

x)2

1 n
i
(a

cyi

a

c
y)2

c2 n
i
( yi y)2 c2sy2
2. 在五块条件基本相同的田地上种植某种 农作物，亩产量分别为92，94，103，105， 106（单位：斤），求子样平均数和子样方 差。
xi 2.2
,＾
＾
1.1
2
2
2 DX 2 ,＾ 2 1 ＾ 2 0.4033
12
12
8.设母体X的分布密度为
e(x ) , x
f(x)=
0, x 0
试求 的最大似然估计。
解：
e(x ) , x
X : f (x)
xi

0,＾
k x
或＾
பைடு நூலகம்
k x
7.设母体X具有均匀分布密度 从中抽得容量为6的子样数值
f
(x)

1

,
0

x


,
1.3,0.6,1.7,2.2,0.3,1.1,试求母体平均数和方差
的最大似然估计量的值.
解: X : U (0, ) ， 的最大似然估计

＾ max
EX
1
p
k
[(1 p)k ]'
p
1 p2

1 p
x
((
i
(1
x)i ) '
[ x 1 ]' 1 (1 x)

( x 1) ' x

1 x2 )
(2)极大似然估计
n
xi n
L (1 p)xi 1 p (1 p) i pn
i 1
ln L ( xi n) ln(1 p) n ln p
2
12 3
E x E(1 n
i
xi
)

1 n
i
Exi Ex 0
Dx D(1 n
i
xi
)

1 n

Dx

1 3n
5.设X1,X2,…,Xn是分布为的正态母体的一个
子样，求
Y

1
2
n
(Xi
i 1

)2的概率分布。
解：
QX
:
N
(
,
2
),
则y i
xi :
2
12
用
得
X
X和@aS22b分别估计EX＾a和 XDX
3S
S 2 @(b a)2
＾b X 3S
12
14.设母体X的分布密度为
x 1, 0 x 1
f(x)=
0,
其他
其中 0
(1) 求 的最大似然估计量;
(2)用矩法求 的估计量.
解: x :
f (x)
x 1, 0 x 1
0, 其他
( 0)
n
n
1最大似然估计L xi 1 n xi 1
i 1
i 1
ln L n ln ( 1) ln xi
i
d ln L
d

n


ln
i
xi

0,＾

n
ln
xi
i
2矩法估计

1
EX x f (x)dx x x 1dx


0
1
用 X 估计EX
X
1 X
5.设母体X的密度为 f (x)
1
x
e , x
2
试求 的最大似然估计;并问所得估计量是
否的无偏估计.
解： n
L f (xi )
第一章 抽样和抽样分布 1.子样平均数和子样方差的简化计算如下：
设子样值x1,x2,…,xn的平均数 x为和方差为sx2
作变换
yi

xi
a c
，得到y1,y2,…,yn,它的平均
数为 y 和方差为
。试证： 。 yi

xi
a c
x a c y, sx2 c2sy2
解：由变换
yi

xi
c
N (0,1),且Y1,...,Yn之间相互独立
1
Y
2
(xi )2
i
( xi )2 i
i
yi 2
由 2分布定义Y : 2 (n)，Y服从自由度为n的 2分布。
16.设母体X具有正态分布N(0,1)，从此母体
中取一容量为6的子样（x1,x2,x3,x4,x5,x6）。 又设 。试决定常数C,使 Y (X1 X 2 X3)2 (X 4 X5 X6 )2
i
i
(xi )2 2 (xi1 )(xi ) (xi )2
i
i
i
E(xi1 )(xi ) 0
n1
n1
E (xi1 xi )2 E (xi1 )2 2 E(xi1 )(xi ) E (xi )2
i1
n i1
1
x
e
2
xi
(
1
)n

e
i

2
xi
ln L n ln 2 n ln i
d ln L n
d
xi
i
2
0
得
＾
1 n

i
xi

E xi E X x f (x)dx


x
1
x

e dx 2 x
X
2

U2
2 /n
,由F分布定义
X
2
:
F (1, n)
8设母体X : N(40,52),从中抽取容量n的样本
求（1）n=36时，P(38 x 43) 解：Q x : N (40, 52 )
64
P 38 x 43 P{38 40 x 40 43 40} 5/6 5/6 5/6


1 3



同理：＾2和＾3都是 的无偏估计。
D＾1
( 2 )2 3

(1)2 3

5 9
,
D＾2

(1)2 4

( 3)2 4

5 8
,
D＾3

(1)2 2

(1)2 2

1 2
＾3 方差最小为有效
对形如＾
n

xi xi ,且
xi
1时,
E

,以
x
为最有效
1
x
e dx
2
0 2
E E(1
ni
1 xi ) n
i
E xi

＾ 是 的无偏估计.
6.设母体X具有分布密度
k xk1e x , x 0
f(x)= (k 1)!
0, 其他
其中k是已知的正整数,试求未知参数的最大
似然估计量.
解:似然函数
解:n=100, x 1000 小时,s=40小时
用x
估计 ,构造函数 u
x
近似
: N (0,1)
s/ n
给定置信概率 1 ,有 P{u u } 1
即
P(x u
2
s n
置信下限 x u
2

s
10x00u12.96sn42)01992.2