矩阵理论-第七讲讲解

Fk x 0
xH Ak x xH FkH Ak Fk x (Fk x)H Ak (Fk x) 0
Ak (k 1, , n) 都是正定阵
Hermite正定矩阵的行列式大于零
k det Ak 0 (k 1, , n)
• 充分性
设 k det Ak 0 (k 1, , n) ，对阶数n用数学归纳法证明A是
设 A (aij ) Cnn 是Hermite矩阵
a11 a12
Ak


a12

a22
a1k
a2k


k det Ak (k 1, , n)
a1k a2k
akk
分别称为A的k阶顺序主子阵和顺序主子式，则
A是Hermite正定矩阵
k det Ak 0 (k 1, , n)
都有
xH Ax 0 ( 0)
则称A是Hermite正定矩阵（半正定矩阵）
• 定理
设A是Hermite矩阵，则下列条件等价
1. A是Hermite正定矩阵（半正定矩阵）；
2. A的特征值全为正实数（非负实数）；
3.
P

C nn n
，使得
A PHΒιβλιοθήκη BaiduP
证明： (1) (2)：由上一讲的推论1，Hermite矩阵的特征值均为实数
Hermite正定矩阵。
当k = 1时，a11 det A1 0
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矩阵理论第5讲-6
Hermite矩阵的正定性
2. 设x是 AH A 的属于其非零特征值 的特征向量，即
AH Ax x ，且 x 0
y Ax 0
否则， AH Ax x 0
x0
AAH y AAH Ax A( AH Ax) A x y
证明：
• 必要性
A是Hermite矩阵
令 Fk e1 e2
Ak (k 1, , n) 都是Hermite矩阵
ek ，其中
ei
0 1 0 T i 1, , k
第i个分量
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矩阵理论第5讲-8
Hermite矩阵的正定性
Ak FkH Ak Fk
对任意 0 x Ck
正定性 xH Ax xH PH Px (Px)H (Px) Px, Px 0
由内积的
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矩阵理论第5讲-5
Hermite矩阵的正定性
– 推论
Hermite正定矩阵的行列式大于零
由 det A 12 n 0 易知
• 定理
设 ACmn ，则 1. AH A 和 AAH 的特征值全为非负实数； 2. AH A与 AAH的非零特征值相同； 3. rank( AH A) rank( AAH ) rank A
n ) i 0
可得：
A U diag(1, 2 ,
n )U H
U diag( 1 2
PH P
n ) diag( 1 2
n )U H
令 P diag( 1 2
n )U H Cnnn 即证
(3) (1)：因为 P Cnn，所以对任意 0 x Cn ，Px 0
现证其为正。A是正规矩阵，U Cnn ，U H U 1 即存在酉矩阵U
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矩阵理论第5讲-3
Hermite矩阵的正定性
使得
U H AU diag(1, 2 ,
n )
上式右边同乘以列向量：
1
y

2


n

左边同乘以行向量 yH，可得
U 1AU U H AU T
• 正规矩阵
AH A AAH
– 用酉矩阵化正规矩阵为对角形
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矩阵理论第5讲-2
Hermite矩阵的正定性
• Hermite矩阵正定性的定义
设 ACnn ，且 AH A ，即A是Hermite矩阵。如果对任意
0 xCn
同理可证 AAH 的非零特征值也是 AH A的特征值（只要设 y AH x ）
3. 由 Ax 0
AH Ax 0
反之 AH Ax 0
xH AH Ax (Ax)H (Ax) Ax, Ax 0
由内积的正定性
Ax 0
Ax 0 与 AH Ax 0 同解，解空间的维数相同：
矩阵理论-第七讲
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矩阵理论第5讲-1
上节内容回顾
• 酉矩阵
– n个列向量是一个标准正交基 AH A I
• 酉相似下的标准形
AH A1
– Schur定理：任一复数方阵均可酉相似于上三角矩阵
U Cnn U 1 U H
证明：
1. ( AH A)H AH A
AH A 是Hermite矩阵，对任意 0 x Cn
xH (AH A)x (Ax)H (Ax) Ax, Ax 0
AH A 半正定
AH A 的特征值全为非负实数
同理取行向量 0 x Cn ，可得
xAAH xH ((xA)H )H (xA)H (xA)H , (xA)H 0
n rank A n rank( AAH ) rank( AH A) rank A
n: A的列数
上式中以 AH 代替 A
rank( AAH ) rank AH
rank( AH A) rank( AAH ) rank A
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矩阵理论第5讲-7
Hermite矩阵的正定性
010
0)T 0
第i个分量
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矩阵理论第5讲-4
Hermite矩阵的正定性
则x的第i个分量亦不为零，但
xH Ax yHU H AUy i i 2 i 0
与A是Hermite正定矩阵矛盾，所以假设不成立。即A的特征值全为正 实数
(2) (3)：由
U H AU diag(1, 2 ,
yHU H AUy 1 1 2 2 2 2 n n 2
令 x Uy ，若 y 0 ，则 x 0 ，由于A是Hermite正定阵
xH Ax yHU H AUy 1 1 2 2 2 2 n n 2 0
假设 i 0 ，取
y (0