数理统计答案(汪荣..

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数理统计参考答案

习题一1 设总体X 的样本容量5=n ，写出在下列4种情况下样本的联合概率分布. 1）),1(~p B X ； 2）)(~λP X ； 3）],[~b a U X ； 4）)1,(~μN X .解设总体的样本为12345,,,,X X X X X ， 1）对总体~(1,)X B p ，1122334455511155(1)(,,,,)()(1)(1)i inx x i i i i x x P X x X x X x X x X x P X x p p p p -==-========-=-∏∏其中：5115ii x x ==∑2）对总体~()X P λ11223344555115551(,,,,)()!!ixni i i i i xi i P X x X x X x X x X x P X x e x e x λλλλ-==-==========∏∏∏其中：5115ii x x ==∑3）对总体~(,)X U a b5511511,,1,...,5 (,,)()0i i i i a x b i f x x f x b a ==⎧≤≤=⎪==-⎨⎪⎩∏∏，其他4）对总体~(,1) X N μ()()()25555/222151111 (,,)()=2exp 2i x i i i i i f x x f x x μπμ---===⎛⎫==-- ⎪⎝⎭∑∏2 为了研究玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情况，现随机抽取20个集装箱检查其产品损坏的件数，记录结果为：1，1，1，1，2，0，0，1，3，1，0，0，2，4，0，3，1，4，0，2，写出样本频率分布、经验分布函数并画出图形.解设(=0,1,2,3,4)i i 代表各箱检查中抽到的产品损坏件数，由题意可统计出如下的样本频率分布表1.1：经验分布函数的定义式为：()()()(1)10,(),,=1,2,,1,1,n k k k x x kF x x x x k n n x x +<⎧⎪⎪≤<-⎨⎪≥⎪⎩，据此得出样本分布函数：200,00.3,010.65,12()0.8,230.9,341,4x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎩图1.1 经验分布函数x()n F x3 某地区测量了95位男性成年人身高，得数据(单位：cm)如下：试画出身高直方图，它是否近似服从某个正态分布密度函数的图形.解图1.2 数据直方图它近似服从均值为172，方差为5.64的正态分布，即(172,5.64)N .4 设总体X 的方差为4，均值为μ，现抽取容量为100的样本，试确定常数k ，使得满足9.0)(=<-k X P μ.解 ()- 5P X k P k μ⎫⎪<=<⎪⎭()()555 P k X k μ=-<-<因k 较大，由中心极限定理(0,1)X N ： ()()()-55P X k k k μ<≈Φ-Φ-(5)(1(5))k k =Φ--Φ()2510.9k =Φ-=所以：()50.95k Φ=查表得：5 1.65k =，0.33k ∴=.5 从总体2~(52,6.3)X N 中抽取容量为36的样本，求样本均值落在50.8到53.8之间的概率.解 ()50.853.8 1.1429 1.7143X P X P ⎛⎫<<=-<< ⎪⎝⎭(0,1) 6.3X U N =()()50.853.8 1.1429 1.7143(1.7143)( 1.14290.9564(10.8729)0.8293P X P U ∴<<=-<<=Φ-Φ-=--=）6 从总体~(20,3)X N 中分别抽取容量为10与15的两个独立的样本，求它们的均值之差的绝对值大于0.3的概率.解设两个独立的样本分别为：110,,X X 与115,,Y Y ，其对应的样本均值为：X 和Y .由题意知：X 和Y 相互独立，且：3~(20,)10X N ，3~(20,)15Y N(0.3)1(0.3)P X Y P X Y ->=--≤1P =-~(0,0.5)~(0,1)(0.3)22(0.4243)0.6744X Y N X YN P X Y -->=-Φ=7 设110,,X X 是总体~(0,4)X N 的样本，试确定C ，使得1021()0.05ii P XC =>=∑.解因~(0,4)i X N ，则~(0,1)2iX N ，且各样本相互独立，则有： 10122~(10)2i i X χ=⎛⎫⎪⎝⎭∑所以：10102211()()144iii i CP XC P X ==>=>∑∑1021110.0544i i c P X =⎛⎫=-≤= ⎪⎝⎭∑102110.9544i i c P X =⎛⎫≤= ⎪⎝⎭∑查卡方分位数表：c/4=18.31，则c=73.24.8 设总体X 具有连续的分布函数()X F x ，1,,n X X 是来自总体X 的样本，且i EX μ=，定义随机变量：1,,1,2,,0,i i i X Y i n X μμ>==≤⎧⎨⎩试确定统计量∑=ni i Y 1的分布.解由已知条件得：~(1,)i Y B p ，其中1()X p F μ=-.因为i X 互相独立，所以i Y 也互相独立，再根据二项分布的可加性，有1~(,)nii YB n p =∑，1()X p F μ=-.9 设1,,n X X 是来自总体X 的样本，试求2,,EX DX ES 。

数理统计课后习题答案

数理统计课后习题解答应用数理统计第一章1.1 解：已知总体2(,)X N μσ ，则2(,)X N nσμ ，2(0,)X N nσμ-{1}0.95P X P μ-<=<=(0,1)N ,从而上式P=()σΦ查标准正态分布表得(1.96)0.975Φ=， n 最小要取221.96σ1.2 解：(1) 单个元件寿命长于800小时的概率为{800}1{800}i i P X P X >=-≤=0.001580010.0015e -⨯-⨯=0.9995∴ 该事件的概率为60.9995(2) 单个元件寿命短于3000小时的概率为{3000}i P X ≤=0.001530000.0015e -⨯⨯=40.166610-⨯∴ 该事件的概率为100.166610-⨯1.3 解：(1) X 1,X 2,X 3的联合概率函数为123331231123(,,)()!!!x x xs i i p x x x p x e x x x λλ++-===∏(2) X 1,X 2,X 3的联合概率密度为1233()1231(,,)()x x x s i i f x x x f x e λλ-++===∏(3) X 1,X 2,X 3的联合概率密度为当i a x b ≤≤时，3123311(,,)()()s i i f x x x f x b a ===-∏当i x 取其他值时，31231(,,)()0s ii f x x x f x ===∏(4) X 1,X 2,X 3的联合概率密度为222123313[()()()]221231(,,)()(2)x x x s i i f x x x f x eμμμπ---+-+-===∏1.4 解：1,...,n X X 的联合概率密度为当0x <<∞时，2211(ln )2221111(,...,)()(2)ni i n nx s n ini ii f x x f x exμσπσ=---==∑==∏∏当x 为其他值时，1(,...,)0s n f x x =1.5 证明：原式＝21[()()]nii XX X a =-+-∑＝22111()2()()()nnnii i i i XX X a X X X a ===-+--+-∑∑∑∵1()nii XX =-∑＝0∴ 原式＝2211()()nnii i XX X a ==-+-∑∑＝221()ni nS X a =+-∑ ∴ 当a ＝X 时，21()nii Xa =-∑有最小值且其值等于2nS 。

数理统计(汪荣鑫版)习题答案详细版

所以
X1 + X 2 + X3 N (0,1)
3
X1
+
X2 3
+
X3
2
χ 2 (1)
同理
X4
+
X5 3
+
X
6
2
χ 2 (1)
由于 χ2 分布的可加性，故
D X1 + X2 + X3 =1 3
1Y 3
=
X1
+
X2 3
+
X3
2
+
X4
+
X5 3
+
X6
2
可知
C=1
3
16. 解：（1）因为 ( ) Xi N 0,σ 2
题的结果可知
x = 2000 + y = 2240.444
sx2
=
s
2 y
= 197032.247
5. 解：变换
yi = 100( xi − 80)
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
xi 79.98 80.04 80.02 80.04 80.03 80.03 80.04 79.97 80.05 80.03 80.02 80.00 80.02
y
∫ FY4
( y) =
P {Y4
≤
y} =
P σY42
≤
y σ2
=
σ2 0
fχ2(1) ( x)dx
fχ2
(y) =
F' Y4
(y) =
y fχ2 (1) σ 2

数理统计答案(汪荣鑫)(2)

n
i
xi
)
1 n
i
Exi
1 n
n
1
1
1
Dx D( n
i
xi ) n2
i
Dxi n2
i
Dx n
13.设X1,X2,…,Xn是区间（-1，1）上均匀分布的母体的一个子样，试求子样平均数的
均值和方差。
解：x U (1,1), Ex 11 0, Dx 22 1
2
12 3
1
1
Ex E( n
解：作变换
yi
xi
100, a
100,
y
1 n
i
yi
10 5
0
x a y 100
sx2
sy2
1 n
i
yi 2
2
y
1 5
[(8)2
(6)2
32
52
62]
0
34
12.设X1,X2,…,Xn是参数为的泊松分布的母体的一个子样，是子样平均数，试求EX 和DX。
解：
x
p(), E x E(1
2
0 )为(2.125 0.0041)
n
（2）若未知
构造函数 T x t(n 1)
S* / n
给定置信概率90%，查得t0.05(15) 1.7531，有
p( T t (n 1)) 1
2
∴母体平均数的置信概率为90%的置信
区间为(x t0.05 (15)
s* )
n
，即（2.125±0.0075）
a
cyi
xi (a cyi ),nx na cny,x a c y
i
i
而sx2

数理统计习题答案汪鑫荣版

数理统计习题答案第一章1.解： ()()()()()()()12252112222219294103105106100511100519210094100103100105100106100534n i i n i i i i X x n S x x x n ===++++====-=-⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦=∑∑∑2. 解：子样平均数 *11li i i X m x n ==∑()118340610262604=⨯+⨯+⨯+⨯=子样方差 ()22*11l i i i S m x x n ==-∑()()()()222218144034106422646018.67⎡⎤=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-⎣⎦=子样标准差 2 4.32S S == 3. 解：因为i i x ay c-=所以 i i x a cy =+11ni i x x n ==∑()1111ni i ni i a cy n na cy n ===+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑∑1nii c a y n a cy==+=+∑ 所以 x a cy =+ 成立()2211nxi i s x x n ==-∑()()()22122111ni i ini i nii a cy a c y n cy c yn c y y n====+--=-=-∑∑∑因为 ()2211nyi i s y yn ==-∑ 所以222x ys c s = 成立 ()()()()()172181203.2147.211.2e n n e nM X X R X X M X X +⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-=--====4. 解：变换 2000i i y x =-i1 2 3 4 5 6 7 8 9 i x 1939 1697 3030 2424 2020 2909 1815 2020 2310 i y-61-303103042420909-1852031011n i i y y n ==∑()161303103042420909185203109240.444=--++++-++=()2211n y i i s y y n ==-∑()()()()()()()()()222222222161240.444303240.4441030240.4449424240.44420240.444909240.444185240.44420240.444310240.444197032.247=--+--+-+⎡⎣-+-+-+⎤--+-+-⎦=利用3题的结果可知2220002240.444197032.247xyx y s s =+===5. 解：变换 ()10080i i y x =-i1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 i x 79.98 80.04 80.02 80.04 80.03 80.03 80.04 79.97 80.05 80.03 80.02 80.00 80.02 i y-2424334-3532213111113n i i i i y y y n ====∑∑ []12424334353202132.00=-++++++-+++++=()2211n y i i s y y n ==-∑()()()()()()22222212 2.0032 2.005 2.0034 2.001333 2.003 2.005.3077=--+⨯-+-+⨯-⎡⎣⎤+⨯-+--⎦=利用3题的结果可知2248080.021005.30771010000yx yx s s -=+===⨯ 6. 解：变换()1027i i y x =-*i x23.5 26.1 28.2 30.4 i y -35 -9 12 34 i m234111li i i y m y n ==∑()13529312434101.5=-⨯-⨯+⨯+=-2710yx =+=26.85 ()2211lyi i i s m y y n ==-∑()()()()22221235 1.539 1.5412 1.534 1.510440.25⎤=⨯-++⨯-++⨯+++⎡⎣⎦= 221 4.4025100x y s s ==7解：身高 154158 158162 162166 166170 170174 174178 178182 组中值 156 160 164 168 172 176180学生数101426281282*11li i i x m x n ==∑()1156101601416426172121682817681802100166=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()22*11l i i i s m x x n ==-∑()()()()()()()2222222110156166141601662616416628168166100121721668176166218016633.44=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-⎡⎣⎤+⨯-+⨯-+⨯-⎦=8解：将子样值重新排列（由小到大）-4，-2.1，-2.1，-0.1，-0.1，0，0，1.2，1.2，2.01，2.22，3.2，3.21()()()()()172181203.2147.211.2e n n e nM X X R X X M X X +⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-=--====9解： 121211121211n n i ji j n x n x n n x n n ==+=+∑∑112212n x n xn n +=+()12221121n n i i s x x n n +==-+∑10.某射手进行20次独立、重复的射手，击中靶子的环数如下表所示：环数 10 9 8 7 6 5 4 频数23942试写出子样的频数分布，再写出经验分布函数并作出其图形。

数理统计答案(汪荣鑫)

∑ Dx = n
i
λ
4.设X1,X2,…,Xn是区间（-1，1）上均匀分是区间（，） 4.设布的母体的一个子样，布的母体的一个子样，试求子样平均数的均值和方差。均值和方差。 −1 + 1 22 1 解： U (−1,1), Ex = x = 0, Dx = =
2 12 3
1 1 xi ) = ∑ Exi = Ex = 0 ∑ n i n i 1 1 1 Dx = D( ∑ xi ) = ⋅ Dx = n i n 3n E x = E(
(2)极大似然估计极大似然估计
L = ∏ (1 − p )
i =1
n
xi −1
⋅ p = (1 − p )
∑ xi − n
i
⋅p
n
ln L = (∑ xi − n) ⋅ ln(1 − p ) + n ln p
i
d ln L i = dp 1− p
n − ∑ xi
n 1 + = 0,＾= p p x
求（1）n=36时， (38 ≤ x ≤ 43) P 解：Q x N (40, 5 )
2
64
∴ P 38 ≤ x ≤ 43 = P{
{
}
38 − 40 x − 40 43 − 40 ≤ ≤ } 5/6 5/6 5/ 6
= P{−2.4 ≤ U ≤ 3.6} = Φ (3.6) − Φ ( −2.4) = Φ (2.4) = 0.9918
i =1 i
n
d ln L nk k ＾ k = − ∑ xi = 0,∴＾ = 或β = β dβ β x x i
β
7.设母体X具有均匀分布密度 f ( x) = β , 0 ≤ x ≤ β , 从中抽得容量为6的子样数值 1.3,0.6,1.7,2.2,0.3,1.1,试求母体平均数和方差的最大似然估计量的值. 解: X U (0, β ) ，β 的最大似然估计＾ = max x = 2.2 β i ＾ β ＾ β µ = EX = ,∴ µ = = 1.1

(完整版)汪荣鑫版数理统计习题答案chapitre1

n i 1n i 1n i 1第一章1•在五块条件基本相同的田地上种植某种作物，亩产量分别为（单位：斤），求子样平均数和子样方差。

解： -1 nX x i 100n i 121 n2 —2SX i x 34n i 12•从母体中抽取容量为 60的子样，它的频数分布求子样平均数与子样方差，并求子样标准差。

s .18.67 4.322 2 2x a cy,s x c s y 。

解：由变换y inX ii 1X i a 即X icy i ,nxa cy ina cnycnai 1X a cy由2 1n _21 n2c 2 n_ 2 2 2而s xX i Xa cy i a cy yi y C解:—1l* .Xmi i X4n i 1 2 1* 2 — 2sm i x i x 18.67ni 192, 94, 103, 105， 1063•子样平均数和子样方差的简化计算如下：设子样值 X i ,X 2, ,X n 的平均数为为x 。

作变换 y占一a ，得到y i , y 2,c,y n ，它的平均数为— 2y 和方差为S y X 和方差。

试证：ni 110得到它的子样的下列观测数据（单位：磅/英寸2）： 1815, 2020, 2310后利用第3题中的公式获得X 和s 2的数值。

i*m i y i4.对某种混凝土的抗压强度进行研究，1939, 1697， 3030, 2424, 2020, 2909,采用下面简化计算法计算子样平均数和方差。

先作变换 y iX i2000，再计算y 与s ：，然解：作变换yX i2000，a 2000Y i2164 240.442240.444 2S X2Sy1 nn 2 — y iyi 12197032.2475.在冰的溶解热研究中，测量从0.72 r 的冰变成 0c 的水所需热量，取作试验得到热量数据如下 :79.98， 80.04, 80.02,80.04,80.03,80.03, 80.04,79.97， 80.05， 80.03， 80.02, 80.00,80.02试用变换y i 100X i 80 简化计算法计算子样平均数和子样方差。

数理统计(汪荣鑫)答案第三章

2
∴接受 H0 。 4.某电器零件的平均电阻一直保持在 2.64Ω 。改变加工工艺后，测得 100 个零件的平均电阻为 2.62Ω，电阻标准差 (s) 为 0.06Ω ，问新工艺对此零件的电阻有无显著影响
（α = 0.01 ）？解： n = 100 ， x = 2.62 ， s = 0.06 ①建立原假设 H0 ： µ = 2.64Ω
= Φ(0.575)
= 0.719
3.某批矿砂的 5 个样品中的镍含量经测定为
x(%) 3.25, 3.27, 3.24, 3.26, 3.24
数理统计(汪荣鑫)Chapitre 3
设测定值服从正态分布。问在α = 0.01 下能否接受假设：这批矿砂的（平均）镍含量为 3.25。解：设 x ~ N (µ,σ 2 ) ，σ 2 未知，计算得 x = 3.252 ， s* = 0.013
问此段时间内该机工作是否正常（α = 5% ）？假定金属棒长度服从正态分布。
解： n = 15 ， x = 10.48 ， s* = 0.2366
①建立原假设 H0 ： µ = 10,5
②在 H 0 成立前提下，构造统计量 T
=
x − µ0 s* / n
~ t(n −1)
{ } ③给定α = 0.05 ，查得 tα (14) = 2.1448 ，使 p T > tα (n −1) = α
=
x − µ0 σn
~
N (0,1)
③给定显著水平α = 0.05 ，有 µα = 1.96 ，使
2
{ } P µ ≥ µα
=
α
即
⎧ P⎨
x
−
µ0
⎫ ≥ 1.96⎬ = 0.05

数理统计 (汪荣鑫著) 西安交通大学出版社课后答案

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证明：令
w
da
kh
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om
课
U2 X = 2 ,由F 分布定义 ∴ X 2 ∼ F (1, n) χ /n
2
后答
χ 2 ∼ χ 2 (n), 且U 与χ 2独立,U 2亦与χ 2独立
om
课
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kh
w
w
立， 2 Z2 Z 22 ∼ N (0,1), ∼ χ (1) 3 3 2 2 且与χ 相互独立。由 χ 分布可加性，
Z12 Z 2 2 1 2 1 1 + = ( Z1 + Z 2 2 ) = Y ∼ χ 2 (2),∴ c = 3 3 3 3 3
θ −1
+∞
hd 案网 aw kh .c da om w .c
1
2矩法估计
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后答
da
试求 σ 的最大似然估计;并问所得估计量是否的无偏估计. ∑x x n n 1 −σ 1 n − σ 解：
w
.c om
1 −σ e , −∞ < x < ∞ 5.设母体X的密度为 f ( x) = 2σ
w
da
课
后答
xi − a c
课后答案网
da
yi = xi − 100, a = 100, y =
kh
w
w
w
.k
sx 2 = s y 2 =
课
x = a + y = 100
2 1 1 yi 2 − y = × [( −8)2 + ( −6)2 + 32 + 52 + 62 ] − 0 = 34 ∑ 5 n i

《数理统计》汪荣鑫【习题答案】

数理统计习题答案第一章1.解：()()()()()()()12252112222219294103105106100511100519210094100103100105100106100534n i i n i i i i X x n S x x x n ===++++====-=-⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦=∑∑∑2. 解：子样平均数 *11li i i X m x n ==∑()118340610262604=⨯+⨯+⨯+⨯=子样方差 ()22*11l i i i S m x x n ==-∑()()()()222218144034106422646018.67⎡⎤=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-⎣⎦=子样标准差4.32S == 3. 解：因为i i x ay c-=所以 i i x a cy =+11ni i x x n ==∑()1111ni i ni i a cy n na cy n ===+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑∑1nii c a y n a cy==+=+∑ 所以 x a cy =+ 成立()2211nxi i s x x n ==-∑()()()22122111ni i ini i nii a cy a c y n cy c yn c y y n====+--=-=-∑∑∑因为 ()2211nyi i s y yn ==-∑ 所以222x ys c s = 成立 ()()()()()172181203.2147.211.2e n n e nM X X R X X M X X +⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-=--====4. 解：变换 2000i i y x =-11n i i y y n ==∑()61303103042420909185203109240.444=--++++-++=()2211n y i i s y y n ==-∑()()()()()()()()()222222222161240.444303240.4441030240.4449424240.44420240.444909240.444185240.44420240.444310240.444197032.247=--+--+-+⎡⎣-+-+-+⎤--+-+-⎦=利用3题的结果可知2220002240.444197032.247xyx y s s =+===5. 解：变换 ()10080i i y x =-13111113n i i i i y y y n ====∑∑ []12424334353202132.00=-++++++-+++++=()2211n y i i s y y n ==-∑()()()()()()22222212 2.0032 2.005 2.0034 2.001333 2.003 2.005.3077=--+⨯-+-+⨯-⎡⎣⎤+⨯-+--⎦=利用3题的结果可知2248080.021005.30771010000yx ys s -=+===⨯ 6. 解：变换()1027i i y x =-11li i i y m y n ==∑()13529312434101.5=-⨯-⨯+⨯+=-2710yx =+=26.85 ()2211lyi i i s m y y n ==-∑()()()()22221235 1.539 1.5412 1.534 1.510440.25⎤=⨯-++⨯-++⨯+++⎡⎣⎦= 221 4.4025100x y s s ==*11li i i x m x n ==∑()1156101601416426172121682817681802100166=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()22*11l i i i s m x x n ==-∑()()()()()()()2222222110156166141601662616416628168166100121721668176166218016633.44=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-⎡⎣⎤+⨯-+⨯-+⨯-⎦=8解：将子样值重新排列（由小到大）-4，-2.1，-2.1，-0.1，-0.1，0，0，1.2，1.2，2.01，2.22，3.2，3.21()()()()()172181203.2147.211.2e n n e nM X X R X X M X X +⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-=--====9解： 121211121211n n i ji j n x n x n n x n n ==+=+∑∑112212n x n xn n +=+()12221121n n ii s x x n n +==-+∑试写出子样的频数分布，再写出经验分布函数并作出其图形。

数理统计课后题答案完整版(汪荣鑫)

第一章3. 解：因为i i x ay c-=所以 i i x a cy =+11nii x x n ==∑()1111ni i ni i a cy n na cy n ===+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑∑1nii c a y n a c y==+=+∑所以 x a c y =+ 成立因为 ()2211nxi i s x xn ==-∑()()()22122111ni i ini i nii a cy a c y n cy c y n c y y n====+--=-=-∑∑∑又因为 ()2211n y i i s y yn ==-∑所以 222xys c s = 成立 6. 解：变换()1027i i y x =-11li i i y m y n ==∑()13529312434101.5=-⨯-⨯+⨯+=- 2710yx=+= ()2211lyi i i s m y yn ==-∑()()()()22221235 1.539 1.5412 1.534 1.510440.25⎤=⨯-++⨯-++⨯+++⎡⎣⎦= 221 4.4025100x y s s == 7解： 6266707478*11li i i x m x n ==∑()1156101601416426172121682817681802100166=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ()22*11li i i s m x xn ==-∑()()()()()()()2222222110156166141601662616416628168166100121721668176166218016633.44=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-⎡⎣⎤+⨯-+⨯-+⨯-⎦=8解：将子样值重新排列（由小到大） -4，，，，，0，0，，，，，，()()()()()172181203.2147.211.2e n n e nM X X R X X M X X +⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-=--==== 9解：121211121211n n i ji j n x n x n n x n n ==+=+∑∑112212n x n x n n +=+()12221121n n ii s x x n n +==-+∑()()()1212221122111122121222222111222112212122222211221122112212121222211211122121n n i i n n i ji j x xn n x x n x n x n n n n n s x n sx n x n xn n n n n s n s n x n x n x n x n n n n n n n n n x n n s n s n n +====-++⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭+++⎛⎫+=-⎪++⎝⎭⎛⎫+++=+- ⎪+++⎝⎭+++=++∑∑∑()()()()()()22212211222122222112212112212122121222212121122212122n n x n x n x n n n s n s n n x n n x n n x x n n n n n n x x n s n s n n n n +-++++-=+++-+=+++12. 解：()ix P λ i Ex λ= i Dx λ= 1,2,,i n =⋅⋅⋅1122111111n n i i i i nni ii i n E X E x Ex n n n n DX Dx Dxn nn nλλλλ============∑∑∑∑13.解：(),ix U a b 2i a b Ex += ()212i b a Dx -= 1,2,,i n =⋅⋅⋅ 在此题中 ()1,1i x U - 0i Ex = 13i Dx = 1,2,,i n =⋅⋅⋅112111101113n ni i i i nni ii i E X E x Ex n n DX Dx Dxn nn==========∑∑∑∑14.解：因为()2,iX N μσ 0i X Eμσ-= 1i X Dμσ-=所以 ()0,1i X N μσ- 1,2,,in =⋅⋅⋅由2χ分布定义可知()222111nni ii i X Y Xμμσσ==-⎛⎫=-=⎪⎝⎭∑∑服从2χ分布所以 ()2Yn χ15. 解：因为()0,1iX N1,2,,i n =⋅⋅⋅()1230,3X X X N ++0=1=所以()0,1N()221χ同理()221χ由于2χ分布的可加性，故()222123Y χ=+可知 13C=16. 解：（1）因为 ()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()0,1iX N σ所以 ()22121ni i X Y n χσσ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑(){}11122Y Yy F y P Y y P σσ⎧⎫=≤=≤⎨⎬⎩⎭()220yf x dx σχ=⎰()()211'221Y Y y f y F y f χσσ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭因为 ()2122202200n x n x e x n f x x χ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ⎪⎪⎝⎭⎪≥⎩所以 ()21122202200n yn nY y e y n f y y σσ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ⎪⎪⎝⎭⎪≤⎩（2）因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()0,1iX N σ所以()22221ni i X nY n χσσ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑(){}()22222220nyY nYny F y P Y y P f x dx σχσσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎰()()222'22Y Y ny nf y F y f χσσ⎛⎫== ⎪⎝⎭故()221222202200n nny n n Y n y e y n f y y σσ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ⎪⎪⎝⎭⎪≤⎩（3）因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()10,1ni N =所以()22311n i Y n χσ=⎛= ⎝(){}()()22333210yn Y Y F y P Y y P y f x dx n σχσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎰()()()233'2211Y Y y f y F y f n n χσσ⎛⎫== ⎪⎝⎭()()221000x x f x x χ-⎧>=≤⎩故()232000y n Y y f y y σ-⎧>=≤⎩（4）因为 ()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅所以()()1224210,11ni ni N Y χσ==⎛= ⎝(){}()()()()()224224442210'2211y Y Y Yy F y P Y y P f x dxy f y F y f σχχχσσσσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰故()242000y Y y f y y σ-⎧>=≤⎩17.解：因为 ()Xt n存在相互独立的U ，V()0,1UN ()2Vn χ使X = ()221Uχ则 221U X V n=由定义可知 ()21,F n χ18解：因为 ()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()10,1ni N =()221n mi i n X m χσ+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑所以()1nniX Yt m ==（2）因为()0,1iX N σ1,2,,i n m =⋅⋅⋅+()()221221ni i n mi i n X n X m χσχσ=+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑所以 ()221122211,ni n i ii n mn mi ii n i n X m X n Y F n m X n X mσσ==++=+=+⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑∑∑19.解：用公式计算()20.010.019090χ=查表得 0.01 2.33U =代入上式计算可得()20.01909031.26121.26χ=+=20.解：因为()2Xn χ 2E n χ= 22D n χ=由2χ分布的性质3可知()0,1N{}P X c P ≤=≤22lim t n P dt -→∞-∞≤==Φ 故 {}PX c ≤≈Φ第二章 1. 0,0()0,0()()1()111x x x x xe xf x x E x f x xdx xe dxxe e d x e xλλλλλλλλλλλλ-+∞+∞--∞+∞+∞--+∞-⎧≥=⎨<⎩=⋅==-+=-==⎰⎰⎰令从而有 1x λ∧=2.()111121).()(1)(1)1111k k x x E x k p p p k p ppp ∞∞--===-=-==⎡⎤--⎣⎦∑∑令1p ＝X所以有1p X ∧=２）．其似然函数为1`11()(1)(1)ni x i i nX nni L P P p p p -=-=∑=-=-∏1ln ()ln ()ln(1)ni i L P n p X n p ==+--∑1ln 1()01ni i d L n X n dp p p ==--=-∑解之得11nii np X X∧===∑３．解：因为总体Ｘ服从Ｕ（a ，b ）所以()2122!2!!()12ni i a b n E X r n r X X X X a b S X b X =∧∧+=--⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩⎧=⎪⎨⎪=⎩∑222（a-b ）（） D （X ）=12令E （X ）= D （X ）=S ，1S =n a+b2（）a 4. 解：（1）设12,,n x x x 为样本观察值则似然函数为111()(),01,1,2,,ln ()ln ln ln ln 0nni i i nii ini i L x x i nL n x d L nx d θθθθθθθθ-====<<==+=+=∏∑∑（-1）解之得：11ln ln nii nii nxnxθθ=∧==-==∑∑（2）母体X 的期望1()()1E x xf x dx x dx θθθθ+∞-∞===+⎰⎰而样本均值为：11()1ni i X x n E x X X Xθ=∧===-∑令得5.。

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n
10
整批电置信子上管限的x 平u2 均sn 寿10命00 置1.9信6 14概00 率100为7.895%的置信
区间为(992.2,1007.8)小时.
N (0,1),且Y1,...,Yn之间相互独立
1
Y
2
(xi )2
i
( xi )2 i
i
yi 2
由 2分布定义Y : 2 (n)，Y服从自由度为n的 2分布。
16.设母体X具有正态分布N(0,1)，从此母体
中取一容量为6的子样（x1,x2,x3,x4,x5,x6）。又设。试决定常数C,使 Y (X1 X 2 X3)2 (X 4 X5 X6 )2
x 1, 0 x 1
0, 其他
( 0)
n
n
1最大似然估计L xi 1 n xi 1
i 1
i 1
ln L n ln ( 1) ln xi
i
d ln L
d

n

ln
i
xi

0,＾

n
ln
xi
i
2矩法估计
xi 2.2
,＾
＾
1.1
2
2
2 DX 2 ,＾ 2 1 ＾ 2 0.4033
12
12
8.设母体X的分布密度为
e(x ) , x
f(x)=
0, x 0
试求的最大似然估计。
解：
e(x ) , x
X : f (x)
第一章抽样和抽样分布 1.子样平均数和子样方差的简化计算如下：
设子样值x1,x2,…,xn的平均数 x为和方差为sx2
作变换
yi

xi
a c
，得到y1,y2,…,yn,它的平均
数为 y 和方差为
。试证：。 yi

xi
a c
x a c y, sx2 c2sy2
解：由变换yiFra bibliotekxi
c
i 1
i
2
Dx n
13.设X1,X2,…,Xn是具有泊松分布P() 母体
的一个子样。试验证：子样方差 S*2 是
的无偏估计；并且对任一值 [0,1], X (1 )S*2
也是的无偏估计，此处 X 为子样的平均
数
解：X : P(), EX , DX , E X , ES*2
得随机变量CY服从 2 分布。
解：X : N (0,1), Z1 X1 X 2 X3 : N (0, 3),
Z1 : 3
N (0,1), Z12 3
:
12 (1)
Z2 X 4 X5 X 6亦服从N(0,3)且与Z1相互独立
Z2
:
N
(0,1),
Z
2 2
:
2 (1)
3
3
i
i
(xi )2 2 (xi1 )(xi ) (xi )2
i
i
i
E(xi1 )(xi ) 0
n1
n1
E (xi1 xi )2 E (xi1 )2 2 E(xi1 )(xi ) E (xi )2
从此母体中抽取的一个子样。试验证下面三
个估计量
（1）＾1
2 3
X1

1 3
X2
（2）＾2

1 4
X1

3 4
X
2
（3）＾3

1 2
X1

1 2
X2
都是的无偏估计，并求出每个估计量的
方差。问哪一个方差最小？
解：E＾1
E(2 3
x1

1 3
x2 )

2 3
Ex1

1 3
Ex2

2 3
2
12 3
E x E(1 n
i
xi
)

1 n
i
Exi Ex 0
Dx D(1 n
i
xi
)

1 n

Dx

1 3n
5.设X1,X2,…,Xn是分布为的正态母体的一个
子样，求
Y

1
2
n
(Xi
i 1

)2的概率分布。
解：
QX
:
N
(
,
2
),
则y i
xi :
1
x
e dx
2
0 2
E E(1
ni
1 xi ) n
i
E xi

＾是的无偏估计.
6.设母体X具有分布密度
k xk1e x , x 0
f(x)= (k 1)!
0, 其他
其中k是已知的正整数,试求未知参数的最大
似然估计量.
解:似然函数
L
n i 1
k
(k 1)
!
xi
k
1e

xi
(
1
n
)n nk (
(k 1)!
i 1
xi xi )k 1e i
n
ln L n ln(k 1)! nk ln ln( xi )k1 xi
i 1
i
d ln L
d

nk

i
i
i 1
i
i 1
(n 1) 2 0 (n 1) 2 2(n 1) 2
(xi1 xi )2
E[ i
] 2,c
1
2(n 1)
2(n 1)
18.从一批电子管中抽取100只,若抽取的电子管的平均寿命为1000小时,标准差s为40小时,试求整批电子管的平均寿命的置信区间(给定置信概率为95%).
1
p
k
[(1 p)k ]'
p
1 p2

1 p
x
((
i
(1
x)i ) '
[ x 1 ]' 1 (1 x)

( x 1) ' x

1 x2 )
(2)极大似然估计
n
xi n
L (1 p)xi 1 p (1 p) i pn
i 1
ln L ( xi n) ln(1 p) n ln p
E( X (1 )S*2 ] E X (1 )ES*2 (1 )
14 .设X1,X2,…,Xn为母体N (, 2 ) 的一个子
n1
样。试选择适当常数C,使C (Xi1 Xi )2 为 2
的无偏估计。
i 1
解： (xi1 xi )2 [(xi1 ) (xi )]2
X
2

U2
2 /n
,由F分布定义
X
2
:
F (1, n)
8设母体X : N(40,52),从中抽取容量n的样本
求（1）n=36时，P(38 x 43) 解：Q x : N (40, 52 )
64
P 38 x 43 P{38 40 x 40 43 40} 5/6 5/6 5/6
as，y2 即xi

a

cyi
xi (a cyi ), nx na cn y, x a c y
i
i
而sx2

1 n
i
( xi

x)2

1 n
i
(a

cyi

a

c
y)2

c2 n
i
( yi y)2 c2sy2
2. 在五块条件基本相同的田地上种植某种农作物，亩产量分别为92，94，103，105， 106（单位：斤），求子样平均数和子样方差。
i1
n i1
1
x
e
2
xi
(
1
)n

e
i

2
xi
ln L n ln 2 n ln i
d ln L n
d
xi
i
2
0
得
＾
1 n

i
xi

E xi E X x f (x)dx

x
1
x

e dx 2 x
解:n=100, x 1000 小时,s=40小时
用x
估计 ,构造函数 u
x
近似
: N (0,1)
s/ n
给定置信概率 1 ,有 P{u u } 1
即
P(x u
2
s n
置信下限 x u
2

s
10x00u12.96sn42)01992.2

1
EX x f (x)dx x x 1dx

0
1
用 X 估计EX
X
1 X
5.设母体X的密度为 f (x)
1
x
e , x
2
试求的最大似然估计;并问所得估计量是
否的无偏估计.
解： n
L f (xi )
解：作变换
yi

xi
100, a
100,