高二数学离散型随机变量的方差PPT教学课件 (2)
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《离散型随机变量的方差》人教版高中数学选修2-3PPT课件(第2.3.2课时)
课堂练习
1.填空 （1）已知x~B(100,0.5),则
Ex=_5_0_,Dx=__2_5_,sx=_5__. E(2x-1)=__9_9_, D(2x-1)=_1_0_0_, s(2x-1)=__1_0__.
课堂练习
2.选择
x
1
2
P
0.3
0.7
（1）已知随机变量x的分布列如上表,则E x与D x的值为( )
EX1 = 1200 0.4 + 1 4பைடு நூலகம்0 0.3 + 1600 0.2 + 1800 0.1 = 1400
DX1 = (1200 -1400) 2 0. 4 + (1400 -1400 ) 2 0.3 + (1600 -1400 )2 0.2
+ (1800 -1400) 2 0. 1 = 40 000
P（ξ=0）= 9 3 12 4
②当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则
P（ξ=1）= 3 9 9 12 11 44
课堂练习
继续答题
③当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则
P（ξ=2）=
329 = 9 12 11 10 220
④当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则
变量 X 的方差(variance). 其算术平方根 DX 为随机变量X的标准差(standard deviation). 记为 σX
随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随 机变量偏离于均值的平均程度越小.
新知探究
说明：随机变量集中的位置是随机变量的均值；方差或标准差这种度量指标是一种加权平均的度 量指标. 思考 随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别? 随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量. 对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近总体方差，因此常用样本方差来 估计总体方差.
高二数学人教A版选修2-3：离散型随机变量的方差课件
n
(xi E( X ))2 pi 为随机变量X的方差.
i 1
( X ) D( X ) 为随机变量X的标准差.
方差与标准差
关系 标准差是方差的算术平方根；方差是标准差的平方；
作用 反应离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量；
结论 值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小， 即越集中于均值.
例1.随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的方差和标准差. 解：抛掷骰子所得点数X：1，2，3，4，5，6，其散布列为：
0.4
0.2
0.2
0.3 0.2
0.2
0.1
8
91
10 X1
0
8
19
0.4 10 X2
E( X1)
E( X
)
2
分析：
D( X1) D( X 2)
甲、乙射击的平均水平没有差别， 在多次射击中平均得分差别不会很大.
甲通常发挥比较稳定，多数得分在9环， 而乙得分比较分散，近似平均散布在8－10.
练习：有甲乙两个单位都愿意聘请你，而你能获得如下信息：
X2 1000 1400 1800 2200
P1 0.4 0.3 0.2 0.1
P2 0.4 0.3 0.2 0.1
通过散布列，可以分别求出两个公司工资的期望与方差：
E(X1) 1200 0.4+1400 0.3+1600 0.2+1800 0.1=1400.
E(X2) 10000.4+1400 0.3+1800 0.2+2200 0.1=1400.
练习： 1.已知 h 3x 1 ，且 D(x ) 13 ，则 D(h) __1_1_7_ .
8 解：∵h 3x 1，
(xi E( X ))2 pi 为随机变量X的方差.
i 1
( X ) D( X ) 为随机变量X的标准差.
方差与标准差
关系 标准差是方差的算术平方根；方差是标准差的平方；
作用 反应离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量；
结论 值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小， 即越集中于均值.
例1.随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的方差和标准差. 解：抛掷骰子所得点数X：1，2，3，4，5，6，其散布列为：
0.4
0.2
0.2
0.3 0.2
0.2
0.1
8
91
10 X1
0
8
19
0.4 10 X2
E( X1)
E( X
)
2
分析：
D( X1) D( X 2)
甲、乙射击的平均水平没有差别， 在多次射击中平均得分差别不会很大.
甲通常发挥比较稳定，多数得分在9环， 而乙得分比较分散，近似平均散布在8－10.
练习：有甲乙两个单位都愿意聘请你，而你能获得如下信息：
X2 1000 1400 1800 2200
P1 0.4 0.3 0.2 0.1
P2 0.4 0.3 0.2 0.1
通过散布列，可以分别求出两个公司工资的期望与方差：
E(X1) 1200 0.4+1400 0.3+1600 0.2+1800 0.1=1400.
E(X2) 10000.4+1400 0.3+1800 0.2+2200 0.1=1400.
练习： 1.已知 h 3x 1 ，且 D(x ) 13 ，则 D(h) __1_1_7_ .
8 解：∵h 3x 1，
离散型随机变量的方差 课件
因为D(XA)<D(XB),所以A种钢筋质量较好.
反思在解决此类实际问题时,应先比较均值,均值较大的质量好.
若均值相等,再比较方差,方差较小的数据较稳定,质量较好.
题型三 离散型随机变量方差的综合应用
【例3】 A,B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2,根据
市场分析,X1和X2的分布列分别为
100
4
2
2
2 [x
100
4
=
100 1
+3(100-x) ]
2
2
2 (4x -600x+3×100 ).
100
600
当 x=2×4=75 时,f(x)=3 为最小值.
反思解均值与方差的综合问题时需要注意:
(1)离散型随机变量的分布列、均值和方差三个是紧密联系的,一
般在试题中综合在一起考查,其解题的关键是求出分布列;
(2)在求分布列时,要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立
事件的概率公式计算概率,并注意结合分布列的性质,简化概率计
算;
(3)在计算均值与方差时要注意运用均值和方差的性质以避免一
些复杂的计算.若随机变量X服从两点分布、超几何分布或二项分
布可直接利用对应公式求解.
题型四
易错辨析
易错点:对方差性质掌握不准确致错
错因分析忽略了随机变量分布列的性质出现错误,这里只是机械
地套用公式,且对D(ax+b)=a2D(x)应用错误.
正解:∵0.2+0.2+a+0.2+0.1=1,
∴a=0.3.
∴E(X)=0×0.2+1×0.2+2×0.3+3×0.2+4×0.1=1.8.
反思在解决此类实际问题时,应先比较均值,均值较大的质量好.
若均值相等,再比较方差,方差较小的数据较稳定,质量较好.
题型三 离散型随机变量方差的综合应用
【例3】 A,B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2,根据
市场分析,X1和X2的分布列分别为
100
4
2
2
2 [x
100
4
=
100 1
+3(100-x) ]
2
2
2 (4x -600x+3×100 ).
100
600
当 x=2×4=75 时,f(x)=3 为最小值.
反思解均值与方差的综合问题时需要注意:
(1)离散型随机变量的分布列、均值和方差三个是紧密联系的,一
般在试题中综合在一起考查,其解题的关键是求出分布列;
(2)在求分布列时,要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立
事件的概率公式计算概率,并注意结合分布列的性质,简化概率计
算;
(3)在计算均值与方差时要注意运用均值和方差的性质以避免一
些复杂的计算.若随机变量X服从两点分布、超几何分布或二项分
布可直接利用对应公式求解.
题型四
易错辨析
易错点:对方差性质掌握不准确致错
错因分析忽略了随机变量分布列的性质出现错误,这里只是机械
地套用公式,且对D(ax+b)=a2D(x)应用错误.
正解:∵0.2+0.2+a+0.2+0.1=1,
∴a=0.3.
∴E(X)=0×0.2+1×0.2+2×0.3+3×0.2+4×0.1=1.8.
高二数学离散型随机变量的期望与方差PPT精品文档15页
x1 x2 … xn …
P
p1
p2 … pn
…
则称E = x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋… 为 数学期望，简称期望，也称为平均值、
均值。
例1、商场促销问题 解：设商场在商场外的促销活动中获得经济效
益为 万元，则 的分布列为
10 －4
P 0.6 0.4
E = 10×0.6＋(－4) ×0.4 = 4.4万元 ＞2万元,
910元
变式：若保险公司的赔偿金为a（a＞1000）元， 为使保险公司收益的期望值不低于a的百 分之七，则保险公司应将最大赔偿金额 定为多少元？
1000 1000－a
P 0.97 0.03
E = 1000－0.03a≥0.07a
得a≤10000 故最大定为10000元。
2、射手用手枪进行射击，击中目标就停止， 否则继续射击，他射中目标的概率是0.7, 若枪内只有5颗子弹,求射击次数的期望。 (保留三个有效数字)
1
2
3
4
5
p
0.7
0.3× 0.32× 0.33× 0.7 0.7 0.7
0.34
E =1.43
课堂小结：
本节课我们讲了一个定义，一个公式
1）E = x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…
2）若 ab ，则 EaE b
（a、b是常数）
； lsbtly/ 墓地 ath63cwb
2)若投中得5分 ,求他得分的期望;
3)若组委会规定,每位运动员以10分为基础,
求他得分的期望。
例4、有一批数量很大的产品，其次品率是15%， 对这批产品进行抽查，每次抽出一件，如果 抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直 到抽出次品，但抽查次数最多不超过10次。
离散型随机变量的方差ppt课件
搜寻中，除冥王星外，鸟神星是唯一一颗其亮度足以让汤博观测到的矮行星。在汤博观测的那段时间里，鸟神星距黄道只有几度，靠近金牛座和御夫座的交 界处，视星等约为.等。很不幸的是，这一位置也相当靠近银河，汤博几乎不可能从密布恒星的背景中找出鸟神星来。发现冥王星后，汤博在多年里仍在孜孜 不倦地搜寻；炒股入门知识大全 股票技术指标大全 炒股入门基础知识教程 /stock 股票入门基础知识教程 学习股票入门知识；行星，但他终未发 现鸟神星或任何其他的外海王星天体。轨道参数历元：9年月8日（JD.）；远日点：99.Gm（.AU）；近日点：.8Gm（8.9AU）；半长轴：8.Gm（.9AU）；离 心率：.9；轨道周期：8d（9.88a）；平均速度：.9km/s；平近点角：8.°；轨道倾角：8.9°；升交点黄经：9.8°；近日点参数：98.°。本征轨道参数大 小：～9km；平均半径：km；表面积：km；体积：.8×^9km；质量：×^kg；平均密度：.±.g/cm[]；表面重力：.m/s；逃逸速度：.8km/s；自转周期：未 知；转轴倾角：未知；反照率：.[]；温度：～K[c]（假定反照率不变）；视星等：.（冲）；绝对星等：(H)-.8。命名鸟神星在发现和公布时的暂定名称是FY9， 在正式命名之前，发现的外海王星天体外海王星天体团队因为他是复活节之后很短的时间内发现的，所以昵称其为“复活兔”。在8年，为符合IAU对传统柯 伊伯带天体命名为创造之神的规则，FY9被正式命名为鸟神星。这个名字源自复活岛拉帕努伊原住民神话中的创造人类的神，选择这个名字的一部份原因是要 保留发现时间与复活节之间的关联。[]物理特征大小和亮度在月于后发座冲的时候视星等约.等，这种光度使用业余天文学的高阶望远镜是可以观测到的。以 鸟神星接近8%的高反射率估计表面的温度大约是K。鸟神星精确的大小还不是很清楚，但是依据斯必泽空间望远镜的红外线观测，以及它的光谱与冥王星相 似估计，认定它的直径在,+-公里。这个数值比EL稍大，使它成为继阋神星和冥王星之后的第三大外海王星天体。鸟神星因为他的绝对星等是-.8，它的大小也 保证他足够达到流体静力平衡，已经成为太阳系的第四颗矮行星。光谱在写给《天文和天文物理》这本期刊的信中提到：在年，Licandro等人显示使用威 廉·赫歇耳望远镜和伽利略望远镜观测鸟神星的近红外线光谱与冥王星很相似。，在可见光谱中呈现红色，相对的，阋神星的光谱比较中性（参见外海王星天 体的颜色比较）。红外线光谱显示有甲烷(CH?)的存在，在冥王星和阋神星也有。但它的存在比冥王星更明显，因此建议鸟
离散型随机变量的方差 课件
E3X＋2＝3EX＋2， D3X＋2＝9DX，
即3np＋2＝
np1－p＝12.96，
解得 n＝
所以二项分布的参数n＝6，p＝0.4.
p＝0.4，
2．(改变问法)本例题条件不变，求E(3X＋2)．
[解] 由例题可知X～B5，13 所以E(X)＝5×13＝53. 故E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝7.
2．在探究1中，由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？为 什么？
[提示] 不能．因为E(X1)＝E(X2)． 3．在探究1中，试想利用什么指标可以比较A、B两台机床加工质量？
[提示] 利用样本的方差．方差越小，加工的质量越稳定．
甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量 ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于 6 环，且甲射中 10,9,8,7 环的概率分别为 0.5，3a，a,0.1，乙射中 10,9,8 环的概率分别为 0.3,0.3,0.2.
，所以X的均值E(X)＝(－1)×
1 2
＋0×
1 4
＋
1×14＝－14.
故X的方差D(X)＝－1＋142×12＋0＋142×14＋1＋142×14＝1116.
法二：(公式法)由(1)知a＝14，所以X的均值E(X)＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝
－14，X2的均值E(X2)＝0×14＋1×34＝34，所以X的方差D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝1116.
品的概率如下表：
A机床
次品数X1
0
1
2
3
P
0.7
0.2
0.06
0.04
B机床
次品数X2
0
1
2
高中数学选修2-3.2离散型随机变量的方差人教版ppt课件
0 1 2
1 1 3
x p
[解题过程]
1 1 1 由 ＋ ＋p＝1，得 p＝ ， 2 3 6
1 1 1 2 又 E(ξ)＝0× ＋1× ＋ x＝ ，∴x＝2. 2 3 6 3
2 2 2 1 1 1 15 2 2 2 ∴ (1)D(ξ) ＝ 0－3 × ＋ 1－3 × ＋ 2－3 × ＝ ＝ 2 3 6 27
2
3 1 2 1.5) × ＋(4－1.5) × ＝2.75. 20 5
2
(2)由 D(aξ＋b)＝a2Dξ＝11， E(aξ＋b)＝aEξ＋b＝1， 及 Eξ ＝1.5，Dξ＝2.75，得 2.75a2＝11,1.5a＋b＝1，解得 a＝2，b ＝－2 或 a＝－2，b＝4.
1．如何理解离散型随机变量的方差、标准差？ (1)随机变量 X 的方差和标准差都反映了随机变量 X 取值 的稳定与波动， 集中与离散的程度， D(X)(或 DX)越小， 稳 定性越高，波动越小，显然 D(X)≥0( DX≥0)
[题后感悟] 均值仅体现了随机变量取值的平均大小，但有 时仅知道均值的大小还不够，如果两个变量的均值相等，还要看 随机变量的取值如何在均值周围变化，即计算方差，方差大说明 随机变量取值较分散，反之则说明取值较集中、稳定．因此在利 用均值和方差的意义去分析、解决问题时，两者都要分析．
2.甲、乙两名射手在一次射击中的得分是两个随机变量，分 别记为X1和X2，它们的分布列分别为
有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重 点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各取等量的样 品检查它们的抗拉强度，抗拉强度的分布列分别如下；
ξ P
η
110 0.1
100
120 0.2
高二数学离散型随机变量的方差和标准差(PPT)2-1
有了新思路：把这一大堆数再取平均值 E X EX
就可以了.
为什么这样可以？
E X EX 愈小，X的值就愈集中于 EX 附近，
表明此射手发挥愈稳定; 反之就Leabharlann 分散，表明此射手发挥愈不稳定．
然而在实际中E X EX 带有绝对值，在数学运
算上不方便，因而，通常用 E X EX 2来表达随机
变量 X 取值的分散程度或集中程度．
现在我可以确定派谁去了.
据此分析，我可以算得：
E(X EX )2 (8 9)2 0.2 (9 9)2 0.6 (10 9)2 0.2 0.4 E(Y EY )2 (8 9)2 0.1 (9 9)2 0.8 (10 9)2 0.1 0.2
结论1： 若X服从两点分布,则EX=p
结论2： 若X服从超几何分布,则E(X)=nM/N
结论3： 若X服从二项分布,则E(X)=np
x 我的想法是，看谁命中的环数 i 与其平均环数
EX 偏差的绝对值 xi EX 最小.
出现了新的问题，每一个环数与偏差的绝对值 也是一大堆的数，不好确定，怎么办？
由于 EX EX 2 EY EY 2,因此乙射击水平
更稳定一些，看来甲无话可说了．
； 优游
2019年3月，科学家们利用美国国家航空航天局的哈勃太空望远镜和欧州航天局盖亚任务的观测数据来对银河系质量进行估计，得出的结果是约为1.5万亿太阳质量。 [1] 1750年—英国天文学家赖特（Wright Thomas）认为银河系是扁平的。1755年—德国哲学家康德提出了恒星和银河之间 可能会组成一个巨大的天体系统；随后的德国数学家郎伯特（Lambert Johann heinrich）也提出了类似的假设。 1785年—英国天文学家威廉·赫歇耳用“数星星”的方法绘制了一张银河图，在赫歇耳的银河图里，银河系是偏平的，被群星环绕，其长度为7000光年，宽1400光年。我们的太阳处在银河系的中心，这是人类建立的第一个银河系模型，它虽然很不完善，但使人类的视野从太阳系扩展到银 河系广袤的恒星世界中。 1845年—罗斯勋爵发现第一个漩涡星系M51。1852年—美国天文学家史帝芬．亚历山大声称银河系是一个旋涡星系，却拿不出证据加以证明。1869年—英国天文学作家理查．普洛托克提出相同的见解，但一样无法证实。1900年—荷兰天文学作家科内利斯．伊斯顿公布银河系漩涡结构图， 然而旋臂及银心都画错了。 1904年，恒星光谱中电离钙谱线的发现，揭示出星际物质的存在。随后的分光和偏振研究，证认出星云中的气体和尘埃成分1905年，赫茨普龙发现恒星有巨星和矮星之分。1906年，卡普坦为了重新研究恒星世界的结构，提出了“选择星区”计划，后 人称为“卡普坦选区”。他于1922年 得出与F.W.赫歇耳的类似的模型，也是一个扁平系统，太阳居中，中心的恒星密集，边缘稀疏。在假设没有明显星际消光的前提下，于1918年建立了银河系透镜形模型，太阳不在中心。到二十年代，沙普利模型已得到天文界公认。由于未计入星际消光效应，沙普利把银河系估计过大。到 1930年，特朗普勒证实星际物质存在后，这一偏差才得到纠正。 1913年，赫罗图问世后，按照光谱型和光度两个参量，得知除主序星外，还有超巨星、巨星、亚巨星、亚矮星和白矮星五个分支。科内利斯．伊斯顿再度公布错误的银河系漩涡结构图。 1917年，美国天文学家沙普利（Harlow Shapley）用威尔逊山天文台的2.5米反射望远镜研究当时已知的100个球状星团，通过观测其中的造父变星来确定这些球状星团的距离。 1922～1924年美国天文学家哈勃发现，星云并非都在银河系内。哈勃在分析M31仙女座大星云一批造父变星的亮度以后断定，这些造父变星和它们所在的星云距离我们远达几十万光年，因而一定位于银河系外。这项于1924年公布的发现使天文学家不得不改变对宇宙的看法。 1926年—瑞典天文学家林得·布拉德（Lindblad Bertil）分析出银河系也在自转。1927年，荷兰天文学家奥尔特定量地测出了银河系的较差自转，进一步证明太阳确实不在银河系中心。
离散型随机变量的方差ppt课件
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
11
解 根据月工资的分布列,利用计算器可算得
EX1 1200 0.4 1400 0.3 1600 0.2 1800 0.1 1400,
DX1 1200 14002 0.4 1400 14002 0.3 1600 14002 0.2 1800 14002 0.1 40000;
3、两个分布的数学期望
若X服从两点分布 则E(X)＝p
若X~B(n,p)
则E(X)＝np
2
4.探究:要从两名同学中挑出一名,代表班级参加射击 比赛.根据以往的成绩记录,第一名同学击中目标 靶的环数X1～B(10,0.8),第二名同学击中目标 靶的环数X2=Y+4,其中Y～B(5,0.8). 请问应该派哪名同学参加比赛?
EX2 1000 0.4 1400 0.3 1800 0.2 2200 0.1 1400,
DX2 1000 14002 0.4 1400 14002 0.3 1800 14002 0.2 2200 14002 0.1 112000;
(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值 偏离于均值的平均程度.
(3)方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的 平均程度越小.
6
2.离散型随机变量方差的性质
(1)满足线性关系的离散型随机变量的方差 D（ aX+ b）= a2·DX
(2)服从两点分布的随机变量的方差
DX=p(1-p)
(3)服从二项分布的随机变量的方差 若X ~B（ n , p ），则 DX=npq，q=1-p
D( X ) (1 3.5)2 1 (6 3.5)2 1 2.92
离散型随机变量的方差(PPT)2-1
美洲红鹮是世界上珍稀、名贵的鸟类，也是最濒危的鸟类之一，它全身发红，是世界上颜色最红的鸟类之一。除了长喙呈灰黑色外，浑身上下包括腿和脚趾都呈鲜红色。
常结成大群，当红鹮一齐飞起时，好像一片红云飘起，景象非常壮观！红鹮现今只分布于拉丁美洲的哥伦比亚到巴西的部分沿海地带，全身上下均为鲜红色，以海里的小鱼、贝类为食物。 美洲红鹮长56-61厘米，重650克。它们整只都是红色的，在翼端上有一点黑色。它们会在树上筑巢，每胎会产2-4只蛋。它们主要吃甲壳类及细小的水中动物。雏鸟是灰色及白色的，并会在沼泽内吃红蟹，在成长时就会出现红色的羽毛。美洲红鹮在野外的寿命 约有15年，饲养下则有20年。
由于 EX EX 2 EY EY 2,因此乙射击水平
更稳定一些，看来甲无话可说了．
二、知识点
1.已知离散型随机变量 X 的分布列：
X
x1
x2
xn
P
p1
p2
pn
刻画了随机变量X与其均值EX的
平均偏差程度，称DX为随机变量X的方差. 称 DX为X的标准差（Standard Deviation）或均方差,
看来分不出谁好坏了， 谁能帮我？
然而在实际中E X EX 带有绝对值，在数学运
算上不方便，因而，通常用 E X EX 2来表达随机
变量 X 取值的分散程度或集中பைடு நூலகம்度．
现在我可以确定派谁去了.
据此分析，我可以算得：
E(X EX )2 (8 9)2 0.2 (9 9)2 0.6 (10 9)2 0.2 0.4 E(Y EY )2 (8 9)2 0.1 (9 9)2 0.8 (10 9)2 0.1 0.2
记为 X
•
常结成大群，当红鹮一齐飞起时，好像一片红云飘起，景象非常壮观！红鹮现今只分布于拉丁美洲的哥伦比亚到巴西的部分沿海地带，全身上下均为鲜红色，以海里的小鱼、贝类为食物。 美洲红鹮长56-61厘米，重650克。它们整只都是红色的，在翼端上有一点黑色。它们会在树上筑巢，每胎会产2-4只蛋。它们主要吃甲壳类及细小的水中动物。雏鸟是灰色及白色的，并会在沼泽内吃红蟹，在成长时就会出现红色的羽毛。美洲红鹮在野外的寿命 约有15年，饲养下则有20年。
由于 EX EX 2 EY EY 2,因此乙射击水平
更稳定一些，看来甲无话可说了．
二、知识点
1.已知离散型随机变量 X 的分布列：
X
x1
x2
xn
P
p1
p2
pn
刻画了随机变量X与其均值EX的
平均偏差程度，称DX为随机变量X的方差. 称 DX为X的标准差（Standard Deviation）或均方差,
看来分不出谁好坏了， 谁能帮我？
然而在实际中E X EX 带有绝对值，在数学运
算上不方便，因而，通常用 E X EX 2来表达随机
变量 X 取值的分散程度或集中பைடு நூலகம்度．
现在我可以确定派谁去了.
据此分析，我可以算得：
E(X EX )2 (8 9)2 0.2 (9 9)2 0.6 (10 9)2 0.2 0.4 E(Y EY )2 (8 9)2 0.1 (9 9)2 0.8 (10 9)2 0.1 0.2
记为 X
•
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12
n
n
n
V(X) (xi )2pi (xi2pi2xipi2pi) xi2pi 2
i1
i1
i1
故
V(X)＝
n (n 1 )2 (n 1 )1 (n 1 )2 n2 1
6 n2
12
考察0－1分布
X01 P 1－ p p
E(X)＝0×(1－p)＋1×p ＝p
方差V(X)＝(0－p)2(1－p)＋(1－p)2×p＝p(1－p) 标准差σ＝ V (X )p (1p)
E(X1)＝0×0.6＋1×0.2＋2×0.1＋3×0.1＝0.7 E(X2)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7
一组数据的方差的概念：设
在 一 组 数 据 x1 ， x2 ， … ， xn 中 ，
各数据与它们的平均值 x 得差的
平 方 分 别 是 (x1 x )2 ， (x2 x )2 ， … ，
(x1－μ)2 p1＋ (x2－μ)2 p2＋...＋ (xn－μ)2pn (其中pi≥0，i＝1,2,…,n；p1＋p2＋…＋pn＝1) 称为离散型随机变量X的方差，记为V(X)或σ2
离散型随机变量X的标准差：σ＝ V(X)
甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他
们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1，X2表示， X1，X2的概率分布下：
若X~H(n,M,N)
则V(X)＝
nM (NM)N ( n) N2(N1)
若X~B(n,p) 则V(X)＝np(1－p)
练习 P70 1 2 P71 5 8
， 那 么 [ ＋ (xn x )2
S2 1 n
( x1 x ) 2
(x2 x )2
＋…＋ (xn x )2 ]
叫做这组数据的方差
二、离散型随机变量的方差与标准差
对于离散型随机变量X的概率分布如下表，
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
设μ＝E(X)，则(xi－μ)2描述了xi(i=1,2,...,n)相对于均 值μ的偏离程度，故
X1 0 1 2 3 pk 0.6 0.2 0.1 0.1
X2 0 1 2 3 pk 0.5 0.3 0.2 0
如何比较甲、乙两个工人的技术？
V(X1)＝0.6×(0-0.7)2＋0.2×(1-0.7)2＋0.1×(2-0.7)2 ＋0.1×(3-0.7)2＝1.01
V(X2)＝0.5×(0-0.7)2＋0.3×(1-0.7)2＋0.2×(2-0.7)2
离散型随机变量的方差
一、复习
1、离散型随机变量的均值的定义
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
则称 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为X的均值或数学 期望，记为E(X)或μ．
其中pi≥0，i＝1,2,…,n；p1＋p2＋…＋pn＝1
2、两个分布的数学期望
若X~H(n,M,N)
则E(X)＝nM
N
若X~B(n,p) 则E(X)＝np
练习：
1、已知随机变量 的分布列为
0 1 2 3 4 5
P 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 0.1
求E( )
2.3
2、抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向
上得－1分，求得分X的数学期望。 0
3、随机抛掷一个骰子，求所得骰子点数X的数学
期望E(X)。
3.5
4、已知100件产品中有10件次品，求任取5件产
品中次品的数学期望。
0.5
5、射手用手枪进行射击，击中目标就停止， 否则继续射击，他射中目标的概率是0.7,若 枪内只有5颗子弹,求射击次数的期望。 (保留三个有效数字)
1
2
3
4
5
p
0.7
0.3× 0.32× 0.33× 0.7 0.7 0.7
＋0×(3-0.7)2＝0.61
乙的技术稳定性较好
例 ． 设随机变量X的分布列为
X1
P
1 n
求 V (X)
2 …n
1 n
…
1 n
E(X)＝
1 n
(1+2 n (kn1)21n[n ( 1 )2 4 k (n 1 ) 4 k 2 ] n2 1
nk1
2
4 n k 1
0.34
E( ) =1.43
甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他
们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1，X2表示， X1，X2的概率分布下：
X1 0 1 2 3 pk 0.76 0.12 0.1 0.1
X2 0 1 2 3 pk 0.5 0.3 0.2 0
如何比较甲、乙两个工人的技术？