2.2行列式性质与计算

2 2 2 2
a b c d
3 3
3 3
1 d
1 abcd a a a
2 3
1 b b b
2 3
abcd d c d b d a c b c a b a
返回
x
y x
y y
y y
例11 计算 Dn 解
x ( n 1) y Dn x ( n 1) y x ( n 1) y 1 ( x ( n 1) y ) 0 0
返回
性质3
a11 bi 1 c i 1 an1 a11 a12 bi 2 an 2
a12 bi 2 c i 2 an 2 a1n bin ann

a1n
bin c in a11 ci1 an1 ann a12 ci 2 an 2 a1n c in ann
返回
bin c i 1
1
2 5 7
3 6 9
1 4 1 4
2 5 25
3 6 36
例3
4 5
1 4 1
2 5 2
3
1
2 5 5
3 6 6
6 4 3 4
00 0
观察 ：与矩阵加法的区别 ？
返回
性质4（行列式的初等变换）若把行初等变换 施于n阶矩阵A上： (1) 将A的某一行乘以数k得到A1，则 detA1 = k(detA)； (2) 将A的某一行的k(≠0)倍加到另一行得到A2 ,则 detA2 = detA； (3) 交换A的两行得到A3, 则 detA3 = - detA.
返回
性质4（行列式的初等变换）若把行初等变换 施于n阶矩阵A上： (1) 将A的某一行乘以数k得到A1，则 detA1 = k (detA)； 证 (1)按乘以数k的那一行展开，即得结论成立。
推论 行列式某两行对应元成比例，则行列式为零.
返回
a
11

a
1n
a
11

a
1n
a

1 xn
2 xn
x1
1 j i n
n 1
xn
n 1
1 j i n
( xi x j ),
( xi x j ) [( x2 x1 )( x3 x1 )...( xn x1 )][( x3 x2 )...( xn x2 )]
T
证 当A不可逆时： 设
A R(最后一行的元全为零)
初等行变换
即存在初等矩阵 E1 , E2 , ..., Et，
A E1 E2 Et R
det R 0 det A (det E1 )(det Et )(det R) 0.
又A不可逆 AT不可逆 所以 det AT = 0
证 （归纳法）结论对二阶行列式显然.
det A ak 1 Ak 1 ak 2 Ak 2 akn Akn , ( k i, j )
设结论对n-1阶行列式成立，对于n阶：按第k(i, j)行展开 由于Mkl (l=1,…,n)是n-1阶行列式，且其中都有两 行元全相等，所以
Akl 0 ( k 1,..., n), 故 det A 0.
det A (det E1 )(det Et )Leabharlann Baidudet R) 0, 矛盾.
：若A可逆， 则R=I，
det A (det E1 )(det Et )(det I ) 0.
返回
行列式性质小结：5性质 2推论 一、按行展开 ：
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain
按零多的行（列）展开法
7 ( 1)
2 2
17 5 9
8 5 2
0 3
7 0 3
25 0 11
8 5 5 2
7 3
25 11
10
返回
例9 范德蒙行列式(n≥2)
1 x1
2 Vn x1
1 x2 x2 x2
n 1 2
1 x3 x3 x3
n 1 2
y
y y x y x
(求和)化上三角行列式法
A 2 1
3 1 1
2 A 2
2 2A 4 2
4 4 2
6
1
2 2 1
3 3 8 1
返回
6 222 2 2
n
1
k A k A k A .
a11
a11 ai 1
a1 n ain a jn kain ann a1 n ain kain ann
解. 化上三角行列式法
1 det A 0 0 3 10 2 7 1 3 10 0 7 17 196
196 10
17 0 23 0
返回
1
4 1 2 0
1 4 3 9 8 3 5 2
4 3 11 2
例8 计算 D
2 4 3
解
D
7 2 0 3
0 1 0 0
17 4 5 9
(1)
( n 1) ( n 1)
22
2 ,n 2
a
n2 ,n2
a11 a 22 a nn
返回
0
*
an
n ( n1 )
同理 Dn
a1
a2 0
( 1)
2
a1 a 2 a n
推论 若行列式的某一行全为零，则行列式等于零.
返回
性质2 n阶行列式某两行对应元全相等，则行列式为 零. 即当 aik = ajk ， i≠j, k=1,…, n时，det A = 0.
所得的n 1阶行列式，Aij 称为aij的代数余子式。
M ij 称为aij的余子式。
返回
例1
4 D 2 0 7 0 1 0 4 0 3 0 3 1 1 2 2
11
3 4
4 2 (1) 2 7
0
0
1 3 4 3
2 4 (1)
1 3 4 3
2 4 ( 15)
j行
a11 ai 1 a j 1 ai 1 an1

det A
a jn ain ann
a jn ann
返回
2. 初等矩阵的行列式：
det( E ij ) det I 1
det E i ( c ) c 0 ;
det E ij ( c ) 1 .
i1
a
in
a
i1
a
in
ka a
n1 i1
ka a
nn in
k a
i1
a
in
k 0 0
a
n1
a
nn
返回
1. 设A为n阶矩阵，则 det( kA) k (det A).
n
例4
1 A 2 1
1 2 2 1 3
2 2 1
3 3 1
返回
3. 初等矩阵与任一方阵A乘积的行列式：
det( Eij A) det A (det Eij )(det A),
det( Ei ( c ) A) c (det A) (det Ei ( c ))(det A),
det( Eij ( c ) A) det A (det Eij ( c ))(det A).
二、三类初等变换 ：
1.换行(反号) , 2.倍乘 , 3.倍加(不变） .
三、三种为零 ：
1.有一行全为零 , 2.有两行相同 , 3.有两行成比例 .
四、 一种分解 . T 五、 D D .
返回
二、 行列式的计算
1 例7. 设 A 2 3 3 4 7 7 3 ，求 detA. 2
...[( xn1 xn2 )( xn xn2 )][( xn xn1 )]
返回
例10
a D b c d a b c d
2 2 2 2
a b c d
3 3 3 3
a b c d
1 c c c
2 3
4 4 4 4
1 abcd 1 1
1 d d d
2 3
a b c
a b c d
det( A ) det A.
返回
T
当A可逆时： 存在初等矩阵 E1 , E2 , ..., E s，
A E1 E2 E s
det( A ) det( E s E2 E1 ) (det E s )(det E2 )(det E1 )
(det Es )(det E2 )(det E1 ) det( E1 E2 Es )
T T T T T T T
det A
返回
由性质5，
det A a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj , j 1,..., n
例5 奇数阶反对称阵的行列式必为零. 证 Ann (n为奇数)满足：
A A,
T
于是， det A det AT det( A) ( 1) n det A det A,
det A 0.
返回
定理1 方阵A可逆的充要条件为det A≠0. 证 设 A 行初等变换 R（简化行阶梯形） 即存在初等矩阵 E1, ..., Et 使得 A E1 Et R
： 已知 det A 0.
若A不可逆，
则R的最后一行的元全为零， det R 0. 所以
返回
det E det E
T
三种初等矩阵：
1 1 E ij 1 1
0 1
1
1
i行
1
0
j行
返回
1 i 行 Ei ( c ) c ( c 0) 1 1 i行 1 E ij ( c ) j行 c 1 1
返回
bi 1 an1
证
按第i行展开
左

( bi 1 ci 1 ) Ai 1 ( bin cin ) Ain
( bi 1 Ai 1 bin Ain ) ( ci 1 Ai 1 cin Ain )
a11 bi 1 an1 a12 bi 2 an 2 a1n ann a11 an1 a12 ci 2 an 2 a1n c in ann
返回
（2）
det A2
ai 1 a j 1 kai 1 an1
a11 ai 1 a j1 an1

a1 n ain a jn ann
kai 1 an1
det A 0 det A
a11
a1 n ain
对任一初等矩阵 E , det( EA ) (det E )(det A )
设 E 1 , E 2 , , E t 为初等矩阵，则 det( E 1 E 2 E t A ) (det E 1 ) (det E t )(det A )
返回
性质5 设A为n阶矩阵，则
det( A ) det A.
2.2
行列式的性质与计算
一、 行列式的性质
二、 行列式的计算 三、 方阵乘积的行列式
返回
一、行列式的性质
性质1 行列式按任一行展开，其值相等，即
det A ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain , 其中 Aij ( 1)
i j
M ij , M ij为划去A的第i行第j列后
a1 n a jn ain ann a11 ai 1 a j1 an1
a11
a1 n ain
a1 n a jn a jn ain ann
（3）
det A3
a j1 ai 1 an1
i行

a j1 a j 1 ai 1 an1
返回
a11
a12 a22 0

a1n ann
例2 计算 解
Dn
a2 n
a D a (1)
nn n nn
11
a a
12

a a
1, n 1
22
2 , n 1
a
n 1, n 1
0
a a a
nn n 1, n 1
11
a a
12

a a
1, n 2